Как найти внутреннюю энергию газа зная работу

Термодинамика
в отличие от молекулярно-кинетической
теории, изучает физические свойства
макроскопических тел (термодинамических
систем), не вникая в их молекулярное
строение. Термодинамический метод
базируется на законе сохранения и
превращении энергии.

Физические
величины, характеризующие термодинамическую
систему, называются термодинамическими
параметрами. К ним относятся: объем,
давление, температура, концентрация и
др. Любое изменение в термодинамической
системе, связанное с изменением ее
параметров, называетсятермодинамическим
процессом, а уравнение, связывающее
между собой параметры системы, называетсяуравнением состояния. Примером
такого уравнения является уравнение
Менделеева — Клапейрона (6.1)

Внутренняя энергия идеального газа

Важнейшей
характеристикой термодинамической
системы является ее внутренняяэнергияU, складывающая
из потенциальной энергии взаимодействия
частиц системы и кинетической энергии
их теплового движения.

Внутренняя
энергия является функцией состояния
системы, т.е. в каждом состоянии система
обладает вполне определенным значением
внутренней энергии, не зависящим от
того, каким путем система перешла в это
состояние.

Так как в
идеальном газе потенциальная энергия
молекул равна нулю (считается, что
молекулы между собой не взаимодействуют),
то внутренняя энергия идеального газа
равна полной кинетической энергии всех
его молекул. Обозначив внутреннюю
энергию одного моля газа через U_μ,
а среднюю кинетическую энергию молекулы
через,
можем записать для одного моля газа:

U_μ
= N_A(6.18)

где N_A– число Авогадро.

Подставляя
значение
из формулы (6.12), получим внутреннюю
энергию для одного моля газа:

(6.19)

Если число молей
,
то для любого количества вещества

(6.20)

Следовательно,
внутренняя энергия газа пропорциональна
его массе, числу степеней свободы
молекулы и абсолютной температуре газа.

Первый закон термодинамики

Внутреннюю
энергию термодинамической системы
можно изменить за счет работы, которую
либо внешние тела совершают над ней,
либо сама система совершает над внешними
телами. Например, приложив внешнюю силу,
мы сжимаем газ, в результате чего его
температура повышается, а, следовательно,
увеличивается и внутренняя энергия.
Внутреннюю энергию можно изменить
также, передавая системе (или отнимая
у нее) некоторое количество теплоты.

Согласно закону
сохранения энергии, изменение внутренней
энергии системы должно равняться сумме
полученной ею теплоты и совершенной
над ней работы. Эта формулировка
закона сохранения энергии применительно
к термодинамическим системам носит
названиепервого закона термодинамики:

ΔU = Q – A

или

Q = ΔU
+ A (6.21)

Условимся
считать, что теплота положительна Q>0
тогда, когда она сообщается системе, а
работа положительна, когда система
совершает ее над внешними телами.

В дифференциальной
форме первый закон термодинамики имеет
вид:

dQ=dU+dA

Необходимо
подчеркнуть, что в отличие от внутренней
энергии, являющейся функцией состояния,
работа и количество теплоты зависят не
только от начального и конечного
состояний системы, но и от пути, по
которому происходило изменение ее
состояния. Следовательно, величины dQиdА не являются полными
дифференциалами, по которым может
производиться интегрирование. Для того,
чтобы подчеркнуть это обстоятельство
для бесконечно малых приращений тепла
и работы применяют более корректное
обозначение
Qи
Aи тогда первый закон примет вид:
Q=dU+
A(6.22)

Найдем в общем
виде работу, совершаемую газом, (рис.6.6,
а). Если газ, расширяясь, перемещает
поршень на расстояние dx,
то он производит работу (см. формулу
2.19):

Рис.6.6

A
= F · dx = P · S · dx = PdV,
(6.22)

где S– площадь
поршня;Sdx=dV– изменение объема газа в цилиндре.

Полная работа, совершаемая
газом при изменении его объема от V₁доV₂, равна:

или(6.23)

Графически
процесс изменения состояния газа при
его расширении изображается участком
кривой 1-2 в координатах Р – V(рис.6.6, б). Точки 1 и 2 соответствуют
начальному и конечному состояниям газа.
Элементарная работаPdVизображается заштрихованной площадью.
Полная работа, определяемая формулой
6.23, изображается площадьюV₁– 1 – 2 -V₂под кривой
1 – 2.

