Как найти внутреннюю энергию двухатомного газа

На этой странице вы можете рассчитать внутреннюю энергию идеального газа с помощью калькулятора онлайн или самостоятельно по формулам.

Формула внутренней энергии идеального газа через массу, молярную массу и температуру

Формула внутренней энергии идеального газа через давление и объем

Формула внутренней энергии идеального газа через количество вещества и температуру

Формула внутренней энергии идеального газа через степени свободы

Количество степеней свободы молекулы идеального газа

• для одноатомного газа (гелий, неон, аргон, криптон, ксенон, радон, оганесон и т. д.) i=3;
• для двухатомного газа (водород, азот, кислород, фтор, хлор и т. д.) i=5;
• для трехатомного газа i=6;
• для многоатомного (>3) газа i=6;

Числом степеней
свободы
называется наименьшее число независимых
координат, которое необходимо ввести,
чтобы определить положение тела в
пространстве.
– число степеней свободы.

Рассмотрим
одноатомный
газ.
Молекулу такого газа можно считать
материальной точкой, положение
материальной точки
(рис. 11.1)
в пространстве определяется тремя
координатами.

Молекула может
двигаться в трех направлениях (рис.
11.2).

Рис. 11.1	Рис. 11.2

Следовательно,
обладает тремя поступательными степенями
свободы.

Молекула –
материальная точка.

Энергии вращательного
движения ,
т.к. момент инерции материальной точки
относительно оси, проходящей через
точку равен нулю

Для молекулы
одноатомного газа число степеней свободы
.

Рассмотрим
двухатомный
газ. В
двухатомной молекуле каждый атом
принимается за материальную точку и
считается, что атомы жёстко связаны
между собой, это гантельная модель
двухатомной молекулы. Двухатомная
жестко связанная молекула
(совокупность двух материальных точек,
связанных недеформируемой связью), рис.
11.3.

Положение центра
масс молекулы задаётся тремя координатами,
(рис. 11.4) это три степени свободы, они
определяют поступательное
движение молекулы. Но
молекула может совершать и вращательные
движения вокруг осей
и,
это ещё две степени свободы, определяющиевращение
молекулы.
Вращение молекулы вокруг оси
невозможно, т.к. материальные точки не
могут вращаться вокруг оси, проходящей
через эти точки.

Рис. 11.3	Рис. 11.4

Для молекулы
двухатомного газа число степеней свободы
.

Рассмотрим
трёхатомный
газ. Модель
молекулы – три атома (материальные
точки), жёстко связанные между собой
(рис. 11.5).

Трёхатомная
молекула – жестко связанная молекула.

Рис. 11.5

Молекула обладает 3 поступательными и 3 вращательными степенями свободы. i = iпоступат + iвращат = 6.

Для молекулы
трёхатомного газа число степеней свободы
.

Для многоатомной
молекулы число степеней свободы
.

Для реальных
молекул, не обладающих жёсткими связями
между атомами, необходимо учитывать
также степени свободы колебательного
движения, тогда число степеней свободы
реальной молекулы равно

i =
i_{поступат} + i_{вращат.}+ i_колеб. (11.1)

Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы (закон Больцмана)

Закон о
равнораспределении энергии по степеням
свободы
утверждает, если система частиц находится
в состоянии термодинамического
равновесия, то средняя кинетическая
энергия хаотического движения молекул,
приходящаяся на 1 степень свободы
поступательного
и вращательного
движения, равна

Следовательно,
молекула, имеющая
степеней свободы, обладает энергией

, (11.2)

где
– постоянная Больцмана;– абсолютная температура газа.

Внутренняя
энергия
идеального газа
– это сумма кинетических энергий всех
его молекул.

Находим внутреннюю
энергию
одного моля идеального газа.,
где– средняя кинетическая энергия одной
молекулы газа,– число Авогадро (число молекул в одном
моле). Постоянная Больцмана.
Тогда

.

Если газ имеет
массу
,
то
– число молей, где
– масса моля, и внутренняя энергия газа
выражается формулой

. (11.3)

Внутренняя энергия
идеального газа зависит только от
температуры газа. Изменение внутренней
энергии идеального газа определяется
изменением температуры и не зависит от
процесса, при котором это изменение
произошло.

