Как найти время встречи двух поездов

Задачи на движение навстречу друг другу (встречное движение) — один из трех основных видов задач на движение.

Если два объекта движутся навстречу друг другу, то они сближаются:

Чтобы найти скорость сближения двух объектов, движущихся навстречу друг другу, надо сложить их скорости:  

   

Скорость сближения больше, чем скорость каждого из них.

Скорость, время и расстояние связаны между собой формулой пути:

   

Рассмотрим некоторые задачи на встречное движение.

Задача 1

Два велосипедиста выехали навстречу друг другу. Скорость одного из низ 12 км/ч, а другого — 10 км/ч. Через 3 часа они встретились. Какое расстояние было между ними в начале пути?

Решение:

Условие задач на движение удобно оформлять в виде таблицы:

	v, км/ч	t, ч	s, км
I велосипедист	12	3	?
II велосипедист	10	3	?

1) 12+10=22 (км/ч) скорость сближения велосипедистов

2) 22∙3=66 (км) было между велосипедистами в начале пути.

Ответ: 66 км.

Задача 2

Два поезда идут навстречу друг другу. Скорость одного из них 50 км/ч, скорость другого —  60 км/ч. Сейчас между ними 440 км. Через сколько часов они встретятся?

Решение:

	v, км/ч	t, ч	s, км
I поезд	60	?	?
II поезд	50	?	?

1) 60+50=110 (км/ч) скорость сближения поездов

2) 440:110=4 (ч) время, через которое поезда встретятся.

Ответ: через 4 ч.

Задача 3.

Два пешехода находились на расстоянии 20 км друг от друга. Они вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 2 часа. Скорость одного пешехода 6 км/ч. Найти скорость другого пешехода.

	v, км/ч	t, ч	s, км
I пешеход	6	2	?
II пешеход	?	2	?

1) 20:2=10 (км/ч) скорость сближения пешеходов

2) 10-6=4 (км/ч) скорость другого пешехода.

Ответ: 4 км/ч.

Если S — это расстояние между станциями.

V1 — это скорость одного поезда

V2 — это скорость второго поезда

t1=26м — время первого

t2=39м — время второго

t3 — время, которое мы ищем

V1=S/t1

V2=S/t2

Так как они движутся навстречу друг другу, то их скорости суммируются:

V3=V1+V2=S/t1+S/t2=S(1/t1+1/t2)

t3=S/V3=S/(S(1/t1+1/t2))

S сверху и снизу выражения сокращают друг друга и остаются чистые цифры:

t3=1/(1/t1+1/t2)=1/((t2+t1)/(t1*t2))=(t1*t2)/(t2+t1)=(26*39)/(26+39)=1014/65=15.­6 минут = 936 секунд.

Ответ: поезда встретятся через 15.6 минут, а если в секундах, то через 936 секунд.

Теперь, когда мы с вами научились описывать движение тел, применим паши знания для решения практических задач. Начнем с одной из самых важных и распространенных в природе и технике задач – задачи о встрече тел. Наверняка вы неоднократно слышали о стыковках космических аппаратов, видели, как встречные поезда одновременно подъезжают к промежуточной станции, выпущенная из лука стрела попадает в цель и т. п. Все эти ситуации можно представить как движение двух точечных тел навстречу друг другу. Задача заключается в том, чтобы определить, где произойдет их встреча и когда, т. е. через какое время после начала движения тел, она состоится.

Считается, что два тела встретились, если в некоторый момент времени их положения в пространстве совпали. Иначе говоря, в этот момент времени их координаты в какой-либо системе отсчета сравнялись. Поэтому для решения задачи нам понадобится ввести систему отсчета, в которой необходимо будет описать движение этих тел (в графическом или аналитическом виде). Только таким образом мы сможем грамотно решить данную задачу.

Рассмотрим простой пример. Пусть по прямолинейной дороге навстречу друг другу одновременно начинают двигаться пешеход и велосипедист. Расстояние между ними в момент начала движения составляет l = 20 м. При этом они движутся равномерно относительно дороги навстречу друг другу со скоростями, модули которых |v_п| = 1 м/с и |v_в| = 3 м/с соответственно. (Мы поставили знаки модуля у скоростей движущихся тел. Это связано с тем, что, пока не выбрана система отсчета. мы не можем сказать, у кого из них значение скорости будет положительным, а у кого – отрицательным. Другими словами, мы не можем определить, будут увеличиваться или уменьшаться их координаты в процессе движения.)

