Как найти время при торможении физика

Известно, что грузовой автомобиль массой пять тысяч килограмм движется по горизонтальному пути со скоростью семьдесят два километра в час (20 метров в секунду).
Необходимо: определить силу и время торможения автомобиля, если тормозной путь составил пять метров.

Дано: m=5000 кг; v=20 м/сек; s=5 м
Найти: F-?; t-?

Решение

Исходя из того, что работа силы торможения численно равна изменению кинетической энергии движущегося автомобиля , получаем формулу для определения силы торможения

Подставив в формулу численные значения, рассчитаем силу торможения грузового автомобиля

н

Из формулы , при условии, что v_t=0: , где , получаем формулу времени торможения

Время торможения автомобиля

сек

Ответ: сила торможения автомобиля составила двести тысяч ньютон, время торможения равно половине секунды.

При кажущемся изобилии задач на прямолинейное равноускоренное движение все они могут быть сведены к задачам двух типов. Для этого необходимо выбрать ось X таким образом, чтобы ее положительное направление совпадало с направлением движения тела. В этом случае все задачи сводятся либо к задаче «разгон» (если a > 0), либо к задаче «торможение» (если a

Задача «Разгон»

Гоночный автомобиль трогается с места, набирая скорость 30 м/с (108 км/ч) за время t = 6 с. Определите пройденный автомобилем за это время путь, считая движение автомобиля равноускоренным.

Решение.

Используем известную нам схему решения кинематических задач.

Шаг 1. Свяжем координатную ось X с дорогой, по которой разгоняется автомобиль. Начало отсчета поместим в то место, откуда автомобиль начинает разгон. Ось X направим по ходу движения автомобиля, как показано на рис. 59. В качестве единицы выберем 1 м. Включим часы (секундомер) в момент начала разгона.

Шаг 2. Определим в выбранной нами системе отсчета начальную координату автомобиля – x₀ = 0.

Шаг 3. По условию начальная скорость автомобиля v₀ = 0. Так как направление ускорения совпадает с положительным направлением оси X, то значение ускорения a будет положительным.

Шаг 4. Запишем зависимость координаты от времени при прямолинейном равноускоренном движении автомобиля с учетом данных задачи:

x = x₀ + v₀ · t + (a · t²) / 2 = 0 + 0 + (a · t²) / 2 = (a · t²) / 2.

Шаг 4* (новый). Запишем зависимость значения скорости автомобиля от времени:

v = v₀ + a · t = 0 + a · t = a · t.

Из этого выражения видно, что при положительном значении ускорения скорость автомобиля увеличивается со временем. При этом за каждую секунду значение скорости возрастает на величину, равную a · 1 (м/с).

Шаг 5. Условие окончания разгона до скорости v_к имеет вид:

v = v_к.

Шаг 6. Объединим составленные уравнения, присвоив каждому номер и название:

x = (a · t²) / 2, (1) (закон движения автомобиля)
v = a · t, (2) (зависимость скорости от времени)
v = v_к. (3) (условие окончания разгона)

Шаг 7. Решение уравнений. Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо решить уравнение (1), подставив в него время разгона 6 с и значение ускорения a. Однако значение ускорения нам пока не известно. Зато нам известны значения начальной и конечной скоростей автомобиля. Следовательно, мы можем найти значение ускорения. Для этого в условие окончания разгона (3) подставим из уравнения (2) значение скорости a · t в момент t = 6 с:

v_к = a · t,
a = v_к/t; a = 30/6 = 5 (м/с²).

Подставив полученное значение a в уравнение (1), находим:

x = (a · t²) / 2 = (5 · 6²) / 2 = 90 (м).

Ясно, что s = x — x₀ = 90 — 0 = 90 (м).

Как вы заметили, в отличие от задач о равномерном движении, в шаге 4 появилось дополнение, связанное с тем, что скорость равноускоренно движущегося тела изменяется со временем. В результате появилось новое уравнение – зависимость значения скорости от времени.

Задача «Торможение»

Автобус движется со скоростью, модуль которой равен 20 м/с (72 км/ч). Водитель автобуса замечает на дороге кошку и нажимает на педаль тормоза. Определите длину тормозного пути автобуса, если модуль ускорения при торможении |a| = 4 м/с².

Решение.

Шаг 1. Систему отсчета выберем так, как показано на рис. 60.

Шаг 2. Начальная координата автобуса x₀ = 0.

Шаг 3. Значение начальной скорости автобуса v₀ = 20 м/с.

Шаг 4. С учетом шагов 1, 2 и 3 зависимость координаты автобуса от времени будет иметь вид:

x = x₀ + v₀ · t + (a · t²) / 2 = 0 + 20 · t — (4 · t²) / 2.

Внимание! Значение скорости автобуса уменьшается. Значит, направление вектора ускорения автобуса противоположно положительному направлению оси X. Поэтому мы подставили в формулу отрицательное значение ускорения (a = -4 м/с²). При этом направление вектора начальной скорости совпадает с положительным направлением оси X. Поэтому значение скорости v0 положительно. Такие же знаки у величин v0 и a будут и в шаге 4*.

Шаг 4* (новый). Зависимость значения скорости от времени имеет вид:

v = v₀ + a · t = 20 — 4 · t.

Видно, что при отрицательном значении ускорения a = -4 м/с² скорость автобуса со временем уменьшается. При этом за каждую секунду значение скорости изменяется на величину -4 м/с, т. е. уменьшается на 4 м/с.

Шаг 5. Запишем условие окончания торможения: v = 0, так как в искомый момент времени t автобус должен остановиться.

Шаг 6. Объединим составленные уравнения, присвоив каждому номер и название:

x = 0 + 20 · t — (4 · t²) / 2, (1) (закон движения автобуса)
v = v₀ + a · t = 20 — 4 · t, (2) (зависимость скорости от времени)
v = 0. (3) (условие окончания торможения)

Шаг 7. Решение уравнений. Чтобы найти тормозной путь, необходимо подставить в уравнение (1) время торможения автобуса. Эта величина нам неизвестна, но ее можно найти из уравнений (2) и (3). Для этого необходимо подставить в зависимость скорости от времени значение скорости в момент окончания торможения v = 0, после чего решить полученное уравнение:

20 — 4 · t = 0, t = 5 c.