Изменение
внутренней энергии идеального газа

, (11.4)

где
– изменение температуры.

Закон равномерного
распределения энергии распространяется
на колебательное движение атомов в
молекуле. На колебательную степень
свободы приходится не только кинетическая
энергия, но и потенциальная, причём
среднее значение кинетической энергии,
приходящейся на одну степень равно
среднему значению потенциальной энергии,
приходящемуся на одну степень свободы
и равно

Следовательно,
если молекула имеет число степеней
свободы
i = i_{поступат} + i_вращат + i_колеб,
то средняя суммарная энергия молекулы:
,
а внутренняя энергия газа массы
:

. (11.5)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Физика, 10 класс

Урок 23. Внутренняя энергия. Работа. Количество теплоты

Список вопросов, рассмотренных в уроке: внутренняя энергия; способы изменения внутренней энергии; различные виды теплообмена; уравнение теплового баланса; работа в термодинамике; нахождение численного значения работы в различных тепловых процессах.

Глоссарий по теме

Термодинамическая система представляет собой систему тел, которые взаимодействуют и обмениваются энергией и веществом.

Состояние равновесия — это состояние системы, в которой нет теплообмена между телами, составляющими систему.

Термодинамический процесс — процесс изменения состояния системы, который изменяет параметры системы.

Внутренняя энергия представляет собой сумму кинетической энергии хаотичного теплового движения и потенциальной энергии взаимодействия всех молекул, составляющих тело.

Теплоемкость представляет собой энергию, которая численно равна количеству тепла, которое выделяется или поглощается, когда температура тела изменяется на 1 К.

Теплопередача- это передача энергии от одного тела другому без выполнения работы.

Количество тепла является количественной мерой изменения внутренней энергии во время теплообмена.

Работа в термодинамике — это взаимодействие системы с внешними объектами, в результате чего изменяются параметры системы.

Список литературы

Г.Я. Мякишев., Б. Буховцев., Н. Н. Соцкий. Физика.10. Учебник для образовательных организаций М .: Просвещение, 2017. — С. 243-254.

Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 10-11 класс М.: Дрофа, 2009.- с.75-84

Основное содержание урока

Внутренняя энергия тела — это полная энергия всех молекул, которые его составляют. Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна его температуре.

U = 3/2 · ν · R · T

Чтобы изменить внутреннюю энергию вещества, надо сообщить ему некоторое количество тепла или совершить работу.

Работа в термодинамике равна изменению внутренней энергии системы: A = ΔU.

Работа газа в изобарном процессе равна A = P · ΔV. Если газ расширяется, то А > 0, если газ сжимается, то А < 0.

Кроме того, работа газа может быть определена с использованием графика давления в зависимости от объема.

Работа газа численно равна площади под графиком давления.

Количество теплоты — это энергия, которую система получает или теряет во время теплообмена.

Количество тепла для различных термических процессов определяется по-разному.

При нагревании и охлаждении: Q = c_ ∙ m ∙ ΔT;

Во время плавления и кристаллизации: Q = ℷ ∙ m;

Во время испарения и конденсации; Q = r ∙ m;

При сжигании: Q = q ∙ m.

Для замкнутой и адиабатически изолированной системы тел выполняется уравнение теплового баланса: Q1 + Q2 + … + Qn = 0

Выражение для внутренней энергии одноатомного идеального или разреженного реального газа имеет следующий вид:

U = 3/2 ν ∙ R ∙ T

Для идеального газа из молекул с двумя, тремя или более атомами необходимо учитывать кинетическую энергию вращения молекул (они больше не могут считаться материальными точками), поэтому выражение для их внутренней энергии отличается от U = 3/2 ν ∙ R ∙ T числовым коэффициентом.

Для двухатомного газа (например, O2, CO и т. д.):

U = 5/2 ν ∙ R ∙ T

Для газа с тремя атомами или более (например, O3, CH4):

U = 3ν · R · T

Изменить внутреннюю энергию вещества можно, передав ему некоторое количество тепла или выполнить над ним работу.