Ответим на два вопроса. Где произойдет встреча пешехода и велосипедиста? Когда (через какое время после начала движения) она состоится?

Рассмотрим каждый шаг решения задачи.

Шаг 1. Введем систему отсчета (рис. 20). В качестве тела отсчета выберем землю, а началом отсчета – место, где растет дерево, от которого начинает свое движение пешеход. Координатную ось направим вдоль дороги в направлении движения пешехода. В качестве единицы длины выберем 1 м. Будем считать пешехода и велосипедиста точечными телами. Координата каждого из тел будет численно равна расстоянию от дерева до этого тела в заданный момент времени. Часы (секундомер) включим в тот момент, когда начинается движение.

Шаг 2. Определим значение координа пешехода и велосипедиста в момент включения секундомера. Ясно, что начальная координата пешехода xп0 (читается «икс пэ нулевое») равна 0, а велосипедиста xв0 = 20 м.

Шаг 3. Найдем значения скоростей равномерного движения тел. Из рисунка видно, что в выбранной нами системе отсчета координата пешехода в процессе движения будет увеличиваться. Следовательно, значение скорости пешехода положительно: v_п = 1 м/с. Напротив, велосипедист в выбранной системе отсчета движется так, что его координата со временем уменьшается. Поэтому значение его скорости отрицательно: vв = -3 м/с.

После того как определены начальные координаты и значения скоростей движения тел, можно переходить к описанию их движения. Для этого у нас есть несколько способов. Начнем с графического.

Шаг 4 (графический). Построим систему координат, состоящую из оси времени t и оси координаты X. Отметим начальные координаты пешехода и велосипедиста (рис. 21).

Шаг 5 (графический). Теперь от точки xп0 проведем прямую линию, описывающую зависимость координаты пешехода от времени. Поскольку по условию задачи координата пешехода за каждую секунду увеличиваются на 1 м, то это будет «поднимающаяся» прямая линия, проходящая через точки с координатами (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4;4), (5; 5) и т.д.

График зависимости от времени координаты велосипедиста – это тоже прямая, но она исходит из точки x_в0 = 20 м, расположенной на оси координаты. Координата велосипедиста со временем уменьшается на 3 м за каждую секунду. Поэтому линия, описывающая зависимость этой координаты от времени, «опускается» за каждую секунду на 3 м, т. е. эта линия проходит через точки с координатами (0; 20), (1; 17), (2; 14), (3; 11), (4; 8), (5; 5) и т. д.

Из рис. 21 следует, что прямые, описывающие зависимости координат пешехода и велосипедиста от времени, пересекаются в точке (t_встр = 5 с, x_встр = 5 м). Это означает, что через 5 секунд после начала движения координаты пешехода и велосипедиста становятся равными: x_п = x_в = x_встр = 5 м. Иначе говоря, в этот момент времени положения тел в пространстве совпадут, и, таким образом, в момент t_встр = 5 с в точке с координатой x_встр = 5 м произойдет встречи пешехода и велосипедиста.

Итоги

Встречей двух тел считают совпадение их положений в пространстве (равенство их координат в одной и той же системе отсчета) в некоторый момент времени.

При графическом способе решения задачи о встрече движущихся тел необходимо: ввести систему отсчета; определить начальные координаты и значения скоростей тел; построить графики движения тел; найти точку пересечения этих графиков.

Вопросы

1. Приведите примеры встречи двух тел. Что означает в кинематике, что два тела встретились?
2. Перечислите шаги решения задачи «встреча».

Упражнения

1. Определите графическим способом время и место встречи двух равномерно движущихся навстречу друг другу школьников, если в момент включения часов: а) расстояние между ними l = 30 м, а модули их скоростей |v₁| = 3 м/с, |v₂| = 3 м/с; б) расстояние между ними l = 30 м, |v₁| = 1 м/с, |v₂| = 4 м/с.
2. Сформулируйте условие задачи, решение которой дано на рис. 22.
3. Определите место встречи (город) двух равномерно движущихся поездов, которые одновременно выезжают навстречу друг другу из Москвы (|v₁| = 100 км/ч) и Санкт-Петербурга (|v₂| = 50 км/ч) (рис. 23). Расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом – 600 км.

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о встречном движении. В таких задачах два каких-нибудь объекта движутся на встречу друг другу. Задачи на встречное движение можно решать двумя способами.

Задача 1. Два автомобиля выехали одновременно из двух населённых пунктов и встретились через 4 часа. Первый автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга находятся населённые пункты?

