Как найти время через которое встретятся поезда

Задачи на движение навстречу друг другу (встречное движение) — один из трех основных видов задач на движение.

Если два объекта движутся навстречу друг другу, то они сближаются:

Чтобы найти скорость сближения двух объектов, движущихся навстречу друг другу, надо сложить их скорости:  

   

Скорость сближения больше, чем скорость каждого из них.

Скорость, время и расстояние связаны между собой формулой пути:

   

Рассмотрим некоторые задачи на встречное движение.

Задача 1

Два велосипедиста выехали навстречу друг другу. Скорость одного из низ 12 км/ч, а другого — 10 км/ч. Через 3 часа они встретились. Какое расстояние было между ними в начале пути?

Решение:

Условие задач на движение удобно оформлять в виде таблицы:

	v, км/ч	t, ч	s, км
I велосипедист	12	3	?
II велосипедист	10	3	?

1) 12+10=22 (км/ч) скорость сближения велосипедистов

2) 22∙3=66 (км) было между велосипедистами в начале пути.

Ответ: 66 км.

Задача 2

Два поезда идут навстречу друг другу. Скорость одного из них 50 км/ч, скорость другого —  60 км/ч. Сейчас между ними 440 км. Через сколько часов они встретятся?

Решение:

	v, км/ч	t, ч	s, км
I поезд	60	?	?
II поезд	50	?	?

1) 60+50=110 (км/ч) скорость сближения поездов

2) 440:110=4 (ч) время, через которое поезда встретятся.

Ответ: через 4 ч.

Задача 3.

Два пешехода находились на расстоянии 20 км друг от друга. Они вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 2 часа. Скорость одного пешехода 6 км/ч. Найти скорость другого пешехода.

	v, км/ч	t, ч	s, км
I пешеход	6	2	?
II пешеход	?	2	?

1) 20:2=10 (км/ч) скорость сближения пешеходов

2) 10-6=4 (км/ч) скорость другого пешехода.

Ответ: 4 км/ч.

Если S — это расстояние между станциями.

V1 — это скорость одного поезда

V2 — это скорость второго поезда

t1=26м — время первого

t2=39м — время второго

t3 — время, которое мы ищем

V1=S/t1

V2=S/t2

Так как они движутся навстречу друг другу, то их скорости суммируются:

V3=V1+V2=S/t1+S/t2=S(1/t1+1/t2)

t3=S/V3=S/(S(1/t1+1/t2))

S сверху и снизу выражения сокращают друг друга и остаются чистые цифры:

t3=1/(1/t1+1/t2)=1/((t2+t1)/(t1*t2))=(t1*t2)/(t2+t1)=(26*39)/(26+39)=1014/65=15.­6 минут = 936 секунд.

Ответ: поезда встретятся через 15.6 минут, а если в секундах, то через 936 секунд.

Вася Иванов

Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о встречном движении. В таких задачах два каких-нибудь объекта движутся на встречу друг другу. Задачи на встречное движение можно решать двумя способами.

Задача 1. Два автомобиля выехали одновременно из двух населённых пунктов и встретились через 4 часа. Первый автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга находятся населённые пункты?

Решение: Из условия задачи известны скорость каждого автомобиля и время, которое автомобили были в пути. Значит, можно найти расстояние, которое проехал каждый автомобиль до встречи. Для этого нужно скорость умножить на время:

1) 100 · 4 = 400 (км) – проехал первый автомобиль

2) 70 · 4 = 280 (км) – проехал второй автомобиль

Найдя сумму полученных результатов, узнаем расстояние между населёнными пунктами:

400 + 280 = 680 (км)

Данную задачу можно решить и другим способом. Каждый час расстояние между автомобилями сокращалось на 170 километров (100 + 70), 170 км/ч – это скорость сближения автомобилей. За 4 часа они проехали расстояние:

Таким образом, задачу на встречное движение можно решить двумя способами:

1-й способ:	2-й способ:
1) 100 · 4 = 400 (км)	1) 100 + 70 = 170 (км/ч)
2) 70 · 4 = 280 (км)	2) 170 · 4 = 680 (км)
3) 400 + 280 = 680 (км)

Ответ: Населённые пункты находятся на расстоянии 680 км.