Таким образом, автобус остановится через время t = 5 с.

Подставим найденное время торможения t = 5 с в уравнение (1) и найдем тормозной путь:

x = 20 · 5 — (4 · 5²) / 2 = 50 (м).

Таким образом, длина тормозного пути автобуса равна 50 м.

Итоги
Если положительное направление оси X выбрать совпадающим с направлением движения тела, то все задачи на равноускоренное движение можно свести к двум типам:
1) задача «разгон» (a > 0, скорость тела увеличивается с течением времени);
2) задача «торможение» (a
Если тело меняет направление своего движения, то рассматриваемый промежуток времени нужно разделить на интервалы, в течение каждого из которых тело движется только в одном направлении. При этом задача разделяется на несколько задач.

Упражнения

1. Заполните таблицу для разгоняющегося автомобиля, используя условия задачи 1 («разгон»). Как изменяются со временем: значение скорости; координата разгоняющегося автомобиля?

2. Заполните таблицу для тормозящего автобуса, используя условия задачи 2 («торможение»). Ответьте на вопросы: как изменяются со временем: значение скорости; координата тормозящего автобуса?

3. Найдите координату x автомобиля (см. рис. 57) в моменты времени 3, 5 и 8 с, если его начальная координата x₀ = 30 м, значение начальной скорости v₀ = 10 м/с, а значение ускорения a = 3 м/с².

4. Решите задачу 2 («торможение») в общем виде. Представьте полученный ответ в виде
s = v₀² / (2 · a).
Проведите анализ полученного ответа. Определите тормозной путь автобуса, если: а) v₀ = 16 м/с; б) v₀ = 115,2 км/ч.

5. Найдите путь, пройденный автомобилем, движение которого задано в упражнении 3, за промежуток времени от t₁ = 2 с до t₂ =5 с.

6. Два мотоциклиста, двигавшиеся прямолинейно, начинают одновременно тормозить перед светофором и так же одновременно останавливаются, проехав расстояние s = 100 м. Первый мотоциклист перед торможением двигался со скоростью, имеющей значение v₁ = 72 км/ч, второй – со скоростью, имеющей значение v₂ = 108 км/ч. Найдите значения ускорений мотоциклистов.

Одним из самых распространенных видов перемещения объектов в пространстве, с которым человек встречается повседневно, является равноускоренное прямолинейное движение. В 9 классе общеобразовательных школ в курсе физики изучают подробно этот вид движения. Рассмотрим его в статье.

Кинематические характеристики движения

Прежде чем приводить формулы, описывающие равноускоренное прямолинейное движение в физике, рассмотрим величины, которые его характеризуют.

Вам будет интересно:Методика ШТУР: расшифровка аббревиатуры, особенности проведения теста, итоговый анализ и результаты

В первую очередь это пройденный путь. Будем его обозначать буквой S. Согласно определению, путь — это расстояние, которое тело прошло вдоль траектории перемещения. В случае прямолинейного движения траектория представляет собой прямую линию. Соответственно, путь S — это длина прямого отрезка на этой линии. Он в системе физических единиц СИ измеряется в метрах (м).

Вам будет интересно:«Рубаха-парень»: значение в прошлом и сейчас

Скорость или как часто ее называют линейная скорость — это быстрота изменения положения тела в пространстве вдоль его траектории перемещения. Обозначим скорость буквой v. Измеряется она в метрах в секунду (м/с).

Ускорение — третья важная величина для описания прямолинейного равноускоренного движения. Она показывает, как быстро во времени изменяется скорость тела. Обозначают ускорение символом a и определяют его в метрах в квадратную секунду (м/с2).

Путь S и скорость v являются переменными характеристиками при прямолинейном равноускоренном движении. Ускорение же является величиной постоянной.

Связь скорости и ускорения

Представим себе, что некоторый автомобиль движется по прямой дороге, не меняя свою скорость v0. Это движение называется равномерным. В какой-то момент времени водитель стал давить на педаль газа, и автомобиль начал увеличивать свою скорость, приобретя ускорение a. Если начинать отсчет времени с момента, когда автомобиль приобрел ненулевое ускорение, тогда уравнение зависимости скорости от времени примет вид:

v = v0 + a * t.

Здесь второе слагаемое описывает прирост скорости за каждый промежуток времени. Поскольку v0 и a являются постоянными величинами, а v и t — это переменные параметры, то графиком функции v будет прямая, пересекающая ось ординат в точке (0; v0), и имеющая некоторый угол наклона к оси абсцисс (тангенс этого угла равен величине ускорения a).

На рисунке показаны два графика. Отличие между ними заключается только в том, что верхний график соответствует скорости при наличии некоторого начального значения v0, а нижний описывает скорость равноускоренного прямолинейного движения, когда тело начало из состояния покоя ускоряться (например, стартующий автомобиль).

Отметим, если в примере выше водитель вместо педали газа нажал бы педаль тормоза, то движение торможения описывалось бы следующей формулой:

v = v0 — a * t.

Этот вид движения называется прямолинейным равнозамедленным.

Формулы пройденного пути

На практике часто важно знать не только ускорение, но и значение пути, который за данный период времени проходит тело. В случае прямолинейного равноускоренного движения эта формула имеет следующий общий вид:

S = v0 * t + a * t2 / 2.

Первый член соответствует равномерному движению без ускорения. Второй член — это вклад в пройденный путь чистого ускоренного движения.

В случае торможения движущегося объекта выражение для пути примет вид:

S = v0 * t — a * t2 / 2.

В отличие от предыдущего случая здесь ускорение направлено против скорости движения, что приводит к обращению в ноль последней через некоторое время после начала торможения.

Не сложно догадаться, что графиками функций S(t) будут ветви параболы. На рисунке ниже представлены эти графики в схематическом виде.

Параболы 1 и 3 соответствуют ускоренному перемещению тела, парабола 2 описывает процесс торможения. Видно, что пройденный путь для 1 и 3 постоянно увеличивается, в то время как для 2 он выходит на некоторую постоянную величину. Последнее означает, что тело прекратило свое движение.

Далее в статье решим три разные задачи на использование приведенных формул.

