Как найти время падения мяча

Скорость, время и высота свободного падения

Чтобы посчитать скорость свободного падения, а также время или расстояние (высоту) свободного падения, воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Скорость свободного падения

Расстояние и время свободного падения

Просто введите данные, и получите ответ.

Стоит обратить внимание, на то, что данный калькулятор не учитывает сопротивление воздуха (атмосферы) и других сил способных повлиять на скорость падения тела, кроме силы тяжести.

Теория

Ускорение свободного падения

Как найти скорость свободного падения

Время свободного падения

Высота свободного падения

См. также

Вычислить время падения мяча с высоты (16,3 м) без начальной скорости с учетом сопротивления воздуха (вес мяча (0,4 кГ), сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно (0,48 Г) при скорости (1 м/сек)). Найти скорость в конце падения.

Решение
Пусть (v(t)) скорость мяча в момент времени (t). На мяч действуют две силы: сила тяжести (P=mg) и сила сопротивления (F=−kv^2) (поскольку по условию задачи сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости), где (m) — масса мяча, ( g=10 м/с^2) — ускорение свободного падения, (k) — коэффициент пропорциональности.
Согласно второму закону Ньютона получаем дифференциальное уравнение:
[mfrac{dv}{dt}=mg-kv^2.]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

[frac{m}{k}frac{1}{frac{mg}{k}-v^2}dv=dt]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
[frac{m}{k}intfrac{1}{frac{mg}{k}-v^2}dv=int dt]
Воспользуемся табличным интегралом:
[int frac{dx}{a^2-x^2}=frac{1}{2a}lnleftlvertfrac{a+x}{a-x}rightrvert+C; a=sqrt{frac{mg}{k}}.]

[frac{m}{k}int frac{1}{frac{mg}{k} -v^2}dv=frac{m}{2k}sqrt{frac{k}{mg}}lnleftlvertfrac{sqrt{frac{mg}{k}}+v}{sqrt{frac{mg}{k}}-v}rightrvert+C]
Получаем общее решение:
[frac{m}{2k}sqrt{frac{k}{mg}}lnleftlvertfrac{sqrt{frac{mg}{k}}+v}{sqrt{frac{mg}{k}}-v}rightrvert=t+C]
[frac{sqrt{frac{mg}{k}}+v}{sqrt{frac{mg}{k}}-v}=C_1e^{2sqrt{frac{kg}{m}}t}]
Так как (v(0)=0), то (C_1=1):
[frac{sqrt{frac{mg}{k}}+v}{sqrt{frac{mg}{k}}-v}=e^{2sqrt{frac{kg}{m}}t}]
Выразим (v):
[sqrt{frac{mg}{k}}+v=Bigl(sqrt{frac{mg}{k}}-vBigr)e^{2sqrt{frac{kg}{m}}t}]
[vBigl(1+e^{2sqrt{frac{kg}{m}}t}Bigr)=sqrt{frac{mg}{k}}Bigl(e^{2sqrt{frac{kg}{m}}t}-1Bigr)]
[v=sqrt{frac{mg}{k}}frac{e^{2sqrt{frac{kg}{m}}t}-1}{1+e^{2sqrt{frac{kg}{m}}t}}]
[v=sqrt{frac{mg}{k}}text{th} Bigl(sqrt{frac{kg}{m}}tBigr)]
Найдем пройденное расстояние:
[s(t)=int v(t) dt =sqrt{frac{mg}{k}}int text{th} Bigl(sqrt{frac{kg}{m}}tBigr)=frac{m}{k}lnBigl(text{ch}Bigl(sqrt{frac{kg}{m}}tBigr)Bigr)+C]
Так как (s(0)=0), то (C=0):
[s(t)=frac{m}{k}lnBigl(text{ch}Bigl(sqrt{frac{kg}{m}}tBigr)Bigr)]
Выразим (t):
[text{ch}Bigl(sqrt{frac{kg}{m}}tBigr)=e^{frac{ks}{m}}]
[sqrt{frac{kg}{m}}t=ln ( e^{frac{ks}{m}}+sqrt{e^{2frac{ks}{m}}-1} )]
[t=sqrt{frac{m}{kg}}ln ( e^{ks/m}+sqrt{e^{2ks/m}-1} )]

Подставив в полученную формулу исходные данные, мы получим время падения мяча.
Поскольку вес мяча и сопротивление воздуха заданы в килограмм-силах, то для силы тяжести получаем получаем:
[m=frac{P}{g}=frac{0,4}{10}=0,04]
Для силы сопротивления:
[k=0,00048 frac{кГcdot с^2}{м^2}]
Поскольку мяч падал с высоты (16,3 м), то (s=16,3).
Получаем:
[t=sqrt{frac{0,04}{0,00048cdot 10}}ln ( e^{0,00048cdot 16,3/0,04}+sqrt{e^{2cdot 0,00048cdot 16,3/0,04}-1} )approx 1,86 ]
Найдем скорость в конце падения:
[v(1,86)=sqrt{frac{0,04 cdot 10}{0,00048}}text{th} Bigl(sqrt{frac{0,00048 cdot 10}{0,04}}1,86Bigr)approx 16,39]
Таким образом, время падения (1,86 сек), скорость в конце падения (16,39 м/сек).

