Как найти время в задаче на производительность

Математика

5 класс

Урок № 69

Задачи на совместную работу

Перечень рассматриваемых вопросов:

— введение понятий производительность, общая производительность, время работы;

— алгоритм решения задач на совместную работу арифметическим способом;

— отработка применения алгоритма при решении задач.

Тезаурус

Производительность (Р) – объём работы, выполняемый за единицу времени.

Время работы (Т) – время выполнения всей работы.

Общая производительность – объём работы, выполняемый совместно всеми работниками за единицу времени.

Обязательная литература

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 классы. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На предыдущих уроках мы научились выполнять арифметические действия с обыкновенными дробями. Сегодня мы рассмотрим, как с помощью обыкновенных дробей решать задачи на совместное выполнение некоторой работы.

Под совместной работой можно понимать абсолютно любое действие: и одновременный поток воды из двух труб при наполнении бассейна, и изготовление деталей двумя рабочими, и вспашку поля несколькими тракторами, и набор текста на компьютере.

Всю работу мы будем принимать за единицу. А объём выполненной работы выражать как часть этой единицы.

Если какая-то работа выполняется за шесть часов, то за час выполняется одна шестая часть этой работы.

Объём работы, выполненный за единицу времени, называется производительностью. Она обозначается как Р.

Рассмотрим задачу.

Первый столяр может выполнить заказ за 36 часов, а второй – за 18 часов. За сколько часов этот заказ выполнят оба столяра, работая вместе?

Вся работа – 1

1-й столяр – 36 ч

2-й столяр – 18 ч

1-й и 2-й столяр – ? ч

(первый столяр за один час, или производительность Р₁ первого столяра)

(второй столяр за один час, или производительность Р₂ второго столяра)

(оба столяра за один час, или общая производительность Р)

(время выполнения всей работы совместно)

Ответ: за 12 ч.

Рассмотрим следующую задачу.

Одна труба заполняет бассейн за 60 минут, а вторая – за 20 минут. За сколько минут заполнится бассейн при включении обеих труб?

Вся работа – 1

1-я труба – 60 минут

2-я труба – 20 минут

Обе трубы – ?

часть бассейна (наполняет первая труба за одну минуту, или производительность Р₁)

часть бассейна (наполняет вторая труба за одну минуту, или производительность Р₂)

часть бассейна (заполняют обе трубы, работая вместе, или общая производительность Р)

минут (время заполнения бассейна двумя трубами)

Ответ: за 15 минут.

Рассмотрим задачу, в которой, зная время выполнения работы совместно, надо найти время работы одного из участников.

Работая вместе, два мастера Гжели выполняют заказ за шесть дней. Первый мастер, работая один, может выполнить этот заказ за 10 дней. За сколько дней этот заказ может выполнить второй мастер?

Вся работа – 1

1-й и 2-й мастер – 6 дней

1-й мастер – 10 дней

2-й мастер – ? дней

часть заказа (первый и второй мастера за один день, или общая производительность Р)

часть заказа (первый мастер за один день, или производительность Р₁)

часть заказа (выполнит второй мастер за один день, или производительность Р₂)

дней – время выполнения заказа вторым мастером

Ответ: за 15 дней.

Алгоритм решения задач на совместную работу

Т₁ – время, за которое первый объект самостоятельно выполнит всю работу;

Т₂ – время, за которое второй объект самостоятельно выполнит всю работу.

1. Всю выполненную работа принимаем за единицу.
2. Находим часть работы, выполненную первым объектом за единицу времени (производительность Р₁ = 1 ꞉ Т₁).
3. Находим часть работы, выполненную вторым объектом за единицу времени (производительность Р₂ = 1 ꞉ Т₂).
4. Находим часть работы, выполненную двумя (или более) объектами за единицу времени (общая производительность Р = Р₁ + Р₂).
5. Находим время, затраченное на выполнение всей работы всеми объектами (Т = 1 ꞉ Р).

