Как найти время колебаний через амплитуду

Чтобы описать колебательные процессы и отличить одни колебания от других, используют 6 характеристик. Они называются так (рис. 1):

• амплитуда,
• период,
• частота,
• циклическая частота,
• фаза,
• начальная фаза.

Такие величины, как амплитуду и период, можно определить по графику колебаний.

Начальную фазу, так же, определяют по графику, с помощью интервала времени (large Delta t), на который относительно нуля сдвигается начало ближайшего периода.

Частоту и циклическую частоту вычисляют из найденного по графику периода, по формулам. Они находятся ниже в тексте этой статьи.

А фазу определяют с помощью формулы, в которую входит интересующий нас момент времени t колебаний. Читайте далее.

Что такое амплитуда

Амплитуда – это наибольшее отклонение величины от равновесия, то есть, максимальное значение колеблющейся величины.

Измеряют в тех же единицах, в которых измерена колеблющаяся величина. К примеру, когда рассматривают механические колебания, в которых изменяется координата, амплитуду измеряют в метрах.

В случае электрических колебаний, в которых изменяется заряд, ее измеряют в Кулонах. Если колеблется ток – то в Амперах, а если – напряжение, то в Вольтах.

Часто обозначают ее, приписывая к букве, обозначающей амплитуду индекс «0» снизу.

К примеру, пусть колеблется величина ( large x ). Тогда символом ( large x_{0} ) обозначают амплитуду колебаний этой величины.

Иногда для обозначения амплитуды используют большую латинскую букву A, так как это первая буква английского слова «amplitude».

С помощью графика амплитуду можно определить так (рис. 2):

Что такое период

Когда колебания повторяются точно, изменяющаяся величина принимает одни и те же значения через одинаковые кусочки времени. Такой кусочек времени называют периодом.

Обозначают его обычно большой латинской буквой «T» и измеряют в секундах.

( large T left( c right) ) – период колебаний.

Одна секунда – достаточно большой интервал времени. Поэтому, хотя период и измеряют в секундах, но для большинства колебаний он будет измеряться долями секунды.

Чтобы по графику колебаний определить период (рис. 3), нужно найти два одинаковых значения колеблющейся величины. После, провести от этих значений к оси времени пунктиры. Расстояние между пунктирами – это период колебаний.

Период – это время одного полного колебания.

На графике период найти удобнее одним из таких способов (рис. 4):

Что такое частота

Обозначают ее с помощью греческой буквы «ню» ( large nu ).

Частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за одну секунду?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный одной секунде?».

Поэтому, размерность частоты — это единицы колебаний в секунду:

( large nu left( frac{1}{c} right) ).

Иногда в учебниках встречается такая запись ( large displaystyle nu left( c^{-1} right) ), потому, что по свойствам степени ( large  displaystyle frac{1}{c} = c^{-1} ).

Начиная с 1933 года частоту указывают в Герцах в честь Генриха Рудольфа Герца. Он совершил значимые открытия в физике, изучал колебания и доказал, что существуют электромагнитные волны.

Одно колебание в секунду соответствует частоте в 1 Герц.

[ large displaystyle boxed{ frac{ 1 text{колебание}}{1 text{секунда}} = 1 text{Гц} }]

Чтобы с помощью графика определить частоту, нужно на оси времени определить период. А затем посчитать частоту по такой формуле:

[ large boxed{ nu = frac{1}{T} }]

Существует еще один способ определить частоту с помощью графика колеблющейся величины. Нужно отмерить на графике интервал времени, равный одной секунде, и сосчитать количество периодов колебаний, уместившихся в этот интервал (рис. 5).

Что такое циклическая частота

Колебательное движение и движение по окружности имеют много общего – это повторяющиеся движения. Одному полному обороту соответствует угол (large 2pi) радиан. Поэтому, кроме интервала времени 1 секунда, физики используют интервал времени, равный (large 2pi) секунд.

Число полных колебаний для такого интервала времени, называется циклической частотой и обозначается греческой буквой «омега»:

( large displaystyle omega left( frac{text{рад}}{c} right) )

Примечание: Величину ( large omega ) так же называют круговой частотой, а еще — угловой скоростью (ссылка).

Циклическая частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за (large 2pi) секунд?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный (large 2pi) секунд?».

Обычная ( large nu ) и циклическая ( large omega ) частота колебаний связаны формулой:

[ large boxed{ omega = 2pi cdot nu }]

Слева в формуле количество колебаний измеряется в радианах на секунду, а справа – в Герцах.

Чтобы с помощью графика колебаний определить величину ( large omega ), нужно сначала найти период T.

Затем, воспользоваться формулой ( large displaystyle nu = frac{1}{T} ) и вычислить частоту ( large nu ).

И только после этого, с помощью формулы ( large omega = 2pi cdot nu ) посчитать циклическую ( large omega ) частоту.

Для грубой устной оценки можно считать, что циклическая частота превышает обычную частоту примерно в 6 раз численно.

Определить величину ( large omega ) по графику колебаний можно еще одним способом. На оси времени отметить интервал, равный (large 2pi), а затем, сосчитать количество периодов колебаний в этом интервале (рис. 6).

Что такое начальная фаза и как определить ее по графику колебаний

Отклоним качели на некоторый угол от равновесия и будем удерживать их в таком положении. Когда мы отпустим их, качели начнут раскачиваться. А старт колебаний произойдет из угла, на который мы их отклонили.

Такой, начальный угол отклонения, называют начальной фазой колебаний. Обозначим этот угол (рис. 7) какой-нибудь греческой буквой, например, (large varphi_{0} ).

(large varphi_{0} left(text{рад} right) ) — начальная фаза, измеряется в радианах (или градусах).

Начальная фаза колебаний – это угол, на который мы отклонили качели, перед тем, как их отпустить. Из этого угла начнется колебательный процесс.

Рассмотрим теперь, как величина (large varphi_{0} ) влияет на график колебаний (рис. 8). Для удобства будем считать, что мы рассматриваем колебания, которые происходят по закону синуса.

Кривая, обозначенная черным на рисунке, начинает период колебаний из точки t = 0. Эта кривая является «чистым», не сдвинутым синусом. Для нее величину начальной фазы (large varphi_{0} ) принимаем равной нулю.