Существует три типа теплопередачи:

1) Теплопроводность представляет собой процесс переноса энергии от более теплого тела к менее нагретому телу с прямым контактом или от более нагретых частей тела к менее нагретым, осуществляемый хаотично движущимися частицами тела (атомы, молекулы, электроны , и т.д.). Простым примером является нагревание чашки, в которую выливают горячий чай.

2) Конвекция — это своего рода передача тепла, в которой внутренняя энергия передается снизу вверх струями или потоками жидкости или газа. Пример: нагревание воды в чайнике, который стоит на горячей плите.

3) Лучистый обмен или излучение — это процесс передачи энергии через электромагнитное излучение. Простой пример: солнечный свет.

Механическая работа изменяет механическую энергию тела. Термодинамическая работа изменяет внутреннюю энергию газа.

Если газ расширяется, то работа газа считается положительной. Если он сжат, то отрицательной.

Формула для нахождения работы газа в изобарном процессе имеет следующий вид:

A = p · ΔV

Для изотермического процесса формула принимает следующий вид: A = ν ∙ R ∙ T ∙ ln⁡ (V_2 / V_1)

Разбор тренировочных заданий

1. Объём газа, расширяющегося при постоянном давлении 100 кПа, увеличился на 20 литров. Работа, выполняемая газом в этом процессе, — _____.

Варианты ответов:

2000 Дж;

20 000 Дж;

200 Дж;

50 МДж.

Правильный вариант / варианты (или правильные комбинации вариантов): 3) 2000 Дж.

Совет: используйте формулу работы.

2. Чтобы из 5 кг снега, при температуре 0ºС, получить воду при 20ºС, необходимо сжигать в печке с КПД 40% __ кг дров.

Решение: при сгорании дров выделится количество теплоты:

из этого количества на полезную работу пойдёт только:

Для плавления снега необходимо количество теплоты:

для нагревания воды понадобится:

Согласно уравнению теплового баланса:

Отсюда следует:

Подставим числовые значения в формулу:

Ответ: 0,5175 кг.

Физическая дисциплина «Термодинамика», имеющая дословный перевод с греческого как θέρμη — «тепло», δύναμις — «сила», занимается изучением общих характеристик макросистем и обращения энергии внутри них. Эту науку относят к феноменологическому типу, хотя опирается она на факты, полученные опытным путем.

Термодинамическая система, рассматриваемая в данном ракурсе, имеет конкретные характеристики, не применимые к единичным атомам и молекулам. К ним относят температуру, энергию, объем, концентрацию растворов, давление.

Определение таких параметров происходит по формулам термодинамики.

Основные формулы термодинамики

Особенностью термодинамики является то, что ее постулаты не касаются взаимодействия отдельных единиц (атомов, молекул), как в молекулярной физике. Предметом изучения предстают общие взаимопревращения энергии, образование теплоты, теплопередача и совершение работы.

Исходя из этого, выделяют основные формулы термодинамики, к которым относятся:

1. Уравнение Менделеева-Клайперона: (PV=(m/M)*RT). Его смысл — в изменениях трех входящих величин, которые направлены на характеристику состояния идеального газа.
2. Количество вещества, обозначаемое буквой (ν). (nu=N/NA=m/mu)

   Величина, выражающая, сколько одинаковых структурных компонентов (единиц) находится в веществе.