Решение: Из условия задачи известны скорость каждого автомобиля и время, которое автомобили были в пути. Значит, можно найти расстояние, которое проехал каждый автомобиль до встречи. Для этого нужно скорость умножить на время:

1) 100 · 4 = 400 (км) – проехал первый автомобиль

2) 70 · 4 = 280 (км) – проехал второй автомобиль

Найдя сумму полученных результатов, узнаем расстояние между населёнными пунктами:

400 + 280 = 680 (км)

Данную задачу можно решить и другим способом. Каждый час расстояние между автомобилями сокращалось на 170 километров (100 + 70), 170 км/ч – это скорость сближения автомобилей. За 4 часа они проехали расстояние:

Таким образом, задачу на встречное движение можно решить двумя способами:

1-й способ:	2-й способ:
1) 100 · 4 = 400 (км)	1) 100 + 70 = 170 (км/ч)
2) 70 · 4 = 280 (км)	2) 170 · 4 = 680 (км)
3) 400 + 280 = 680 (км)

Ответ: Населённые пункты находятся на расстоянии 680 км.

Задача 2. Из двух посёлков навстречу друг другу вышли одновременно два пешехода. Скорость первого пешехода 4 км/ч, а скорость второго пешехода 5 км/ч. Какое расстояние будет между пешеходами через 5 часов после выхода, если расстояние между посёлками 70 км?

Решение: Сначала можно определить сколько километров прошёл каждый из пешеходов за 5 часов, для этого скорость пешеходов умножим на 5:

1) 4 · 5 = 20 (км) – прошёл первый пешеход

2) 5 · 5 = 25 (км) – прошёл второй пешеход

Затем можно найти общий путь, пройденный двумя пешеходами за 5 часов:

Теперь можно найти расстояние между пешеходами, отняв от общего расстояния между посёлками 45 уже пройденных километров:

У данной задачи есть и второй вариант решения. Можно сначала найти скорость сближения пешеходов:

Затем найти пройденное расстояние, умножив скорость сближения (9 км/ч) на время движения пешеходов (5 ч):

А теперь, для нахождения расстояния между пешеходами, вычесть пройденное расстояние (45 км) из общего:

Таким образом, данная задача имеет два варианта решения:

1-й способ:	2-й способ:
1) 4 · 5 = 20 (км)	1) 4 + 5 = 9 (км/ч)
2) 5 · 5 = 25 (км)	2) 9 · 5 = 45 (км)
3) 20 + 25 = 45 (км)	3) 70 — 45 = 25 (км)
3) 70 — 45 = 25 (км)

Ответ: Через 5 часов расстояние между пешеходами будет 25 км.

Главная > Памятка

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Памятка «Учимся решать задач на движение»

В задачах на движение рассматриваются три взаимосвязанные величины:

S — расстояние (пройденный путь),

t — время движения и

V — скорость – расстояние, пройденное за единицу времени.

Расстояние – это произведение скорости на время движения

Скорость — это частное от деления расстояния на время движения

Время – это частное от деления расстояния на скорость движения

Задачи на встречное движение

Если два тела одновременно движутся навстречу друг другу, то расстояние между ними постоянно изменяется на одно и то же число, равное сумме расстояний, которые проходят тела за единицу времени.

Скорость сближения – это сумма скоростей, движущихся навстречу друг другу тел. V сближ. = 1V + 2V

Пример 1. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух посёлков и встретились через 3 часа. Первый велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а второй – 14 км/ч. На каком расстоянии находятся посёлки?

V сближ. = 1V + 2V

1) 12 • 3 = 36 (км) – проехал первый велосипедист до встречи

2) 14 • 3 = 42 (км) – проехал второй велосипедист до встречи

3) 36 + 42 = 78 (км)

1) 12 + 14 = 26 (км/ч) – скорость сближения

Ответ : расстояние между посёлками 78 км.

Пример 2. Из двух городов навстречу друг другу выехали две машины. Скорость первой – 80 км/ч, скорость второй – 60 км/ч. Через, сколько часов машины встретятся, если расстояние между городами 280 км?

V сближ. = 1V + 2V

1) 80 + 60 = 140 (км/ч) – скорость сближения

2) 280 : 140 = 2 (ч)

Ответ : машины встретятся через 2 часа.

Пример 3. Из двух городов, расстояние между которыми 340 км, выехали одновременно навстречу друг другу две машины. Скорость первой – 80 км/ч. С какой скоростью ехала вторая машина, если встретились они через 2 часа?

