Как найти внутреннюю энергию при постоянном объеме

Определение

Числом степеней свободы механической системы называют количество независимых величин, с помощью которых может быть задано положение системы.

Внутренняя энергия идеального газа представляет собой сумму только кинетической энергии всех молекул, а потенциальной энергией взаимодействия можно пренебречь:

U=∑Ek0=NEk0=mNAM·ikT2=i2·mMRT=i2νRT=i2pV

i — степень свободы. i = 3 для одноатомного (или идеального) газа, i = 5 для двухатомного газа, i = 6 для трехатомного газа и больше.

Изменение внутренней энергии идеального газа в изопроцессах

Основная формула	ΔU=32·mMRT=32νRT=32νR(T2−T1)
Изотермический процесс	ΔU=0 Температура при изотермическом процессе — величина постоянная. Так как внутренняя энергия идеального газа постоянной массы в замкнутой системе зависит только от изменения температуры, то она тоже остается постоянной.
Изобарное расширение	ΔU=32νR(T2−T1)=32(pV2−pV1)=32pΔV
Изохорное увеличение давления	ΔU=32νR(T2−T1)=32(p2V−p1V)=32VΔp
Произвольный процесс	ΔU=32νR(T2−T1)=32(p2V2−p1V1)

Пример №1. На рисунке показан график циклического процесса, проведенного с идеальным газом. На каком из участков внутренняя энергия газа уменьшалась?

Внутренняя энергия газа меняется только при изменении температуры. Так как она прямо пропорциональная температуре, то уменьшается она тогда, когда уменьшается и температура. Температура падает на участке 3.

Работа идеального газа

Если газ, находящийся под поршнем, нагреть, то, расширяясь, он поднимет поршень, т.е. совершит механическую работу.

Механическая работа вычисляется по формуле:

A=Fscosα

Перемещение равно разности высот поршня в конечном и начальном положении:

s=h2−h1

Также известно, что сила равна произведению давления на площадь, на которое это давление оказывается. Учтем, что направление силы и перемещения совпадают. Поэтому косинус будет равен единице. Отсюда работа идеального газа равна произведению давления на площадь поршня:

Работа идеального газа

F=pS

p — давление газа, S — площадь поршня

Работа, необходимая для поднятия поршня — полезная работа. Она всегда меньше затраченной работы, которая определяется изменением внутренней энергии идеального газа при изобарном расширении:

A‘=p(V2−V1)=pΔV>0

Внимание! Знак работы определяется только знаком косинуса угла между направлением силы, действующей на поршень, и перемещением этого поршня.

Работа идеального газа при изобарном сжатии:

A‘=p(V2−V1)=pΔV<0

Работа идеального газа при нагревании газа:

A‘=νRΔT=νR(T2−T1)=mMνRΔT

Внимание! В изохорном процессе работа, совершаемая газом, равна нулю, так как работа газа определяется изменением его объема. Если изменения нет, работы тоже нет.

Геометрический смысл работы в термодинамике

В термодинамике для нахождения работы можно вычислить площадь фигуры под графиком в осях (p, V).

Примеры графических задач

Изобарное расширение: A‘=p(V2−V1) A‘>0
Изобарное сжатие: A‘=p(V2−V1) A‘<0
Изохорное охлаждение: V=const A‘=0
Изохорное охлаждение и изобарное сжатие: 1–2: A‘=0 2–3: A‘=pΔV<0
Замкнутый цикл: 1–2: A‘>0 2–3: A‘=0 3–4: A‘<0 4–1: A‘=0 A‘=(p1−p3)(V2−V1)
Произвольный процесс: A‘=p1+p22(V2−V1)

Пример №2. На pV-диаграмме показаны два процесса, проведенные с одним и тем же количеством газообразного неона. Определите отношение работ A₂ к A₁ в этих процессах.

Неон — идеальный газ. Поэтому мы можем применять формулы, применяемые для нахождения работы идеального газа. Работа равна площади фигуры под графиком. С учетом того, что в обоих случаях изобарное расширение, получим:

A2=p(V2−V1)=4p(5V−3V)=4p2V=8pV

A1=p(V2−V1)=p(5V−V)=4pV

Видно, что работа, совершенная во втором процессе, вдвое больше работы, совершенной газом в первом процессе.

