Как найти время формула без пути

Существует формула, с помощью которой можно посчитать путь, пройденный телом, когда нам известны его начальная скорость, ускорение и конечная скорость.

Сокращенно эту формулу называют «путь без времени». Так ее называют потому, что в правой ее части время t движения отсутствует (рис. 1).

Формула пути без времени помогает упростить решение некоторых задач кинематики. Особенно, задач, части C.

Однако, не торопитесь на ЕГЭ записывать эту формулу в готовом виде. Сначала в решении задачи нужно записать вывод этой формулы. И только потом ее можно использовать.

Формулу выводят из выражений для равнопеременного движения. Сейчас я помогу вам вывести эту формулу с помощью нескольких простых шагов.

Выводим формулу пути без времени

Для определенности будем считать, что тело движется по прямой все быстрее и быстрее. То есть, скорость тела увеличивается, так как появляется ускорение.

В таком случае векторы ускорения и скорости тела будут сонаправленными (параллельными и направленными в одну и ту же сторону).

Сонаправленные или противоположно направленные векторы называют коллинеарными векторами. Прочитайте подробнее о коллинеарных векторах.

Чтобы вычислить путь тела, когда скорость его увеличивается, нужно использовать две формулы:

[ large begin{cases} S  = v_{0} cdot t + displaystylefrac{a}{2} cdot t^{2} \ v  = v_{0} + a cdot t end{cases} ]

( large v_{0} left( frac{text{м}}{c} right)) – начальная скорость тела;

( large v left( frac{text{м}}{c} right)) – конечная скорость;

( large a left( frac{text{м}}{c^{2}} right)) – ускорение тела;

( large S left( text{м} right)) – путь, пройденный телом;

(large t left( c right)) – время, за которое тело прошло этот путь.

В формуле для пути S присутствует время t. Получим из нее формулу для пути, в которой время будет отсутствовать.

Что сделать, чтобы получить формулу пути, в которой отсутствует время:

• сначала получить выражение для времени t из уравнения для скорости;
•  затем в формулу пути подставить полученное выражение вместо времени t.

Выражаем время из формулы для скорости

Выпишем формулу, связывающую начальную и конечную скорость тела:

[ large v  = v_{0} + a cdot t ]

Избавимся в правой части от начальной скорости, обозначенной символом ( v_{0}). Для этого из обеих частей уравнения вычтем число ( v_{0}). Получим такую запись:

[ large v — v_{0} = a cdot t ]

Теперь, чтобы справа в формуле оставалось только время «t», избавимся от ускорения «a». Для этого разделим обе части уравнения на «a»:

[ large frac{ v — v_{0}}{a} = t ]

Это выражение нам пригодится для дальнейшего вывода формулы «путь без времени».

В формулу пути подставим выражение для времени

Запишем теперь формулу для пути S и полученную формулу для времени t, объединив их в систему:

[ large begin{cases} S  = v_{0}cdot t + displaystyle frac{a}{2}cdot t^{2}\ displaystyle frac{v — v_{0}}{a} = t end{cases} ]

В первом уравнении системы будем заменять символ t дробью из второго уравнения. Тогда система из двух уравнений превратится в единственное уравнение. И в этом уравнении не будет символа t времени:

[large S = v_{0} cdot frac{ v — v_{0}}{a} + frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2}]

Осталось теперь упростить полученное выражение. Будем производить упрощение по частям.

Упрощаем выражение, расположенное до знака «плюс» в правой части

Выпишем отдельно все, что располагается до знака «плюс» в правой части уравнения:

[large v_{0} cdot frac{ v — v_{0}}{a} ]

Умножим числитель дроби на число (v_{0}).

Для этого:

• сначала числитель обособим скобками;
• затем запишем число (v_{0}) перед скобками;
• а потом внесем это число внутрь скобок.

В числитель дроби, обособленный с помощью скобок помещаем число (v_{0}):

[large v_{0} cdot frac{ (v — v_{0})}{a} = frac{ v_{0} cdot (v — v_{0})}{a} ]

Теперь необходимо умножить скобку на число (v_{0}).  На рисунке 2 указано, как правильно выражение в скобках умножить на число, стоящее за скобками.