Задача на определение времени движения

Автомобиль должен отвести пассажира из пункта A в пункт B. Расстояние между ними 30 км. Известно, что авто в течение 20 секунд движется с ускорением 1 м/с2. Затем его скорость не меняется. За какое время авто доставит пассажира в пункт B?

Расстояние, которое авто за 20 секунд пройдет, будет равно:

S1 = a * t12 / 2.

При этом скорость, которую он наберет за 20 секунд, равна:

v = a * t1.

Тогда искомое время движения t можно вычислить по следующей формуле:

t = (S — S1) / v + t1 = (S — a * t12 / 2) / (a * t1) + t1.

Здесь S — расстояние между A и B.

Переведем все известные данные в систему СИ и подставим в записанное выражение. Получим ответ: t = 1510 секунд или приблизительно 25 минут.

Задача на расчет пути торможения

Теперь решим задачу на равнозамедленное движение. Предположим, что грузовой автомобиль двигался со скоростью 70 км/ч. Впереди водитель увидел красный сигнал светофора и начал останавливаться. Чему равен тормозной путь авто, если он остановился за 15 секунд.

Тормозной путь S можно рассчитать по следующей формуле:

S = v0 * t — a * t2 / 2.

Время торможения t и начальную скорость v0 мы знаем. Ускорение a можно найти из выражения для скорости, учитывая, что ее конечное значение равно нулю. Имеем:

v0 — a * t = 0;

a = v0 / t.

Подставляя полученное выражение в уравнение, приходим к конечной формуле для пути S:

S = v0 * t — v0 * t / 2 = v0 * t / 2.

Подставляем значения из условия и записываем ответ: S = 145,8 метра.

Задача на определение скорости при свободном падении

Пожалуй, самым распространенным в природе прямолинейным равноускоренным движением является свободное падение тел в поле гравитации планет. Решим следующую задачу: тело с высоты 30 метров отпустили. Какую скорость будет оно иметь в момент падения на поверхность земли?

Искомую скорость можно рассчитать по формуле:

v = g * t.

Где g = 9,81 м/с2.

Время падения тела определим из соответствующего выражения для пути S:

S = g * t2 / 2;

t = √(2 * S / g).

Подставляем время t в формулу для v, получаем:

v = g * √(2 * S / g) = √(2 * S * g).

Значение пройденного телом пути S известно из условия, подставляем его в равенство, получаем: v = 24,26 м/с или около 87 км/ч.

Геометрический смысл перемещения заключается в том, что перемещение есть площадь фигуры, заключенной между графиком скорости, осью времени и прямыми, проведенными перпендикулярно к оси времени через точки, соответствующие времени начала и конца движения.

При равноускоренном прямолинейном движении перемещение определяется площадью трапеции, основаниями которой служат проекции начальной и конечной скорости тела, а ее боковыми сторонами — ось времени и график скорости соответственно. Поэтому перемещение (путь) можно вычислить по формуле:

Формула перемещения

Пример №1. По графику определить перемещение тела в момент времени t=3 с.

Перемещение есть площадь фигуры, ограниченной графиком скорости, осью времени и перпендикулярами, проведенными к ней. Поэтому в нашем случае:

Извлекаем из графика необходимые данные:

• Фигура 1. Начальная скорость — 3 м/с. Конечная — 0 м/с. Время — 1,5 с.
• Фигура 2. Начальная скорость — 0 м/с. Конечная — –3 м/с. Время — 1,5 с (3 с – 1,5 с).

Подставляем известные данные в формулу:

Перемещение равно 0, так как тело сначала проделало некоторый путь, а затем вернулось в исходное положение.

Варианты записи формулы перемещения

Конечная скорость движения тела часто неизвестна. Поэтому при решении задач вместо нее обычно подставляют эту формулу:

v = v₀ ± at

В итоге получается формула:

Если движение равнозамедленное, в формуле используется знак «–». Если движение равноускоренное, оставляется знак «+».

Если начальная скорость равна 0 (v₀ = 0), эта формула принимает вид:

Если неизвестно время движения, но известно ускорение, начальная и конечная скорости, то перемещение можно вычислить по формуле:

Пример №2. Найти тормозной путь автомобиля, который начал тормозить при скорости 72 км/ч. Торможение до полной остановки заняло 3 секунды. Модуль ускорения при этом составил 2 м/с.

Перемещение при разгоне и торможении тела

Все перечисленные выше формулы работают, если направление вектора ускорения и вектора скорости совпадают (а↑↑v). Если векторы имеют противоположное направление (а↑↓v), движение следует описывать в два этапа:

Этап торможения

Время торможения равно разности полного времени движения и времени второго этапа:

t₁ = t – t₂

Когда тело тормозит, через некоторое время t₁ оно останавливается. Поэтому скорость в момент времени t₁ равна 0:

0 = v₀₁ – at₁

При торможении перемещение s₁ равно:

Этап разгона

Время разгона равно разности полного времени движения и времени первого этапа:

t₂ = t – t₁

Тело начинает разгоняться сразу после преодоления нулевого значения скорости, которую можно считать начальной. Поэтому скорость в момент времени t₂ равна:

v = at₂

При разгоне перемещение s₂ равно:

При этом модуль перемещения в течение всего времени движения равен:

s = |s₁ – s₂|

Полный путь (обозначим его l), пройденный телом за оба этапа, равен:

l = s₁ + s₂

Пример №3. Мальчик пробежал из состояния покоя некоторое расстояние за 5 секунд с ускорением 1 м/с². Затем он тормозил до полной остановки в течение 2 секунд с другим по модулю ускорением. Найти этот модуль ускорения, если его тормозной путь составил 3 метра.