Алиса Никитина | Просмотров: 15.1k

При
изучении тепловых явлений наряду с
механической энергией тел вводится
новый вид энергии —
внутренняя
энергия. Вычислить внутреннюю энергию
идеального газа не составляет большого
труда.

Наиболее
прост по своим свойствам одноатомный
газ, т. е. газ, состоящий из отдельных
атомов, а не молекул. Одноатомными
являются инертные газы — гелий, неон,
аргон и др. Можно получить одноатомный
(атомарный) водород, кислород и т. д.
Однако такие газы будут неустойчивыми,
так как при столкновениях атомов
образуются молекулы Н₂,
О₂
и др.

Молекулы
идеального газа не взаимодействуют
друг с другом, кроме моментов
непосредственного столкновения. Поэтому
их средняя потенциальная энергия очень
мала и вся
энергия представляет собой кинетическую
энергию хаотического движения молекул.
Это,
конечно, справедливо, если сосуд с газом
покоится, т. е. газ как целое не движется
(его центр масс находится в покое). В
этом случае упорядоченное движение
отсутствует и механическая энергия
газа равна нулю. Газ обладает энергией,
которую называют внутренней.

Для
вычисления внутренней энергии идеального
одноатомного газа массой т
нужно
умножить среднюю энергию одного атома,
выражаемую формулой (4.5.5), на число
атомов. Это число равно произведению
количества вещества

на
постоянную Авогадро N_A.

Умножая
выражение (4.5.5) на
,
получим
внутреннюю энергию идеального одноатомного
газа:

(4.8.1)

Внутренняя
энергия идеального газа прямо
пропорциональна его абсолютной
температуре. От
объема газа она не зависит. Внутренняя
энергия газа представляет собой среднюю
кинетическую энергию всех его атомов.

Если
центр масс газа движется со скоростью
v₀,
то
полная энергия газа равна сумме
механической (кинетической) энергии
и внутренней энергииU:

(4.8.2)

Внутренняя энергия молекулярных газов

Внутренняя энергия
одноатомного газа (4.8.1) — это по существу
средняя кинетическая энергия
поступательного движения молекул. В
отличие от атомов молекулы, лишенные
сферической симметрии, могут еще
вращаться. Поэтому наряду с кинетической
энергией поступательного движения
молекулы обладают и кинетической
энергией вращательного движения.

В
классической молекулярно-кинетической
теории атомы и молекулы рассматриваются
как очень маленькие абсолютно твердые
тела. Любое тело в классической механике
характеризуется определенным числом
степеней свободы
f
— числом независимых переменных
(координат), однозначно определяющих
положение тела в пространстве.
Соответственно число независимых
движений, которые тело может совершать,
также равно f.
Атом
можно рассматривать как однородный
шарик с числом степеней свободы f
=
3 (рис. 4.16, а). Атом может совершать только
поступательное движение по трем
независимым взаимно перпендикулярным
направлениям. Двухатомная молекула
обладает осевой симметрией (рис. 4.16, б)
и
имеет пять степеней свободы. Три степени
свободы соответствуют ее поступательному
движению и две — вращательному вокруг
двух осей, перпендикулярных друг другу
и оси симметрии (линии, соединяющей
центры атомов в молекуле). Многоатомная
молекула, подобно, твердому телу
произвольной формы, характеризуется
шестью степенями свободы (рис. 4.16, в);
наряду
с поступательным движением молекула
может совершать вращения вокруг трех
взаимно перпендикулярных осей.

Рис. 4.16

От числа степеней
свободы молекул зависит внутренняя
энергия газа. Вследствие полной
беспорядочности теплового движения ни
один из видов движения молекулы не имеет
преимущества перед другим. На каждую
степень свободы, соответствующую
поступательному или вращательному
движению молекул, приходится одна и та
же средняя кинетическая энергия. В этом
состоит теорема о равномерном распределении
кинетической энергии по степеням свободы
(она строго доказывается в статистической
механике).

