Как найти все числовые характеристики - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Основными характеристиками ДСВ являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

$sum_{i=1}^n x_{i} cdot p_{i}=x_{1} cdot p_{1}+x_{2} cdot p_{2}+cdots +x_{n} cdot p_{n}$

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

2. Постоянную можно выносить за знак математического ожидания:

3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

(для разности аналогично)

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

$[D(X)=M{[X-M(X)]}^2]$

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

$[D(X)=M(X^2)-{[M(X)]}^2]$

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

Рассмотрим следующие задачи.

1. Математическое ожидание и дисперсия СВ Х соответственно равны 0,5 и 5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение.

Согласно свойствам математического ожидания и дисперсии, получаем:

$[M(2X-3)=M(2X)+M(-3)=2M(X)-3=2cdot frac12-3=1-3=-2]$

2. Случайные величины X и Y независимы, причем D(X)=3 и D(Y)=5 . Найти D(Z) , если .

Решение.

На основании свойств дисперсии получаем:

3. Закон распределения ДСВ Х задан таблицей распределения

	1	2	3	4
	$frac18$	$frac14$	$frac13$

Найти:

1) Так как $sum_{i=1}^4 p_i =1$ , т.е. $frac18 +frac14 +frac13+c=1$ , следовательно

$[c=1-frac18 -frac14 -frac13=frac{24-3-6-8}{24}=frac{7}{24}]$

Т.о. закон распределения примет вид

	1	2	3	4
	$frac18$	$frac14$	$frac13$	$frac{7}{24}$

$[M(X)=sum_{i=1}^4 x_i cdot p_i=1cdot frac18+2cdot frac14+3cdot frac13+4cdot frac{7}{24}=frac18+frac12+1+frac76=]$

$[=frac{3+12+24+28}{24}=frac{67}{24};]$

2) Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

$[D(X)=M(X^2)-{[M(X)]}^2]$

Сначала найдем математическое ожидание ДСВ Х2 для этого составим закон распределения этой СВ. Напоминаю, что для этого необходимо каждое значение ДСВ Х возвести в квадрат, а вероятности оставляем прежними. При одинаковых значениях ДСВ вероятности складываем.

$[M(X^2)=1cdot frac18+4cdot frac14+9cdot frac13+16cdot frac{7}{24}=frac18+1+3+frac{14}{3}=frac{3+96+112}{24}=frac{211}{24};]$

$[D(X)=frac{211}{24}-{left(frac{67}{24}right)}^2=frac{24cdot 211-{67}^2}{{24}^2}=frac{5064-4489}{576}=frac{575}{576};]$

3) Найдем среднее квадратическое отклонение:

$[sigma (X) =sqrt{D(X)}=sqrt{frac{575}{576}}=frac{5sqrt{23}}{24}]$

$[P{X<3}=P{X=1}+P{X=2}=frac18+frac14=frac38]$

4. Функция распределения ДСВ Х имеет вид

$[F(x)={ 0, qquad qquad xle 0 \ 0,2, qquad 0< x le 1, \ 0,6, qquad qquad 1< x le 2 \ 0,9, qquad qquad 2< x le 3 \ 1, qquad qquad x>3]$

Найти:

Решение.

Составляем закон распределения ДСВ Х (т.е. выполняем операцию обратную той, которую мы делали в предыдущей статье)

	0	1	2	3
	0,2	0,4	0,3	0,1

Составляем закон распределения ДСВ X^2

	0	1	4	9
	0,2	0,4	0,3	0,1

$[D(X)=M(X^2)-{[M(X)]}^2=2,5-{1,3}^2=2,5-1,69=0,81]$

5. Независимые случайные величины X и Y заданы таблицами распределения вероятностей

Найти двумя способами:

1. Составив предварительно таблицу распределения СВ ;

2. Используя правило сложения дисперсий.

Решение.

Составим таблицу распределения ДСВ .