Подробности

Обновлено 30.05.2018 23:56

Просмотров: 1736

Задачи по физике — это просто!

Не забываем, что решать задачи надо всегда в системе СИ!

А теперь к задачам!

Задача1

Шишка, висевшая на ели, оторвалась и за 2 секунды достигла земли.
На какой высоте висела шишка?
Какую скорость она имела у самой земли?

Помни!
1. В данной задаче начальная скорость тела равна нулю, и формулы становятся проще!
2. Будем грамотны! Рассчитываем проекцию вектора, но ответ должен быть в модулях! В последней записи перед ответом переходим от проекции к модулю.

Задача 2

С крыши дома высотой 25 метров падает кирпич. Определить время его падения на землю.

Помни!
1. В данной задаче начальная скорость тела равна нулю, формула упрощается!
2. Внимание, преобразование формулы! Делаем без ошибок!

Задача 3

Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью 10м/с. Определить время подъема мяча на максимальную высоту.

Гляди в оба!

Проекция вектора ускорения на ось отрицательна!
В расчете не забудьте о минусе!

Задача 4

Стрела пущена вертикально вверх со скоростью 30 м/с. Определить максимальную высоту подъема стрелы.

Помни!

1. Конечная скорость тела, брошенного вертикально вверх, (на максимальной высоте подъема) равна нулю! Без этой величины задачу не решить!
2. Проекция вектора ускорения на ось отрицательна, не забудьте подставить «минус»!

Задача 5

Определить через сколько времени упадет на землю мяч, запущенный вертикально вверх от земли с начальной скоростью 25 м/с.

Обрати внимание!
Движение тела состоит из двух частей: подъема и спуска.

Общее время движения: t = t_{подъема} + t_спуска

Интересно, что при таком движении тела время подъема и времени спуска одинаковы!
Убедимся в этом при расчете!

Вторник, а это значит, что сегодня мы снова решаем задачи. На это раз, на тему «свободное падение тел».

Присоединяйтесь к нам в телеграм и получайте актуальную рассылку каждый день!

Задачи на свободное падение тел с решением

Задача №1. Нахождение скорости при свободном падении

Условие

Тело падает с высоты 20 метров. Какую скорость оно разовьет перед столкновением с Землей?

Решение

Высота нам известна по условию. Для решения применим формулу для скорости тела в момент падения и вычислим:

Ответ: примерно 20 метров в секунду.

Задача №2. Нахождение высоты и времени движения тела, брошенного вертикально.

Условие

Индеец выпускает стрелу из лука вертикально вверх с начальной скоростью 25 метров в секунду. За какое время стрела окажется в наивысшей точке и какой максимальной высоты она достигнет стрела?

Решение

Сначала запишем формулу из кинематики для скорости. Как известно, в наивысшей точке траектории скорость стрелы равна нулю:

Теперь запишем закон движения для вертикальной оси, направленной вертикально вверх.

Ответ: 2,5 секунды, 46 метров.

Задача №3. Нахождение времени движения тела, брошенного вертикально вверх

Условие

Мячик бросили вертикально вверх с начальной скоростью 30 метров в секунду. Через какое время мяч окажется на высоте 25 метров?

Решение

Запишем уравнение для движения мячика:

Мы получили квадратное уравнение. Упростим его и найдем корни:

Как видим, уравнение имеет два решения. Первый раз мячик побывал на высоте через 1 секунду (когда поднимался), а второй раз через 5 секунд (когда падал обратно).

Ответ: 1с, 5с.

Задача №4. Нахождение высоты при движении тела под углом к горизонту

Условие

Камень, брошенный с крыши дома под углом альфа к горизонту, через время t1=0,5c достиг максимальной высоты, а еще через время t2=2,5c упал на землю. Определите высоту Н дома. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

Решение

Камень брошен со скоростью v0 под углом α к горизонту с дома высотой Н. Эту скорость можно разложить на две составляющие: v0X (горизонтальная) и v0Y (вертикальная). В горизонтальном направлении на камень не действует никаких сил (сопротивлением воздуха пренебрегаем), поэтому горизонтальная составляющая скорости неизменна на протяжении всего времени полета камня (равномерное движение). Максимальная точка траектории камня над уровнем земли (исходя из кинематических соотношений):

Здесь t1 – время подъема камня с высоты Н на высоту h; g – ускорение свободного падения.

Вертикальную составляющую скорости можно вычислить исходя из геометрических соображений:

Также высоту h можно выразить через время t2 падения камня с высоты h на землю (исходя из кинематических соотношений и учитывая, что с вертикальная составляющая скорости в наивысшей точке равна нулю):

         
Так как вертикальная составляющая скорости камня в максимальной точке траектории равна нулю:

Подставляем в формулу для высоты H и вычисляем:

Ответ: H = 30 м.