Средняя
кинетическая энергия поступательного
движения молекул равна
.
Поступательному
движению соответствуют три степени
свободы. Следовательно, средняя
кинетическая энергия
,
приходящаяся на одну степень свободы,
равна:

(4.8.3)

Если
эту величину умножить на число степеней
свободы и число молекул газа массой т,
то
получится внутренняя энергия произвольного
идеального газа:

(4.8.4)

Эта
формула отличается от формулы (4.8.1) для
одноатомного газа заменой множителя 3
на множитель f.

Внутренняя
энергия идеального газа прямо
пропорциональна абсолютной температуре
и не зависит от объема газа.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

На этой странице вы можете рассчитать внутреннюю энергию идеального газа с помощью калькулятора онлайн или самостоятельно по формулам.

Формула внутренней энергии идеального газа через массу, молярную массу и температуру

Формула внутренней энергии идеального газа через давление и объем

Формула внутренней энергии идеального газа через количество вещества и температуру

Формула внутренней энергии идеального газа через степени свободы

Количество степеней свободы молекулы идеального газа

• для одноатомного газа (гелий, неон, аргон, криптон, ксенон, радон, оганесон и т. д.) i=3;
• для двухатомного газа (водород, азот, кислород, фтор, хлор и т. д.) i=5;
• для трехатомного газа i=6;
• для многоатомного (>3) газа i=6;

Решение задач – занятие, которое любит далеко не каждый. Здесь мы стараемся сделать так, чтобы оно занимало у вас поменьше времени без ущерба для качества самого решения. Тема этой статьи — задачи на внутреннюю энергию.

Подписывайтесь на наш телеграм и читайте полезные материалы для студентов каждый день!

Решение задач: внутренняя энергия

Прежде чем приступать к задачам на внутреннюю энергию тела, посмотрите общую памятку по решению физических задач. И пусть под рукой на всякий случай всегда будут основные физические формулы.

Задача №1. Изменение внутренней энергии

Условие

Воздушный шар объёмом 500 м3 наполнен гелием под давлением 105 Па. В результате нагрева температура газа в аэростате поднялась от 10 °С до 25 °С. Как увеличилась внутренняя энергия газа?

Решение

Для решения будем использовать формулу внутренней энергии идеального газа:

Массу гелия выразим из уравнения Клапейрона-Менделеева:

Тогда можно записать:

Ответ: 4 МДж.

Задача №2. Внутренняя энергия и работа

Условие

Азот массой 200 г расширяется изотермически при температуре 280 К, причем объём газа увеличивается в 2 раза. Найти:

1. Изменение ∆U внутренней энергии газа.
2. Совершенную при расширении газа работу А.
3. Количество теплоты Q, полученное газом.

Решение

Так как процесс изотермический, то изменение внутренней энергии равно нулю, а работа равна количеству теплоты, полученному газом:

Ответ: 0; 11,6 кДж; 11,6 кДж.

Задача №3. Изменение внутренней энергии при изобарном и изохорном процессе

Условие 

Кислород занимает объём V1= 3 л при давлении p1= 820 кПа. В результате изохорного нагревания и изобарного расширения газ переведён в состояние с объёмом V2= 4,5 л и давлением p2= 600 кПа. Найти количество теплоты, полученное газом; изменение внутренней энергии газа. 

Решение

Теплота, подведенная к газу, идет на совершение работы и изменение внутренней энергии:

В изохорном и изобарном процессе соответственно:

Изохорное нагревание:

Изменение внутренней энергии при изохорном процессе:

Изменение внутренней энергии при изобарном процессе:

Общее изменение внутренней энергии:

Ответ: 4,75 кДж.

Задача №4. Изменение внутренней энергии двухатомного газа

Условие

Кислород массой 2 кг занимает объём 6 м3 и находится под давлением 1 атм. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объёма 13 м3, а затем при постоянном объёме – до давления 23 атм. Найти изменение внутренней энергии газа.