Нужно к каждой скорости в скобках дописать число (v_{0}), умножая его на эти скорости. Получим такое выражение:

[large frac{ v_{0} cdot (v — v_{0})}{a} = frac{ (v_{0} cdot v — v_{0} cdot v_{0})}{a} = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} ]

То есть, вместо первоначальной записи, мы получили такую запись:

[large v_{0} cdot frac{ (v — v_{0})}{a} = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} ]

Возводим в квадрат дробь

После знака «плюс» в правой части уравнения располагается дробь, которую нужно возвести в квадрат. Обратим внимание на эту дробь:

[large left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2}]

Правильно возвести дробь в степень поможет рисунок 3.

В результате возведения в квадрат дробь приобретет такой вид:

[large left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2} = frac{ (v — v_{0})^{2}}{a^{2}}]

В числителе этой дроби находится выражение в скобках, которое нужно возвести в квадрат. И нам придется применить одну из формул сокращенного умножения. Запоминать формулы сокращенного умножения удобно в виде, приведенном на рисунке 4.

Используем для этого формулу сокращенного умножения, которая содержит знак «минус». Она называется «Квадрат разности». Тогда числитель дроби превратится в такую запись:

[large ( v — v_{0})^{2} = (v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})]

Теперь можем записать полученную дробь:

[large frac{ (v — v_{0})^{2}}{a^{2}} = frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{a^{2}} ]

Упрощаем правую часть, записанную после знака «плюс»

Обратим внимание на все, что располагается в правой части уравнения после знака «плюс»:

[large frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2}]

Мы уже провели некоторые преобразования и можем теперь заменить дробь, возводимую в квадрат более подробной записью:

[large frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2} = frac{a}{2} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{a^{2}}]

Примечание: Когда мы умножаем одну дробь на другую, то можем менять местами знаменатели этих дробей.

Итак, поменяем местами знаменатели дробей:

[large frac{a}{2} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{a^{2}} = frac{a}{a^{2}} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2}]

Теперь видно, что мы можем сократить ускорение и еще немного упростить выражение:

[large frac{a}{a^{2}} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2} = frac{1}{a} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2}]

А перемножив числители и знаменатели двух дробей, получим такую запись:

[large frac{1}{a} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2} = frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]

Теперь, первоначальную дробь можно заменить дробью, полученной в ходе преобразований:

[large frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2} = frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]

Мы закончили преобразовывать выражения, содержащиеся в правой части уравнения после знака «плюс».

Теперь, осталось сложить две дроби в правой части – дробь, записанную до знака «плюс» с дробью, записанной после знака «плюс». А чтобы эти дроби можно было сложить, нужно будет привести их к общему знаменателю.

Приводим к общему знаменателю дроби в правой части уравнения

Вернемся еще раз к первоначальному уравнению:

[large S = v_{0} cdot frac{ v — v_{0}}{a} + frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2}]

Заменим правую часть этого уравнения выражениями, которые мы получили:

[large S = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} + frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]

Сравним знаменатели дробей.

Первая дробь обладает знаменателем «a», а вторая – «2a». Выберем число «2a» в качестве общего знаменателя обеих дробей.

Чтобы первую дробь привести к общему знаменателю «2a», умножим ее на единицу:

[large frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} cdot 1]

Примечания:

1. Нам известно, что если какое-либо число умножить на единицу, то после умножения это число не изменится. Значит, если какое-либо выражение умножить на единицу, то полученное выражение останется равным самому себе. На единицу можно умножать все, что угодно – дроби, выражения в скобках и т. п.
2. Математики часто применяют прием умножения на единицу. А после этого единицу записывают в виде некоторой дроби. При этом используют правило: Единица – это дробь, у которой числитель и знаменатель равны (одинаковые).