Найдем $z_{ij}=x_i+y_{j}$

10+30=40 20+30=50
10+40=50 20+40=60
10+50=60 20+50=70
Т.о. значения ДСВ Z таковы:

Найдем соответствующие им вероятности:

$[p_1=P{Z=40}=P{X=10, Y=30}=0,2cdot 0,5=0,1]$

$[p_2=P{Z=50}=P{X=10, Y=40}+P{X=20, Y=30}=]$

$[p_3=P{Z=60}=P{X=10, Y=50}+P{X=20, Y=40}=]$

$[p_4=P{Z=70}=P{X=20, Y=50}=0,8cdot 0,2=0,16]$

Получаем ряд распределения СВ Z

	40	50	60	70
	0,1	0,46	0,28	0,16

$[M(Z)=sum_{i=1}^4 z_i cdot p_i=40cdot 0,1+50cdot 0,46+60cdot 0,28+70cdot 0,16=4+23+16,8+11,2=55;]$

$[M(Z^2)=sum_{i=1}^4 z_i^2 cdot p_i=1600cdot 0,1+2500cdot 0,46+3600cdot 0,28+4900cdot 0,16=]$

$[D(Z)=M(Z^2)-{[M(Z)]}^2=3102-3025=77]$

2. Используя правило сложения дисперсий:

$[D(X)=M(X^2)-{[M(X)]}^2]$

Источник

Содержание:

Числовые характеристики случайных величин:

Как мы уже выяснили, закон распределения полностью характеризует случайную величину, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных с этой случайной величиной. Однако, во-первых, закон распределения не всегда известен, а, во-вторых, для решения многих практических задач совсем необязательно знать закон распределения. Достаточно знать отдельные числовые характеристики, которые в сжатой, компактной форме выражают наиболее существенные черты распределения.

Например, можно составить законы распределения двух случайных величин – числа очков, выбиваемых двумя стрелками, – и выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше. Однако, даже не зная законов распределения, можно сказать, что лучше стреляет тот, кто в с р е д н е м выбивает большее количество очков. Таким средним значением случайной величины является математическое ожидание.

Математическое ожидание случайной величины

Определение: Математическим ожиданием, или средним значением, M(X) д и с к р е т н о й случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

Заменим в формуле для дискретной случайной величины знак суммирования по всем ее значениям знаком интеграла с бесконечными пределами, дискретный аргумент xi – непрерывно меняющимся

Рассмотрим свойства математического ожидания.

Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С) = С. (5.3)
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. M(СX) = С·M(X). (5.4)
Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е
Математическое ожидание произведений конечного числа случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(XY) = M(X)·M(Y). (5.6)
Если все значения случайной величины увеличить (или уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличится (или уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины:
Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

Пример:

Найти математическое ожидание случайной величины Z = 8X – – 5Y + 7, если известно, что M(X) = 3, M(Y) = 2.

Решение:

Используя свойства 1, 2, 3 математического ожидания, находим

Итак, мы установили, что математическое ожидание является важной числовой характеристикой случайной величины. Однако одно лишь математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину. Вернемся к задаче о стрелках. При равенстве средних значений числа выбиваемых очков, вопрос о том, какой из стрелков стреляет лучше, остается открытым. Однако в этом случае можно сделать предположение, что лучше стреляет тот стрелок, у которого отклонения числа выбитых очков от среднего значения меньше.

Мерой рассеяния значений случайной величины вокруг ее математического ожидания служит дисперсия (слово дисперсия означает «рассеяние).

Дисперсия случайной величины

Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид:

Для непрерывной случайной величины: На практике для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания: Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид: Для непрерывной случайной величины:

Рассмотрим свойства дисперсии.

Дисперсия постоянной величины равна нулю:
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат, т.е.
Дисперсия алгебраической суммы конечного числа случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.
Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.

Пример №1

Найти дисперсию случайной величины Z = 8X – 5Y + 7, если известно, что D(X) = 1, D(Y) = 2.

Решение:

Используя свойства дисперсии, находим

Среднее квадратическое отклонение случайной величины

Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину

Определение: Средним квадратическим отклонением (или стандартным отклонением) σ(Х) случайной величины Х называют значение квадратного корня из ее дисперсии:

Свойства среднего квадратического отклонения вытекают из свойств дисперсии.

Мода и медиана. Квантили

Кроме математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, отражающих те или иные особенности распределения.

Определение: Модой Мо(Х) случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность pi или плотность вероятности f(x) достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным.

Определение: Медианой Ме(Х) непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого т. е. вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее медианы или большее ее, одна и та же и равна 1/2. Геометрически вертикальная прямая х = Ме(Х), проходящая через точку с абсциссой, равной Ме(Х), делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части. Очевидно, что в точке х = Ме(Х) функция распределения равна 1/2.

Пример №2

Найти моду, медиану случайной величины Х с плотностью вероятности

Решение:

Кривая распределения представлена на рис. 5.1 Очевидно, что плотность вероятности максимальна при х= Мо(Х) = 1. Медиану Ме(Х) = найдем из условия или откуда

Наряду с модой и медианой для описания случайной величины используется понятие квантиля.