Решение

Изменение внутренней энергии находим по формуле:

Эту форму можно преобразовать, используя уравнение Клапейрона-Менделеева:

Ответ: 75,7 МДж.

Задача №5. Внутренняя энергия смеси газов

Условие

В закрытом сосуде находится масса m1 = 20 г азота и масса m2 = 32 г кислорода. Определить изменение ΔU внутренней энергии смеси газов при охлаждении ее на ΔТ = 28 К. 

Решение

Знак «минус» означает, что внутренняя энергия уменьшается.

Ответ: -539 Дж.

Вопросы на тему «Внутренняя энергия тела»

Вопрос 1. Что такое внутренняя энергия?

Ответ. Для начала, внутренняя энергия чего? Бутылки с пивом, воздуха в шарике, тазика с водой? Все макроскопические тела обладают энергией, заключенной внутри них: атомы твердого тела колеблются в кристаллической решетке около положений равновесия, молекулы газа находятся в постоянном хаотическом движении и т.д.

По определению:

Внутренняя энергия вещества – это энергия, которая складывается из кинетической энергии всех атомов и молекул, и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом.

Для идеального газа с числом степеней свободы i внутренняя энергия вычисляется по формуле:

Вопрос 2. От чего зависит внутренняя энергия идеального газа?

Ответ. Эта величина не зависит от объёма и определяется только температурой.

Вопрос 3. Как изменяется внутренняя энергия тела?

Ответ. Если тело совершает работу, его внутренняя энергия уменьшается. Например, газ передвигает поршень. Если же работа совершается над телом, то внутренняя энергия увеличивается.

Вопрос 4. Что такое функция состояния?

Ответ. Функция состояния – это один из параметров, которым можно описать термодинамическую систему. Функция состояния не зависит от того, как система пришла в то или иное состояние, а определяется несколькими переменными состояния.
Внутренняя энергия – это функция состояния термодинамической системы. В общем случае она зависит от температуры и объёма. 

Вопрос 5. Можно ли изменить внутреннюю энергию тела, не совершая над ним работы?

Ответ. Да, еще один способ изменения внутренней энергии – теплопередача. В процессе теплопередачи внутренняя энергия тел изменяется.

Нужна помощь в решении задач по любой теме и других студенческих заданий? Профессиональный студенческий сервис поспособствует в выполнении работы вне зависимости от ее сложности.

Исторический экскурс

На середину XVII века приходится период расцвета экспериментальной физики. Во время опытов с заполненной ртутью стеклянной трубкой — прообразом барометра — Э. Торричелли в 1643 году обнаружил, что воздух имеет массу. Через девять лет в городе Магдебурге Отто фон Герике публично поставил эксперимент с медными полушариями, который наглядно продемонстрировал наличие атмосферного давления.

В 1662 году англичанин Р. Бойль установил, что при постоянной массе и температуре произведение давления газа на объём является величиной, которая не изменяется. Открытие стало одним из фундаментальных газовых законов, получившим имя Бойля-Мариотта.

В 1802 году французский академик Ж. Л. Гей-Люссак опубликовал статью, в которой сформулировал закон объёмов. По утверждению профессора химии, при постоянном давлении и массе между объёмом и температурой газа наблюдается прямо пропорциональная зависимость. При этом исследователь установил, что коэффициент изменения объёма одинаков для любой газовой среды.

В 30-х годах XIX столетия Гей-Люссак и офицер французской армии Николя Сади Карно независимо друг от друга объединили в одном уравнении законы Бойля-Мариотта и Шарля-Гей-Люссака. Однако математическому выражению, описывающему состояние газового тела, присвоили имя Б. Клапейрона, который в 1834 году подробно изложил идеи предшественников в мемуаре «О движущей силе огня». Во второй половине XIX века немецкий физик Р. Клаузиус опубликовал труды по теории термодинамики, где впервые ввел понятие «идеальный газ».