Так как снизу в первой дроби не хватает числа 2, то единицу представим в виде дроби 2/2:

[large frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} cdot 1 = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} cdot frac{2}{2}]

Получим такую дробь:

[large frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} cdot frac{2}{2} = frac{ 2(v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{2a} ]

Поместим ее в выражение для пути:

[large S = frac{ 2(v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{2a} + frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]

Дроби с одинаковыми знаменателями складываем

Теперь знаменатели дробей равны. И мы можем записать эти дроби под общим знаменателем:

[large S = frac{ 2(v_{0} cdot v – v^{2}_{0} ) + (v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]

Раскроем скобки в числителе полученного выражения:

[large S = frac{ 2v_{0} v – 2v^{2}_{0} + v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0}}{2a}]

Примечание: Обратим внимание на то, что в числителе дважды встречается член (2v_{0} v), обладающий различными знаками. В начале числителя – знаком «плюс», а в конце числителя – знаком «минус». Это означает, что из числа (2v_{0}v) вычитается такое же число (2vv_{0}). В конце концов, это число покидает нашу запись и, она упрощается:

[large S = frac{ – 2v^{2}_{0} + v^{2} + v^{2}_{0}}{2a}]

Перепишем выражение, записав все, что содержит знак «плюс» в начало числителя:

[large S = frac{ v^{2} + v^{2}_{0} – 2v^{2}_{0}}{2a}]

Вычтем подобные члены, содержащие ( v^{2}_{0}):

[large v^{2}_{0} – 2v^{2}_{0} = – v^{2}_{0} ]

В результате получим короткую запись. Именно о ней говорят, когда имеется ввиду формула пути без времени:

[large boxed{ S = frac{ v^{2} — v^{2}_{0}}{2a} }]

Примечания:

1. Это формула, с помощью которой можно рассчитать путь тела, когда известны его начальная и конечная скорость, а, так же, ускорение.
2. Видно, что время t в правой части этого выражения отсутствует.
3. Мы выводили эту формулу для случая, когда тело увеличивало скорость.

Как выглядит формула пути без времени, когда скорость тела уменьшается

Если скорость тела будет уменьшаться, формулу для вычисления пути нужно будет переписать в таком виде:

[large boxed{ S = frac{ v^{2}_{0} — v^{2}}{2a} }]

Получить такую формулу можно, проделав все шаги, описанные выше. Попробуйте самостоятельно ее получить. Выводить формулу нужно, используя формулы для уменьшающейся скорости:

[ large begin{cases} S  = v_{0} cdot t — displaystyle frac{a}{2} cdot t^{2} \ v  = v_{0} — a cdot t end{cases} ]

Выводы

Пусть нам известны начальная и конечная скорость тела и его ускорение. Тогда путь, пройденный телом, можно рассчитать так:

1. Когда движение равноускоренное и скорость тела увеличивается: [large boxed{ S = frac{ v^{2} — v^{2}_{0}}{2a} }]
2. А когда движение равнозамедленное и скорость уменьшается: [large boxed{ S = frac{ v^{2}_{0} — v^{2}}{2a} }]

Skip to content

Равномерное движение (движение тела с постоянной скоростью)

Формула скорости движения при равномерном движении:

v=const
a=0
v — скорость, м/с
s — перемещение, м
t — время, с
Формула перемещения при равномерном движении:

Координата вычисляются через кинематическое уравнение равномерного прямолинейного движения по  формуле:

График — Равномерного прямолинейного движения

Равноускоренное движение

Формула скорости при равноускоренном движении:

a=const
v₀ — начальная скорость, м/с
a — ускорение, м/с²
Формула для нахождения перемещения при равноускоренном движении:

или

Уравнение равноускоренного движения в проекции на оси координат:

Формула для определения ускорения при равноускоренном прямолинейном движении:

v₀ — начальная скорость, м/с
v — мгновенная скорость, м/с
Формула для определения средней скорости движения:

График — Равноускоренное движение при a>0

Равнозамедленное движение

Равнозамедленное движение — это движение тела, при котором модуль скорости равномерно уменьшается с течением времени, а вектор ускорения остается постоянным как по модулю, так и по направлению.

Формула скорости при равнозамедленном движении:

Формула перемещения при равнозамедленном движении:

График — Равнозамедленное движение при a<0

Свободное падение

Постоянная величина скорости свободного падения тела равна g=9,8 м/с²
Формула для вычисления скорости при свободном падении тела:

Формула для вычисления перемещения при свободном падении тела:


Формула координаты при свободном падении тела:

Формула высоты с которой тело свободно падает:

Формула для определения скорости тела в конце свободного падения:

Время свободного падения тела равно:

62068

Прямолинейное равноускоренное движение — это прямолинейное движение, при котором скорость тела изменяется (увеличивается или уменьшается) на одну и ту же величину за равные промежутки времени.