2V = V сближ. — 1V

1) 340 : 2 = 170 (км/ч) – скорость сближения

2) 170 – 80 = 90 (км/ч)

Ответ : 90 км/ч. скорость второй машины

Задачи на движение в противоположных направлениях

Если два тела одновременно движутся в противоположных направлениях, то расстояние между ними постепенно увеличивается.

Скорость удаления – это расстояние, которое проходят тела за 1 ч при движении в противоположных направлениях. V удал. = 1V + 2V

Пример 1. Два лыжника одновременно вышли из пункта А в противоположных направлениях. Первый лыжник шёл со скоростью 12 км/ч, а второй – 14 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 3 ч?

1)12 • 3 = 36 (км) – расстояние, которое прошёл первый лыжник за 3 ч

2)14 • 3 = 42 (км) – расстояние, которое прошёл второй лыжник за 3 ч

1)12 + 14 = 26 (км/ч) – скорость удаления

Ответ: через 3 ч они будут друг от друга на расстоянии 78 км.

Пример 2. Из города в противоположных направлениях выехали две машины. Скорость первой – 80 км/ч, скорость второй – 60 км/ч. Через сколько часов расстояние между машинами будет 280 км?

1) 80 + 60 = 140 (км/ч) – скорость удаления

2) 280 : 140 = 2 (ч)

Ответ: через 2 часа расстояние между машинами будет 280 км

Пример 3. Из города одновременно в противоположных направлениях выехали две машины. Скорость первой – 80 км/ч. С какой скоростью ехала вторая машина, если через 2 часа расстояние между ними было 340 км?

1) 340 : 2 = 170 (км/ч) – скорость удаления машин

2) 170 – 80 = 90 (км/ч)

Ответ: скорость второй машины 90 км/ч.

Задачи на движение в одном направлении

Пример 1. Автомобиль за 2 ч проехал 192 км. Следующие 3 ч он двигался со скоростью на 6 км/ч меньше. Сколько всего километров проехал автомобиль?

1)192 : 2 = 96 (км/ч) – первая скорость

2)96 – 6 = 90 (км/ч) – вторая скорость

3)90 • 3 = 270 (км) – второе расстояние

4)192 + 270 = 462 (км)

Пример 2. Из двух пунктов, расстояние между которыми 24 км, одновременно вышел спортсмен и выехал велосипедист. Скорость спортсмена 6 км/ч., а скорость велосипедиста 18 км/ч..

1).Через сколько часов велосипедист догонит спортсмена?

2).На каком расстоянии от пункта В велосипедист догонит спортсмена?

3). На сколько километров путь велосипедиста больше пути спортсмена?

18 км/ч 6 км/ч ?

V приближ. = 2V -1V , где 2V ֺ > 1V

1). 18 – 6 = 12 (км /ч.) – скорость приближения велосипедиста и спортсмена

2). 24 : 12 = 2 (ч.) – время, через которое велосипедист догонит спортсмена.

3). 6 ●2 = 12 (км) – расстоянии, на котором велосипедист догонит спортсмена.

Ответ: через 2 часа; 12 км.

Пример 3. За какое время мотоцикл догонит грузовой автомобиль, если расстояние между ними 45 км, а скорость мотоцикла больше скорости грузовика на 15 км/ч?

Цель: закрепить умение решать задачи на встречное движение.

Карточки можно использовать и для индивидуальной, и для парной работы.

Скачать:

Вложение	Размер
zadachi_na_vstrechnoe_dvizhenie_4_klass.docx	14.58 КБ

Предварительный просмотр:

1. Из двух деревень одновременно вышли навстречу друг другу две группы туристов. Одна группа шла со скоростью 3 км/ч, а другая 4 км/ч. Встретились они через 2 ч. Чему равно расстояние между деревнями?

2. С двух полярных станций одновременно навстречу друг другу выехали две собачьи упряжки. Одна упряжка двигалась со скоростью 14 км/ч, а скорость другой 12 км/ч. Через сколько часов упряжки встретятся, если расстояние между полярными станциями 52 км?

3. Два лыжника вышли одновременно навстречу друг другу из двух разных пунктов, расстояние между которыми

66 км. Скорость первого 12 км/ч. С какой скоростью ехал второй лыжник, если они встретились через 3 часа?

1. Из двух городов одновременно вылетели навстречу друг другу два голубя. Они встретились через 5 ч. Скорость одного голубя 62 км/ч, а второго 68 км/ч. Узнай расстояние между городами.