Значительным шагом в описании состояния идеального газа стал переход к универсальной газовой постоянной, которая обозначается физиками латинской буквой R. Первую математическую формулировку представил русский военный инженер И. П. Алымов в статьях, опубликованных в выпусках «Морского сборника» за 1861 и 1864 гг. Те же результаты получил Д. И. Менделеев в 1874 году.

Итогом работы великого русского химика стала формула идеального газа, которая в современной науке носит название уравнения Менделеева-Клапейрона:

P ∙ V = R ∙ T, где:

• P — давление газа.
• V — объём в молях.
• R — универсальная газовая постоянная.
• T — температура газовой среды.

Теоретическая формулировка

Элементарные частицы тела, обладая кинетической энергией, находятся в постоянном хаотическом движении. А также молекулы и атомы взаимодействуют между собой посредством электрических сил отталкивания и притяжения, что свидетельствует о наличии потенциальной энергии. Кроме того, энергией обладают электроны в атомах. Таким образом, тело наполнено силой, слагаемые которой имеют различную природу.

Компоненты внутренней энергии объекта, не подверженному внешнему воздействию:

• кинетическое движение частиц;
• потенциальное межмолекулярное взаимодействие;
• электронные силы;
• внутриядерная энергия.

При теоретическом изучении процессов термодинамики используется понятие «идеальный газ». Упрощённая модель газообразного тела, в отличие от реального газа, предполагает отсутствие гравитационного и электромагнитного взаимодействия между атомами вещества, а также не берётся во внимание энергия ядра. При этом движение молекул, которые представляются материальными точками, не имеющими объёма, ограничивается упругим соударением.

Теория термодинамики предлагает следующую формулировку: «В идеальном газе внутренняя энергия определяется суммарной кинетической энергией теплового движения составляющих его молекул». В Международной системе единиц СИ за единицу измерения энергии принят Джоуль.

В термодинамике главным свойством энергии является функция состояния системы в конкретный момент времени. Поэтому изменение энергии зависит от первоначальных и конечных параметров газового тела и происходит при совершении механической работы или путём теплопередачи. Если работа совершается самим газовым объектом, то внутренняя энергия уменьшается. В случае внешнего физического воздействия энергетический потенциал газового тела увеличивается.

Теплопередачей считается переход внутренней энергии без механического воздействия на газовую среду. Иногда этот процесс называют теплообменом. Существуют следующие разновидности явления:

• Теплопроводность.
• Конвекция.
• Тепловое излучение.

Теплопроводность веществ

При нахождении тела в области повышенной температуры, например, под пламенем горелки или в горячей воде, атомы начинают совершать интенсивные колебательные движения. Тем самым увеличивается кинетическая энергия соседних частиц и происходит постепенная передача теплоты от участка к участку. Таким образом, теплопроводностью называется перенос энергии от тёплых фрагментов объекта к холодным посредством теплового движения частиц среды.

Лучшими тепловыми проводниками являются металлы. Меньшую теплопроводность имеют жидкости, а хуже всего передают тепло газы. Предметы из плотного материала проводят тепло лучше, чем тела из пористого вещества.

Явление конвекции

Если в газообразную среду поместить горячий предмет, то нагретая субстанция устремится вверх. Освободившееся пространство заполнит газ с меньшей температурой. Аналогичное явление наблюдается в жидкостях.

Конвекцией называется перемещение внутренней энергии в процессе циркуляции газовых или жидкостных потоков, приводящей к перемешиванию вещества. За счёт конвекции, например, происходит обогрев помещений с помощью отопительных приборов. Перемещение воздушных масс в атмосфере также основано на принципах конвекции.

Тепловое излучение

Как известно, атомы состоят из заряженных положительно протонов, вокруг которых вращаются электроны, имеющие отрицательный заряд. Хаотическое движение элементарных частиц порождает электрические поля. Принято считать, что тепловое излучение является проявлением электромагнитных волн, которые возникают в результате теплового колебания атомов.

Тепловое излучение, способное распространяться в любом веществе и вакууме, испускает каждое тело. Влияние данного явления испытывает человек, который решил погреться под солнечными лучами. Наглядно увидеть тепловое излучение позволяют приборы ночного видения.