Определение: Квантилем уровня q (или q-квантилем) называется такое значение хq случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, т. е.

Пример №3

По данным примера 5.3 найти квантиль

Решение:

Находим функцию распределения

Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс

Среди числовых характеристик случайной величины особое место занимают моменты – начальные и центральные.

Определение: Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой величины: Для дискретной случайной величины формула начального момента имеет вид: Для непрерывной случайной величины:

Определение: Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:

Для дискретной случайной величины формула центрального момента имеет вид:

Для непрерывной случайной величины: Нетрудно заметить, что при k = 1 первый начальный момент случайной величины Х есть ее математическое ожиданиепри k = 2 второй центральный момент – дисперсия

Т.е. первый начальный момент характеризует среднее значение распределения случайной величины Х; второй центральный момент – степень рассеяния распределения Х относительно математического ожидания. Для более подробного описания распределения служат моменты высших порядков.

Третий центральный момент μ3 служит для характеристики ассиметрии (т.е. скошенности ) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на , где σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Полученная величина А называется коэффициентом асимметрии случайной величины: Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии равен нулю А = 0.

На рис. 5.2 показаны две кривые распределения 1 и 2. Кривая 1 имеет положительную (правостороннюю) асимметрию (А > 0), а кривая 2 – отрицательную (левостороннюю) асимметрию (А < 0).

Четвертый центральный момент μ4 служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.

Эксцессом случайной величины называется число (Число 3 вычитается из отношения потому, что для нормального распределения, которое встречается наиболее часто, отношение Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом.

Числовые характеристики независимых испытаний

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (т.е. повторные независимые испытания). В этом случае математическое ожидание числа появлений события А в n испытаниях находится по формуле M(X) = np, (5.30) а дисперсия по формуле D(X) = npq. (5.31)

Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.). Наибольший интерес представляют числовые характеристики среднего арифметического этих величин.

Обозначим среднее арифметическое n взаимно независимых случайных величин через

Сформулируем положения, устанавливающие связь между числовыми характеристиками среднего арифметического и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.

Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из величин:
Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше дисперсии D каждой из величин:
Среднее квадратическое отклонение n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше среднего квадратического отклонения σ каждой из величин:

Пример:

По данному распределению выборки (табл. 2.1) найти эмпирическую функцию распределения.

Решение. Определяем объем выборки:
Определяем относительные частоты вариант (табл. 2.2):

Так как значение есть сумма относительных частот вариант попадающих в интервал запишем эмпирическую функцию распределения:

График примет вид:

Нормальный закон распределения
Основные законы распределения вероятностей
Асимптотика схемы независимых испытаний
Функции случайных величин
Формула полной вероятности
Повторные независимые испытания
Простейший (пуассоновский) поток событий
Случайные величины

Источник

Если
дискретная случайная величина X
задана законом распределения вероятностей
вида:

то
математическое ожидание

величины

вычисляется по формуле

Математическое
ожидание

случайной величины

служит характеристикой среднего
значения величины X.
В задачах
принятия решений математическое
ожидание, например, характеризует
доходность инвестиционного проекта.

Дисперсией
случайной величины

называют математическое ожидание
квадрата отклонения случайной величины
от ее математического ожидания:

или

Дисперсию удобно
вычислять по формулам:

или

Средним квадратическим
отклонением случайной величины называют
корень квадратный из дисперсии:

Дисперсия и среднее
квадратическое отклонение характеризуют
рассеивание возможных значений случайной
величины вокруг ее математического
ожидания (среднего значения). В задачах
принятия решений среднее квадратическое
отклонение служит мерой риска.

№ 70.
Задан закон распределения дискретной
случайной величины X.

	34	40	42	45
	0,3	0,4	0,1	0,2

Найти:
а) математическое ожидание

;
б) дисперсию

и среднее
квадратическое отклонение

Решение.

а)
Математическое ожидание

вычислим по формуле:

Следовательно,

б) Дисперсию
вычислим по формуле

Следовательно,

И среднее
квадратическое отклонение равно:

Ответ:

№ 71.
В условиях задачи № 61 найти: условные
математические ожидания составляющие

при

,
и Y
при

Решение.

Ответ:
2,8;
5.

Понятие математического
ожидания широко используется в
микроэкономике при принятии решений в
условиях неопределенности, с использованием
понятия ожидаемой полезности инвестора
или лица, принимающего решение (ЛПР).
Рассмотрим в качестве иллюстрации
следующий пример.

