Как найти время за которое разряжается конденсатор - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Если снова обратиться к формуле для напряжения на конденсаторе во время разрядки:

то легко заметить, что при t=tau конденсатор разрядится только до напряжения 1/е от своего начального напряжения. А время полной разрядки, т.е. состояния конденсатора при его 0-вом напряжении равно бесконечности. Поэтому ссылки на постоянную времени tau=R*C говорят только об одном — когда конденсатор разрядится примерно на 30%.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим

Magnus
[97.2K]

9 лет назад

Постоянная времени для RC цепи Т=R*C.

где

T — время в секундах

R — сопротивление цепи в омах

С — емкость конденсатора в фарадах

Знаете ответ?

Источник

Калькуляторы рассчитывают параметры разрядки и зарядки конденсатора от источника постоянной ЭДС через сопротивление. Формулы, по которым идет расчет, приведены под калькуляторами.

Заряд конденсатора от источника постоянной ЭДС

Время зарядки, миллисекунд

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Постоянная времени RC-цепи, миллисекунд

Время зарядки конденсатора до 99.2%, миллисекунд

Максимальная рассеиваемая мощность, Ватт

Напряжение на конденсаторе, Вольт

Заряд на конденсаторе, микроКулон

Энергия конденсатора, миллиДжоуль

Работа, совершенная источником, миллиДжоуль

Разряд конденсатора через сопротивление

Начальное напряжение на конденсаторе, Вольт

Время разрядки, миллисекунд

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Начальная энергия конденсатора, миллиДжоуль

Начальный заряд конденсатора, микроКулон

Постоянная времени RC-цепи, миллисекунд

Максимальная рассеиваемая мощность, Ватт

Конечный заряд конденсатора, микроКулон

Конечная энергия конденсатора, миллиДжоуль

Конечное напряжение конденсатора, Вольт

Понять приводимые ниже формулы поможет картинка, изображающая электрическую схему заряда конденсатора от источника постоянной ЭДС (батареи):

Итак, при замыкании ключа К в цепи пойдет электрический ток, который будет приводить к заряду конденсатора.
По закону Ома сумма напряжений на конденсаторе и резисторе равна ЭДС источника, таким образом:
$epsilon=IR+frac{q}{C}$
При этом заряд и сила тока зависят от времени. В начальный момент времени на конденсаторе нет заряда, сила тока максимальна, также как и максимальна мощность, рассеиваемая на резисторе.
$I=frac{epsilon}{R}, P=I^2R$
Во время зарядки конденсатора, напряжение на нем изменяется по закону
$V(t)=epsilon(1-e^{-frac{t}{RC}})$
где величину
tau=RC
называют постоянной времени RC-цепи или временем зарядки конденсатора.
Вообще говоря, согласно уравнению выше, заряд конденсатора бесконечно долго стремится к величине ЭДС, поэтому для оценки времени заряда конденсатора используют величину
5tau — это время, за которое напряжение на конденсаторе достигнет значения 99,2% ЭДС.
Заряд на конденсаторе:
Q=CV
Энергия, запасенная в конденсаторе:
$W=frac{Q^2}{2C}$
Работа, выполненная источником ЭДС:

Источник

Электрическая цепь RC

Рассмотрим ток в электрической цепи, состоящей из конденсатора ёмкостью C и резистора сопротивлением R, соединённых параллельно.
Значение тока заряда или разряда конденсатора определится выражением I = C(dU/dt), а значение тока в резисторе,
согласно закону Ома, составит U/R, где U — напряжение заряда конденсатора.

Из рисунка видно, что электрический ток I в элементах C и R цепи будет иметь одинаковое значение и
противоположное направление, согласно закону Кирхгофа. Следовательно, его можно выразить следующим образом:

Решаем дифференциальное уравнение C(dU/dt)= -U/R

Интегрируем:

Из таблицы интегралов здесь используем преобразование

Получаем общий интеграл уравнения: ln|U| = — t/RC + Const.
Выразим из него напряжение U потенцированием: U = e^-t^/RC * e^Const.
Решение примет вид:

U = e^-t^/RC * Const.

Здесь Const — константа, величина, определяемая начальными условиями.

Следовательно, напряжение U заряда или разряда конденсатора будет меняться во времени по экспоненциальному закону
e^-t^/RC.