Математическое выражение

Согласно теоретическому определению идеального газа, внутренний потенциал слагается из кинетических энергий всех частиц. На языке математике это выражается следующей формулой:

U = N ∙ (Ek),

где: U — внутренняя энергия тела;

N — количество элементарных частиц;

Ek — кинетическая энергия одной молекулы.

Число молекул определяется по формуле:

N = ν ∙ NA,

где: ν — количество вещества;

NA — постоянная Авогадро, константа, равная 6,02 ∙ 10²³ моль^-1

Энергия движения молекулы вычисляется из уравнения:

Ek = (i/2) ∙ k ∙ T,

где: i — количество степеней свободы, которые полностью определяют пространственное положение системы;

k — постоянная Больцмана, значение которой равно 1,38 ∙ 10^-23 Дж/К;

T — температура объекта измеряется по абсолютной шкале Кельвина.

Постановка уравнений количества молекул и кинетической энергии в формулу даёт следующее выражение:

U = (i/2) ∙ ν ∙ k ∙ NA ∙ T.

Произведение постоянных величин (k ∙ NA) называется универсальной газовой постоянной R, которая равна 8,31 Дж/(моль ∙ К). Тогда формула изменения внутренней энергии газа принимает окончательный вид:

∆U = (i/2) ∙ ν ∙ R ∙ ∆T,

где ∆T — разница между начальной и конечной температурой газового тела.

Полная кинетическая энергия складывается из поступательного и вращательного движения частиц. В одноатомном газе отсутствует вращательное движение молекул. В многоатомном газе необходимо принимать во внимание вращение молекул. Соотношение поступательного и вращательного моментов учитывается законом распределения энергии по степеням свободы. Это правило утверждает, что на одну степень свободы i приходится ½ ∙ (k ∙ T) всей энергии.

Таблица 1. Зависимость числа степеней свободы от количества атомов в молекуле.

Количество атомов в молекуле газа	Количество степеней свободы i
Поступательное движение	Вращательное движение	всего
Один	3	—	3
Два	3	2	5
Три и больше	3	3	6

Решение практической задачи

Задача.

Термоизолированный баллон, заполненный водородом, чья молярная масса равна 2,00 г/моль, движется со скоростью 250 м/с. Как изменится газовая температура при мгновенной остановке сосуда, теплоёмкостью которого можно пренебречь?

Решение.

Полная энергия газового тела W складывается из энергии водорода U и кинетической энергии движущегося тела E, или W = U + E. При движении сосуда:

W₁ = U₁ + E₁ = [(i/2) ∙ ν ∙ R ∙ T₁] + [mv²/2] = [(5/2) ∙ (m/M) ∙ R ∙ T₁] + [mv²/2],

где i = 5, так как молекула водорода состоит из двух атомов;

ν — является частным от деления массы газа m на молярную массу водорода M;

R — универсальная газовая постоянная;

T₁ — начальная температура газа;

v — скорость движения.

После остановки сосуда, когда E₂ = 0, полная энергия равна:

W₂ = U₂+ E₂ = [(i/2) ∙ ν ∙ R ∙ T₂] = [(5/2) ∙ (m/M) ∙ R ∙ T₂], где T₂ — конечная температура газа.

Поскольку в термоизолированном баллоне не происходит теплообмена между окружающей средой и газом, то можно записать:

W₁ = W₂, или [(5/2) ∙ (m/M) ∙ R ∙ T₁] + [mv²/2] = [(5/2) ∙ (m/M) ∙ R ∙ T₂].

Из полученного уравнения можно найти разность температур:

∆T = (v² ∙ M)/(5 ∙ R), или [(250)²∙ 2,0 ∙ 10ˉ³]/[5 ∙ 8,31] = 3 K.

Ответ. При мгновенной остановке баллона с водородом температура газа повысится на 3 градуса по шкале Кельвина.

Законы термодинамики изучаются в старших классах общеобразовательной школы. Понимание смысла теории идеального газа поможет на выпускном экзамене, а умение решать задачи облегчит применение знаний на практике.