№ 72.
Пусть
ЛПР с функцией полезности

обладает начальным капиталом в 10000 руб.

ЛПР может принять
участие в игре, в которой он с вероятностью
0,5 может выиграть или проиграть 2000 руб.
Имеет ли ему смысл покупать страховой
полис, устраняющий риск, за 500 руб., или
не играть.
ЛПР рискнул, принял
участие в игре и проиграл. Следует ли
ему снова принять участие в игре, или
застраховать свой риск на прежних
условиях.

Решение.
1.
Закон распределения вероятностей
капитала ЛПР при участии в игре без
страховки имеет вид:

	8000	1200
	0,5	0,5

Тогда полезность
такого решения будет равна

ют.

При покупке
страхового полиса закон распределения
вероятностей капитала ЛПР имеет вид:

	9500	11500
	0,5	0,5

с полезностью

ют.

Если вычислить
первоначальную полезность ЛПР:

ют.,

то можно сделать
вывод о том, что ЛПР следует играть,
застраховав свой риск, а без страховки
лучше и не играть.

2.После проигрыша
капитал ЛПР составит 8000 руб., поэтому
его участие в игре второй раз будет
иметь следующую полезность:

а) без страховки

ют.;

б) со страховкой

ют.

Если вычислить
полезность ЛПР после первого проигрыша

ют.,

то можно сделать
вывод о том, что ЛПР может играть и во
второй раз, если полностью застрахует
свой риск.

№ 73
— 74.
Задан закон распределения вероятностей
дискретной случайной величины. Найти
числовые характеристики.

№ 73. №
74.

	19	21	22	24			7	10	12	14
	0,1	0,2	0,3	0,4			0,3	0,2	0,4	0,1

№ 75.
Дан
перечень возможных значений дискретной
случайной величины

:

,

,

,
а
так же известны

,

.
Найти вероятности, соответствующие
возможным значениям X.

№ 76.
Проводятся многократные испытания
некоторого элемента на надежность до
тех пор, пока элемент не откажет. Найти
математическое ожидание и дисперсию
дискретной величины

–
числа испытаний, которое надо провести.
Вероятность отказа элемента в каждом
опыте равна 0,2.

№ 77.
В условиях задачи № 68 найти условные
математические ожидания составляющей

№ 78.
В
условиях задачи № 69 найти условные
математические ожидания составляющей

№ 79.
Дано следующее состояние рынка ценных
бумаг трех видов

Состояние рынка ( )	Вероятность	Доходность ценных бумаг (в %)

(хорошее)	0,5	30	20	40
(среднее)	0,3	20	20	10
(плохое)	0,2	-5	-10	-20

Определить, какая из ценных бумаг
является: а) наиболее доходной; б) наименее
рисковой.

№ 80. Летом цена угля за 1 т равна 6
у.е. и у Вас есть место для хранения 6 т
угля. Весь уголь, который не будет
использован в течение зимы, пропадет.
Данные о потребности и ценах на уголь
в зимний период приведены в следующей
таблице:

Зима	Вероятности	Потребность угля (т)	Средняя цена за 1 т (у.е.)
мягкая	0,35	4	7
обычная	0,5	5	7,5
холодная	0,15	6	8

Сколько угля Вам следует закупить
летом?

№ 81. В условиях № 72 найдите максимальную
сумму, которую может заплатить ЛПР за
страховку как в первом, так и во втором
случаях.

№ 82. Пусть функция полезности
инвестора имеет вид:

Инвестор может вложить в некоторый
проект 25000 руб. и считает, что с одинаковой
вероятностью может получить прибыль в
30000 руб., или потерять все. Определите:
а) следует ли осуществлять инвестирование
проекта; б) какова ожидаемая полезность
инвестирования.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно
возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин,
которые заранее не могут быть учтены.

Случайные
величины обозначаются прописными буквами

, а их возможные значения – соответствующими строчными буквами

. Например, если случайная величина

имеет три возможных
значения, то они будут обозначены так:

Дискретной называют случайную
величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с
определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной
величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной
случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их
вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и
графически.

При табличном задании закона
распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит
возможные значения, а вторая – их вероятности:

			…
			…

Приняв во внимание, что в одном
испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение,
заключаем, что события

образуют полную
группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, то есть сумма
вероятностей второй строки таблицы, равна единице:

Если множество возможных значений

бесконечно
(счетно), то ряд

сходится и его
сумма равна единице.