Экспонента — функция exp(x) = e^x
e – Математическая константа, приблизительно равная 2.718281828…

Постоянная времени τ

Если конденсатор емкостью C последовательно с резистором сопротивлением R подключить к источнику постоянного напряжения U,
в цепи пойдёт ток, который за любое время t зарядит конденсатор до значения U_C и определится выражением:

Тогда напряжение U_C на выводах конденсатора будет увеличиваться от нуля до значения U по экспоненте:

U_C = U(1 — e^-t/RC)

При t = RC, напряжение на конденсаторе составит U_C = U(1 — e^-1) = U(1 — 1/e) .
Время, численно равное произведению RC, называется постоянной времени цепи RC и обозначается греческой буквой τ.

Постоянная времени τ = RC

За время τ конденсатор зарядится до (1 — 1/e)*100% ≈ 63,2% значения U.
За время 3τ напряжение составит (1 — 1/e³)*100% ≈ 95% значения U.
За время 5τ напряжение возрастёт до (1 — 1/e⁵)*100% ≈ 99% значения U.

Если к конденсатору емкостью C, заряженному до напряжения U, параллельно подключить резистор сопротивлением R,
тогда в цепи пойдёт ток разряда конденсатора.

Напряжение на конденсаторе при разряде будет составлять U_C = Ue^-t/τ = U/e^t/τ.

За время τ напряжение на конденсаторе уменьшится до значения U/e, что составит 1/e*100% ≈ 36.8% значения U.

За время 3τ конденсатор разрядится до (1/e³)*100% ≈ 5% от значения U.
За время 5τ до (1/e⁵)*100% ≈ 1% значения U.

Параметр τ широко применяется при расчётах RC-фильтров различных электронных цепей и узлов.

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

Источник

$begingroup$

Say I have a 1F capacitor that is charged up to 5V. Then say I connect the cap to a circuit that draws 10 mA of current when operating between 3 and 5 V. What equation would I use to calculate the voltage across the capacitor, with respect to time, as it is discharging and powering the circuit?

asked Oct 7, 2010 at 11:51

PICyourBrainPICyourBrain

3,69510 gold badges41 silver badges55 bronze badges

$endgroup$

$begingroup$

charge on a cap is a linear product of capacitance and voltage, Q=CV. If you plan to drop from 5V to 3V, the charge you remove is 5V*1F — 3V*1F = 2V*1F = 2 Coulombs of charge. One Amp is one Coulomb per second, so 2C can provide 0.01A for 2C / (0.01 C/sec) or 200 seconds. If you actually withdraw charge from the cap at a constant current, the voltage on the cap will decrease from 5V to 3V linearly with time, given by Vcap(t) = 5 — 2*(t/200).

Of course, this assumes you have a load that draws a constant 10mA even while the voltage supplied to it changes. Common simple loads tend to have relatively constant impedance, which means that the current they draw will decrease as the cap voltage decreases, leading to the usual non-linear, decaying exponential voltage on the cap. That equation has the form of V(t) = V0 * exp(-t/RC).

answered Oct 7, 2010 at 12:04

$endgroup$

$begingroup$

The general equation for the voltage across the capacitor is

$ V = V_0+dfrac{1}{C} int {i dt}$

In the special case where $I$ is constant this translates to

$ V = V_0 + dfrac{I times t}{C} $

We want to find $t$, so rearranging gives us

$ t = dfrac{C (V — V_0)}{I} = dfrac{1F (3V — 5V)}{-10mA} = 200s$ = 3 minutes and 20 seconds.

The more general solution is where $I$ is a function of time. I’ll assume that the 10mA is the initial current, at $V_0$ = 5V. Then the discharge resistor $R = dfrac{5V}{10mA} = 500Omega$. The time constant $RC$ is then 500s. Then

$ V = V_0 times e^{left(dfrac{-t}{RC}right)} $

$ t = -RC times ln{left(dfrac{V}{V_0}right)} = -500s times ln{left(dfrac{3V}{5V}right)} = 255s $ = 4 minutes and 15 seconds.