Ускорение — физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости тела. То есть, показывает, на какую величину изменяется скорость за единицу времени.

Примеры равноускоренного движения:

• разгон самолета перед взлетом;
• падающая с крыши сосулька;
• торможение лыжника на горном склоне;
• разгоняющийся на склоне сноубордист;
• свободное падение в результате прыжка с парашютом;
• камень брошенный под углом к горизонту;

Равномерное прямолинейное движение является частным случаем равноускоренного движения, при котором ускорение равно нулю.

Равноускоренное движение: формулы

Формула для скорости при равноускоренном движении:

где: V_к — конечная скорость тела,
V_н — начальная скорость тела,
a=const — ускорение (a>0 при ускорении, a<0 при замедлении)
t — время.

Формула для ускорения при равноускоренном движении:

Во время движения тела ускорение остается постоянным.

Задача 1

Кирилл ехал на велосипеде со скоростью 6 м/с, затем начал разгоняться на горке. Чему будет равна его скорость через 10 секунд, если ускорение равно 0,5 м/с?
Решение. Vн=6м/с, ускорение a=0,5м/с, время разгона t=10 секунд.
Получаем: Vн= 6 + 0,5 · 10 = 11 м/с.
Ответ: за 10с Кирилл разгонится до скорости 11 м/с.

Формула расстояния при равноускоренном движении

• Если известны  время, скорость начальная и скорость конечная

• Если известны время, скорость начальная и ускорение

где: S — путь, пройденный за время t,
Vн — начальная скорость,
Vк — конечная скорость,
a — ускорение тела,
t — время.

В случае равноускоренного движения с неизвестным временем движения, но с заданными начальной и конечной скоростями пройденный путь можно найти с помощью следующей формулы:

где S — путь, пройденный за время t ,
V0 — начальная скорость,
V — скорость в момент времени t,
a — ускорение тела.

Задача 2

Таксист получил заказ и начал движение с ускорением 0,1 м/с2. На каком расстоянии от начала движения его скорость станет равной 15м/с?
Решение. Так как таксист начал движение, начальная скорость равна нулю (Vн=0), Vк=15м/с, ускорение a=0,1м/с2.
Получаем: ​
S = 15^2 — 0^2 =1125 м.
Ответ: на расстоянии 1 125 м от начала движения скорость такси станет равной 15 м/с.

Перемещение при равноускоренном движении

Важно напомнить разницу между путем и перемещением тела.

• Путь — длина траектории. Если тело движется в любом направлении, то его путь увеличивается. Путь — всегда положительное значение.
• Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Проекция перемещения может принимать отрицательное значение.

Например, если путник прошел в одну сторону расстояние S1, а обратно — S2, то: путь тела равен S1 + S2, а перемещение равно S1 − S2. В некоторых задачах путь и перемещение могут совпадать, но не всегда.

Равноускоренное движение: графически

График зависимости ускорения от времени:
Во время движения тела ускорение остается постоянным.

Взаимосвязь скорости, времени и расстояния:
На рисунке показан график,  в котором скорость равномерно увеличивается.
С помощью графика скорости можно определить ускорение тела как тангенс угла наклона графика к оси времени.

Из графика скорости получим формулу пути при равноускоренном движении тела.

Пройденный телом путь при равноускоренном движении численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени. Вычислим площадь трапеции как сумму площадей прямоугольника V_нt и треугольника at²/2. Получим: S = V_нt + at²/2.​

Математически зависимость координаты от времени при равноускоренном движении представляет собой квадратичную функцию, ее график — парабола.

Задача 3

Лыжник подъехал со скоростью 3 м/с к спуску длиной 36 м и съехал с него за несколько секунд, при этом его конечная скорость составила 15 м/с. Определите местонахождение лыжника спустя 2с после начала движения из начала координат.

Дано:
Vн = 3 м/с, начальная координата (t) равна нулю,
Vк = 15м/с, 
a —  скорость лыжника увеличивается, поэтому ускорение — положительное число,
S = 36м — путь с горы,
t — 2с.