Тренировочные задания

№ 1. Путешественник планирует пройти маршрут за семь дней. Какую часть маршрута он пройдёт за один день? За три дня? За пять дней? Какая часть маршрута останется не пройденной за эти же промежутки времени? Используйте следующие значения ; ; ; ; .

За 1 день

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

За 3 дня

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

За 5 дней

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

Пройденная часть маршрута за день – это производительность путешественника. И находится она так же, как и другая производительность. Найдём часть маршрута, пройденную за один день:

Очевидно, что за три дня путешественник пройдет в три раза больше, чем за день. Рассчитаем эту часть пути:

Чтобы найти оставшуюся часть маршрута, надо из всего маршрута, то есть единицы, вычесть пройденную часть. Найдём, например, какую часть маршрута осталось пройти через три дня: .

Аналогично действуем и в остальных случаях.

Правильный ответ:

За 1 день

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

За 3 дня

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

За 5 дней

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

№ 2. Подберите к каждому действию правильное пояснение.

Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один выполнить ту же работу за 10 ч. За сколько часов второй тракторист может вспахать поле?

Пояснения к действиям:

• Время выполнения всей работы вторым трактористом;
• Общая производительность обоих трактористов;
• Часть всей работы, выполняемая вторым трактористом за один час.

Действия:

Рассмотрим первое действие. Единица делится на шесть, где единица – это вся работа, а шесть – время совместной работы. Значит, этим действием мы находим общую производительность обоих тракторов.

Во втором действии из общей производительности вычитаем . Так как первый тракторист выполняет работу за 10 часов, то – это производительность первого тракториста. Значит, мы находим производительность второго тракториста, то есть объём работы, который он выполнил за один час.

В третьем действии единица (вся работа) делится на производительность второго тракториста: таким образом, мы находим время выполнения всей работы вторым трактористом.

Правильный ответ:

– это общая производительность обоих трактористов.

– это часть всей работы, выполняемая вторым трактористом за 1 ч.

ч – это время выполнения всей работы вторым трактористом.

гречиху фасуют два дозатора. В один дозатор засыпают (200) кг гречихи, и он расфасовывает крупу в пакеты за (20) мин. В другой засыпают (330) кг, и он расфасовывает крупу за (30) мин. Какой из дозаторов работает быстрее?

Сначала найдём, скорость каждого дозатора.

Эту задачу можно представить в виде таблицы:

Значит, работает быстрее второй дозатор.

Текстовые задачи на производительность

Задачи на производительность включают в себя задачи, в которых фигурирует какой-либо рабочий процесс и его характеристики: работа, время и производительность. Эти параметры связаны через формулу совместной работы:

(A = Pt,)

где (A) – работа, (t) – время, (P) – производительность.

Через эту формулу можно выразить производительность и время:

(P = frac{A}{t})

(t = frac{A}{P})

С помощью этих формул можно выражать одни характеристики работы через другие. Рассмотрим пример.

Пример №1:

За 5 дней работы рабочие на заводе произвели 35 деталей для автомобилей. Сколько деталей в день изготавливалось на заводе?

1. Для того, чтобы найти производительность, зная работу и время, нужно поделить работу на время:

(P = frac{A}{t} = frac{35}{5} = 7 деталей/день)

Ответ: 7.

ЗАДАЧИ НА ОБЩУЮ РАБОТУ

Часто в задачах на производительность можно увидеть вопрос на общую работу, когда нам известно время работы отдельных заводов или людей, а нужно найти совместное время, производительность или работу. В таком случае мы не сможем сложить время, т. к. при совместной работе время не увеличивается. А наоборот уменьшается за счет увеличения производительности. Рассмотрим на примере, как находить общее время работы.

Пример №2:

Для производства инструментов нужно сделать 600 деталей. Первый завод сделает эту работу за 10 дней, а второй завод за 15. За сколько дней будут готовы все детали, если их будут делать сразу два завода?