Теплоемкость
идеальных газов.

Количество
тепла, которое надо сообщить телу, чтобы
изменить его температуру на 1 К, называется
теплоемкостьютела С.

Согласно этому
определению

,
[С] = Дж/К
(6.24)

Теплоемкость
единицы массы вещества называется
удельной теплоемкостью С_уд

(6.25)

Теплоемкость
одного моля называется молярной
теплоемкостьюС_м.

,
[С_м] = Дж/моль · К
(6.26)

где ν = m/μ– число молей.

Как следует из
формул (6.25) и (6.26), удельная теплоемкость
связана с молярной соотношением:

С_м= С_уд· μ
(6.27)

Теплоемкость
газа зависит от того, при каких условиях
она определяется: при постоянном объеме
или постоянном давлении. Покажем это,
для чего запишем первый закон термодинамики
с учетом формулы (6.22):

δQ = dU + PdV
(6.28)

Если газ
нагревается при постоянном объеме
(изохорный процесс), то dV=0
и работа РdV= 0. В этом
случае δQ=dU,
т.е. передаваемое газу тепло идет только
на изменение его внутренней энергии.
Теплоемкость газа при постоянном объеме:

С учетом формулы
(6.20)

(6.29)

и тогда изохорная теплоемкость

(6.30)

Для одного моля
(m/µ = 1) молярная теплоемкость
при постоянном объеме

(6.31)

Теперь, с учетом
равенства (6.28), найдем теплоемкость при
постоянном давлении (изобарный процесс):

(6.32)

(при этом учли,
что dU/dT=C_V).
Из (6.32) следует, что С_P>C_V.
Это объясняется тем, что при нагревании
приP=constсообщенное газу тепло идет не только
на увеличение его внутренней энергии,
но и на совершение работы.

Для одного
моляидеального газа уравнение
Менделеева – Клапейрона имеет видPV=RTи потокуPdV=RdT.
Учитывая это, получимуравнение Майера,
выражающее связь междумолярнымитеплоемкостями при постоянном давлении
и постоянном объеме:

С_мр= С_mv+R(6.33)

Учитывая
выражение (6.31) можно записать в виде

(6.34)

При рассмотрении
термодинамических процессов важно
знать характерное для каждого газа
отношение С_Pк С_V:

(6.35)

Величина γ
называется коэффициентом Пуассона,i– число степеней
свободы молекул (см. рис.6.2).

Повышение
температуры приводит, как отмечалось
выше, к появлению колебательных степеней
свободы, в результате чего теплоемкость
возрастает. Наоборот, при низких
температурах число степеней свободы
уменьшается, так как «вымораживаются»
вращательные степени свободы и
теплоемкость газа уменьшается.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Первый закон термодинамики. Как рассказать просто о сложном?

Термодинамика — раздел физики, в котором изучаются процессы изменения и превращения внутренней энергии тел, а также способы использования внутренней энергии тел в двигателях.

05 июля 2019

1. Определение первого закона термодинамики

Термодинамика — раздел физики, в котором изучаются процессы изменения и превращения внутренней энергии тел, а также способы использования внутренней энергии тел в двигателях. Собственно, именно с анализа принципов первых тепловых машин, паровых двигателей и их эффективности и зародилась термодинамика. Можно сказать, что этот раздел физики начинается с небольшой, но очень важно работы молодого французского физика Николя Сади Карно.

Самым важным законом, лежащим в основе термодинамики является первый закон или первое начало термодинамики. Чтобы понять суть этого закона, для начала, вспомним что называется внутренней энергией. ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ тела — это энергия движения и взаимодействия частиц, из которых оно состоит. Нам хорошо известно, что внутреннюю энергию тела можно изменить, изменив температуру тела. А изменять температуру тела можно двумя способами:

1. совершая работу (либо само тело совершает работу, либо над телом совершают работу внешние силы);
2. осуществляя теплообмен — передачу внутренней энергии от одного тела к другому без совершения работы.

Нам, также известно, что работа, совершаемая газом, обозначается А_г, а количество переданной или полученной внутренней энергии при теплообмене называется количеством теплоты и обозначается Q. Внутреннюю энергию газа или любого тела принято обозначать буквой U, а её изменение, как и изменение любой физической величины, обозначается с дополнительным знаком Δ, то есть ΔU.