В данном случае движение нужно разделить на два этапа, так как мальчик сначала разогнался, потом затормозил. Тормозной путь будет соответствовать второму этапу. Через него мы выразим ускорение:

Из первого этапа (разгона) можно выразить конечную скорость, которая послужит для второго этапа начальной скоростью:

v₀₂ = v₀₁ + a₁t₁ = a₁t₁ (так как v₀₁ = 0)

Подставляем выраженные величины в формулу:

Перемещение в n-ную секунду прямолинейного равноускоренного движения

Иногда в механике встречаются задачи, когда нужно найти перемещение тела за определенный промежуток времени при условии, что тело начинало движение из состояния покоя. В таком случае перемещение определяется формулой:

За первую секунду тело переместится на расстояние, равное:

За вторую секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 2 секунды и перемещения за 1 секунду:

За третью секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 3 секунды и перемещения за 2 секунды:

Видно, что за каждую секунду тело проходит перемещение, кратное целому нечетному числу:

Из формул перемещений за 1, 2 и 3 секунду можно выявить закономерность: перемещение за n-ную секунду равно половине произведения модуля ускорения на (2n–1), где n — секунда, за которую мы ищем перемещение тела. Математически это записывается так:

Формула перемещения за n-ную секунду

Пример №4. Автомобиль разгоняется с ускорением 3 м/с^2. Найти его перемещение за 6 секунду.

Подставляем известные данные в формулу и получаем:

Таким же способом можно найти перемещение не за 1 секунду, а за некоторый промежуток времени: за 2, 3, 4 секунды и т. д. В этом случае используется формула:

где t — время одного промежутка, а n — порядковый номер этого промежутка.

Пример №5. Ягуар ринулся за добычей с ускорением 2,5 м/с². Найти его перемещение за промежуток времени от 4 до 6 секунд включительно.

Время от 4 до 6 секунд включительно — это 3 секунды: 4-ая, 5-ая и 6-ая. Значит, промежуток времени составляет 3 секунды. До наступления этого промежутка успело пройти еще 3 секунды. Значит, время от 4 до 6 секунд — это второй по счету временной промежуток.

Подставляем известные данные в формулу:

Проекция и график перемещения

Проекция перемещения на ось ОХ. График перемещения — это график зависимости перемещения от времени. Графиком перемещения при равноускоренном движении является ветка параболы. График перемещения при равноускоренном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения сонаправлены (v↑↑a), принимает следующий вид:

График перемещения при равнозамедленном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения противоположно (v↓↑a), принимает следующий вид:

Определение направления знака проекции ускорения по графику его перемещения:

• Если ветви параболического графика смотрят вниз, проекция ускорения тела отрицательна.
• Если ветви параболического графика смотрят вверх, проекция ускорения тела положительна.

Пример №6. Определить ускорение тела по графику его перемещения.

Перемещение тела в момент времени t=0 с соответствует нулю. Значит, ускорение можно выразить из формулы перемещения без начального ускорения. Получим:

Теперь возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 с. Этой точке соответствует перемещение 30 м. Подставляем известные данные в формулу и получаем:

График пути

График пути от времени в случае равноускоренного движения совпадает с графиком проекции перемещения, так как s = l.

В случае с равнозамедленным движением график пути представляет собой линию, поделенную на 2 части:

• 1 часть — до момента, когда скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть графика является частью параболы от начала координат до ее вершины.
• 2 часть — после момента, при котором скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть является ветвью такой же, но перевернутой параболы. Ее вершина совпадает с вершиной предыдущей параболы, но ее ветвь направлена вверх.

Такой вид графика (возрастающий) объясняется тем, что путь не может уменьшаться — он либо не меняется (в состоянии покоя), либо растет независимо от того, в каком направлении, с какой скоростью и с каким ускорением движется тело.

Пример №7. По графику пути от времени, соответствующему равноускоренному прямолинейному движению, определить ускорение тела.

При равноускоренном прямолинейном движении графиком пути является ветвь параболы. Поэтому наш график — красный. График пути при равноускоренном прямолинейном движении также совпадает с графиком проекции его ускорения. Поэтому для вычисления ускорения мы можем использовать эту формулу:

Для расчета возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 c. Ей соответствует путь, равный 5 м. Значит, перемещение тоже равно 5 м. Подставляем известные данные в формулу:

Алиса Никитина | Просмотров: 25.4k

Время, скорость, расстояние

О чем эта статья:

Расстояние

Мы постоянно ходим пешком и ездим на транспорте из одной точки в другую. Давайте узнаем, как можно посчитать это пройденное расстояние.

Расстояние — это длина от одного пункта до другого.

• Например: расстояние от дома до школы 3 км, от Москвы до Петербурга 705 км.

Расстояние обозначается латинской буквой s.

Единицы расстояния чаще всего выражаются в метрах (м), километрах (км).

Формула пути

Чтобы найти расстояние, нужно умножить скорость на время движения:

s = v × t

Скорость

Двигаться со скоростью черепахи — значит медленно, а со скоростью света — значит очень быстро. Сейчас узнаем, как пишется скорость в математике и как ее найти по формуле.

Скорость определяет путь, который преодолеет объект за единицу времени. Скорость обозначается латинской буквой v.

Проще говоря, скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени.

Впервые формулу скорости проходят на математике в 5 классе. Сейчас мы ее сформулируем и покажем, как ее использовать.

Формула скорости

Чтобы найти скорость, нужно разделить путь на время:

v = s : t

Показатели скорости чаще всего выражаются в м/сек или км/час.

Скорость сближения — это расстояние, на которое сблизились два объекта за единицу времени. Чтобы найти скорость сближения двух объектов, которые движутся навстречу друг другу, надо сложить скорости этих объектов.

Скорость удаления — расстояние, на которое отдалились друг от друга два объекта за единицу времени.

Чтобы найти скорость удаления объектов, которые движутся в противоположных направлениях, нужно сложить скорости этих объектов.

Чтобы найти скорость удаления при движении с отставанием или скорость сближения при движении вдогонку, нужно из большей скорости вычесть меньшую.

Онлайн-курсы по математике для детей — отличный способ разобраться в сложных темах под руководством внимательного преподавателя.

Время

Время — самое дорогое, что у нас есть. Но кроме философии, у времени есть важная роль и в математике.

Время — это продолжительность каких-то действий, событий.

• Например: от метро до дома — 10 минут, от дома до дачи — 2 часа.

Время движения обозначается латинской буквой t.

Чаще всего вам будут встречаться такие единицы времени, как секунды, минуты и часы.

Формула времени

Чтобы найти время, нужно разделить расстояние на скорость:

t = s : v

Эта формула пригодится, если нужно узнать, за какое время тело преодолеет то или иное расстояние.

Взаимосвязь скорости, времени, расстояния

Скорость, время и расстояние связаны между собой очень крепко. Одно без другого даже сложно представить.