1. Мы знаем работу и время производства деталей в первом заводе. Найдем их производительность:

(P_{1} = frac{600}{10} = 60 )

(деталей в день делает первый завод)

1. Также найдем производительность для второго завода:

(P_{2} = frac{600}{15} = 40 )

(деталей в день делает второй завод)

1. Тогда за один день два завода вместе сделают:

(P_{общ} = 60 + 40 = 100 деталей в день)

Это производительность является общей для заводов.

1. С такой производительностью они сделают 600 деталей за:

(t_{общ} = frac{600}{100} = 6 дней)

Мы узнали, за какое время заводы сделаю 600 деталей, если каждый день будут работать вместе. Запишем ответ.

Ответ: 6.

ЗАДАЧИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

Это такие задачи, где мы знаем, разницу между одной характеристикой нескольких рабочих или заводов. Тогда дополнительное условие позволяется связать нам данные и составить уравнение. Рассмотрим на примере.

Пример №3:

Заказ на 110 деталей второй рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем первый. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что второй за час изготавливает на 1 деталь больше.

1. Составим таблицу. Вместо искомого поставим переменную 𝑥. В данном случае это производительность первого рабочего, т. к. спрашивают, сколько деталей он делает за час. Тогда производительность второго рабочего на единицу больше:

1. При этом рабочие выполняют одинаковую работу – по 110 деталей, тогда заполним колонку работы:

1. Тогда, зная производительность и работу каждого, выразим время для обоих рабочих:

(t_{1} = frac{110}{x})

(t_{2} = frac{110}{x + 1})

1. Теперь, когда мы знаем все характеристики работы рабочих, можем использовать дополнительное условие, которое заключается в том, что второй выполняет этот объем работы на час быстрее, значит, составим уравнение, которое объединяет время работы обоих рабочих:

(frac{110}{x + 1} + 1 = frac{110}{x})

1. Теперь работаем только с уравнением. Приведем обе части уравнения к одному знаменателю, в данном случае к знаменателю ((x + 1)x). Преобразуем получившееся уравнение, перенесем все в одну сторону и раскроем скобки:

(frac{110x}{(x + 1)x} + frac{(x + 1)x}{(x + 1)x} = frac{110(x + 1)}{x(x + 1)})

(frac{110x}{(x + 1)x} + frac{(x + 1)x}{(x + 1)x} – frac{110(x + 1)}{x(x + 1)} = 0)

(frac{110x + x^{2} + x – 110x – 110}{(x + 1)x} = 0)

1. Дробь будет равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель его НЕ равен, т. е. (x neq –1) и (x neq 0):

(110x + x^{2} + x – 110x – 110 = 0)

(x^{2} + x – 110 = 0)

1. По т. Виета:

({x_{1} + x_{1} = –1 }{x_{1}x_{1} = –110})

Тогда:

(leftlbrack frac{x_{1} = 10}{x_{2} = –11} right. )

1. Проверим корни на адекватность. Оба решения являются корнями уравнения, но вернемся к тому, что мы искали. Мы приняли за x производительность первого рабочего, а такая реальная характеристика, как выполненная за час работа не может быть отрицательной. Таким образом ответом данной задачи будет являться первый корень уравнения. Запишем ответ.

Ответ: 10.

2-й способ решения — без таблицы

Как обойтись без составления таблицы?

Сразу составить уравнение.

Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять.

Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.

Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго.

А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давай проверим, есть ли аналогия.

Во-первых, сравним формулы:

Движение	Работа
( displaystyle v=frac{S}{t})	( displaystyle P=frac{A}{t})
Скорость движения	Скорость выполнения работы, т.е. производительность
Пройденный путь	Выполненная работа
Потраченное на движение время	Потраченное на работу время

Теперь рассмотрим задачу:

Пример №1

Расстояние ( displaystyle 112) км первый велосипедист проезжает на ( displaystyle 2) часа дольше, чем второй.

Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?

Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).