2. Два пешехода вышли одновременно из двух деревень навстречу друг другу. Один шёл со скоростью 5 км/ч, скорость другого 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между деревнями 36 км?

3. Два пловца поплыли одновременно навстречу друг другу с двух разных концов бассейна, длина которого 100 метров. Первый плыл со скоростью 20 м/мин. С какой скоростью плыл второй пловец, если они встретились через 2 минуты?

1.Из двух посёлков одновременно выехали навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Они встретились через 4 ч. Скорость велосипедиста 15 км/ч, а мотоциклиста 57 км/ч. Узнай расстояние между посёлками.

2. Две многоножки ползли навстречу друг другу. Скорость одной 2 дм/мин, а скорость второй 3 дм/мин. Через сколько минут они встретятся, если первоначальное расстояние между ними было 15 дм?

3. Две ласточки одновременно вылетели навстречу друг другу. Одна летит со скоростью 23 м/с. С какой скоростью летит вторая ласточка, если первоначальное расстояние между ними 920 м и встретились они через 20 секунд?

1.От двух пристаней одновременно навстречу друг другу отошли катер и лодка. Они встретились через 6 ч. Скорость лодки 8 км/ч, а скорость катера 35 км/ч. Узнай расстояние между пристанями.

2.Дв пчелы вылетели из ульев одновременно навстречу друг другу. Одна пчела летела со скоростью 8 м/с, скорость другой 7 м/с. Через сколько секунд пчёлы встретятся, если расстояние между ульями 135 м?

3. Автомобиль и автобус выехали одновременно из двух городов навстречу друг другу. Скорость автомобиля 90 км/ч. Расстояние между городами 1600 км. С какой скоростью шёл автобус, если они встретились через 10 часов?

1. Две водомерки отправились одновременно с противоположных концов пруда навстречу друг другу. Они встретились через 3 минуты. Одна водомерка плыла со скоростью 48 м/мин, а другая со скоростью 40 м/мин. Узнай расстояние между берегами пруда.

2. С двух станций, расстояние между которыми равно 320 км, вышли одновременно два товарных поезда. Один поезд проходил 29 км, а другой 35 км. Через сколько часов эти поезда встретятся?

3. Расстояние между сёлами 48 км. Из них вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Скорость одного пешехода 3 км/ч. С какой скоростью шёл второй пешеход, если они встретились через 6 часов?

1. От двух городов одновременно отошли навстречу друг другу товарный и пассажирский поезда. Товарный поезд шёл со скоростью 56 км/ч, а пассажирский со скоростью 74 км/ч. Каково расстояние между городами, если поезда встретились через 4 ч?

2.От двух раковин два рака ползут навстречу друг другу. Скорость первого 18 м/мин, а скорость второго 20 м/мин. Через сколько минут раки встретятся, если расстояние между раковинами равно 114 м?

3. От двух причалов, расстояние между которыми 90 км, одновременно вышли навстречу друг другу две лодки. Первая шла со скоростью 8 км/ч. С какой скоростью шла вторая лодка, если они встретились через 5 часов?

1. Две группы туристов вышли одновременно навстречу друг другу из двух сёл. Расстояние между сёлами 27 км. Одна группа шла со скоростью 4 км/ч. С какой скоростью шла вторая группа, если они встретились через 3 часа?

2. Теплоход и катер отошли от двух пристаней одновременно навстречу друг другу. Скорость теплохода 30 км/ч, скорость катера 25 км/ч. Через сколько часов суда встретятся, если расстояние между пристанями равно 330 км?

3. Две гремучие змеи выползли одновременно из своих укрытий навстречу друг другу и встретились через 5 минут. Скорость одной змеи 48 м/мин, а скорость другой 53 м/мин. Каково расстояние между укрытиями змей?

1.Два мотоциклиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов. Расстояние между городами 465 км. Первый мотоциклист ехал со скоростью 80 км/ч. С какой скоростью ехал второй мотоциклист, если они встретились через 3 часа?

2. Две медузы плыли навстречу друг другу. Скорость одной 50 м/мин, а скорость другой 55 м/мин. Через сколько минут они встретятся, если первоначальное расстояние между ними было 315 метров?

3. Две девочки вышли одновременно навстречу друг другу из своих домов. Они встретились через 8 минут. Одна шла со скоростью 60 м/мин, а другая со скоростью 70 м/мин. Какое расстояние между домами девочек?