Задача 2. Из двух посёлков навстречу друг другу вышли одновременно два пешехода. Скорость первого пешехода 4 км/ч, а скорость второго пешехода 5 км/ч. Какое расстояние будет между пешеходами через 5 часов после выхода, если расстояние между посёлками 70 км?

Решение: Сначала можно определить сколько километров прошёл каждый из пешеходов за 5 часов, для этого скорость пешеходов умножим на 5:

1) 4 · 5 = 20 (км) – прошёл первый пешеход

2) 5 · 5 = 25 (км) – прошёл второй пешеход

Затем можно найти общий путь, пройденный двумя пешеходами за 5 часов:

Теперь можно найти расстояние между пешеходами, отняв от общего расстояния между посёлками 45 уже пройденных километров:

У данной задачи есть и второй вариант решения. Можно сначала найти скорость сближения пешеходов:

Затем найти пройденное расстояние, умножив скорость сближения (9 км/ч) на время движения пешеходов (5 ч):

А теперь, для нахождения расстояния между пешеходами, вычесть пройденное расстояние (45 км) из общего:

Таким образом, данная задача имеет два варианта решения:

1-й способ:	2-й способ:
1) 4 · 5 = 20 (км)	1) 4 + 5 = 9 (км/ч)
2) 5 · 5 = 25 (км)	2) 9 · 5 = 45 (км)
3) 20 + 25 = 45 (км)	3) 70 — 45 = 25 (км)
3) 70 — 45 = 25 (км)

Ответ: Через 5 часов расстояние между пешеходами будет 25 км.

Главная > Памятка

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Памятка «Учимся решать задач на движение»

В задачах на движение рассматриваются три взаимосвязанные величины:

S — расстояние (пройденный путь),

t — время движения и

V — скорость – расстояние, пройденное за единицу времени.

Расстояние – это произведение скорости на время движения

Скорость — это частное от деления расстояния на время движения

Время – это частное от деления расстояния на скорость движения

Задачи на встречное движение

Если два тела одновременно движутся навстречу друг другу, то расстояние между ними постоянно изменяется на одно и то же число, равное сумме расстояний, которые проходят тела за единицу времени.

Скорость сближения – это сумма скоростей, движущихся навстречу друг другу тел. V сближ. = 1V + 2V

Пример 1. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух посёлков и встретились через 3 часа. Первый велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а второй – 14 км/ч. На каком расстоянии находятся посёлки?

V сближ. = 1V + 2V

1) 12 • 3 = 36 (км) – проехал первый велосипедист до встречи

2) 14 • 3 = 42 (км) – проехал второй велосипедист до встречи

3) 36 + 42 = 78 (км)

1) 12 + 14 = 26 (км/ч) – скорость сближения

Ответ : расстояние между посёлками 78 км.

Пример 2. Из двух городов навстречу друг другу выехали две машины. Скорость первой – 80 км/ч, скорость второй – 60 км/ч. Через, сколько часов машины встретятся, если расстояние между городами 280 км?

V сближ. = 1V + 2V

1) 80 + 60 = 140 (км/ч) – скорость сближения

2) 280 : 140 = 2 (ч)

Ответ : машины встретятся через 2 часа.

Пример 3. Из двух городов, расстояние между которыми 340 км, выехали одновременно навстречу друг другу две машины. Скорость первой – 80 км/ч. С какой скоростью ехала вторая машина, если встретились они через 2 часа?

2V = V сближ. — 1V

1) 340 : 2 = 170 (км/ч) – скорость сближения

2) 170 – 80 = 90 (км/ч)

Ответ : 90 км/ч. скорость второй машины

Задачи на движение в противоположных направлениях

Если два тела одновременно движутся в противоположных направлениях, то расстояние между ними постепенно увеличивается.

Скорость удаления – это расстояние, которое проходят тела за 1 ч при движении в противоположных направлениях. V удал. = 1V + 2V

Пример 1. Два лыжника одновременно вышли из пункта А в противоположных направлениях. Первый лыжник шёл со скоростью 12 км/ч, а второй – 14 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 3 ч?

1)12 • 3 = 36 (км) – расстояние, которое прошёл первый лыжник за 3 ч

2)14 • 3 = 42 (км) – расстояние, которое прошёл второй лыжник за 3 ч

1)12 + 14 = 26 (км/ч) – скорость удаления

Ответ: через 3 ч они будут друг от друга на расстоянии 78 км.