Пусть скорость первого ( displaystyle x), тогда второго ( displaystyle x+1). Сколько времени едет первый? ( displaystyle frac{112}{x}). Сколько времени едет второй? ( displaystyle frac{112}{x+1}). На сколько время первого больше, чем второго? На ( displaystyle 2) часа:

( displaystyle frac{112}{x}=frac{112}{x+1}+2).

То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.

Как решать задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

Пример №2

Первая труба заполняет бассейн за ( displaystyle 6) часов, а вторая – за ( displaystyle 4).

За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?

Решение

Во-первых, давай придумаем аналогию с движением.

Придумал?

Бассейн – это путь. Допустим, из ( displaystyle A) в ( displaystyle B). Итак, первый автомобиль проезжает путь ( displaystyle AB) за ( displaystyle 6) часов, второй – за ( displaystyle 4).

А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь, двигаясь вместе? Бред.

Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу!

Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.

Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.

Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время: ( displaystyle {{P}_{1}}=frac{A}{{{t}_{1}}}=frac{A}{6}). А второго? ( displaystyle {{P}_{2}}=frac{A}{{{t}_{2}}}=frac{A}{4}).

Итак,

( displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}=frac{A}{6}+frac{A}{4}=frac{5A}{12}).

Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа ( A):

( displaystyle t=frac{A}{P}=frac{A}{frac{5A}{12}}=frac{12}{5}=2,4) (ч)

Итак, правило:

При совместной работе производительности складываются

А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.

Пример 8

На изготовление ( displaystyle 600) деталей первый рабочий тратит на ( displaystyle 10) часов меньше, чем второй рабочий на изготовление ( displaystyle 500) таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в ( displaystyle 1000) деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на ( displaystyle 5) деталей больше?

Решение:

Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят ( displaystyle 1000) деталей, то есть: ( displaystyle frac{1000}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}).

Значит, нужно найти ( displaystyle {{P}_{1}}) и ( displaystyle {{P}_{2}}).

Первый рабочий за час делает на ( displaystyle 5) деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго – ( displaystyle x-5).

( displaystyle 600) деталей первый рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{1}}) часов, а ( displaystyle 500) таких же деталей второй рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10) часов.

То есть: ( displaystyle {{t}_{1}}=frac{600}{x}, a {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10=frac{500}{x-5}).

Приравняв ( displaystyle {{t}_{1}}), получаем уравнение:

Методика решения текстовых задач на производительность и грузоперевозки.

Существует несколько способов решения текстовых задач:

           арифметический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью чисел и знаков арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления, то есть с помощью нескольких действий над числами, связанных между собой;

           алгебраический способ – это способ решения текстовой задачи  с помощью введения переменных и составления соответствующего уравнения или неравенства, или системы уравнений или неравенств;

           геометрический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью применения геометрических знаний;

           схематический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью схем;

           графический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью графиков в прямоугольной системе координат.

Текстовые задачи на производительность и грузоперевозки

Текстовые задачи на производительность и грузоперевозки наряду с задачами на движение являются одними из наиболее популярных видов задач на экзаменах разного уровня. Как в задачах на движение, в которых присутствуют элементы v –скорость, t –время и S – расстояние, так и в задачах на производительность и грузоперевозки есть аналогичные элементы.

В задачах на производительность существуют:

р – производительность, аналог скорости, то есть количество работы, производимой в единицу времени;

t – время работы;

А – объём работы, аналог расстояния.

Все три элемента связаны друг с другом формулой: объём работы А равен произведению производительности p на время t.

А = p · t

В задачах на грузоперевозки:

в роли скорости v выступает грузоподъёмность m, это есть масса груза, перевозимая одним транспортным средством;

в роли времени t выступает количество транспортных единиц n перевозчиков (машин, тележек, цистерн и т.д.);

в роли расстояния выступает общая масса M перевозимого груза.

Эти элементы связаны между собой формулой

М = m · n

Как правило, в этих задачах предполагается, что в ходе выполнения работы и перевозки грузов производительность и грузоподъёмность неизменны, то есть остаются постоянными. В силу аналогичности текстовых задач на движение, производительность и грузоподъёмность все способы и приёмы решения задач на движение применимы и к решению задач на производительность и грузоподъёмность.