3. Закон Дальтона: давление смеси газов на стенку сосуда равно сумме давлений каждого входящего в смесь элемента: (p=p1+p2+…pn.)
4. Главное уравнение МКТ (молекулярно-кинетической теории): (p=2n/3<varepsilon>n=N/V). Выражает математическое соотношение таких параметров, как давление газа и микропараметров: массы молекул, их скорости движения, концентрации.
5. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы газа. Для обозначения применяется (E_k),  выражается через формулу: (E_k=E_{моля}/NA=3/2ast RT/NA). Ее мерой является абсолютная температура идеального газа, поскольку потенциальная энергия (вследствие взаимодействия молекул друг с другом) равна нулю. Зная, что R/N_A=k, получается формула: (E_k=3/2ast kT).
6. Давление идеального газа прямо пропорционально концентрации и его температуре: (P=nkT.)
7. Скорость молекул определяется по формулам:
   (V=surd(2kT/m_o)=surd(2RT/mu)) — наиболее вероятная;
   (<V>=surd(8kT/pi m_o)=surd(8RT/pimu)) — среднеарифметическая;
   (<Vкв>surd(3kT/m_o)=surd(3RT/mu)) — средняя квадратичная.
8. Сумма кинетических энергий всех молекул определяет внутреннюю энергию всего идеального газа. Математически выражение выглядит так: (U=i/2ast(m/mu)ast RT.)
9. Формула для определения работы, которую совершает идеальный газ при расширении:( A=P(V_2-V_1).)
10. Формула первого закона термодинамики: (Q=Delta U+A.)
11. Для определения удельной теплоемкости вещества применяется математическое выражение: (С=Delta Q/mdT.)
12. Кроме удельной теплоемкости, существует понятие молярной теплоемкости. Для ее определения применяется формула: (C=cmu). Для изохорного процесса правильная формула принимает вид: (C_v=1/2ast R), для изобарного: (C_p=((i+2)/2)ast R).

Первое начало термодинамики

Согласно первому закону термодинамики, (Q) (количество внутренней теплоты), которое получил газ извне, расходуется на совершение работы (А) и изменение внутренней энергии (U). Формула закона: (Q=Delta U+A).

На практике газ может быть нагрет либо охлажден. Однако в данном случае рассматривается изотермический процесс, в котором один из характеризующих параметров остается неизменным.

Если процесс изотермичен, в химии включается закон Бойля-Мариота. В нем говорится, что давление газа соотносится к изначальному объему, при стабильной температуре, обратно пропорционально.

(Q=A)

Когда процесс происходит при неизменном объеме, говорят об изохорности. Здесь вступает в действие закон Шарля. В обозначенных условиях то тепло, которое поступило к газу, расходуется на изменение внутренней энергии. Другими словами, (P) пропорционально (T).

(Q=Delta U)

Протекание процессов в идеальном газе при неизменном давлении носит характер изобарного. Здесь действует закон Гей-Люссака, который выражается уравнением:

(Q=Delta U=pDelta V)

Полная формулировка закона гласит: полученное тепло при изобарном процессе расходуется на совершение работы газом, а также изменяет его внутреннюю энергию.

Часть процессов происходят изолированно от внешней среды. Газ не получает дополнительной энергии. Такая ситуация носит название адиабатной и математически записывается: (Q=0). Работа (А) в таком случае выражается: (A=-Delta U.)

Уравнение идеального газа в термодинамике

Молекулы идеального газа постоянно движутся. От того насколько велика скорость их движения, зависит общее состояние газа, а также величина его воздействия, например, на стенки сосуда. Поэтому одним из основных уравнений термодинамики является Клайперона-Менделеева:

(PV=(m/M)ast RT)

В уравнении (m) — единица массы газа, (M) — его молекулярная масса, (R) — универсальная величина, называемая газовой постоянной. Ее значение = 8,3144598. Измеряется в Дж/(моль*кг).

В основе термодинамики лежат и другие газовые постоянные, например, число Авогадро, постоянная Больцмана. Таким образом, (R=kNA.)

Из уравнения Клайперона-Менделеева можно также вычислить массу. Она будет равна произведению плотности на объем: (m=rho V).

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ)

Решение части задач зависит от знания особенностей взаимосвязи между давлением газа и характеристикой кинетической энергии его молекул. Математическое выражение такой зависимости носит название основного уравнения МКТ:

(p=2/3ast nE)

В данном выражении кинетическая энергия обозначена буквой (Е), а концентрация молекул — (n). Каждую из этих величин физики можно найти исходя из соответствующих формул, после чего уравнение для молекулярно-кинетической теории (МКТ) приобретает вид:

(p=nkT)

Формула теплоемкости и главная формула КПД в термодинамике

Когда теплообмен проявляется передачей телу определенного количества теплоты, его энергия, как и температура, меняются.