Решение:
Найдем ускорение из формулы пути при равноускоренном движении: 2аS = V_к²−V_н² 
Получим:  а = (V_к²−V_н² )/2S = (225-9)/(2*36) = 3 м/с2.
Составим уравнение движения лыжника исходя из формулы: S = V_нt + at²/2.
Получаем: x(t) =  3t + 1,5t² 
По уравнению определим координату лыжника в момент времени t = 2с:
Получаем: x(2) =  3*2 + 1,5*2² =6+6=12 м.

Ответ: через 2 с после начала движения координата лыжника будет равна 12 м.

Для того, чтобы проверить правильность решения задач на равноускоренное движение, воспользуйтесь калькулятором равноускоренного движения.

Для того, чтобы перевести единицы измерения, воспользуйтесь конвертерами единиц измерения:

• Конвертер единиц измерения расстояния (длины)
• Конвертер единиц измерения скорости
• Конвертер единиц измерения времени

Время, скорость, расстояние

О чем эта статья:

Расстояние

Мы постоянно ходим пешком и ездим на транспорте из одной точки в другую. Давайте узнаем, как можно посчитать это пройденное расстояние.

Расстояние — это длина от одного пункта до другого.

• Например: расстояние от дома до школы 3 км, от Москвы до Петербурга 705 км.

Расстояние обозначается латинской буквой s.

Единицы расстояния чаще всего выражаются в метрах (м), километрах (км).

Формула пути

Чтобы найти расстояние, нужно умножить скорость на время движения:

s = v × t

Скорость

Двигаться со скоростью черепахи — значит медленно, а со скоростью света — значит очень быстро. Сейчас узнаем, как пишется скорость в математике и как ее найти по формуле.

Скорость определяет путь, который преодолеет объект за единицу времени. Скорость обозначается латинской буквой v.

Проще говоря, скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени.

Впервые формулу скорости проходят на математике в 5 классе. Сейчас мы ее сформулируем и покажем, как ее использовать.

Формула скорости

Чтобы найти скорость, нужно разделить путь на время:

v = s : t

Показатели скорости чаще всего выражаются в м/сек или км/час.

Скорость сближения — это расстояние, на которое сблизились два объекта за единицу времени. Чтобы найти скорость сближения двух объектов, которые движутся навстречу друг другу, надо сложить скорости этих объектов.

Скорость удаления — расстояние, на которое отдалились друг от друга два объекта за единицу времени.

Чтобы найти скорость удаления объектов, которые движутся в противоположных направлениях, нужно сложить скорости этих объектов.

Чтобы найти скорость удаления при движении с отставанием или скорость сближения при движении вдогонку, нужно из большей скорости вычесть меньшую.

Онлайн-курсы по математике для детей — отличный способ разобраться в сложных темах под руководством внимательного преподавателя.

Время

Время — самое дорогое, что у нас есть. Но кроме философии, у времени есть важная роль и в математике.

Время — это продолжительность каких-то действий, событий.

• Например: от метро до дома — 10 минут, от дома до дачи — 2 часа.

Время движения обозначается латинской буквой t.

Чаще всего вам будут встречаться такие единицы времени, как секунды, минуты и часы.

Формула времени

Чтобы найти время, нужно разделить расстояние на скорость:

t = s : v

Эта формула пригодится, если нужно узнать, за какое время тело преодолеет то или иное расстояние.

Взаимосвязь скорости, времени, расстояния

Скорость, время и расстояние связаны между собой очень крепко. Одно без другого даже сложно представить.

Если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние. Оно равно скорости, умноженной на время: s = v × t.

Задачка 1. Мы вышли из дома и направились в гости в соседний двор. Мы дошли до соседнего двора за 15 минут. Фитнес-браслет показал, что наша скорость была 50 метров в минуту. Какое расстояние мы прошли?

Если за одну минуту мы прошли 50 метров, то сколько таких пятьдесят метров мы пройдем за 10 минут? Умножив 50 метров в минуту на 15 минут, мы определим расстояние от дома до магазина:

s = v × t = 50 × 15 = 750 (м)

Ответ: мы прошли 750 метров.

Если известно время и расстояние, то можно найти скорость: v = s : t.