Выбор переменной в текстовых задачах на производительность и грузоперевозки

Если в условии задачи не указаны единицы измерения работы, то весь объём работы и объём перевозимого груза удобнее обозначить за единицу, тогда производительность и грузоподъёмность будет измеряться в доле объёма работы и объёма груза в единицу времени.

Полезно также помнить, что производительность совместного труда нескольких участников и грузоподъёмность нескольких перевозящих средств равны сумме производительностей и сумме грузоподъёмностей соответственно.

Для успешного решения текстовых задач на производительность и грузоперевозки алгебраическим способом обычно за переменную принимают производительность или грузоподъёмность, но иногда удобнее обозначать переменной время. Сориентироваться в выборе переменной помогает главный вопрос задачи.

Полезно также помнить, что, если в условии описано много различных взаимосвязей между неизвестными величинами, то лучше все неизвестные обозначить буквами и опираясь на них составить по условию задачи несколько уравнений. В этом случае не должна пугать громоздкость составленных математических моделей. Обычно с помощью несложных преобразований уравнения хорошо упрощаются, а их количество сокращается.

Примеры решения текстовых задач на производительность и грузоперевозки

ЗАДАЧА 1.  В Простоквашино Дядя Фёдор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин решили покрасить забор. Если красить забор будут Дядя Фёдор, кот Матроскин и почтальон Печкин, то они покрасят его за 1 час. Кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин смогут выкрасить забор за 1 час 15 минут, а Дядя Фёдор и Шарик справятся с работой за 1 час 40 минут. За сколько минут смогут выкрасить забор все четыре героя из Простоквашино?

Р Е Ш Е Н И Е :

Решим задачу геометрическим способом. Так как в условии задачи не указаны единицы измерения работы, то логично объём работы покраски забора обозначить за 1 единицу. Тогда производительность работы:

Известно, что общая производительность каждого вида работы равна сумме производительностей каждого участника работы. Смоделируем условия задачи на геометрических фигурах:

     – производительность Дяди Фёдора,

     –производительность кота Матроскина,

     –производительность почтальона Печкина,

     –производительность Шарика.

     +      +     =1/60 (ед./мин) –производительность 1/60 работы в минуту совместного труда Дяди Фёдора, кота Матроскина и почтальона Печкина.

     +      +     =1/75 (ед./мин) –производительность 1/75 единицы работы в минуту совместного труда кота Матроскина, Шарика и почтальона Печкина.

     +       =1/100 (ед./мин) –производительность 1/100 единицы работы в минуту совместного труда Дяди Фёдора и Шарика.

Несложно заметить, что во всех трёх строках встречается по два прямоугольника каждого из четырёх цветов, следовательно, сложив соответственно левые и правые части, получаем, что удвоенная сумма всех четырёх производительностей равна

Чтобы найти производительность всех четверых участников их совместной работы, надо обе части полученного равенства поделить на два.

Чтобы ответить на главный вопрос задачи и найти время работы всех четверых участников, надо работу 1 единицу разделить на полученную производительность 1/50 (ед./мин).

Таким образом, все четыре героя из Простоквашино смогут выкрасить забор за 50 минут.

О Т В Е Т: 50 минут.

ЗАДАЧА 2. Первая труба наполняет резервуар на 5 минут дольше, чем вторая. Обе трубы вместе наполнят этот резервуар за 6 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар первая труба?

Р Е Ш Е Н И Е:

Решим задачу алгебраическим способом. Главный вопрос задачи – это время, за которое первая труба заполняет резервуар. Тогда логично будет обозначить эту величину за переменную t (мин). Тогда второй трубе на наполнение резервуара понадобится (t – 5) (мин). Так как в условии задачи не даны единицы измерения объёма резервуара, то примем этот объём за 1 единицу.