Для наглядности закон распределения
дискретной случайной величины можно изобразить и графически. Для этого в
прямоугольной системе координат строят точки

, а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную
фигуру называют многоугольником распределения.

Смежные темы решебника:

Непрерывная случайная величина
Функция распределения вероятностей
Математическое ожидание
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Задача 1

В партии
из 25 кожаных курток 5 имеют скрытый дефект. Покупают 3 куртки. Найти закон
распределения числа дефектных курток среди купленных. Построить многоугольник
распределения.

Задача 2

Устройство
состоит из пяти независимых элементов. Вероятность безотказной работы каждого
элемента в одном опыте равна p=0,7. Для случайной
величины X элементов, безотказно работавших в одном опыте,
построить закон распределения, их графики, найти ее числовые характеристики.

Задача 3

С
вероятностью попадания при явном выстреле p=0.88 охотник стреляет по
дичи до первого попадания, но успевает сделать не более n=6
выстрелов.

ДСВ X — число
промахов:

а) Найти
закон распределения X.

б)
Построить многоугольник распределения.

в) Найти
вероятность событий: X<2, X<3,
1<X<3.

Задача 4

Составьте
закон распределения дискретной случайной величины ξ, вычислите ее
математическое ожидание, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение,
коэффициенты асимметрии и эксцесса, все моменты, а также начертите ее
многоугольник распределения и график функции распределения. Сделайте выводы по
результатам расчетов.

Производятся
последовательные испытания 5 приборов, причем испытания прекращаются сразу
после того, как проверяемый прибор окажется надежным. Вероятность выдержать
испытание для каждого прибора равна 0,8.
ξ – число испытаний, после которых закончится проверка.

Задача 5

В первой урне
6 шаров – 3 белых и 3 черных. Во второй 5 шаров –3 белых и 2 черных. Из первой
урны наудачу переложили во вторую 2 шара, после чего, из второй в первую
переложили 1 шар. Найти закон распределения случайной величины Х – числа белых
шаров в первой урне, после всех перекладываний шаров. Какова вероятность того,
что число белых шаров не больше, чем первоначально. Построить многоугольник
распределения.

Задача 6

В коробке
N=9 карандашей, из которых M=6 красных. Из этой коробки
наудачу извлекается n=5 карандашей.

а) Найти
закон распределения случайной величины X равной числу красных
карандашей в выборке.

б)
Построить многоугольник распределения.

в) Найти
вероятность события: 0<X<4.

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 7

Производятся
последовательные испытания 5 приборов, причем испытания прекращаются сразу
после того, как проверяемый прибор оказался надежным. Вероятность выдержать
испытание для каждого прибора равна 0,8. X – число испытаний, после
которых закончится проверка. Составьте закон распределения случайной величины X,
вычислите ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое
отклонение, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции
распределения.

Задача 8

Проведено
n=5 независимых опытов. Вероятность взрыва в каждом опыте равна p=2/7.
Составить закон распределения числа взрывов, вычислить математическое ожидание,
дисперсию, среднеквадратическое отклонение и построить многоугольник
распределения.

Задача 9

Найти закон
распределения указанной дискретной СВ X и ее функции. распределения
F(x). Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и
среднее квадратичное отклонение σ(Х). Построить график
функции распределения F(x).

Вероятность отказа прибора за время испытания
на надежность равна 0,2; СВ Х — число приборов, отказавших в работе, среди 5
испытываемых.

Задача 10

В интернет-магазине
приобретается смартфон. Курьер приносит на дом покупателю 5 одинаковых
смартфонов, среди которых три (заранее неизвестно какие) бракованные.
Покупатель проверяет один за другим, пока не найдет хороший прибор, но делает
не более трех попыток.

Составить
закон распределения случайной величины – числа произведенных попыток.

Найти ее
математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Построить
функцию распределения.

Задача 11

В команде
9 спортсменов, из них 4 — первого разряда и 5 — второго. Наудачу отобраны 3
спортсмена. Найти ряд распределения дискретной случайной величины Х — числа
спортсменов второго разряда среди отобранных.

Задача 12

К контролеру с конвейера поступили 4 детали.
Вероятность брака для каждой детали равна 0,1. Детали проверяют одну за другой,
пока не наберут 2 доброкачественные.
Найти закон распределения вероятностей для числа проверенных деталей.

Задача 13

Двое рабочих,
выпускающих однотипную продукцию, допускают производство изделий второго сорта
с вероятностями соответственно равными 0,4 и 0,3. У каждого рабочего взято по 2
изделия. Для случайной величины Х —
числа изделий второго сорта среди отобранных для проверки четырех найти закон
распределения, математическое ожидание и дисперсию.