Задачка 2. Двое школьников решили проверить, кто быстрее добежит от двора до спортплощадки. Расстояние между двором и площадкой — 100 метров. Первый школьник добежал за 25 секунд, второй за 50 секунд. Кто добежал быстрее?

Быстрее добежал тот, кто за 1 секунду пробежал большее расстояние. Говорят, что у него скорость движения больше. В этой задаче скорость школьников — это расстояние, которое они пробегают за 1 секунду.

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения. Найдем скорость первого школьника: для этого разделим 100 метров на время движения первого школьника, то есть на 25 секунд:

Если расстояние дано в метрах, а время движения в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с). Если расстояние дано в километрах, а время движения в часах, скорость измеряется в километрах в час (км/ч).

В нашей задаче расстояние дано в метрах, а время в секундах. Значит, будем измерять скорость в метрах в секунду (м/с).

100 м : 25 с = 4 м/с

Так мы узнали, что скорость движения первого школьника 4 метра в секунду.

Теперь найдем скорость движения второго школьника. Для этого разделим расстояние на время движения второго школьника, то есть на 50 секунд:

Значит, скорость движения второго школьника составляет 2 метра в секунду.

Сейчас можно сравнить скорости движения каждого школьника и узнать, кто добежал быстрее.

Скорость первого школьника больше. Значит, он добежал до спортивной площадки быстрее.

Ответ: первый школьник добежал быстрее.

Если известны скорость и расстояние, то можно найти время: t = s : v.

Задачка 3. От школы до стадиона 500 метров. Мы должны дойти до него пешком. Наша скорость будет 100 метров в минуту. За какое время мы дойдем до стадиона из школы?

Если за одну минуту мы будем проходить 100 метров, то сколько таких минут со ста метрами будет в 500 метрах?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно 500 метров разделить на расстояние, которое мы будем проходить за одну минуту, то есть на 100. Тогда мы получим время, за которое дойдем до стадиона:

t = s : v = 500 : 100 = 5 (мин)

Ответ: от школы до стадиона мы дойдем за 5 минут.

Специально для уроков математики можно распечатать или нарисовать самостоятельно такую таблицу, чтобы быстрее запомнить и применять формулы скорости, времени, расстояния.

Формула нахождения значений скорости, времени и расстояния

С древних времен людей беспокоит мысль о достижении сверх скоростей, так же как не дают покоя раздумья о высотах, летательных аппаратах. На самом деле это два очень сильно связанных между собой понятия. То, насколько быстро можно добраться из одного пункта в другой на летательном аппарате в наше время, зависит полностью от скорости. Рассмотрим же способы и формулы расчета этого показателя, а также времени и расстояния.

Как же рассчитать скорость?

На самом деле, рассчитать ее можно несколькими способами:

• через формулу нахождения мощности;
• через дифференциальные исчисления;
• по угловым параметрам и так далее.

В этой статье рассматривается самый простой способ с самой простой формулой — нахождение значения этого параметра через расстояние и время. Кстати, в формулах дифференциального расчета также присутствуют эти показатели. Формула выглядит следующим образом:

• v — скорость объекта,
• S — расстояние, которое пройдено или должно быть пройдено объектом,
• t — время, за которое пройдено или должно быть пройдено расстояние.

Как видите, в формуле первого класса средней школы нет ничего сложного. Подставив соответствующие значения вместо буквенных обозначений, можно рассчитать быстроту передвижения объекта. Например, найдем значение скорости передвижения автомобиля, если он проехал 100 км за 1 час 30 минут. Сначала требуется перевести 1 час 30 минут в часы, так как в большинстве случаев единицей измерения рассматриваемого параметра считается километр в час (км/ч). Итак, 1 час 30 минут равно 1,5 часа, потому что 30 минут есть половина или 1/2 или 0,5 часа. Сложив вместе 1 час и 0,5 часа получим 1,5 часа.

Теперь нужно подставить имеющиеся значения вместо буквенных символов:

v=100 км/1,5 ч=66,66 км/ч

Здесь v=66,66 км/ч, и это значение очень приблизительное (незнающим людям об этом лучше прочитать в специальной литературе), S=100 км, t=1,5 ч.

Таким нехитрым способом можно найти скорость через время и расстояние.