This makes sense. Following an exponential discharge will get us at 3V later than with the linear discharge.

answered Aug 28, 2011 at 10:05

stevenvhstevenvh

145k21 gold badges454 silver badges666 bronze badges

$endgroup$

$begingroup$

The answer is already given above but this is the way I think about it:

Assuming a constant current: I=C*dV/dt —> dt=C*dV/I

dv=5V-3V =2V, I=10mA, C=1F —> dt=1F*2V/10mA= 200sec

answered Aug 29, 2011 at 11:57

$endgroup$

$begingroup$

$ Delta U = dfrac{I times T}{C}$ for DC current only! (I — current, T — time, C — capacitance).

in general:

$ u(t) = dfrac{1}{C} times int{i dt}$

stevenvh

145k21 gold badges454 silver badges666 bronze badges

answered Oct 7, 2010 at 11:53

mazurnificationmazurnification

2,5631 gold badge21 silver badges25 bronze badges

$endgroup$

Источник

При
замыкании выключателя К в положение 2,
заряженный конденсатор С, обладающий
энергией W
= CU²/2,
начинает разряжаться, т.е. в цепи
появляется разрядный ток.

Согласно
закону Ома мгновенное значение силы
тока через сопротивление при разрядке
конденсатора равно i=U_c/R.

Поскольку
заряд конденсатора при разрядке
уменьшается с течением времени, то i
= —dq/dt.

Так
как dq
= CdU_c,
то получим i
= —CdU_c/dt.
Отсюда dU_c/U_c
= —dt/RC.

Интегрируя
полученное выражение с учетом того, что
при t=0,
U_c
= U,
имеем:

Следовательно,
напряжение на конденсаторе при его
разрядке уменьшается по экспоненциальному
закону, а разрядный ток определяется
по закону

(4)

На
рис. 3 представлены графики зависимости
U_c(t)
и i(t)
при разрядке конденсатора.

Рис.
3

В
начальный момент времени разрядный ток
имеет максимальное значение i_max=U/R.
За время τ=RC
разрядный ток уменьшается в e
раз. Энергия, сосредоточенная в
электрическом поле заряженного
конденсатора, выделяется в виде тепла
на сопротивлении R.
Рассмотренные переходные процессы
используются в радиотехнике, для
измерения малых промежутков времени,
для получения мощных электрических
разрядов, в релаксационных генераторах
(генераторах пилообразного напряжения).

Итак,
в переходных процессах, происходящих
при заряде и разряде конденсатора, ток
и напряжение на конденсаторе с течением
времени изменяется по экспоненциальному
закону ().

Произведение
RС
имеет
размерность времени
и
называется постоянной времени или
временем релаксации τ =RC.
За
время τ заряд конденсатора уменьшается
в e
раз.

Для
определения RС
часто
удобно измерять время, за которое
величина заряда или напряжения падает
до половины первоначального значения,
так называемое «половинное время»
t_1/2.
«Половинное
время» определяется из выражения

Взяв
натуральный логарифм от обеих частей
уравнения, получаем
,
или

₍₅₎

Способ
измерения постоянной времени состоит
в определении t_1/2
и
умножении полученной величины на 1,44.
Так как экспонента асимптотически
приближается к оси абсцисс, то точно
установить окончание процесса разряда
конденсатора (так же как и процесса
заряда) не представляется возможным.
Поэтому целесообразно измерять время
уменьшения величины напряжения в 2 раза,
т.е. “половинное время”. За каждый
интервал времени
t_1/2=0,693ּRC
заряд на емкости уменьшается в два раза
(рис. 4).

Рис. 4

Кроме того,
постоянную времени можно найти графическим
способом. Из формулы (4) находим:

,
(6)

Логарифмируя левую
и правую части формулы (11), получаем

.
(7)

Построив
логарифмическую зависимость, y=f(x),
где
,
а,
получим прямую, котангенс угла наклона
которой к оси Х есть время релаксации
, или постоянная времениRC:

.
(8)

Если обкладки
конденсатора попеременно подключать
к источнику тока и к сопротивлению R
(рис. 5), то график процесса заряд-разряд
конденсатора будет иметь вид, показанный
на рис. 6. Процесс заряда-разряда можно
наблюдать с помощью осциллографа,
подавая на вход Y
напряжение с конденсатора C.

Рис. 5 Рис. 6

Соседние файлы в папке Лабы Физика 2 семестр

Источник