Если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние. Оно равно скорости, умноженной на время: s = v × t.

Задачка 1. Мы вышли из дома и направились в гости в соседний двор. Мы дошли до соседнего двора за 15 минут. Фитнес-браслет показал, что наша скорость была 50 метров в минуту. Какое расстояние мы прошли?

Если за одну минуту мы прошли 50 метров, то сколько таких пятьдесят метров мы пройдем за 10 минут? Умножив 50 метров в минуту на 15 минут, мы определим расстояние от дома до магазина:

s = v × t = 50 × 15 = 750 (м)

Ответ: мы прошли 750 метров.

Если известно время и расстояние, то можно найти скорость: v = s : t.

Задачка 2. Двое школьников решили проверить, кто быстрее добежит от двора до спортплощадки. Расстояние между двором и площадкой — 100 метров. Первый школьник добежал за 25 секунд, второй за 50 секунд. Кто добежал быстрее?

Быстрее добежал тот, кто за 1 секунду пробежал большее расстояние. Говорят, что у него скорость движения больше. В этой задаче скорость школьников — это расстояние, которое они пробегают за 1 секунду.

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения. Найдем скорость первого школьника: для этого разделим 100 метров на время движения первого школьника, то есть на 25 секунд:

Если расстояние дано в метрах, а время движения в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с). Если расстояние дано в километрах, а время движения в часах, скорость измеряется в километрах в час (км/ч).

В нашей задаче расстояние дано в метрах, а время в секундах. Значит, будем измерять скорость в метрах в секунду (м/с).

100 м : 25 с = 4 м/с

Так мы узнали, что скорость движения первого школьника 4 метра в секунду.

Теперь найдем скорость движения второго школьника. Для этого разделим расстояние на время движения второго школьника, то есть на 50 секунд:

Значит, скорость движения второго школьника составляет 2 метра в секунду.

Сейчас можно сравнить скорости движения каждого школьника и узнать, кто добежал быстрее.

Скорость первого школьника больше. Значит, он добежал до спортивной площадки быстрее.

Ответ: первый школьник добежал быстрее.

Если известны скорость и расстояние, то можно найти время: t = s : v.

Задачка 3. От школы до стадиона 500 метров. Мы должны дойти до него пешком. Наша скорость будет 100 метров в минуту. За какое время мы дойдем до стадиона из школы?

Если за одну минуту мы будем проходить 100 метров, то сколько таких минут со ста метрами будет в 500 метрах?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно 500 метров разделить на расстояние, которое мы будем проходить за одну минуту, то есть на 100. Тогда мы получим время, за которое дойдем до стадиона:

t = s : v = 500 : 100 = 5 (мин)

Ответ: от школы до стадиона мы дойдем за 5 минут.

Специально для уроков математики можно распечатать или нарисовать самостоятельно такую таблицу, чтобы быстрее запомнить и применять формулы скорости, времени, расстояния.

Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении

теория по физике 🧲 кинематика

Геометрический смысл перемещения заключается в том, что перемещение есть площадь фигуры, заключенной между графиком скорости, осью времени и прямыми, проведенными перпендикулярно к оси времени через точки, соответствующие времени начала и конца движения.

При равноускоренном прямолинейном движении перемещение определяется площадью трапеции, основаниями которой служат проекции начальной и конечной скорости тела, а ее боковыми сторонами — ось времени и график скорости соответственно. Поэтому перемещение (путь) можно вычислить по формуле:

Пример №1. По графику определить перемещение тела в момент времени t=3 с.

Перемещение есть площадь фигуры, ограниченной графиком скорости, осью времени и перпендикулярами, проведенными к ней. Поэтому в нашем случае:

Извлекаем из графика необходимые данные:

• Фигура 1. Начальная скорость — 3 м/с. Конечная — 0 м/с. Время — 1,5 с.
• Фигура 2. Начальная скорость — 0 м/с. Конечная — –3 м/с. Время — 1,5 с (3 с – 1,5 с).

Подставляем известные данные в формулу:

Перемещение равно 0, так как тело сначала проделало некоторый путь, а затем вернулось в исходное положение.

Варианты записи формулы перемещения

Конечная скорость движения тела часто неизвестна. Поэтому при решении задач вместо нее обычно подставляют эту формулу:

В итоге получается формула:

Если движение равнозамедленное, в формуле используется знак «–». Если движение равноускоренное, оставляется знак «+».

Если начальная скорость равна 0 (v₀ = 0), эта формула принимает

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Если неизвестно время движения, но известно ускорение, начальная и конечная скорости, то перемещение можно вычислить по формуле:

Пример №2. Найти тормозной путь автомобиля, который начал тормозить при скорости 72 км/ч. Торможение до полной остановки заняло 3 секунды. Модуль ускорения при этом составил 2 м/с.

Перемещение при разгоне и торможении тела

Все перечисленные выше формулы работают, если направление вектора ускорения и вектора скорости совпадают ( а ↑↑ v ). Если векторы имеют противоположное направление ( а ↑↓ v ), движение следует описывать в два этапа:

Этап торможения

Время торможения равно разности полного времени движения и времени второго этапа:

Когда тело тормозит, через некоторое время t₁оно останавливается. Поэтому скорость в момент времени t₁ равна 0:

При торможении перемещение s₁ равно:

Этап разгона

Время разгона равно разности полного времени движения и времени первого этапа:

Тело начинает разгоняться сразу после преодоления нулевого значения скорости, которую можно считать начальной. Поэтому скорость в момент времени t₂ равна:

При разгоне перемещение s₂ равно:

При этом модуль перемещения в течение всего времени движения равен:

Полный путь (обозначим его l), пройденный телом за оба этапа, равен:

Пример №3. Мальчик пробежал из состояния покоя некоторое расстояние за 5 секунд с ускорением 1 м/с 2 . Затем он тормозил до полной остановки в течение 2 секунд с другим по модулю ускорением. Найти этот модуль ускорения, если его тормозной путь составил 3 метра.