Пример 2. Из города в противоположных направлениях выехали две машины. Скорость первой – 80 км/ч, скорость второй – 60 км/ч. Через сколько часов расстояние между машинами будет 280 км?

1) 80 + 60 = 140 (км/ч) – скорость удаления

2) 280 : 140 = 2 (ч)

Ответ: через 2 часа расстояние между машинами будет 280 км

Пример 3. Из города одновременно в противоположных направлениях выехали две машины. Скорость первой – 80 км/ч. С какой скоростью ехала вторая машина, если через 2 часа расстояние между ними было 340 км?

1) 340 : 2 = 170 (км/ч) – скорость удаления машин

2) 170 – 80 = 90 (км/ч)

Ответ: скорость второй машины 90 км/ч.

Задачи на движение в одном направлении

Пример 1. Автомобиль за 2 ч проехал 192 км. Следующие 3 ч он двигался со скоростью на 6 км/ч меньше. Сколько всего километров проехал автомобиль?

1)192 : 2 = 96 (км/ч) – первая скорость

2)96 – 6 = 90 (км/ч) – вторая скорость

3)90 • 3 = 270 (км) – второе расстояние

4)192 + 270 = 462 (км)

Пример 2. Из двух пунктов, расстояние между которыми 24 км, одновременно вышел спортсмен и выехал велосипедист. Скорость спортсмена 6 км/ч., а скорость велосипедиста 18 км/ч..

1).Через сколько часов велосипедист догонит спортсмена?

2).На каком расстоянии от пункта В велосипедист догонит спортсмена?

3). На сколько километров путь велосипедиста больше пути спортсмена?

18 км/ч 6 км/ч ?

V приближ. = 2V -1V , где 2V ֺ > 1V

1). 18 – 6 = 12 (км /ч.) – скорость приближения велосипедиста и спортсмена

2). 24 : 12 = 2 (ч.) – время, через которое велосипедист догонит спортсмена.

3). 6 ●2 = 12 (км) – расстоянии, на котором велосипедист догонит спортсмена.

Ответ: через 2 часа; 12 км.

Пример 3. За какое время мотоцикл догонит грузовой автомобиль, если расстояние между ними 45 км, а скорость мотоцикла больше скорости грузовика на 15 км/ч?

Цель: закрепить умение решать задачи на встречное движение.

Карточки можно использовать и для индивидуальной, и для парной работы.

Скачать:

Вложение	Размер
zadachi_na_vstrechnoe_dvizhenie_4_klass.docx	14.58 КБ

Предварительный просмотр:

1. Из двух деревень одновременно вышли навстречу друг другу две группы туристов. Одна группа шла со скоростью 3 км/ч, а другая 4 км/ч. Встретились они через 2 ч. Чему равно расстояние между деревнями?

2. С двух полярных станций одновременно навстречу друг другу выехали две собачьи упряжки. Одна упряжка двигалась со скоростью 14 км/ч, а скорость другой 12 км/ч. Через сколько часов упряжки встретятся, если расстояние между полярными станциями 52 км?

3. Два лыжника вышли одновременно навстречу друг другу из двух разных пунктов, расстояние между которыми

66 км. Скорость первого 12 км/ч. С какой скоростью ехал второй лыжник, если они встретились через 3 часа?

1. Из двух городов одновременно вылетели навстречу друг другу два голубя. Они встретились через 5 ч. Скорость одного голубя 62 км/ч, а второго 68 км/ч. Узнай расстояние между городами.

2. Два пешехода вышли одновременно из двух деревень навстречу друг другу. Один шёл со скоростью 5 км/ч, скорость другого 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между деревнями 36 км?

3. Два пловца поплыли одновременно навстречу друг другу с двух разных концов бассейна, длина которого 100 метров. Первый плыл со скоростью 20 м/мин. С какой скоростью плыл второй пловец, если они встретились через 2 минуты?

1.Из двух посёлков одновременно выехали навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Они встретились через 4 ч. Скорость велосипедиста 15 км/ч, а мотоциклиста 57 км/ч. Узнай расстояние между посёлками.