Задача №5. Нахождение закона движения тела

Условие

Найти закон движения тела против силы тяжести, при начальной скорости V0. И на какую максимальную высоту поднимется тело? Тело бросили под углом 90 градусов.

Решение

Тело брошено под углом α=90° к горизонту. Другими словами, тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью V0. Направим координатную ось х вертикально вверх, так ее направление совпадает с вектором начальной скорости. F – сила тяжести, направленная вниз. В начальный момент тело находится в точке А.

В задаче нужно найти закон движения тела, то есть зависимость координаты тела от времени. В общем случае этот закон задается кинематическим соотношением:

где х0 – начальная координата тела; a – ускорение.

Так как мы поместили начало координат в точку А,  х0=0. Тело движется с ускорением свободного падения g, при этом сила тяжести направлена против начальной скорости, поэтому в проекции на вертикальную ось a=-g. Таким образом, искомый закон движения перепишется в виде:

Далее будем использовать еще одно общее кинематическое соотношение:

где V – конечная скорость.

Максимальная высота подъема тела указана на рисунке точной B, в этот момент конечная скорость V равна нулю, а координата х равна максимальной высоте Н подъема тела. Отсюда можно найти выражение для этой величины:

Полезные формулы для решения задач на свободное падение

Свободное падение описывается формулами кинематики. Мы не будем приводить их вывод, но запишем самые полезные.

Формула для максимальной высоты подъема тела, брошенного вертикально вверх c некоторой начальной скоростью:

Кстати, как выводится именно эта формула можно посмотреть в последней задаче.

Формула для времени подъема и падения тела, брошенного вертикально вверх:

Скорость тела в момент падения с высоты h:

Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

Вопросы с ответами на свободное падение тел

Вопрос 1. Как направлен вектор ускорения свободного падения?

Ответ: можно просто сказать, что ускорение g направлено вниз. На самом деле, если говорить точнее, ускорение свободного падения направлено к центру Земли.

Вопрос 2. От чего зависит ускорение свободного падения?

Ответ: на Земле ускорение свободного падения зависит от географической широты, а также от высоты h подъема тела над поверхностью. На других планетах эта величина зависит от массы M и радиус R небесного тела. Общая формула для ускорения свободного падения:

Вопрос 3. Тело бросают вертикально вверх. Как можно охарактеризовать это движение?

Ответ: В этом случае тело движется равноускоренно. Причем время подъема и время падения тела с максимальной высоты равны.

Вопрос 4. А если тело бросают не вверх, а горизонтально или под углом к горизонту. Какое это движение?

Ответ: можно сказать, что это тоже свободное падение. В данном случае движение нужно рассматривать относительно двух осей: вертикальной и горизонтальной. Относительно горизонтальной оси тело движется равномерно, а относительно вертикальной – равноускоренно с ускорением g.

Баллистика – наука, изучающая особенности и законы движения тел, брошенных под углом к горизонту.

Вопрос 5. Что значит «свободное» падение.

Ответ: в данном контексте понимается, что тело при падении свободно от сопротивления воздуха.

Свободное падение тел: определения, примеры

Свободное падение – равноускоренное движение, происходящее под действием силы тяжести.

Первые попытки систематизированно и количественно описать свободное падение тел относятся к средневековью. Правда, тогда было широко распространено заблуждение, что тела разной массы падают с разной скоростью. На самом деле, в этом есть доля правды, ведь в реальном мире на скорость падения сильно влияет сопротивление воздуха.

Однако, если им можно пренебречь, то скорость падающих тел разной массы будет одинакова. Кстати, скорость при свободном падении возрастает пропорционально времени падения.

Ускорение свободно падающих тел не зависит от их массы.

Рекорд свободного падения для человека на данный момент принадлежит австрийскому парашютисту Феликсу Баумгартнеру, который в 2012 году прыгнул с высоты 39 километров и находился в свободном падении 36 402,6 метра. 

Примеры свободного падения тел:

• яблоко летит на голову Ньютона;
• парашютист выпрыгивает из самолета;
• перышко падает в герметичной трубке, из которой откачан воздух.

При свободном падении тела возникает состояние невесомости. Например, в таком же состоянии находятся предметы на космической станции, движущейся по орбите вокруг Земли. Можно сказать, что станция медленно, очень медленно падает на планету.

Конечно, свободное падение возможно не только не Земле, но и вблизи любого тела, обладающего достаточной массой. На других комических телах падения также будет равноускоренным, но величина ускорения свободного падения будет отличаться от земной. Кстати, раньше у нас уже выходил материал про гравитацию.

При решении задач ускорение g принято считать равным 9,81 м/с^2. В реальности его величина варьируется от 9,832 (на полюсах) до 9,78 (на экваторе). Такая разница обусловлена вращением Земли вокруг своей оси.

Нужна помощь в решении задач по физике? Обращайтесь в профессиональный студенческий сервис в любое время.