В данном случае движение нужно разделить на два этапа, так как мальчик сначала разогнался, потом затормозил. Тормозной путь будет соответствовать второму этапу. Через него мы выразим ускорение:

Из первого этапа (разгона) можно выразить конечную скорость, которая послужит для второго этапа начальной скоростью:

Подставляем выраженные величины в формулу:

Перемещение в n-ную секунду прямолинейного равноускоренного движения

Иногда в механике встречаются задачи, когда нужно найти перемещение тела за определенный промежуток времени при условии, что тело начинало движение из состояния покоя. В таком случае перемещение определяется формулой:

За первую секунду тело переместится на расстояние, равное:

За вторую секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 2 секунды и перемещения за 1 секунду:

За третью секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 3 секунды и перемещения за 2 секунды:

Видно, что за каждую секунду тело проходит перемещение, кратное целому нечетному числу:

Из формул перемещений за 1, 2 и 3 секунду можно выявить закономерность: перемещение за n-ную секунду равно половине произведения модуля ускорения на (2n–1), где n — секунда, за которую мы ищем перемещение тела. Математически это записывается так:

Формула перемещения за n-ную секунду

Пример №4. Автомобиль разгоняется с ускорением 3 м/с 2. Найти его перемещение за 6 секунду.

Подставляем известные данные в формулу и получаем:

Таким же способом можно найти перемещение не за 1 секунду, а за некоторый промежуток времени: за 2, 3, 4 секунды и т. д. В этом случае используется формула:

где t — время одного промежутка, а n — порядковый номер этого промежутка.

Пример №5. Ягуар ринулся за добычей с ускорением 2,5 м/с 2 . Найти его перемещение за промежуток времени от 4 до 6 секунд включительно.

Время от 4 до 6 секунд включительно — это 3 секунды: 4-ая, 5-ая и 6-ая. Значит, промежуток времени составляет 3 секунды. До наступления этого промежутка успело пройти еще 3 секунды. Значит, время от 4 до 6 секунд — это второй по счету временной промежуток.

Подставляем известные данные в формулу:

Проекция и график перемещения

Проекция перемещения на ось ОХ. График перемещения — это график зависимости перемещения от времени. Графиком перемещения при равноускоренном движении является ветка параболы. График перемещения при равноускоренном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ ( v ↑↑OX), а вектора скорости и ускорения сонаправлены ( v ↑↑ a ), принимает следующий вид:

График перемещения при равнозамедленном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения противоположно ( v ↓↑ a ), принимает следующий вид:

Определение направления знака проекции ускорения по графику его перемещения:

• Если ветви параболического графика смотрят вниз, проекция ускорения тела отрицательна.
• Если ветви параболического графика смотрят вверх, проекция ускорения тела положительна.

Пример №6. Определить ускорение тела по графику его перемещения.

Перемещение тела в момент времени t=0 с соответствует нулю. Значит, ускорение можно выразить из формулы перемещения без начального ускорения. Получим:

Теперь возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 с. Этой точке соответствует перемещение 30 м. Подставляем известные данные в формулу и получаем:

График пути

График пути от времени в случае равноускоренного движения совпадает с графиком проекции перемещения, так как s = l.

В случае с равнозамедленным движением график пути представляет собой линию, поделенную на 2 части:

• 1 часть — до момента, когда скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть графика является частью параболы от начала координат до ее вершины.
• 2 часть — после момента, при котором скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть является ветвью такой же, но перевернутой параболы. Ее вершина совпадает с вершиной предыдущей параболы, но ее ветвь направлена вверх.

Такой вид графика (возрастающий) объясняется тем, что путь не может уменьшаться — он либо не меняется (в состоянии покоя), либо растет независимо от того, в каком направлении, с какой скоростью и с каким ускорением движется тело.

Пример №7. По графику пути от времени, соответствующему равноускоренному прямолинейному движению, определить ускорение тела.

При равноускоренном прямолинейном движении графиком пути является ветвь параболы. Поэтому наш график — красный. График пути при равноускоренном прямолинейном движении также совпадает с графиком проекции его ускорения. Поэтому для вычисления ускорения мы можем использовать эту формулу:

Для расчета возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 c. Ей соответствует путь, равный 5 м. Значит, перемещение тоже равно 5 м. Подставляем известные данные в формулу:

Тело массой 200 г движется вдоль оси Ох, при этом его координата изменяется во времени в соответствии с формулой х(t) = 10 + 5t – «>– 3t 2 (все величины выражены в СИ).

Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их зависимости от времени в условиях данной задачи.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Алгоритм решения

Решение

Из условия задачи известна только масса тела: m = 200 г = 0,2 кг.

Так как тело движется вдоль оси Ox, уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении имеет вид:

x ( t ) = x 0 + v 0 t + a t 2 2 . .

Теперь мы можем выделить кинематические характеристики движения тела:

Перемещение тела определяется формулой:

s = v 0 t + a t 2 2 . .

Начальная координата не учитывается, так как это расстояние было уже пройдено до начала отсчета времени. Поэтому перемещение равно:

x ( t ) = v 0 t + a t 2 2 . . = 5 t − 3 t 2

Кинетическая энергия тела определяется формулой:

Скорость при прямолинейном равноускоренном движении равна:

v = v 0 + a t = 5 − 6 t

Поэтому кинетическая энергия тела равна:

E k = m ( 5 − 6 t ) 2 2 . . = 0 , 2 2 . . ( 5 − 6 t ) 2 = 0 , 1 ( 5 − 6 t ) 2

Следовательно, правильная последовательность цифр в ответе будет: 34.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t (парабола). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.

К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите в поле цифры в порядке АБ.

Алгоритм решения

1. Определить, какому типу движения соответствует график зависимости координаты тела от времени.
2. Определить величины, которые характеризуют такое движение.
3. Определить характер изменения величин, характеризующих это движение.
4. Установить соответствие между графиками А и Б и величинами, характеризующими движение.

Решение

График зависимости координаты тела от времени имеет вид параболы в случае, когда это тело движется равноускоренно. Так как движение тела описывается относительно оси Ох, траекторией является прямая. Равноускоренное прямолинейное движение характеризуется следующими величинами:

Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении изменяются так же, как координата тела. Поэтому графики их зависимости от времени тоже имеют вид параболы.

График зависимости скорости от времени при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид прямой, которая не может быть параллельной оси времени.

График зависимости ускорения от времени при таком движении имеет вид прямой, перпендикулярной оси ускорения и параллельной оси времени, так как ускорение в этом случае — величина постоянная.