А что делать, если нужно найти среднее значение? В принципе, вычисления, показанные выше, и дают в итоге результат среднего значение искомого нами параметра. Однако можно вывести и более точное значение, если известно, что на некоторых участках по сравнению с другими скорость объекта была непостоянной. Тогда пользуются таким видом формулы:

vср=(v1+v2+v3+. +vn)/n, где v1, v2, v3, vn — значения скоростей объекта на отдельных участках пути S, n — количество этих участков, vср — средняя скорость объекта на всем протяжении всего пути.

Эту же формулу можно записать иначе, используя путь и время, за которое объект прошел этот путь:

• vср=(S1+S2+. +Sn)/t, где vср — средняя скорость объекта на всем протяжении пути,
• S1, S2, Sn — отдельные неравномерные участки всего пути,
• t — общее время, за которое объект прошел все участки.

Можно записать использовать и такой вид вычислений:

• vср=S/(t1+t2+. +tn), где S — общее пройденное расстояние,
• t1, t2, tn — время прохождения отдельных участков расстояния S.

Но можно записать эту же формулу и в более точном варианте:

vср=S1/t1+S2/t2+. +Sn/tn, где S1/t1, S2/t2, Sn/tn — формулы вычисления скорости на каждом отдельном участке всего пути S.

Таким образом, очень легко найти искомый параметр, используя данные выше формулы. Они очень просты, и как уже было указано, используются в начальных классах. Более сложные формулы базируются на этих же формулах и на тех же принципах построения и вычисления, но имеют другой, более сложный вид, больше переменных и разных коэффициентов. Это нужно для получения наиболее точного значения показателей.

Другие способы вычисления

Существую и другие способы и методы, которые помогают вычислить значения рассматриваемого параметра. В пример можно привести формулу вычисления мощности:

N=F*v*cos α , где N — механическая мощность,

cos α — косинус угла между векторами силы и скорости.

Способы вычисления расстояния и времени

Можно и наоборот, зная скорость, найти значение расстояния или времени. Например:

S=v*t, где v — понятно что такое,

S — расстояние, которое требуется найти,

t — время, за которое объект прошел это расстояние.

Таким образом вычисляется значение расстояния.

Или вычисляем значение времени, за которое пройдено расстояние:

t=S/v, где v — все та же скорость,

S — расстояние, пройденный путь,

t — время, значение которого в данном случае нужно найти.

Для нахождения средних значений этих параметров существует довольно много представлений как данной формулы, так и всех остальных. Главное, знать основные правила перестановок и вычислений. А еще главнее знать сами формулы и лучше наизусть. Если же запомнить не получается, тогда лучше записывать. Это поможет, не сомневайтесь.

Пользуясь такими перестановками можно с легкостью найти время, расстояние и другие параметры, используя нужные, правильные способы их вычисления.

И это еще не предел!

Видео

В нашем видео вы найдете интересные примеры решения задач на нахождение скорости, времени и расстояния.

Формулы равномерного и равноускоренного движения

Равномерное движение

Формула скорости движения при равномерном движении:

v=const
a=0
v — скорость, м/с
s — перемещение, м
t — время, с
Формула перемещения при равномерном движении:

Координата вычисляются через кинематическое уравнение равномерного прямолинейного движения по формуле:

График — Равномерного прямолинейного движения

Равноускоренное движение

Формула скорости при равноускоренном движении:

a=const
v₀ — начальная скорость, м/с
a — ускорение, м/с 2
Формула для нахождения перемещения при равноускоренном движении:

или

Уравнение равноускоренного движения в проекции на оси координат:

Формула для определения ускорения при равноускоренном прямолинейном движении:

v₀ — начальная скорость, м/с
v — мгновенная скорость, м/с
Формула для определения средней скорости движения:

График — Равноускоренное движение при a>0

Равнозамедленное движение

Формула скорости при равнозамедленном движении:

Формула перемещения при равнозамедленном движении:

График — Равнозамедленное движение при a 2
Формула для вычисления скорости при свободном падении тела:

Формула для вычисления перемещения при свободном падении тела:


Формула координаты при свободном падении тела:

Формула высоты с которой тело свободно падает:

Формула для определения скорости тела в конце свободного падения:

Время свободного падения тела равно:

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.7 / 5. Количество оценок: 45

К примерам движения тела с постоянным ускорением можно отнести падение камня с обрыва, полёт гранаты, после выстрела из гранатомёта, скатывание санок с горы. Равномерное движение можно считать частным случаем равноускоренного, при котором ускорение всегда остаётся равным нулю.