2. Две многоножки ползли навстречу друг другу. Скорость одной 2 дм/мин, а скорость второй 3 дм/мин. Через сколько минут они встретятся, если первоначальное расстояние между ними было 15 дм?

3. Две ласточки одновременно вылетели навстречу друг другу. Одна летит со скоростью 23 м/с. С какой скоростью летит вторая ласточка, если первоначальное расстояние между ними 920 м и встретились они через 20 секунд?

1.От двух пристаней одновременно навстречу друг другу отошли катер и лодка. Они встретились через 6 ч. Скорость лодки 8 км/ч, а скорость катера 35 км/ч. Узнай расстояние между пристанями.

2.Дв пчелы вылетели из ульев одновременно навстречу друг другу. Одна пчела летела со скоростью 8 м/с, скорость другой 7 м/с. Через сколько секунд пчёлы встретятся, если расстояние между ульями 135 м?

3. Автомобиль и автобус выехали одновременно из двух городов навстречу друг другу. Скорость автомобиля 90 км/ч. Расстояние между городами 1600 км. С какой скоростью шёл автобус, если они встретились через 10 часов?

1. Две водомерки отправились одновременно с противоположных концов пруда навстречу друг другу. Они встретились через 3 минуты. Одна водомерка плыла со скоростью 48 м/мин, а другая со скоростью 40 м/мин. Узнай расстояние между берегами пруда.

2. С двух станций, расстояние между которыми равно 320 км, вышли одновременно два товарных поезда. Один поезд проходил 29 км, а другой 35 км. Через сколько часов эти поезда встретятся?

3. Расстояние между сёлами 48 км. Из них вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Скорость одного пешехода 3 км/ч. С какой скоростью шёл второй пешеход, если они встретились через 6 часов?

1. От двух городов одновременно отошли навстречу друг другу товарный и пассажирский поезда. Товарный поезд шёл со скоростью 56 км/ч, а пассажирский со скоростью 74 км/ч. Каково расстояние между городами, если поезда встретились через 4 ч?

2.От двух раковин два рака ползут навстречу друг другу. Скорость первого 18 м/мин, а скорость второго 20 м/мин. Через сколько минут раки встретятся, если расстояние между раковинами равно 114 м?

3. От двух причалов, расстояние между которыми 90 км, одновременно вышли навстречу друг другу две лодки. Первая шла со скоростью 8 км/ч. С какой скоростью шла вторая лодка, если они встретились через 5 часов?

1. Две группы туристов вышли одновременно навстречу друг другу из двух сёл. Расстояние между сёлами 27 км. Одна группа шла со скоростью 4 км/ч. С какой скоростью шла вторая группа, если они встретились через 3 часа?

2. Теплоход и катер отошли от двух пристаней одновременно навстречу друг другу. Скорость теплохода 30 км/ч, скорость катера 25 км/ч. Через сколько часов суда встретятся, если расстояние между пристанями равно 330 км?

3. Две гремучие змеи выползли одновременно из своих укрытий навстречу друг другу и встретились через 5 минут. Скорость одной змеи 48 м/мин, а скорость другой 53 м/мин. Каково расстояние между укрытиями змей?

1.Два мотоциклиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов. Расстояние между городами 465 км. Первый мотоциклист ехал со скоростью 80 км/ч. С какой скоростью ехал второй мотоциклист, если они встретились через 3 часа?

2. Две медузы плыли навстречу друг другу. Скорость одной 50 м/мин, а скорость другой 55 м/мин. Через сколько минут они встретятся, если первоначальное расстояние между ними было 315 метров?

3. Две девочки вышли одновременно навстречу друг другу из своих домов. Они встретились через 8 минут. Одна шла со скоростью 60 м/мин, а другая со скоростью 70 м/мин. Какое расстояние между домами девочек?

Примеры решения задач по математике

Формулы для нахождения скорости, времени и расстояния

Условные обозначения

V – скорость (см/сек, м/мин, км/час);

S – расстояние (мм, см, м, км);

t – время (сек, мин, час).

Формула нахождения скорости

V = S : t

Формула нахождения расстояния

S = V · t

Формула нахождения времени

t = S : V

Задача №1

Из двух городов А и Б, расстояние между которыми 645 км, одновременно вышли 2 поезда навстречу друг другу. Известно, что скорость первого поезда 62 км/ч.