Исходя из этого, ответ «3» можно исключить. Остается проверить ответ «1». Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости. Графиком квадратичной функции является парабола. Поэтому ответ «1» тоже не подходит.

График А — прямая линия, параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости ускорения от времени (или его модуля). Поэтому первая цифра ответа — «4».

График Б — прямая линия, не параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости скорости от времени (или ее проекции). Поэтому вторая цифра ответа — «2».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения

1. Охарактеризовать движение тела на различных участках графика.
2. Выделить участки движения, над которыми нужно работать по условию задачи.
3. Записать исходные данные.
4. Записать формулу определения искомой величины.
5. Произвести вычисления.

Решение

Весь график можно поделить на 3 участка:

1. От t₁ = 0 c до t₂ = 10 с. В это время тело двигалось равноускоренно (с положительным ускорением).
2. От t₁ = 10 c до t₂ = 30 с. В это время тело двигалось равномерно (с нулевым ускорением).
3. От t₁ = 30 c до t₂ = 50 с. В это время тело двигалось равнозамедленно (с отрицательным ускорением).

По условию задачи нужно найти путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t₁ = 20 c до t₂ = 50 с. Этому времени соответствуют два участка:

1. От t₁ = 20 c до t₂ = 30 с — с равномерным движением.
2. От t₁ = 30 c до t₂ = 50 с — с равнозамедленным движением.

• Для первого участка. Начальный момент времени t₁ = 20 c. Конечный момент времени t₂ = 30 с. Скорость (определяем по графику) — 10 м/с.
• Для второго участка. Начальный момент времени t₁ = 30 c. Конечный момент времени t₂ = 50 с. Скорость определяем по графику. Начальная скорость — 10 м/с, конечная — 0 м/с.

Записываем формулу искомой величины:

s₁ — путь тела, пройденный на первом участке, s₂ — путь тела, пройденный на втором участке.

s₁и s₂ можно выразить через формулы пути для равномерного и равноускоренного движения соответственно:

Теперь рассчитаем пути s₁и s₂, а затем сложим их:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Примеры решения задач

Пример 1. По заданному закону движения S =10 + 20t — 5t 2 ([S] = м; [t] = с) определить вид движения, начальную скорость и касательное ускорение точки, время до остановки.

(Рекомендуется обойтись без расчетов, использовать метод срав­нения заданного уравнения с уравнениями различных видов движе­ний в общем виде.)

Решение

1. Вид движения: равнопеременное

2. При сравнении уравнений очевидно, что

• начальный путь, пройденный до начала отсчета – 10 м;
• начальная скорость 20 м/с;
• постоянное касательное ускорение a_t/2 = 5 м/с ; a_t= — 10 м/с .
• ускорение отрицательное, следовательно, движение замедлен­ное (равнозамедленное), ускорение направлено в сторону, противо­положную направлению скорости движения.

3. Можно определить время, при котором скорость точки будет равна нулю:

v = S’ = 20 — 2 • 5t; v = 20 – 10t = 0; t = 20/10 = 2 c.

Примечание. Если при равнопеременном движении скорость растет, значит, ускорение — положительная величина, гра­фик пути — вогнутая парабола. При торможении скорость падает, ускорение (замедление) — отрицательная величина, график пути — выпуклая парабола (рис. 10.4).

Пример 2. Точка движется по желобу из точки А в точку D (рис. 10.5).

Как изменятся касательное и нормальное ускорения при прохождении точки через В и С?

Скорость движения считать постоянной. Радиус участка АВ = 10 м, радиус участка ВС= 5 м.

Решение

1. Рассмотрим участок АВ. Касательное ускорение равно нулю (v = const).

Нормальное ускорение (а_п = v 2 /r) при переходе через точку В уве­личивается в 2 раза, оно меняет направление, т. к. центр дуги АВ не совпадает с центром дуги ВС.

2. На участке ВС:

— касательное ускорение равно нулю: a_t = 0;

— нормальное ускорение при переходе через точку С меняется: до точки С движение вращательное, после точки С движение стано­вится прямолинейным, нормальное напряжение на прямолинейном участке равно нулю.

3. На участке CD полное ускорение равно нулю.

Пример 3. По заданному графику скорости найти путь, прой­денный за время движения (рис. 10.6).

Решение

1. По графику следует рассмотреть три участка движения. Первый участок — разгон из состояния покоя (равноускоренное движение).

Второй участок — равномерное движение: v = 8 м/с; a₂ = 0.

Третий участок — торможение до остановки (равнозамедленное движение).

2. Путь, пройденный за время движения, будет равен:

Пример 4. Тело, имевшее начальную скорость 36 км/ч, про­шло 50 м до остановки. Считая движение равнозамедленным, опре­делить время торможения.

Решение

1. Записываем уравнение скорости для равнозамедленного дви­жения:

Определяем начальную скорость в м/с: v_о = 36*1000/3600 = 10 м/с.

Выразим ускорение (замедление) из уравнения скорости: a = — v₀/t

2. Записываем уравнение пути: S = v_ot/2 + at 2 /2. После подстановки получим: S = v_ot/2

3. Определяем время до полной остановки (время торможения):

Пример 5. Точка движется прямолинейно согласно уравнению s = 20t – 5t 2 (s — м, t — с). Построить графики расстояний, скорости и ускорения для первых 4 с движения. Определить путь, пройденный точкой за 4 с, и описать движение точки.

Решение

1. Точка движется прямолинейно по уравнению s = 20t – 5t 2 следовательно, скорость точки u = ds/d/t = 20 — 10t и ускорение a = a_t = dv/dt = —10 м/с 2 . Значит, движение точки равнопеременное (a = a_t = —10 м/c 2 = const) с начальной скоростью v₀ = 20 м/с.