Сформулируем ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ для газа. Но, прежде всего, отметим, что когда газ получает некоторое количество теплоты от какого-либо тела, то его внутренняя энергия увеличивается, а когда газ совершает некоторую работу, то его внутренняя энергия уменьшается. Именно поэтому первый закон термодинамики имеет вид:

ΔU = Q — A_г

Так как работа газа и работа внешних сил над газом равны по модулю и противоположны по знаку, то первый закон термодинамики можно записать в виде:

ΔU = Q + A_внеш.

Понять суть этого закона довольно просто, ведь изменить внутреннюю энергию газа можно двумя способами: либо заставить его совершить работу или совершить над ним работу, либо передать ему некоторое количество теплоты или отвести от него некоторое количество теплоты.

2. Первый закон термодинамики в процессах

Применительно к изопроцессам первый закон термодинамики может быть записан несколько иначе, учитывая особенности этих процессов. Рассмотрим три основных изопроцесса и покажем, как будет выглядеть формула первого закона термодинамики в каждом из них.

1. Изотермический процесс — это процесс, происходящий при постоянной температуре. С учётом того, что количество газа также неизменно, становится ясно, что так как внутренняя энергия зависит от температуры и количества газа, то в этом процессе она не изменяется, то есть U = const, а значит ΔU = 0, тогда первый закон термодинамики будет иметь вид: Q = A_г.
2. Изохорный процесс — это процесс, происходящий при постоянном объёме. То есть в этом процессе газ не расширяется и не сжимается, а значит не совершается работа ни газом, ни над газом, тогда Аг = 0 и первый закон термодинамики приобретает вид: ΔU = Q.
3. Изобарный процесс — это процесс, при котором давление газа неизменно, но и температура, и объём изменяются, поэтому первый закон термодинамики имеет самый общий вид: ΔU = Q — А_г.
4. Адиабатный процесс — это процесс, при котором теплообмен газа с окружающей средой отсутствует (либо газ находится в теплоизолированном сосуде, либо процесс его расширения или сжатия происходит очень быстро). То есть в таком процессе газ не получает и не отдаёт количества теплоты и Q = 0. Тогда первый закон термодинамики будет иметь вид: ΔU = —А_г.

3. Применение

Первое начало термодинамики (первый закон) имеет огромное значение в этой науке. Вообще понятие внутренней энергии вывело теоретическую физику 19 века на принципиально новый уровень. Появились такие понятия как термодинамическая система, термодинамическое равновесие, энтропия, энтальпия. Кроме того, появилась возможность количественного определения внутренней энергии и её изменения, что в итоге привело учёных к пониманию самой природы теплоты, как формы энергии.

Ну, а если говорить о применении первого закона термодинамики в каких-либо задачах, то для этого необходимо знать два важных факта. Во-первых, внутренняя энергия идеального одноатомного газа равна:  а во-вторых, работа газа численно равна площади фигуры под графиком данного процесса, изображённого в координатах p—V. Учитывая это, можно вычислять изменение внутренней энергии, полученное или отданное газом количество теплоты и работу, совершённую газом или над газом в любом процессе. Можно также определять коэффициент полезного действия двигателя, зная какие процессы в нём происходят.

4. Методические советы учителям

1. Обязательно обратить внимание учащихся на знаки работы газа, количества теплоты и изменения внутренней энергии и научить их по графику процесса в координатах р—V определять эти знаки, для чего удобно использовать подобную таблицу:

   Процесс	р	V	T	U	ΔU	Aг	Q

2. Лучше всего, рассмотреть не только сам вид первого закона термодинамики в различных процессах, но и способы расчёта всех входящих в него величин.
3. Обязательно на конкретных примерах, как числовых, так и графических, показать применение первого закона термодинамики.
4. Уделить особое внимание процессу, в котором давление линейно зависит от объёма — с графиками и примерами применения к этому процессу первого закона термодинамики.
5. Показать примеры на расчёт коэффициента полезного действия по графику циклического процесса с применением первого закона термодинамики и формул работы газа и изменения его внутренней энергии.

#ADVERTISING_INSERT#

Решение задач – занятие, которое любит далеко не каждый. Здесь мы стараемся сделать так, чтобы оно занимало у вас поменьше времени без ущерба для качества самого решения. Тема этой статьи — задачи на внутреннюю энергию.

Подписывайтесь на наш телеграм и читайте полезные материалы для студентов каждый день!