Найди расстояние, пройденное вторым поездом, если поезда встретились через 5 часов.

Решение:

Чтобы узнать пройденный путь первым поездом применим формулу: S = V · t. Запишем формулу в удобной для решения задачи форме: V · t = S

1) 62 · 5 = 310 (км), теперь из расстояния между городами А и Б вычтем пройденный путь первым поездом, тогда мы узнаем расстояние пройденное вторым поездом

2) 645 — 310 = 335 (км)

Ответ: расстояние 335 км.

Задача №2

Из двух городов А и Б, расстояние между которыми 600 км, одновременно вышли два поезда навстречу друг другу. Скорость I поезда 65 км/ч.

Определи скорость II поезда, если поезда встретились через 5 часов.

Решение:

Чтобы узнать расстояние пройденное первым поездом применим формулу: S = V · t. Запишем формулу в удобной для решения задачи форме: V · t = S

1) 65 · 5 = 325 (км), теперь из расстояния между городами А и Б вычтем пройденный путь первым поездом, чтобы узнать пройденный путь вторым поездом

2) 600 — 325 = 275 (км), теперь узнаем скорость второго поезда, для этого применим формулу V = S : t

3) 275 : 5 = 55 (км/ч)

Ответ: скорость второго поезда 55 км/ч.

Задача №3

Из двух городов одновременно выехали навстречу друг другу 2 автомобиля. I машина двигалась со скоростью 85 км/ч и проехала до встречи 170 км.

Сколько километров проехала II машина, если она двигалась со скоростью 93 км/ч?

Решение:

Чтобы узнать расстояние пройденное первым поездом применим формулу: t = S : V. Запишем формулу в удобной для решения задачи форме: S : V = t

1) 170 : 85 = 2 (ч), теперь зная время в пути I машины можно вычислить какой путь проехала II машина, для этого применим формулу: S = V · t

2) 93 · 2 = 186 (км)

Ответ: II машина проехала 186 км.

Задача №4

Из двух деревень одновременно выехали навстречу друг другу 2 велосипедиста. I двигался со скоростью 45 км/ч и проехал до встречи 135 км.

Найди расстояние между деревнями, если скорость II велосипедиста была 40 км/ч.

Решение:

Рассуждаем так: если велосипедисты выехали одновременно и встретились, то они затратили одинаковое время в пути. Тогда, мы уже можем узнать время затраченное I велосипедистом, для этого применим формулу: t = S : V. Запишем формулу в удобной для решения задачи форме: S : V = t

1) 135 : 45 = 3 (ч)

Теперь, когда мы знаем время затраченное на путь велосипедистом I можно узнать пройденный путь велосипедистом II по формуле: S = V · t

2) 40 · 3 = 120 (км)

Когда мы знаем пройденный путь каждого велосипедиста за 3 часа, тогда мы можем узнать расстояние между деревнями, для этого сложим их пройденные пути

3) 135 + 120 = 255 (км)

Ответ: расстояние между деревнями 255 км.

Задача №5

Из двух городов, находящихся на расстоянии 585 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля.

Скорость автомобиля I – 60 км/час, автомобиля II – 75 км/час. Вместе с I автомобилем в том же направлении выехал мотоциклист со скоростью 120 км/час.

На каком расстоянии друг от друга были автомобили, когда II автомобиль встретился с мотоциклистом?

Решение:

Чтобы узнать сколько времени были в пути мото и автомобиля II применим формулу: t = S : (V₁ + V₂). Запишем формулу в удобной для решения задачи форме: S : (V₁ + V₂) = t

1) 585 : (120 + 75) = 3 час

Теперь надо узнать путь пройденный каждым автомобилем за 3 часа, для этого умножим их скорость на время в пути по формуле: V = S : t

2) 60 · 3 = 180 км (авто I)

3) 75 · 3 = 225 км (авто II)

Когда мы знаем пройденный путь автомобиля I и автомобиля II, то вычтем их путь из расстояния между городами, тогда мы узнаем на каком расстоянии были автомобили

4) 585 — 225 — 180 = 180 км

Ответ: На расстоянии 180 км.