Тогда можно выразить производительность работы первой и второй труб. Производительность их совместной работы равна сумме производительностей каждой трубы, значит:

По условию задачи сказано, что вместе две трубы наполняют резервуар за 6 минут. Следовательно, их производительность равна 1 /6 резервуара в минуту. Получили уравнение

Приведём дроби к общему знаменателю и перенесём всё в левую часть, имеем

Решая квадратное уравнение   –t2 + 17t – 30 = 0, умножим обе части уравнения на –1. Получаем t2 – 17t + 30 = 0. Корнями этого уравнения являются t1 = 15 и t2 = 2.

По смыслу задачи время работы первой трубы должно быть больше 5, так как по условию задачи первая труба наполняет резервуар на 5 минут дольше, чем вторая.

Значит, значение t = 2 является посторонним решением.

Таким образом, первая труба наполняет резервуар за 15 минут. Мы ответили на главный вопрос задачи.

О Т В Е Т: 15 минут.

ЗАДАЧА 3. Три самосвала разной грузоподъёмности возят груз. Он будет вывезен полностью, если все они сделают по 8 рейсов. Груз также будет вывезен, если первый самосвал сделает 4 рейса, второй – 2 рейса, третий – 16 рейсов. Если первый и третий совершат соответственно 6 и 12 рейсов, то сколько рейсов нужно сделать второму, чтобы весь груз был вывезен? 

Р Е Ш Е Н И Е:

Решим задачу алгебраическим способом с помощью системы уравнений. В условии задачи нет единиц измерения массы груза, следовательно, весь груз примем за 1 единицу.

Введём переменные:

 х – доля груза, который помещается на первый самосвал;

у — доля груза, который помещается на второй самосвал;

z – доля груза, который помещается на третий самосвал;

k — количество рейсов, которое нужно сделать второму самосвалу, чтобы весь груз был вывезен.

По условию задачи груз будет вывезен полностью, если все самосвалы сделают по 8 рейсов, значит, составим уравнение

8x + 8y + 8z = 1.

Так же по условию задачи груз будет вывезен, если первый самосвал сделает 4 рейса, второй –2 рейса, третий – 16 рейсов, значит, получим ещё одно уравнение:

4x + 2y + 16z = 1.

А еще по условию задачи, если первый и третий совершат соответственно 6 и 12 рейсов, то k  рейсов нужно сделать второму, чтобы весь груз был вывезен, тогда получим уравнение:

6x + ky + 12z = 1.

Рассмотрим систему трёх уравнений с четырьмя неизвестными:

Обнулим коэффициенты при х  у второго и третьего уравнений. Для этого из удвоенных слагаемых второго уравнения вычтем соответствующие слагаемые первого уравнения, а затем из слагаемых третьего уравнения вычтем соответствующие слагаемые первого уравнения, умноженные на 0,75. Получаем новую систему уравнений:

Теперь аналогично обнулим коэффициенты при z во втором и третьем уравнениях. Для этого из коэффициентов второго уравнения вычтем учетверённые соответствующие коэффициенты третьего уравнения. Получаем новое уравнение:

(20 – 4k)y = 0.

Так как по смыслу задачи грузоподъёмность второго самосвала у не может равняться 0, то решением полученного уравнения будет k = 5.

Мы ответили на главный вопрос задачи: для вывоза всего груза второй самосвал должен сделать 5 рейсов.

О Т В Е Т: 5 рейсов.

Примеры решения текстовых задач на производительность

ЗАДАЧА 1.  Три поросёнка Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф решили своими руками сделать игрушки для новогодней ёлки. Ниф-Ниф изготовлял 5 игрушек в час, а Наф-Наф 8 игрушек в час. Ниф-Ниф и Наф-Наф начали работу одновременно, а Нуф-Нуф –на полчаса позже. Через некоторое время Нуф-Нуф догнал по количеству изготовленных игрушек Ниф-Нифа, а ещё через полтора часа после этого догнал и Наф-Нафа. Определите производительность труда Нуф-Нуфа.