Вторая кривая на рисунке обозначена красным цветом. Начало ее периода сдвинуто вправо относительно точки t = 0. Поэтому, для красной кривой, начавшей новый период колебаний спустя время (large Delta t), начальный угол (large varphi_{0} ) будет отличаться от нулевого значения.

Определим угол (large varphi_{0} ) с помощью графика колебаний.

Обратим внимание (рис. на то, что время, лежащее на горизонтальной оси, измеряется в секундах, а величина (large varphi_{0} ) — в радианах. Значит, нужно связать формулой кусочек времени (large Delta t) и соответствующий ему начальный угол (large varphi_{0} ).

Как вычислить начальный угол по интервалу смещения

Алгоритм нахождения начального угла состоит из нескольких несложных шагов.

• Сначала определим интервал времени, обозначенный синими стрелками на рисунке. На осях большинства графиков располагают цифры, по которым это можно сделать. Как видно из рис. 8, этот интервал (large Delta t) равен 1 сек.
• Затем определим период. Для этого отметим одно полное колебание на красной кривой. Колебание началось в точке t = 1, а закончилось в точке t =5. Взяв разность между этими двумя точками времени, получим значение периода.

[large T = 5 – 1 = 4 left( text{сек} right)]

Из графика следует, что период T = 4 сек.

• Рассчитаем теперь, какую долю периода составляет интервал времени (large Delta t). Для этого составим такую дробь (large displaystyle frac{Delta t }{T} ):

[large frac{Delta t }{T} = frac{1}{4} ]

Полученное значение дроби означает, что красная кривая сдвинута относительно точки t = 0 и черной кривой на четверть периода.

• Нам известно, что одно полное колебание — один полный оборот (цикл), синус (или косинус) совершает, проходя каждый раз угол (large 2pi ). Найдем теперь, как связана найденная доля периода с углом (large 2pi ) полного цикла.

Для этого используем формулу:

[large boxed{ frac{Delta t }{T} cdot 2pi = varphi_{0} }]

(large displaystyle frac{1}{4} cdot 2pi = frac{pi }{2} =varphi_{0} )

Значит, интервалу (large Delta t) соответствует угол (large displaystyle frac{pi }{2} ) – это начальная фаза для красной кривой на рисунке.

• В заключение обратим внимание на следующее. Начало ближайшего к точке t = 0 периода красной кривой сдвинуто вправо. То есть, кривая запаздывает относительно «чистого» синуса.

Чтобы обозначить запаздывание, будем использовать знак «минус» для начального угла:

[large varphi_{0} = — frac{pi }{2} ]

Примечание: Если на кривой колебаний начало ближайшего периода лежит левее точки t = 0, то в таком случае, угол (large displaystyle frac{pi }{2} ) имеет знак «плюс».

Для не сдвинутого влево, либо вправо, синуса или косинуса, начальная фаза нулевая (large varphi_{0} = 0 ).

Для синуса или косинуса, сдвинутого влево по графику и опережающего обычную функцию, начальная фаза берется со знаком «+».

А если функция сдвинута вправо и запаздывает относительно обычной функции, величину (large varphi_{0} ) записываем со знаком «-».

Примечания:

1. Физики начинают отсчет времени из точки 0. Поэтому, время в задачах будет величиной не отрицательной.
2. На графике колебаний начальная фаза ( varphi_{0}) влияет на вертикальный сдвиг точки, из которой стартует колебательный процесс. Значит, можно для простоты сказать, что колебания имеют начальную точку.

Благодаря таким допущениям график колебаний при решении большинства задач можно изображать, начиная из окрестности нуля и преимущественно в правой полуплоскости.

Что такое фаза колебаний

Рассмотрим еще раз обыкновенные детские качели (рис. 9) и угол их отклонения от положения равновесия. С течением времени этот угол изменяется, то есть, он зависит от времени.

В процессе колебаний изменяется угол отклонения от равновесия. Этот изменяющийся угол называют фазой колебаний и обозначают (varphi).

Различия между фазой и начальной фазой

Существуют два угла отклонения от равновесия – начальный, он задается перед началом колебаний и, угол, изменяющийся во время колебаний.

Первый угол называют начальной ( varphi_{0}) фазой (рис. 10а), она считается неизменной величиной. А второй угол – просто ( varphi) фазой (рис. 10б) – это величина переменная.

Как на графике колебаний отметить фазу

На графике колебаний фаза (large varphi) выглядит, как точка на кривой. С течением времени эта точка сдвигается (бежит) по графику слева направо (рис. 11). То есть, в разные моменты времени она будет находиться на различных участках кривой.

На рисунке отмечены две крупные красные точки, они соответствуют фазам колебаний в моменты времени t1 и t2.

А начальная фаза на графике колебаний выглядит, как место, в котором находится точка, лежащая на кривой колебаний, в момент времени t=0. На рисунке дополнительно присутствует одна мелкая красная точка, она соответствует начальной фазе колебаний.

Как определить фазу с помощью формулы

Пусть нам известны величины (large omega) — циклическая частота и (large varphi_{0}) — начальная фаза. Во время колебаний эти величины не изменяются, то есть, являются константами.

Время колебаний t будет величиной переменной.

Фазу (large varphi), соответствующую любому интересующему нас моменту t времени, можно определить из такого уравнения:

[large boxed{ varphi = omega cdot t + varphi_{0} }]

Левая и правая части этого уравнения имеют размерность угла (т. е. измеряются в радианах, или градусах). А подставляя вместо символа t в это уравнение интересующие нас значения времени, можно получать соответствующие им значения фазы.

Что такое разность фаз

Обычно понятие разности фаз применяют, когда сравнивают два колебательных процесса между собой.

Рассмотрим два колебательных процесса (рис. 12). Каждый имеет свою начальную фазу.

Обозначим их:

( large varphi_{01}) – для первого процесса и,

( large varphi_{02}) – для второго процесса.

Определим разность фаз между первым и вторым колебательными процессами:

[large boxed{ Delta varphi = varphi_{01} —  varphi_{02} }]

Величина (large Delta varphi ) показывает, на сколько отличаются фазы двух колебаний, она называется разностью фаз.

Как связаны характеристики колебаний — формулы

Движение по окружности и колебательное движение имеют определенную схожесть, так как эти виды движения могут быть периодическими.

Поэтому, основные формулы, применимые для движения по окружности, подойдут так же, для описания колебательного движения.