Решение задач: внутренняя энергия

Прежде чем приступать к задачам на внутреннюю энергию тела, посмотрите общую памятку по решению физических задач. И пусть под рукой на всякий случай всегда будут основные физические формулы.

Задача №1. Изменение внутренней энергии

Условие

Воздушный шар объёмом 500 м3 наполнен гелием под давлением 105 Па. В результате нагрева температура газа в аэростате поднялась от 10 °С до 25 °С. Как увеличилась внутренняя энергия газа?

Решение

Для решения будем использовать формулу внутренней энергии идеального газа:

Массу гелия выразим из уравнения Клапейрона-Менделеева:

Тогда можно записать:

Ответ: 4 МДж.

Задача №2. Внутренняя энергия и работа

Условие

Азот массой 200 г расширяется изотермически при температуре 280 К, причем объём газа увеличивается в 2 раза. Найти:

1. Изменение ∆U внутренней энергии газа.
2. Совершенную при расширении газа работу А.
3. Количество теплоты Q, полученное газом.

Решение

Так как процесс изотермический, то изменение внутренней энергии равно нулю, а работа равна количеству теплоты, полученному газом:

Ответ: 0; 11,6 кДж; 11,6 кДж.

Задача №3. Изменение внутренней энергии при изобарном и изохорном процессе

Условие 

Кислород занимает объём V1= 3 л при давлении p1= 820 кПа. В результате изохорного нагревания и изобарного расширения газ переведён в состояние с объёмом V2= 4,5 л и давлением p2= 600 кПа. Найти количество теплоты, полученное газом; изменение внутренней энергии газа. 

Решение

Теплота, подведенная к газу, идет на совершение работы и изменение внутренней энергии:

В изохорном и изобарном процессе соответственно:

Изохорное нагревание:

Изменение внутренней энергии при изохорном процессе:

Изменение внутренней энергии при изобарном процессе:

Общее изменение внутренней энергии:

Ответ: 4,75 кДж.

Задача №4. Изменение внутренней энергии двухатомного газа

Условие

Кислород массой 2 кг занимает объём 6 м3 и находится под давлением 1 атм. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объёма 13 м3, а затем при постоянном объёме – до давления 23 атм. Найти изменение внутренней энергии газа.

Решение

Изменение внутренней энергии находим по формуле:

Эту форму можно преобразовать, используя уравнение Клапейрона-Менделеева:

Ответ: 75,7 МДж.

Задача №5. Внутренняя энергия смеси газов

Условие

В закрытом сосуде находится масса m1 = 20 г азота и масса m2 = 32 г кислорода. Определить изменение ΔU внутренней энергии смеси газов при охлаждении ее на ΔТ = 28 К. 

Решение

Знак «минус» означает, что внутренняя энергия уменьшается.

Ответ: -539 Дж.

Вопросы на тему «Внутренняя энергия тела»

Вопрос 1. Что такое внутренняя энергия?

Ответ. Для начала, внутренняя энергия чего? Бутылки с пивом, воздуха в шарике, тазика с водой? Все макроскопические тела обладают энергией, заключенной внутри них: атомы твердого тела колеблются в кристаллической решетке около положений равновесия, молекулы газа находятся в постоянном хаотическом движении и т.д.

По определению:

Внутренняя энергия вещества – это энергия, которая складывается из кинетической энергии всех атомов и молекул, и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом.

Для идеального газа с числом степеней свободы i внутренняя энергия вычисляется по формуле:

Вопрос 2. От чего зависит внутренняя энергия идеального газа?

Ответ. Эта величина не зависит от объёма и определяется только температурой.

Вопрос 3. Как изменяется внутренняя энергия тела?

Ответ. Если тело совершает работу, его внутренняя энергия уменьшается. Например, газ передвигает поршень. Если же работа совершается над телом, то внутренняя энергия увеличивается.

Вопрос 4. Что такое функция состояния?

Ответ. Функция состояния – это один из параметров, которым можно описать термодинамическую систему. Функция состояния не зависит от того, как система пришла в то или иное состояние, а определяется несколькими переменными состояния.
Внутренняя энергия – это функция состояния термодинамической системы. В общем случае она зависит от температуры и объёма. 

Вопрос 5. Можно ли изменить внутреннюю энергию тела, не совершая над ним работы?

Ответ. Да, еще один способ изменения внутренней энергии – теплопередача. В процессе теплопередачи внутренняя энергия тел изменяется.