Р Е Ш Е Н И Е:

Решим задачу алгебраическим способом.

Введём переменные:

р – производительность труда Нуф-Нуфа  игрушек в час.

t – время в часах, через которое Нуф-Нуф догнал по количеству изготовленных игрушек Ниф-Нифа.

По условию задачи Нуф-Нуф начал работать на полчаса позже, значит, он проработал до этого момента (t –0,5) часов. Так как Нуф-Нуф догнал по количеству изготовленных игрушек Ниф-Нифа, значит, можно составить уравнение:

p(t – 0,5) = 5t.

По условию задачи через полтора часа Нуф-Нуф догнал по количеству игрушек и Наф-Нафа. Значит, за время работы Нуф-Нуф сделал p(t +1) игрушек, а Наф-Наф 8(t + 1,5) игрушек. Мы получили второе уравнение:

p(t +1) = 8(t + 1,5).

По условию задачи надо найти значение переменной р. Следовательно, из каждого полученного уравнения выразим переменную t через переменную р. Из первого уравнения имеем:

Из второго уравнения получим

Левые части выражений равны, следовательно, и правые части тоже равны. Мы получили пропорциональное уравнение с одной переменной р, а именно:

Известно, что в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. Значит, получим уравнение:

0,5р(р – = (12 – р)(р – 5).

Раскрыв скобки, перенесём всё в левую часть уравнения и приведём подобные члены. Получаем квадратное уравнение

1,5р2 – 21р + 60 = 0.

Обе части уравнения умножим на две третьих. Имеем квадратное уравнение:

р2 –14р + 40 = 0; с корнями р1 = 4  и  р2 = 10.

По условию задачи Нуф-Нуф начал работать позже и догнал по количеству изготовленных игрушек своих друзей, следовательно, его производительность должна быть больше производительности и Ниф-Нифа, и Наф-Нафа. Значит, по смыслу задачи значение р должно быть больше 8-ми. Получили, что р = 4 является посторонним решением, а значение р = 10даёт ответ на главный вопрос задачи: производительность труда Нуф-Нуфа 10 игрушек в час.

О Т В Е Т: 10 игрушек в час.

ЗАДАЧА 2. В бассейн проведены две труб – подающая и отводящая, причём через первую бассейн наполняется на 2 часа дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном на одну треть бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым через 8 часов. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполняет бассейн?

Р Е Ш Е Н И Е:

Решим задачу алгебраическим способом.

Введём переменные.

Главный вопрос задачи заключается в определении количества часов, за которое первая труба, действуя отдельно, наполняет бассейн. Значит:

t – время работы первой трубы для заполнения бассейна в часах;

t – 2 – время слива воды из бассейна через вторую трубу в часах, так как по условию задачи через первую бассейн наполняется на 2 часа дольше, чем через вторую опорожняется.

В условии задачи отсутствуют единицы измерения объёма бассейна, значит, весь объём бассейна примем за 1 единицу. При заполненном на одну треть бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым через 8 часов. Следовательно, 2/3 бассейна заполняется 

Выразим объём бассейна через производительность подающей трубы, а именно, как одна третья бассейна плюс её производительность 1 делённая на t и умноженная на время работы трубы 8 часов

Объём бассейна через производительность отводящей трубы выразится как её производительность 1 деленная на (t – 2) и умноженная на время работы 8 часов

 Приведём дроби к общему знаменателю и упростим числитель.

Тогда получим уравнение

Известно, что дробь равна 0, если числитель равен 0. Решая квадратное уравнение

t2 – 2t – 48 = 0,

Получаем корни t1 = – 6 и t2 = 8. По смыслу задачи значение времени t должно быть неотрицательной величиной, значит, корень t = – 6 является посторонним решением. А корень t = 8 даёт ответ на главный вопрос задачи: первая труба заполняет бассейн за 8 часов.

О Т В Е Т: 8 часов.