• Связь между периодом, количеством колебаний и общим временем колебательного процесса:

[large boxed{ T cdot N = t }]

( large T left( c right) ) – время одного полного колебания (период колебаний);

( large N left( text{шт} right) ) – количество полных колебаний;

( large t left( c right) ) – общее время для нескольких колебаний;

• Период и частота колебаний связаны так:

[large boxed{ T = frac{1}{nu} }]

(large nu left( text{Гц} right) ) – частота колебаний.

• Количество и частота колебаний связаны формулой:

[large boxed{ N = nu cdot t}]

• Связь между частотой и циклической частотой колебаний:

[large boxed{ nu cdot 2pi = omega }]

(large displaystyle omega left( frac{text{рад}}{c} right) ) – циклическая (круговая) частота колебаний.

• Фаза и циклическая частота колебаний связаны так:

[large boxed{ varphi = omega cdot t + varphi_{0} }]

(large varphi_{0} left( text{рад} right) ) — начальная фаза;

(large varphi left( text{рад} right) ) – фаза (угол) в выбранный момент времени t;

• Между фазой и количеством колебаний связь описана так:

[large boxed{ varphi = N cdot 2pi }]

• Интервал времени (large Delta t ) (сдвигом) и начальная фаза колебаний связаны:

[large boxed{ frac{Delta t }{T} cdot 2pi = varphi_{0} }]

(large Delta t left( c right) ) — интервал времени, на который относительно точки t=0 сдвинуто начало ближайшего периода.

Механические колебания.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

Колебания — это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания механических систем, или механические колебания — это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.

Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия — это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела — это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.

Период колебаний — это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний — это величина, обратная периоду: . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.

к оглавлению ▴

Гармонические колебания.

Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой . Положению равновесия отвечает значение . Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции , дающей координату тела в любой момент времени.

Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них — синус и косинус — являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.

Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.

Гармонические колебания — это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:

(1)

Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому — амплитуда колебаний.

Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина , равная значению фазы при , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: .

Величина называется циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное радиан: , откуда

(2)

(3)

Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).

В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1):

.

График функции (1), выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1.

Рис. 1. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае , поэтому можно положить . Мы получаем закон косинуса:

.

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2.

Рис. 2. Закон косинуса

Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае , так что можно положить . Получаем закон синуса:

.

График колебаний представлен на рис. 3.

Рис. 3. Закон синуса

к оглавлению ▴

Уравнение гармонических колебаний.

Вернёмся к общему гармоническому закону (1). Дифференцируем это равенство:

. (4)

Теперь дифференцируем полученное равенство (4):

. (5)

Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем :

. (6)

Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:

. (7)

C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:

-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;

-никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения (6), (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой и только их. Две константы определяются из начальных условий — по начальным значениям координаты и скорости.

к оглавлению ▴

Пружинный маятник.

Пружинный маятник — это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.

Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .

Координате отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.

Рис. 4. Пружинный маятник

В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:

. (8)

Если (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и . Наоборот, если , то . Знаки и всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

Тогда соотношение (8) принимает вид:

или

.

Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

.

Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:

. (9)

Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:

. (10)

Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10).

к оглавлению ▴

Математический маятник.

Математический маятник — это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

Рис. 5. Математический маятник

Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Запишем для маятника второй закон Ньютона:

,

и спроектируем его на ось :

.

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. ), то:

.

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. ), то:

.

Итак, при любом положении маятника имеем:

. (11)

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11):

,

или

.

Это — уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

.

Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:

. (12)

Отсюда период колебаний математического маятника:

. (13)

Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

к оглавлению ▴

Свободные и вынужденные колебания.

Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.

Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.

Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.

В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6).

Рис. 6. Затухающие колебания

Вынужденные колебания — это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).

Предположим, что собственная частота колебаний системы равна , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:

.

В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7.

Рис. 7. Резонанс

Мы видим, что вблизи частоты наступает резонанс — явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при .

При изучении этого раздела следует иметь в виду, что колебания различной физической природы описываются с единых математических позиций. Здесь надо четко уяснить такие понятия, как гармоническое колебание, фаза, разность фаз, амплитуда, частота, период колебани.

Надо иметь в виду, что во всякой реальной колебательной системе есть сопротивления среды, т.е. колебания будут затухающими. Для характеристики затухания колебаний вводится коэффициент затухания и логарифмический декремент затухани.

Если колебания совершаются под действием внешней, периодически изменяющейся силы, то такие колебания называют вынужденными. Они будут незатухающими. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом.

Переходя к изучению электромагнитных волн нужно четко представлять, что электромагнитная волна — это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле. Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является электрический диполь. Если диполь совершает гармонические колебания, то он излучает монохроматическую волну.

Таблица формул: колебания и волны

Физические законы, формулы, переменные

Формулы колебания и волны

Уравнение гармонических колебаний:

где х — смещение (отклонение) колеблющейся величины от положения равновесия;

ω — круговая (циклическая) частота;

α — начальная фаза;

Связь между периодом и круговой частотой:

Частота:

Связь круговой частоты с частотой:

Периоды собственных колебаний

1) пружинного маятника:

где k — жесткость пружины;

2) математического маятника:

где l — длина маятника,

g — ускорение свободного падения;

3) колебательного контура:

где L — индуктивность контура,

С — емкость конденсатора.

Частота собственных колебаний:

Сложение колебаний одинаковой частоты и направления:

1) амплитуда результирующего колебания

где А₁ и А₂ — амплитуды составляющих колебаний,

α₁ и α₂ — начальные фазы составляющих колебаний;

2) начальная фаза результирующего колебания

Уравнение затухающих колебаний:

е = 2,71. — основание натуральных логарифмов.

Амплитуда затухающих колебаний:

где А₀ — амплитуда в начальный момент времени;

β — коэффициент затухания;

Коэффициент затухания:

где r — коэффициент сопротивления среды,

где R — активное сопротивление,

L — индуктивность контура.

Частота затухающих колебаний ω:

Период затухающих колебаний Т:

Логарифмический декремент затухания:

Связь логарифмического декремента χ и коэффициента затухания β:

Амплитуда вынужденных колебаний

где ω — частота вынужденных колебаний,

f_о — приведенная амплитуда вынуждающей силы,

при механических колебаниях:

при электромагнитных колебаниях:

Резонансная частота

Резонансная амплитуда

Полная энергия колебаний:

Уравнение плоской волны:

где ξ — смещение точек среды с координатой х в момент времени t;

k — волновое число:

Длина волны:

где v скорость распространения колебаний в среде,

Т — период колебаний.