Нужна помощь в решении задач по любой теме и других студенческих заданий? Профессиональный студенческий сервис поспособствует в выполнении работы вне зависимости от ее сложности.

Определение

Числом степеней свободы механической системы называют количество независимых величин, с помощью которых может быть задано положение системы.

Внутренняя энергия идеального газа представляет собой сумму только кинетической энергии всех молекул, а потенциальной энергией взаимодействия можно пренебречь:

U=∑Ek0=NEk0=mNAM·ikT2=i2·mMRT=i2νRT=i2pV

i — степень свободы. i = 3 для одноатомного (или идеального) газа, i = 5 для двухатомного газа, i = 6 для трехатомного газа и больше.

Изменение внутренней энергии идеального газа в изопроцессах

Основная формула	ΔU=32·mMRT=32νRT=32νR(T2−T1)
Изотермический процесс	ΔU=0 Температура при изотермическом процессе — величина постоянная. Так как внутренняя энергия идеального газа постоянной массы в замкнутой системе зависит только от изменения температуры, то она тоже остается постоянной.
Изобарное расширение	ΔU=32νR(T2−T1)=32(pV2−pV1)=32pΔV
Изохорное увеличение давления	ΔU=32νR(T2−T1)=32(p2V−p1V)=32VΔp
Произвольный процесс	ΔU=32νR(T2−T1)=32(p2V2−p1V1)

Пример №1. На рисунке показан график циклического процесса, проведенного с идеальным газом. На каком из участков внутренняя энергия газа уменьшалась?

Внутренняя энергия газа меняется только при изменении температуры. Так как она прямо пропорциональная температуре, то уменьшается она тогда, когда уменьшается и температура. Температура падает на участке 3.

Работа идеального газа

Если газ, находящийся под поршнем, нагреть, то, расширяясь, он поднимет поршень, т.е. совершит механическую работу.

Механическая работа вычисляется по формуле:

A=Fscosα

Перемещение равно разности высот поршня в конечном и начальном положении:

s=h2−h1

Также известно, что сила равна произведению давления на площадь, на которое это давление оказывается. Учтем, что направление силы и перемещения совпадают. Поэтому косинус будет равен единице. Отсюда работа идеального газа равна произведению давления на площадь поршня:

Работа идеального газа

F=pS

p — давление газа, S — площадь поршня

Работа, необходимая для поднятия поршня — полезная работа. Она всегда меньше затраченной работы, которая определяется изменением внутренней энергии идеального газа при изобарном расширении:

A‘=p(V2−V1)=pΔV>0

Внимание! Знак работы определяется только знаком косинуса угла между направлением силы, действующей на поршень, и перемещением этого поршня.

Работа идеального газа при изобарном сжатии:

A‘=p(V2−V1)=pΔV<0

Работа идеального газа при нагревании газа:

A‘=νRΔT=νR(T2−T1)=mMνRΔT

Внимание! В изохорном процессе работа, совершаемая газом, равна нулю, так как работа газа определяется изменением его объема. Если изменения нет, работы тоже нет.

Геометрический смысл работы в термодинамике

В термодинамике для нахождения работы можно вычислить площадь фигуры под графиком в осях (p, V).

Примеры графических задач

Изобарное расширение: A‘=p(V2−V1) A‘>0
Изобарное сжатие: A‘=p(V2−V1) A‘<0
Изохорное охлаждение: V=const A‘=0
Изохорное охлаждение и изобарное сжатие: 1–2: A‘=0 2–3: A‘=pΔV<0
Замкнутый цикл: 1–2: A‘>0 2–3: A‘=0 3–4: A‘<0 4–1: A‘=0 A‘=(p1−p3)(V2−V1)
Произвольный процесс: A‘=p1+p22(V2−V1)

Пример №2. На pV-диаграмме показаны два процесса, проведенные с одним и тем же количеством газообразного неона. Определите отношение работ A₂ к A₁ в этих процессах.

Неон — идеальный газ. Поэтому мы можем применять формулы, применяемые для нахождения работы идеального газа. Работа равна площади фигуры под графиком. С учетом того, что в обоих случаях изобарное расширение, получим:

A2=p(V2−V1)=4p(5V−3V)=4p2V=8pV

A1=p(V2−V1)=p(5V−V)=4pV

Видно, что работа, совершенная во втором процессе, вдвое больше работы, совершенной газом в первом процессе.

Алиса Никитина | Просмотров: 15.2k