ЗАДАЧА 3. Одновременно зажжены две свечи одинаковой длины, но разной толщины. Одна сгорает за 5 часов, а другая – за 4 часа. Через сколько минут были погашены одновременно две свечи, если от первой свечи остался огарок в 4 раза длиннее, чем от второй?

Р Е Ш Е Н И Е:

Решим задачу алгебраическим способом.

Введём переменную. Так как главным вопросом является количество минут одновременного горения свечек, то логично за переменную t часов обозначить это время.

t – количество минут одновременного горения свечек в часах.

По условию задачи две свечи одинаковой длины, причём их длина не выражена в единицах измерения, значит, примем длину свечей за 1 единицу. Также в условии сказано, что свечи разной толщины и одна из них сгорает за 5 часов, а другая – за 4 часа. Следовательно,

Выразим длину огарков после горения свечей в течение t часов.

По условию задачи от первой свечи остался огарок в 4 раза длиннее, чем от второй. Значит, составим уравнение

Раскрыв скобки и проведя алгебраические преобразования, получаем корень уравнения

Мы ответили на главный вопрос задачи: через 3,75 часа огарок первой свечи будет в 4 раза длиннее огарка второй свечи. Выразим результат времени в минутах, для этого 3,75 умножим на 60 минут. Получаем 225 минут.

О Т В Е Т: 225 минут.

Пример решения текстовых задач на грузоперевозки

ЗАДАЧА. Три автомашины перевозят зерно, загружаясь в каждом рейсе полностью. За один рейс первая и вторая машины перевозят вместе 6 тонн зерна, а первая и третья вместе за два рейса перевозят столько же зерна, сколько вторая за 3 рейса. Какое количество зерна перевозит за один рейс вторая машина, если известно, что некоторое количество зерна вторая и третья перевозят вместе, совершая в 3 раза меньше рейсов, чем потребовалось бы третьей машине для перевозки того же количества зерна.

Р Е Ш Е Н И Е:

Решим задачу алгебраическим способом.

Введём переменные. Так как главным вопросом задачи является определение количества зерна, которое перевозит за один рейс вторая машина, то логично обозначить за х тонн зерна за один рейс грузоподъёмность второй машины.

x – грузоподъёмность второй машины за один рейс в тоннах.

По условию задачи за один рейс первая и вторая машины перевозят вместе 6 тонн зерна, значит,

(6 – х) – грузоподъёмность первой машины за один рейс в тоннах.

у – грузоподъёмность третьей машины в тоннах.

По условию задачи первая и третья машины вместе за два рейса перевозят столько же зерна, сколько вторая за 3 рейса. Тогда можем составить уравнение

2(6 – х + у) = 3х.

По условию задачи некоторое количество зерна вторая и третья машины перевозят вместе, совершая в 3 раза меньше рейсов, чем потребовалось бы третьей машине для перевозки того же количества зерна. Тогда можем составить уравнение

х + у = 3у.

Так как главным вопросом задачи является значение переменной х, то из второго уравнения выразим у через х.

Имеем у = 0,5х. Подставим полученное выражение в первое уравнение вместо у. Получаем уравнение с одной переменной

2(6 – 0,5х) = 3х.

Раскрыв скобки, решим уравнение 12 – х = 3х. Нетрудно вычислить его корень х = 3. Мы ответили на главный вопрос задачи 3 тонны зерна перевозит за один рейс вторая машина.

О Т В Е Т: 3 тонны.

Литература:

1.    Г.Н. Тимофеев Математика для поступающих в вузы. Учебное пособие. Текстовые задачи. – Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2006 г.

2.    В. Булынин Применение графических методов при решении текстовых задач. – Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №14, 2005 г.

3.    Н.И. Попов, А.Н. Марасанов Задачи на составление уравнений. Учебное пособие. Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2003 г.

4.    http://festival.1september.ru/articles/310281/ Н.А. Зарипова Программа элективного курса «Текстовые задачи».

5.    http://festival.1september.ru/articles/415044/ Н.А. Зарипова  Методика решения задач группы vts. Материалы к проведению элективного курса «Решение текстовых задач»