Связь разности фаз Δφ колебаний двух точек среды с расстоянием Δх между точками среды:

Амплитуда колебаний (лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется ша­рик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.

Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах, санти­метрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как макси­мальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).

Период колебаний.

Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, соверша­ющая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.

Другими словами, период колебаний (Т) — это время, за которое совершается одно полное ко­лебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.

За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четы­рем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах, минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).

Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющей­ся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармоничес­ких колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяю­щихся величин, например, для затухающих колебаний.

Частота колебаний.

Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с.

Единица частоты в СИ названа герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v) равна 1 Гц, то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:

.

В теории колебаний пользуются также понятием циклической, или круговой частоты ω. Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:

.

Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.

Период и частота переменного тока

Время, в течение которого совершается одно полное изме­нение ЭДС, то есть один цикл колебания или один полный оборот радиуса-вектора, называется периодом колебания пере­менного тока (рисунок 1).

Рисунок 1. Период и амплитуда синусоидального колебания. Период — время одного колебания; Аплитуда — его наибольшее мгновенное значение.

Период выражают в секундах и обозначают буквой Т.

Так же используются более мелкие единицы измерения периода это миллисекунда (мс)- одна тысячная секунды и микросекунда (мкс)- одна миллионная секунды.

1 мс =0,001сек =10 -3 сек.

1 мкс=0,001 мс = 0,000001сек =10 -6 сек.

Число полных изменений ЭДС или число оборотов ради­уса-вектора, то есть иначе говоря, число полных циклов колеба­ний, совершаемых переменным током в течение одной секунды, называется частотой колебаний переменного тока.

Частота обо­значается буквой f и выражается в периодах в секунду или в герцах.

Одна тысяча герц называется килогерцом (кГц), а миллион герц — мегагерцом (МГц). Существует так же единица гигагерц (ГГц) равная одной тысячи мегагерц.

1000 Гц = 10 3 Гц = 1 кГц;

1000 000 Гц = 10 6 Гц = 1000 кГц = 1 МГц;

1000 000 000 Гц = 10 9 Гц = 1000 000 кГц = 1000 МГц = 1 ГГц;

Чем быстрее происходит изменение ЭДС, то есть чем бы­стрее вращается радиус-вектор, тем меньше период колебания Чем быстрее вращается радиус-вектор, тем выше частота. Таким образом, частота и период переменного тока являются величинами, обратно пропорциональными друг другу. Чем больше одна из них, тем меньше другая.

Математическая связь между периодом и частотой переменного тока и напряжения выра­жается формулами

Например, если частота тока равна 50 Гц, то период будет равен:

Т = 1/f = 1/50 = 0,02 сек.

И наоборот, если известно, что период тока равен 0,02 сек, (T=0,02 сек.), то частота будет равна:

f = 1/T=1/0,02 = 100/2 = 50 Гц

Частота переменного тока, используемого для освещения и промышленных целей, как раз и равна 50 Гц.

Частоты от 20 до 20 000 Гц называются звуковыми часто­тами. Токи в антеннах радиостанций колеблются с частотами до 1 500 000 000 Гц или, иначе говоря, до 1 500 МГц или 1,5 ГГц. Такие вы­сокие частоты называются радиочастотами или колебаниями высокой частоты.

Наконец, токи в антеннах радиолокационных станций, станций спутниковой связи, других спецсистем (например ГЛАНАСС, GPS) колеблются с частотами до 40 000 МГц (40 ГГц) и выше.

Амплитуда переменного тока

Наибольшее значение, которого достигает ЭДС или сила тока за один период, называется амплитудой ЭДС или силы переменного тока. Легко заметить, что амплитуда в масштабе равна длине радиуса-вектора. Амплитуды тока, ЭДС и напряжения обозначаются соответственно бук­вами Im, Em и Um (рисунок 1).

Угловая (циклическая) частота переменного тока.

Скорость вращения радиуса-вектора, т. е. изменение ве­личины угла поворота в течение одной секунды, называется угловой (циклической) частотой переменного тока и обозначается греческой буквой ? (оме­га). Угол поворота радиуса-вектора в любой данный момент относительно его начального положения измеряется обычно не в градусах, а в особых единицах — радианах.

Радианом называется угловая величина дуги окружности, длина которой равна радиусу этой окружности (рисунок 2). Вся окружность, составляющая 360°, равна 6,28 радиан, то есть 2.

Рисунок 2. Радиан.

1рад = 360°/2

Следовательно, конец радиуса-вектора в течение одного периода пробегают путь, равный 6,28 радиан (2). Так как в тече­ние одной секунды радиус-вектор совершает число оборотов, равное частоте переменного тока f, то за одну секунду его ко­нец пробегает путь, равный 6,28 * f радиан. Это выражение, характеризующее скорость вращения радиуса-вектора, и будет угловой частотой переменного тока — ? .

? = 6,28*f = 2f

Фаза переменного тока.

Угол поворота радиуса-вектора в любое данное мгновение относительно его начального положения называется фазой переменного тока. Фаза характеризует величину ЭДС (или тока) в данное мгновение или, как говорят, мгновенное значение ЭДС, ее направление в цепи и направление ее изменения; фаза пока­зывает, убывает ли ЭДС или возрастает.

Рисунок 3. Фаза переменного тока.

Полный оборот радиуса-вектора равен 360°. С началом но­вого оборота радиуса-вектора изменение ЭДС происходит в том же порядке, что и в течение первого оборота. Следова­тельно, все фазы ЭДС будут повторяться в прежнем поряд­ке. Например, фаза ЭДС при повороте радиуса-вектора на угол в 370° будет такой же, как и при повороте на 10°. В обо­их этих случаях радиус-вектор занимает одинаковое положе­ние, и, следовательно, мгновенные значения ЭДС будут в обоих этих случаях одинаковыми по фазе.

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Колебания и волны

Колебательное движение

Особый вид неравномерного движения — колебательное. Это движение, которое повторяется с течением времени. Механические колебания — это движения, которые повторяются через определенные промежутки времени. Если промежутки времени одинаковые, то такие колебания называются периодическими.