То количество теплоты, обозначаемое (Q), которое понадобится для того, чтобы 1 кг определенного вещества нагреется на 1 К, носит определение теплоемкости вещества и обозначается с.

Математическое выражение относительно переданного количества теплоты выглядит формулой:

(Q=cm(t_2-t_1)=cmDelta t)

Измеряется величина в Дж/(кг∙К).

При t2⟩t1, количество теплоты со знаком плюс, следовательно, вещество нагревается. Если наоборот, то Q — со знаком минус, и вещество остывает.

В физике, характеризуя свойства вещества, говорят о его теплоемкости. Это имеет значение, например, при выборе стройматериалов или сырья для изготовления нагревательных приборов. Теплоемкость равна произведению массы на удельную теплоемкость данного тела:

(C=cm)

Учитывая, что в величине теплоемкости уже отражена масса, то сокращенная формула для определения (Q) выглядит так:

 (Q=C(t_2-t_1))

С другой стороны, то количество теплоты, которое отдает источник, можно высчитать по формуле: 

(Q=Pt.)

В выражении буквой (P) обозначается мощность нагревателя, а (t) — время их контакта.

Конструкция, состоящая из нагревателя, тела-реципиента теплоты и охладителя, носит название тепловой машины. В качестве примера рассматривается двигатель внутреннего сгорания. Как и любой механизм, она имеет такую характеристику, как КПД — коэффициент полезного действия. Для его расчета применяется формула:

(eta=(Q_н-Q_x)/Q_н)

Внутренняя энергия одноатомного и двухатомного идеального газа

Характерной особенностью идеального газа является отсутствие у его составляющих частей потенциальной энергии. Вся внутренняя энергия — это сумма кинетических энергий всех молекул. Она является величиной, прямо пропорциональной температуре идеального газа:

(mw2/2=alpha T)

В этом уравнении:

(alpha T=3Rmu/2Nmu)

Исходя из приведенных формул, величина кинетической энергии поступательного движения идеального газа должна определяться исходя из выражения:

(mv2/2=(3Rmu/2Nmu)ast T)

Поступательное движение характеризуется тремя степенями свободы. На каждую из них приходится одна треть общей кинетической энергии.

Двух- и более атомные молекулы газа характеризуются степенями свободы, касающимися вращательного движения.

Если обозначить число молекул в одном киломоле за (Nμ), то внутренняя энергия идеального газа будет измеряться по формуле:

(Umu=1/2(Rmu Ti))

В формуле (i) — число степеней свобод.

Если газ одноатомный, (i=3), двуатомный — 5, трех- и более — 6.

Задачи на термодинамику характеризуют распространенные физические процессы, поэтому часть включаются в программы экзаменов. Если для их решения не хватает времени, можно обратиться за помощью в Феникс.Хелп. На профильном сайте вам помогут справиться с любой, даже запутанной задачей, экономя ваши время и силы.

Одним из важных вопросов при изучении термодинамических систем в физике является вопрос о возможности выполнения этой системой некоторой полезной работы. С концепцией работы тесно связано понятие внутренней энергии. В данной статье рассмотрим, что такое внутренняя энергия идеального газа, и приведем формулы для ее вычисления.

Идеальный газ

О газе, как агрегатном состоянии, не обладающем никакой силой упругости при внешнем воздействии на него и, как следствие, не сохраняющим объем и форму, знает каждый школьник. Концепция же газа идеального для многих остается непонятной и неясной. Объясним ее.

Вам будет интересно:«Помоч» или «помочь»? Нужен ли мягкий знак?

Идеальным называется любой газ, который удовлетворяет следующим двум важным условиям:

• Составляющие его частицы не имеют размера. В действительности они имеют размер, но он настолько мал в сравнении с расстояниями между ними, что его можно не учитывать во всех математических расчетах.
• Частицы не взаимодействуют друг с другом с помощью сил Ван-дер-Ваальса или сил иной природы. На самом деле во всех реальных газах такое взаимодействие присутствует, но его энергия пренебрежимо мала по сравнению со средней энергией кинетической частиц.