2. Составим зависимость числовых значений s и v для первых 4 с движения

3. По приведенным числовым значениям построим графики расстояний (рис. а), скорости (рис. б) и ускорения (рис. в), выбрав мас­штабы для изображения по осям ординат расстояний s, скорости v и ускорения а, а также одинаковый для всех графиков масштаб времени по оси абсцисс. Напри­мер, если расстояние s = 5 м изображать на графике длиной отрезка l_s = 10 мм, то 5м = μ_s*10мм, где коэффициент пропорциональности μ_s и есть масштаб по оси Os : μ_s = 5/10 = 0,5 м/мм (0,5 м в 1 мм); если модуль скорости v = 10 м/с изобра­жать на графике длиной l_v =10 мм, то 10 м/c = μ_v * 10 мм и масштаб по оси Ov μ_v = 1 м/(с-мм) (1 м/с в 1 мм); если модуль ускорения а = 10 м/с 2 изображать отрезком l_a = 10 мм, то, аналогично предыдущему, масштаб по оси Оа μ_a = 1 м/(с 2 -мм) (1 м/с 2 в 1 мм); и наконец, изображая промежуток време­ни Δt = 1 с отрезком μ_t = 10 мм, получим на всех графиках масштаб по осям Ot μ_t = 0,1 с/мм (0,1 с в 1 мм).

4. Из рассмотрения графиков следует, что в течение времени от 0 до 2 с точка движется равнозамедленно (скорость v и ускорение в течение этого промежутка времени имеют разные знаки, значит, их векторы направлены в противоположные стороны); в период времени от 2 до 4 с точка движется равноускоренно (скорость v и ускорение имеют одинаковые знаки, т. е. их векторы направлены в одну сто­рону).

За 4 с точка прошла путь s_o_₄ = 40 м. На­чав движение со скоростью v₀ = 20 м/с, точка по прямой прошла 20 м, а затем вернулась в исходное положение, имея ту же скорость, но направленную в противоположную сторону.

Если условно принять ускорение свободно­го падения g = 10 мс 2 и пренебречь сопротивле­нием воздуха, то можно сказать, что графики описывают движение точки, брошенной верти­кально вверх со скоростью а₀ = 20 м/с.

Пример 6. Точка движется по траектории, изображенной на рис. 1.44, а, согласно уравнению s = 0,2t 4 (s — в метрах, t — в секундах). Определить скорость и ускорение точки в положениях 1 и 2.

Решение

Время, необходимое для перемещения точки из положения 0 (начала отсчета) в положение 1, опреде­лим из уравнения движения, подставив частные значения расстояния и времени:

Уравнение изменения скорости

Скорость точки в положении 1

Уравнение изменения касательного ускорения

Касательное ускорение точ­ки в положении 1

Нормальное ускорение точки на прямолинейном участке траектории равно нулю. Ско­рость и ускорение точки в конце этого участка траекто­рии показаны на рис.1.44, б.

Определим скорость и уско­рение точки в начале криво­линейного участка траектории. Очевидно, что v₁ = 11,5 м/с, а_t1 = 14,2 м/с 2 .

Нормальное ускорение точки в начале криволинейного участка

Скорость и ускорение в начале криволинейного участ­ка показаны на рис. 1.44, в (векторы a_t1 и a_a1 изобра­жены без соблюдения масштаба).

Положение 2 движущейся точки определяется прой­денным путем, состоящим из прямолинейного участка 0 — 1 и дуги окружности 1 — 2, соответствующей цент­ральному углу 90°:

Время, необходимое для перемещения точки из поло­жения 0 в положение2,

Скорость точки в положении 2

Касательное ускорение точки в положении 2

Нормальное ускорение точки в положении 2

Ускорение точки в положении 2

Скорость и ускорения точки в положении 2 показаны на рис. 1.44, в (векторы at„ и а_Пг изображены без соблюде­ния масштаба).

Пример 7. Точка движется по заданной траекто­рии (рис. 1.45, а) согласно уравнению s = 5t 3 (s — в мет­рах, t — в секундах). Определить ускорение точки и угол α между ускорением и скоростью в момент t₁, когда скорость точки v₁ = 135 м/с.

Решение

Уравнение изменения скорости

Время t₁ определим из уравнения изменения скорости, подставив частные значения скорости и времени:

Определим положение точки на траектории в момент 3 с:

Дуга окружности длиной 135 м соответствует цент­ральному углу

Уравнение изменения касательного ускорения

Касательное ускорение точки в момент t_t

Нормальное ускорение точки в момент t_t

Ускорение точки в момент t_x

Скорость и ускорение точки в момент времени t₁ по­казаны на рис. 1.45, б.

Как видно из рис. 1.45, б

Пример 8. В шахту глубиной H = 3000 м с по­верхности земли без начальной скорости брошен предмет. Определить, через сколько секунд звук, возникающий в момент удара предмета о дно шахты, достигнет поверх­ности земли. Скорость звука 333 м/с.

Решение

Уравнение движения свободно падающего тела

Время, необходимое для перемещения предмета от поверхности земли до дна шахты, определим из уравне­ния движения:

Звук распространялся с постоянной скоростью 333 м/с. Уравнение распространения звука

Время достижения звуком поверхности земли

Тогда время с момента начала движения предмета до момента достижения звуком поверхности земли

Пример 9. По заданным уравнениям движения точки x = 2t 2 , y = 2t (x и у — в метрах, t — в секундах) найти уравнение траектории, а также скорость и уско­рение точки в момент времени t = 2 с.

Решение

Для определения траектории точки нужно из уравнений движения исключить параметр t — время.

Выразим t через х из первого уравнения:

и подставим это значение во второе уравнение:

Траекторией точки является парабола, симметричная относительно оси х.

Чтобы найти скорость точки, нужно определить ее составляющие по координатным осям

Находим скорость точки

При t = 2 с получаем

Находим составляющие ускорения точки

Контрольные вопросы и задания

1. Запишите формулу ускорения при прямолинейном движении.

2. Запишите формулу ускорения (полного) при криволинейном движении.

3. Тело скатывается по желобу (рис. 10.7). Какие параметры движения меняются при переходе через точку В и почему?

4. Параметры движения не меняются.

4. По заданному уравнению движения точки S = 25 + 1,5t + 6t 2 определите вид движения и без расчетов, используя законы движе­ния точки, ответьте, чему равны начальная скорость и ускорение.

5. По заданному уравнению движения точки S = 22t — 4t 2 постройте графики скорости и касательного ускорения.

6. По графику скоростей точки определите путь, пройденный за время движения (рис. 10.8).

7. Точка движется по дуге. Охарактеризуй движение точки (рис. 10.9).