Колебательная система

Это система взаимодействующих тел (минимум два тела), которые способны совершать колебания. Простейшими колебательными системами являются маятники.

Характеристика колебаний

Фаза определяет состояние системы, а именно координату, скорость, ускорение, энергию и др.

Циклическая частота характеризует скорость изменения фазы колебаний.

Начальное состояние колебательной системы характеризует начальная фаза

Амплитуда колебаний A — это наибольшее смещение из положения равновесия

Период T — это промежуток времени, в течение которого точка выполняет одно полное колебание.

Частота колебаний — это число полных колебаний в единицу времени t.

Частота, циклическая частота и период колебаний соотносятся как

Виды колебаний

Колебания, которые происходят в замкнутых системах называются свободными или собственными колебаниями. Колебания, которые происходят под действием внешних сил, называют вынужденными. Встречаются также автоколебания (вынуждаются автоматически).

Если рассматривать колебания согласно изменяющихся характеристик (амплитуда, частота, период и др.), то их можно разделить на гармонические, затухающие, нарастающие (а также пилообразные, прямоугольные, сложные).

При свободных колебаниях в реальных системах всегда происходят потери энергии. Механическая энергия расходуется, например, на совершение работы по преодолению сил сопротивления воздуха. Под влиянием силы трения происходит уменьшение амплитуды колебаний, и через некоторое время колебания прекращаются. Очевидно, что чем больше силы сопротивления движению, тем быстрее прекращаются колебания.

Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденные колебания являются незатухающими. Поэтому необходимо восполнять потери энергии за каждый период колебаний. Для этого необходимо воздействовать на колеблющееся тело периодически изменяющейся силой. Вынужденные колебания совершаются с частотой, равной частоте изменения внешней силы.

Амплитуда вынужденных механических колебаний достигает наибольшего значения в том случае, если частота вынуждающей силы совпадает с частотой колебательной системы. Это явление называется резонансом.

Например, если периодически дергать шнур в такт его собственным колебаниям, то мы заметим увеличение амплитуды его колебаний.

Примеры резонанса

Если влажный палец двигать по краю бокала, то бокал будет издавать звенящие звуки. Хотя это и незаметно, палец движется прерывисто и передает стеклу энергию короткими порциями, заставляя бокал вибрировать

Стенки бокала также начинают вибрировать, если на него направить звуковую волну с частотой, равной его собственной. Если амплитуда станет очень большой, то бокал может даже разбиться. По причине резонанса при пении Ф.И.Шаляпина дрожали (резонировали) хрустальные подвески люстр. Возникновение резонанса можно проследить и в ванной комнате. Если вы будете негромко пропевать звуки разной частоты, то на одной из частот возникнет резонанс.

В музыкальных инструментах роль резонаторов выполняют части их корпусов. Человек также имеет собственный резонатор — это полость рта, усиливающая издаваемые звуки.

Явление резонанса необходимо учитывать на практике. В одних явлениях он может быть полезен, в других — вреден. Резонансные явления могут вызывать необратимые разрушения в различных механических системах, например, неправильно спроектированных мостах. Так, в 1905 году рухнул Египетский мост в Санкт-Петербурге, когда по нему проходил конный эскадрон, а в 1940 — разрушился Такомский мост в США.

Явление резонанса используется, когда с помощью небольшой силы необходимо получить большое увеличение амплитуды колебаний. Например, тяжелый язык большого колокола можно раскачать, действуя сравнительно небольшой силой с частотой, равной собственной частоте колебаний колокола.

Колебания и их амплитуда

Повторяющиеся движения или процессы называют колебаниями.

В зависимости от природы колебания могут быть механическими, электромагнитными, звуковыми и др. Разные виды колебаний описывают с помощью одинаковых уравнений и при этом используют одинаковые характеристики.

Колебания называют свободными (иди собственными), если они происходят за счет энергии, которая получена колебательной системой один раз и в дальнейшем внешних воздействий на эту систему нет.

Самым простым видом колебаний являются гармонические колебания.

Гармоническими колебаниями называют такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса..

Пусть происходят гармонические колебания некоторого параметра $s$, тогда эти колебания можно описать при помощи следующего уравнения:

где $A=s_ $ — амплитуда колебаний; $ _0$ — циклическая (круговая) частота колебаний; $varphi $ — начальная фаза колебаний (фаза при $t=0$); $( _0t+varphi )$ — фаза колебаний.

Амплитудой называют максимальной значение величины, колебания которой рассматривают. Так как косинус (как и синус) изменяется в пределах от единицы до минус единицы, то величина $s$ находится в пределах $-Ale sle $+A.

Метод вращающегося вектора амплитуды колебаний

Примеры задач с решением

Задание. Материальная точка совершает гармонические колебания, которые описывает уравнение: $x=0,1 _0t+varphi )(м) >$. Известно, что период колебаний этой точки равен T=5 c. Какова амплитуда скорости ($v_m$) и амплитуда ускорения ($a_m$) данной точки?

Решение. Прежде всего, найдем циклическую частоту колебаний точки, так как нам известен период колебаний:

Зная закон изменения координаты, определим, как изменяется скорость материальной точки:

где $x_m=0,1$ по условию задачи.

Из уравнения (1.2) следует, что амплитуда скорости колебаний точки равна:

Используя закон изменения скорости, получим закон изменения ускорения точки:

Из закона (1.3) следует, что амплитуда ускорения точки равна:

Ответ. $v_m=0,04pi frac $; $a_m=0,016

Задание. К горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k,$ прикреплен шар массой $M$. Шар находится на гладком столе, по которому может перемещаться без трения. Пуля летит горизонтально и ударяется о шар, застревает в нем. Скорость пули до удара равна $v_0$, масса пули $m$, скорость ее в момент удара направлена параллельно оси пружины. Какова амплитуда колебаний шара с пулей? Массу пружины и сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Запишем закон сохранения импульса для системы шар — пуля (до удара) и шар с пулей сразу после удара:

Из рис.2 следует, что выражение (2.1) можно преобразовать к виду:

Из (2.2) выразим скорость шара с пулей сразу после удара:

Система пуля шар, выведена из состояния равновесия ударом пули. Она совершает свободные гармонические колебания. Кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию сжатой пружины. Для двух состояний системы (первое состояние — максимальная скорость движения системы; второе состояние максимальное сжатие пружины) в соответствии с законом сохранения энергии запишем:

где $x_m$ — амплитуда колебаний шара с пулей. Подставим величину скорости из (2.3) в (2.4) и выразим амплитуду:

§
6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Основные
формулы

• Уравнение
гармонических колебаний

где х
— смещение
колеблющейся точки от положения
равновесия;
t
— время; А,
ω,
φ—
соответственно амплитуда, угловая
частота,
начальная фаза колебаний;
—
фаза колебаний в момент t.