Давайте подробно рассмотрим движение тела под действием постоянного поля силы тяжести вблизи земли. Пусть оно будет брошено под углом к горизонту. Это одновременно и равномерное и равноускоренное движение. Равномерное – по горизонтали (оси X), равноускоренное – по вертикали (оси Y). Сопротивлением воздуха, влиянием на движение вращения Земли и другими подобными факторами пренебрегаем.

В каждой точке пути на тело действует постоянное ускорение g. Оно не меняется ни по величине, ни по направлению.

Основные формулы равноускоренного движения и график равноускоренного движения

Ускорение здесь определяется, как угол наклона графика скорости. Посмотрите на треугольник ABC.

a=(v-v0)/t=BC/AC.

Чем больше угол β, тем более наклонно выглядит график ускорения по отношению к оси времени. Следовательно, тем большее значение имеет ускорение тела.

Для первого из графиков положим V0=-2м/с. a=0,5м/с².

Для второго графика положим V0=3м/с. a=(-1/3)м/с².

Указанный график позволяет понять многие зависимости равноускоренного движения и вычислить его основные параметры при проецировании на направление движения. Сначала нужно выделить на графике крохотный отрезок времени Δt. Будем считать его настолько коротким, что движение на нём можно принять за равномерное со значением скорости равным скорости в середине указанного временного промежутка. Тогда, перемещение Δs за Δt можно принять равным Δs=vΔt. Заштрихованная область на первом из графиков.

Разделим всё время движения тела на такие бесконечно короткие промежутки Δt. Перемещение s за указанное время t будет равняться площади трапеции обозначаемой ODEF.

S=(|OD|+|EF|/2)*OF|= [(v+v0)/2]*t =[2v0+(v-v0)]*t/2;

Как известно, v-v0=at, исходя из этого окончательная формула равноускоренного движения выглядит следующим образом:

S=v0*t+at²/2

Чтобы узнать, какой будет координата тела в любое время его движения, к начальной координате следует ещё вписать перемещение. Изменение координаты в зависимости от времени есть закон равноускоренного движения по оси Y:

Y=y0+v0*t+at²/2.

Закон равноускоренного движения

Из него видна зависимость равноускоренного движения от начального положения и начальной скорости тела. Если то и другое равно нулю, график равноускоренного движения приобретает вид параболы, пересекающей начало координат и обращённой своими ветвями вниз. Само движение при этом будет происходить по прямой вертикальной линии. Выражение станет законом равноускоренного прямолинейного движения.

S=at²/2

Это самый простой класс равноускоренного движения. Вектор скорости тела в нём всегда направлен по оси Y, меняет только свой знак. С формулами равноускоренного прямолинейного движения работать легче всего, поэтому при решении задач нужно стараться выбрать систему отсчёта именно таким образом.

 Подставляя разные начальные значения скорости и координаты, меняя знак ускорения, можно получить самые разные значения. Вы спросите –«Зачем менять знак ускорения? Оно ведь всегда постоянно и направлено точно вниз.» При решении задач, чтобы найти равноускоренное движение, часто бывает удобно изменить направление оси Y, вместе с этим меняется и знак ускорения, оно становится положительным.

Как найти равноускоренное движение тела, если неизвестно время

Часто возникает задача нахождения координаты тела при заданной начальной скорости движения тела, конечной скорости его движения и ускорении, но не заданном времени. Как быть в этой ситуации.

Рассмотрим уравнения:

v=v0+at;

S=v0*t+at²/2

Как систему уравнений. Для её решения, нужно исключить переменную t.

Сначала находим t из первого уравнения

t=(v-v0)/a

Затем подставляем его в выражение для перемещения. В результате получаем уравнение равноускоренного движения, не содержащее время.

s=[v²- (v0)²]/2a

Из данного выражения уже достаточно легко вычислить скорость. Она равна:

V=√(v0)²-2as   

При v0=0 s=v²/2a и v=√2as