Описанным условиям удовлетворяют практически все реальные газы, температуры которых лежат выше 300 К, а давления не превышают одной атмосферы. Для слишком высоких давлений и низких температур наблюдает отклонение газов от идеального поведения. В таком случае говорят о реальных газах. Они описываются уравнением Ван-дер-Ваальса.

Понятие о внутренней энергии идеального газа

В соответствии с определением, под внутренней энергией системы понимают сумму кинетической и потенциальной энергий, заключенных внутри этой системы. Если применить эту концепцию к газу идеальному, то следует отбросить потенциальную составляющую. Действительно, поскольку частицы идеального газа не взаимодействуют друг с другом, то их можно считать движущимися свободно в абсолютном вакууме. Чтобы извлечь одну частицу из изучаемой системы, не нужно совершать работу против внутренних сил взаимодействия, поскольку этих сил не существует.

Таким образом, внутренняя энергия идеального газа всегда совпадает с его кинетической энергией. Последняя, в свою очередь, однозначно определяется молярной массой частиц системы, их количеством, а также средней скоростью поступательного и вращательного движения. Скорость движения зависит от температуры. Увеличение температуры приводит к увеличению внутренней энергии, и наоборот.

Формула для внутренней энергии

Обозначим внутреннюю энергию идеальной газовой системы буквой U. Согласно термодинамике, она определяется как разность энтальпии H системы и произведения давления на объем, то есть:

U = H — p*V.

В пункте выше мы выяснили, что величина U соответствует суммарной кинетической энергии Ek всех частиц газа:

U = Ek.

Из статистической механики в рамках положений молекулярно-кинетической теории (МКТ) идеального газа следует, что средняя кинетическая энергия одной частицы Ek1 равна следующей величине:

Ek1 = z/2*kB*T.

Здесь kB и T — постоянная Больцмана и температура, z — число степеней свободы. Полную кинетическую энергию системы Ek можно получить, если умножить Ek1 на количество частиц N в системе:

Ek = N*Ek1 = z/2*N*kB*T.

Таким образом, мы получили формулу для внутренней энергии идеального газа, записанную в общем виде через абсолютную температуру и число частиц в закрытой системе:

U = z/2*N*kB*T.

Одноатомный и многоатомный газ

Записанная в предыдущем пункте статьи формула для U является неудобной для ее практического использования, поскольку количество частиц N определить трудно. Тем не менее, если учесть определение количества вещества n, то это выражение можно переписать в более удобной форме:

n = N/NA; R = NA*kB = 8,314 Дж/(моль*К);

U = z/2*n*R *T.

Число степеней свободы z зависит от геометрии составляющих газ частиц. Так, для моноатомного газа z = 3, поскольку атом может независимо двигаться только в трех направлениях пространства. Если же газ является двухатомным, то z = 5, так как к трем поступательным степеням свободы добавляются еще две вращательные. Наконец, для любого другого многоатомного газа z = 6 (3 поступательные и 3 вращательные степени свободы). С учетом сказанного, можно записать в следующем виде формулы внутренней энергии идеального газа одноатомного, двухатомного и многоатомного:

U1 = 3/2*n*R*T;

U2 = 5/2*n*R*T;

U≥3 = 3*n*R*T.

Пример задачи на определение внутренней энергии

В баллоне объемом 100 литров находится чистый водород под давлением 3 атмосферы. Полагая водород идеальным газом при данных условиях, необходимо определить, чему равна его внутренняя энергия.

В записанных выше формулах для U присутствует количество вещества и температура газа. В условии же задачи совершенно ничего об этих величинах не сказано. Чтобы решить задачу, необходимо вспомнить универсальное уравнение Клапейрона-Менделеева. Оно имеет показанный на рисунке вид.

Поскольку водород H2 является двухатомной молекулой, то формула для внутренней энергии запишется в виде:

UH2 = 5/2*n*R*T.

Сравнивая оба выражения, приходим к конечной формуле для решения задачи:

UH2 = 5/2*P*V.

Остается перевести единицы давления и объема из условия в систему единиц СИ, подставить соответствующие значения в формулу для UH2 и получить ответ: UH2 ≈ 76 кДж.

Жду ваши вопросы и мнения в комментариях