• Угловая частота
колебаний

, или
,

где ν
и
Т — частота и период колебаний.

• Скорость точки,
совершающей гармонические колебания,

• Ускорение при
гармоническом колебании

• Амплитуда
А
результирующего
колебания, полученного при сложении
двух колебаний с одинаковыми частотами,
происходящих по одной прямой, определяется
по формуле

где
a₁
и
А₂—
амплитуды
составляющих колебаний; φ₁
и
φ₂—
их
начальные фазы.

•
Начальная фаза φ
результирующего колебания может быть
найдена
из формулы

•
Частота биений,
возникающих при сложении двух колебаний,
происходящих
по одной прямой с различными, но близкими
по зна­чению
частотами ν₁
и
ν₂,

•
Уравнение траектории
точки, участвующей в двух взаимно
перпендикулярных
колебаниях с амплитудами A₁
и A₂
и начальны­ми
фазами φ₁
и φ₂,

Если
начальные фазы φ₁
и
φ₂
составляющих колебаний одинако­вы,
то уравнение траектории принимает вид

т. е. точка движется
по прямой.

В том
случае, если разность фаз
,
уравнение
принимает вид

т. е. точка движется
по эллипсу.

• Дифференциальное
уравнение гармонических колебаний
ма­териальной точки

, или
,
где
m
—
масса точки; k
—
коэффициент
квазиупругой силы (k=тω²).

•
Полная энергия
материальной точки, совершающей
гармони­ческие
колебания,

• Период
колебаний тела, подвешенного на пружине
(пружин­ный
маятник),

где
m
—
масса тела; k
—
жесткость
пружины.
Формула справедлива для упругих
колебаний в пределах, в ко­торых
выполняется закон Гука (при малой массе
пружины в срав­нении
с массой тела).

Период колебаний
математического маятника

где
l
— длина маятника; g
—
ускорение
свободного падения. Период
колебаний физического маятника

где J
— момент инерции колеблющегося тела
относительно оси

колебаний;
а
— расстояние центра масс маятника от
оси колебаний;

— приведенная
длина физического маятника.

Приведенные
формулы являются точными для случая
бесконеч­но малых амплитуд. При
конечных амплитудах эти формулы дают
лишь приближенные результаты. При
амплитудах не более
ошибка в значении периода не превышает
1 %.

Период
крутильных колебаний тела, подвешенного
на упругой нити,

где J
—
момент
инерции тела относительно оси, совпадающей
с упругой нитью; k
—
жесткость
упругой нити, равная отношению упругого
момента, возникающего при закручивании
нити, к углу, на который нить закручивается.

• Дифференциальное
уравнение затухающих колебаний

, или
,

где r
— коэффициент сопротивления; δ
— коэффициент
затухания:

; ω₀—
собственная угловая частота колебаний
*

• Уравнение
затухающих колебаний

где A
(t) —
амплитуда
затухающих колебаний в момент t;
ω
— их угловая частота.

• Угловая частота
затухающих колебаний

О Зависимость
амплитуды затухающих колебаний от
времени

I

где
А₀
— амплитуда
колебаний в момент t=0.

• Логарифмический
декремент колебаний

где
A
(t) и
A
(t+T) —
амплитуды
двух последовательных колеба­ний,
отстоящих по времени друг от друга на
период.

• Дифференциальное
уравнение вынужденных колебаний

, или

,

где

—
внешняя периодическая сила, действующая
на
колеблющуюся
материальную точку и вызывающая
вынужденные
колебания;
F₀
—
ее
амплитудное значение;

•
Амплитуда вынужденных
колебаний

•
Резонансная частота
и резонансная амплитуда

и

Примеры решения
задач

Пример
1. Точка
совершает колебания по закону
x(t)= ,
где
А=2
см.
Определить начальную фазу φ,
если

x(0)= см
и х^,(0)<0.
Построить векторную диаграмму для
мо-­
мента t=0.

Решение.
Воспользуемся уравнением движения и
выразим смещение в момент t=0
через начальную фазу:

Отсюда
найдем начальную фазу:

*
В приведенных ранее формулах
гармонических колебаний та же
величина
обозначалась просто ω
(без индекса 0).

Подставим
в это выражение заданные значения x(0)
и А:
φ=
= .
Значению аргумента

удовлетворяют
два
значения угла:

Для
того чтобы решить, какое из этих значений
угла φ
удовлет-­
воряет
еще и условию
,
найдем сначала
:

Подставив
в это выражение значение t=0
и поочередно значения
начальных
фаз
и
,
найдем

Так
как всегда A>0
и ω>0,
то условию удовлетворяет
толь­
ко
первое значение начальной фазы.
Таким
образом, искомая начальная
фаза

По
найденному значению φ
постро-­
им
векторную диаграмму (рис. 6.1).
Пример
2. Материальная
точка
массой т=5
г совершает гармоничес-­
кие колебания
с частотой ν
=0,5 Гц.
Амплитуда
колебаний A=3
см. Оп-­
ределить: 1) скорость υ
точки
в мо-­
мент времени, когда смещение
х=
=
1,5 см; 2) максимальную силу
F_max,
действующую
на точку; 3)
Рис.
6.1 полную
энергию Е
колеблющейся
точ­
ки.

Решение.
1. Уравнение гармонического колебания
имеет вид

(1)

а
формулу скорости получим, взяв первую
производную по времени от смещения:

(2)

Чтобы
выразить скорость через смещение, надо
исключить из формул (1) и (2) время. Для
этого возведем оба уравнения в квад­рат,
разделим первое на А²,
второе
на A²
ω
²
и сложим:

, или

Решив
последнее уравнение относительно υ,
найдем

Выполнив вычисления
по этой формуле, получим

см/с.

Знак
плюс соответствует случаю, когда
направление скорости совпадает
с положительным направлением оси х,
знак
минус — ког­да
направление скорости совпадает с
отрицательным направлением оси
х.