Николай Иванович Лобачевский

математик, один из создателей неевклидовой геометрии, деятель университетского образования и народного просвещения

Дата рождения: 1 декабря 1792 г. Нижний Новгород

Место рождения: Нижний Новгород

Дата смерти: 24 февраля 1856 г. (63 года), Казань

Биография

В 1802 году Николай Лобачевский отдан в Казанскую гимназию, единственную в те годы во всей восточной части Российской империи, на «казённое разночинское содержание». Окончил гимназию в конце 1806 года, показав хорошие знания, особенно по математике и языкам — латинскому, немецкому, французскому. В проявившемся уже тогда его интересе к математике — большая заслуга преподавателя гимназии Г. И. Карташевского.

Вскоре после поступления Николая в гимназию расширились возможности для получения дальнейшего образования. 5 ноября 1804 года император Александр I подписывает «Утвердительную грамоту» и «Устав Императорского Казанского университета». 14 февраля 1805 года происходит открытие университета. Ряд учителей гимназии, параллельно с исполнением прежних обязанностей, переходит преподавать в университет. Г. И. Карташевский — адъюнктом высшей математики.

Совет университета обратился к родителям воспитывающихся в Казанской гимназии детей с предложением отдать их после окончания курса гимназии для продолжения обучения в университете. Николай в июле 1806 года подвергся испытанию, но неудачно, однако 22 декабря того же года прошёл повторное испытание и 14 февраля 1807 года был зачислен в университет.

В первом полугодии адъюнкт Г. И. Карташевский повторил со студентами общую арифметику, прочитал курс алгебры и перешёл к изложению дифференциального исчисления. Однако 5 декабря 1806 года, из-за конфликта с директором университета И. Ф. Яковкиным, он и ряд других преподавателей были уволены. Преподавать математику было поручено студентам.

Ситуация изменилась только в 1808 году с прибытием в университет видных немецких учёных, которых отобрал и пригласил тогдашний попечитель Казанского учебного округа С. Я. Румовский.

Влияние новых талантливых преподавателей сказалось на интересах Николая. Если в 1808 году он наибольшее внимание уделял химии и фармакологии (которая в то время называлась медицинской наукой), то под влиянием Бартельса заинтересовался физико-математическими науками.

В 1811 году, окончив университет, Лобачевский получил степень магистра по физике и математике с отличием и был оставлен при университете. Начало преподавательской деятельности Лобачевского совпало с коренными преобразованиями в университетской жизни. Организация университета стараниями попечителя М. А. Салтыкова была наконец приведена в соответствие с уставом 1804 года. 7 июля 1816 года Лобачевский по инициативе Салтыкова был утверждён экстраординарным профессором. 3 мая 1827 года 34-летний Лобачевский тайным голосованием был избран ректором университета (11 голосами против 3).

В 1836 году университет посетил царь Николай I, остался доволен и наградил Лобачевского престижным орденом Анны II степени, дававшим право на потомственное дворянство. 29 апреля 1838 года «за заслуги на службе и в науке» Н. И. Лобачевскому было пожаловано дворянство и дан герб. Усилиями Лобачевского Казанский университет становится первоклассным, авторитетным и хорошо оснащённым учебным заведением, одним из лучших в России. Лобачевский был ректором Казанского университета с 1827 по 1846 годы.

16 августа 1846 года Министерство «по указанию Правительствующего сената» отстранило Лобачевского не только от профессорской кафедры, но и от должности ректора. Здоровье его самого было подорвано, слабеет зрение. Последний труд учёного, «Пангеометрия», записали под диктовку ученики слепого учёного в 1855 году. Скончался 24 февраля 1856 года, в тот самый день, в который 30 годами ранее впервые обнародовал свою версию неевклидовой геометрии. Похоронен на Арском кладбище Казани.

Его некоторые научные достижения:

• Метод приближённого решения уравнений
• Получил ряд тонких теорем о тригонометрических рядах
• Уточнил понятие непрерывной функции
• Дал признак сходимости рядов
• Статьи по алгебре, теории вероятностей, механике, физике, астрономии и проблемам образования

В честь Лобачевского названы:

• Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского, Нижний Новгород
• Малая планета (1858) Лобачевский
• Кратер на обратной стороне Луны
• Научная библиотека Казанского университета
• Улицы Лобачевского в различных населённых пунктах государств бывшего СССР
• Один из самолётов Аэрофлота
• Лицей им. Н. И. Лобачевского при КФУ (Казань)