Смещение при
гармоническом колебании кроме уравнения
(1) может быть определено также уравнением

Повторив
с этим уравнением такое же решение,
получим тот же ответ.

2.
Силу действующую на точку, найдем по
второму закону Нью­тона:

(3)

где а
— ускорение
точки, которое получим, взяв производную
по времени
от скорости:

, или

Подставив выражение
ускорения в формулу (3), получим

Отсюда максимальное
значение силы

Подставив
в это уравнение значения величин π,
ν,
т
и
A,
найдем

3.
Полная энергия колеблющейся точки есть
сумма кинетической и
потенциальной энергий, вычисленных для
любого момента вре­мени.

Проще
всего вычислить полную энергию в момент,
когда кинети­ческая
энергия достигает максимального
значения. В этот момент потенциальная
энергия равна нулю. Поэтому полная
энергия E
колеблющейся точки равна максимальной
кинетической энергии

T_max:

(4)

Максимальную
скорость определим из формулы (2),
положив

:
.
Подставив выражение скорости в фор­-
мулу
(4), найдем

Подставив
значения величин в эту формулу и произведя
вычис­ления, получим

или

мкДж.

Пример
3.
На концах тонкого стержня длиной l
=
1 м и массой m₃=400
г
укреплены шарики малых размеров массами
m₁=200
г
и
m₂=300г.
Стержень
колеблется около горизонтальной оси,
перпен-

дикулярной
стержню и проходящей через его середину
(точка О на рис. 6.2). Определить период Т
колебаний,
совершаемых стержнем.

Решение.
Период колебаний физического маятника,
каким является стержень с шариками,
определяется соотношением

(1)

где
J
—
момент
инерции маятника относительно оси
колебаний; т
— его
масса; l_С
— расстояние
от центра масс ма­ятника
до оси.

Момент
инерции данного маятника равен сумме
моментов
инерции шариков J₁
и
J₂
и
стержня J₃:

(2)

Принимая
шарики за материальные точки, вы­разим
моменты их инерции:

Так
как ось проходит через середину стержня,
то
его
момент инерции относительно этой оси
J₃=
= .
Подставив
полученные выражения
J₁
,
J₂
и

J₃
в формулу (2), найдем общий момент инерции
фи-­
зического маятника:

Произведя
вычисления по этой формуле, найдем

Рис.
6.2 Масса маятника состоит из масс шариков
и массы
стержня:

Расстояние
l_С
центра
масс маятника от оси колебаний найдем,
исходя
из следующих соображений. Если ось х
направить
вдоль стержня
и начало координат совместить с точкой
О,
то
искомое рас­стояние
l
равно координате центра масс маятника,
т. е.

, или

Подставив
значения величин m₁,
m₂,
m,
l
и произведя вычисле­ния,
найдем

см.

Произведя
расчеты по формуле (1), получим период
колебаний физического
маятника:

Пример
4. Физический
маятник представляет собой стержень
длиной
l=
1 м и массой 3т₁
с прикрепленным
к одному из его концов
обручем
диаметром
и
массой т₁.
Горизонтальная
ось Oz

маятника
проходит через середину стержня
перпендикулярно ему (рис. 6.3). Определить
период Т
колебаний
такого маятника.

Решение.
Период
колебаний физического маятника
опреде­ляется
по формуле

(1)

где
J
—
момент
инерции маятника относительно оси
колебаний; т
— его
масса; l_C
— расстояние
от центра масс
маятника до оси колебаний.

Момент
инерции маятника равен сумме мо­ментов
инерции стержня J₁
и
обруча J₂:

(2).

Момент
инерции стержня относительно
оси,
перпендикулярной
стержню и проходящей
через
его центр масс, определяется по форму-­
ле
.
В данном случае т=3т₁
и

Момент
инерции обруча найдем, восполь-­
зовавшись
теоремой Штейнера
,
где
J
—
момент
инерции относительно про-­
извольной
оси;
J₀
—
момент
инерции отно-­
сительно
оси, проходящей через центр масс
параллельно
заданной оси; а
— расстояние
между
указанными осями. Применив эту фор-­
мулу
к обручу, получим

Рис. 6.3

Подставив
выражения J₁
и
J₂
в форму­лу
(2), найдем момент инерции маятника
относительно оси вра­щения:

Расстояние
l_С
от
оси маятника до его центра масс равно

Подставив
в формулу (1) выражения J,
l_с
и массы маятника

, найдем период его колебаний:

После
вычисления по этой формуле получим
T=2,17
с.

Пример
5. Складываются
два колебания одинакового направле-­
ния,
выражаемых уравнениями
;
х₂=
=,
где А₁=1
см,
A₂=2
см,

с,

с, ω
=
=.
1. Определить начальные фазы φ₁
и φ
₂
составляющих коле-

баний.
2. Найти амплитуду А
и
начальную фазу φ
результирующего колебания.
Написать уравнение результирующего
колебания.

Решение.
1. Уравнение гармонического колебания
имеет вид

(1)

Преобразуем
уравнения, заданные в условии задачи,
к такому же
виду:

(2)

Из
сравнения выражений (2) с равенством (1)
находим начальные фазы
первого и второго колебаний:

рад и

рад.

2.
Для определения амплитуды А
результирую­щего
колебания удобно воспользоваться
векторной диаграммой,
представленной на рис.
6.4.
Согласно теореме косинусов, получим

(3)

где

— разность фаз составляющих колебаний.
Так
как
,
то, подставляя найденные
значения
φ₂
и φ₁
получим

рад.

Рис. 6.4

Подставим
значения А₁
,
А₂
и

в формулу (3)
и
произведем вычисления:

A=2,65
см.

Тангенс
начальной фазы φ
результирующего колебания опреде-­
лим
непосредственно из рис. 6.4:

, отку-­
да
начальная фаза

Подставим
значения А₁,
А₂,
φ
₁,
φ
₂
и произведем вычисления:

= рад.

Так
как угловые частоты складываемых
колебаний одинаковы,
то
результирующее колебание будет иметь
ту же частоту ω.
Это
позволяет
написать уравнение результирующего
колебания в виде

, где A=2,65
см,
,

рад.

Пример
6. Материальная
точка участвует одновременно в двух
взаимно перпендикулярных гармонических
колебаниях, уравне­ния
которых

(1).

(2)

где
a₁=1
см,
A₂=2
см,
.
Найти уравнение траектории точ-­
ки.
Построить траекторию с соблюдением
масштаба и указать
направление
движения точки.

Решение.
Чтобы
найти уравнение траектории точки,
ис­ключим
время t
из
заданных уравнений (1) и (2). Для этого
восполь-

зуемся
формулой
.
В данном случае

, поэтому

Так
как согласно формуле (1)
,
то уравнение траекто-­
рии

(3)

Полученное
выражение представляет собой уравнение
параболы, ось которой совпадает с осью
Ох.
Из
уравнений (1) и (2) следует, что смещение
точки по осям координат ограничено и
заключено в пределах от —1 до +1 см по
оси Ох
и
от —2 до +2 см по оси Оу.

Для
построения траектории найдем по уравнению
(3) значения у,
соответствующие
ряду значений х,
удовлетворяющих
условию

см, и составим таблицу:

X , СМ	-1	—0,75	—0,5	0	+0,5	+ 1
у, см	0	±0,707	±1	±1,41	±1,73	±2

Начертив
координатные оси и выбрав масштаб,
нанесем на пло­скость
хОу
найденные
точки. Соединив их плавной кривой,
получим траекторию точки, совершающей
колеба­ния
в соответствии с уравнениями движе­ния
(1) и (2) (рис. 6.5).

Рис. 6.5

Для
того чтобы указать направление движения
точки, проследим за тем, как из­меняется
ее положение с течением времени. В
начальный момент t=0
координаты точ­ки
равны x(0)=1
см и y(0)=2
см. В по­следующий
момент времени, например при t₁=l
с,
координаты точек изменятся и ста­нут
равными х
(1)=
—1
см, y(t)=0.
Зная
положения
точек в начальный и последую­щий
(близкий) моменты времени, можно указать
направление движения точки по траектории.
На рис. 6.5 это направление движения
указано стрелкой (от точки А
к
началу
координат). После того как в мо­мент
t₂
= 2 с колеблющаяся точка достиг­нет
точки D,
она
будет двигаться в обратном направлении.

Задачи

Кинематика
гармонических колебаний

6.1.
Уравнение колебаний точки имеет вид
,
где
ω=π
с^-1,
τ=0,2
с. Определить период Т
и
начальную фазу φ
колебаний.

6.2.
Определить
период Т,
частоту
v
и
начальную фазу φ
коле­баний,
заданных уравнением
,
где ω=2,5π
с^-1,
τ=0,4
с.

6.3.
Точка
совершает колебания по закону
,
где
A=4
см. Определить начальную фазу φ,
если: 1) х(0)=2
см
и

;
2)
х(0)
=см
и
;
3) х(0)=2см
и
;
4)
х(0)=
и
.
Построить векторную диаграмму
для
момента
t=0.

6.4.
Точка
совершает колебания .по закону
,
где
A=4
см. Определить начальную фазу φ,
если: 1) х(0)=2
см
и

; 2) x(0)=
см и
;
3) х(0)=
см и
;
4)
x(0)=см
и
.
Построить векторную диаграмму для
момента
t=0.

Задачи на Механические колебания с решениями

Формулы, используемые на уроках «Задачи на Механические колебания».

Название величины	Обозначение	Единица измерения	Формула
Амплитуда колебаний	A	м
Период колебаний	T	с	T = 1 / v ; T = t / N
Частота колебаний	v	Гц	v = 1 / T ; v = N / t
Число колебаний за какое-то время	N		N = t /T ; N = vt
Время	t	с	t = NT ; t = N / v
Циклическая частота колебаний	ω	Гц
Период колебаний пружинного маятника	T	c
Период колебаний математического маятника	T	c
Уравнение гармонических колебаний			x(t) = Asin(ωt+φ0)

---

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

---

Задача № 1.
 Шарик на нити совершил 60 колебаний за 2 мин. Определите период и частоту колебаний шарика.

---

Задача № 2.
 На рисунке изображен график зависимости координаты от времени колеблющегося тела.

По графику определите: 1) амплитуду колебаний; 2) период колебаний; 3) частоту колебаний; 4) запишите уравнение координаты.

---

Задача № 3.
 Амплитуда незатухающих колебаний точки струны 2 мм, частота колебаний 1 кГц. Какой путь пройдет точка струны за 0,4 с? Какое перемещение совершит эта точка за один период колебаний?

---

Задача № 4.
 Пользуясь графиком изменения координаты колеблющегося тела от времени, определить амплитуду, период и частоту колебаний. Записать уравнение зависимости x(t) и найти координату тела через 0,1 и 0,2 с после начала отсчета времени.

---

Задача № 5.
 Какова длина математического маятника, совершающего гармонические колебания с частотой 0,5 Гц на поверхности Луны? Ускорение свободного падения на поверхности Луны 1,6 м/с².

---

Задача № 6.
 Груз массой 400 г совершает колебания на пружине с жесткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний 15 см. Найти полную механическую энергию колебаний и наибольшую скорость движения груза.

---

Задача № 7.
 Частота колебаний крыльев вороны в полете равна в среднем 3 Гц. Сколько взмахов крыльями сделает ворона, пролетев путь 650 м со скоростью 13 м/с?

---

Задача № 8.
 Гармоническое колебание описывается уравнением 
 Чему равны циклическая частота колебаний, линейная частота колебаний, начальная фаза колебаний?

---

Задача № 9.
 Математический маятник длиной 0,99 м совершает 50 полных колебаний за 1 мин 40 с. Чему равно ускорение свободного падения в данном месте на поверхности Земли? (Можно принять π² = 9,87.)

---

Задача № 10.
  ОГЭ
 Как и во сколько раз изменится период колебаний пружинного маятника, если шарик на пружине заменить другим шариком, радиус которого вдвое меньше, а плотность — в два раза больше?

---

Задача № 11.
   ЕГЭ
 Два математических маятника за одно и то же время совершают — первый N₁ = 30, а второй — N₂ = 40 колебаний. Какова длина каждого из них, если разность их длин Δl = 7 см?

---

Краткая теория для решения Задачи на Механические колебания.

---

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Механические колебания». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к теме: ЗАДАЧИ на 
• Посмотреть конспект по теме ДИНАМИКА: вся теория для ОГЭ (шпаргалка)
• Вернуться к списку конспектов по Физике.
• Проверить свои знания по Физике.