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 14

На викторине
задаются 3 вопроса. Вероятность правильно ответить на первый – p, на
второй – r, на третий – s. После неправильного
ответа игрок выбывает из игры. Найти распределение числа правильных ответов.
Вычислить математическое ожидание. Решить задачу, если:

а) p=0.7; r=0.6; s=0.3;

б)
p=0.8; r=0.4; s=0.1.

Задача 15

На
некоторой остановке автобус останавливается только по требованию. Вероятность
остановки равна 0,2. За смену автобус проходит мимо этой остановки 5 раз.
Составить закон распределения числа остановки за смену, найти математическое
ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Задача 16

Вероятность
того, что при составлении бухгалтерского баланса допущена ошибка, равна 0,3.
Аудитору на заключение представлено 3 баланса предприятия. Составить закон
распределения числа положительных заключений на проверяемые балансы.

Задача 17

Два товароведа
проверяют партию изделий. Производительность их труда соотносится как 5:4.
Вероятность определения брака первым товароведом составляет 85%, вторым – 90%.
Из проверенных изделий отбирают четыре. Найти а) математическое ожидание и б)
дисперсию числа годных изделий среди отобранных.

Задача 18

Два
станка выпускают детали с вероятностями брака 0,01 и 0,05 соответственно. В
выборке одна деталь выпущена первым станком и две – вторым. Найти распределение числа бракованных деталей
в выборке.

Задача 19

Монета
подбрасывается до тех пор, пока герб не выпадет 2 раза, но при этом делается не
более 4 бросаний. Найти распределение числа подбрасываний.

Задача 20

Вероятность
сдачи данного экзамена для каждого из n=5 студентов равна p=0.6.
Случайная величина X (СВ X) — число студентов, сдавших экзамен. Найти закон
распределения указанной дискретной СВ X и ее функцию распределения F(x).
Вычислить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и
среднее квадратическое отклонение σ(x). Построить график функции распределения F(x).

Источник

Сейчас Вы научитесь находить числовые характеристики статистического распределения выборки. Примеры подобраны на основании индивидуальных заданий по теории вероятностей, которые задавали студентам ЛНУ им. И. Франка. Ответы послужат для студентов математических дисциплин хорошей инструкцией на экзаменах и тестах. Подобные решения точно используют в обучении экономисты , поскольку именно им задавали все что приведено ниже. ВУЗы Киева, Одессы, Харькова и других городов Украины имеют подобную систему обучения поэтому много полезного для себя должен взять каждый студент. Задачи различной тематики связаны между собой линками в конце статьи, поэтому можете найти то, что Вам нужно.

Индивидуальное задание 1
Вариант 11

Задача 1. Построить статистическое распределение выборки, записать эмпирическую функцию распределения и вычислить такие числовые характеристики:

выборочное среднее;
выборочную дисперсию;;
подправленную дисперсию;
выборочное среднее квадратичное отклонение;
подправленное среднее квадратичное отклонение;
размах выборки;
медиану;
моду;
квантильное отклонение;
коэффициент вариации;
коэффициент асимметрии;
эксцесс для выборки:

Выборка задана рядом 11, 9, 8, 7, 8, 11, 10, 9, 12, 7, 6, 11, 8, 7, 10, 9, 11, 8, 13, 8.

Решение:
Запишем выборку в виде вариационного ряда (в порядке возрастания):
6; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 10; 10; 11; 11; 11; 11; 12; 13.
Далее записываем статистическое распределение выборки в виде дискретного статистического распределения частот:

Эмпирическую функцию распределения определим по формуле

Здесь n_x – количество элементов выборки которые меньше х. Используя таблицу и учитывая что объем выборки равен n = 20, запишем эмпирическую функцию распределения:

Далее вычислим числовые характеристики статистического распределения выборки.
Выборочное среднее вычисляем по формуле

Выборочную дисперсию находим по формуле

Выборочное среднее, что фигурирует в формуле дисперсии в квадрате найдено выше. Остается все подставить в формулу

Подправленную дисперсию вычисляем согласно формулы

Выборочное среднее квадратичное отклонение вычисляем по формуле

Подправленное среднее квадратичное отклонение вычисляем как корень из подправленной дисперсии

Размах выборки вычисляем как разность между наибольшим и наименьшим значениями вариант, то есть:

Медиану находим по 2 формулам:
если число n — четное;
если число n — нечетное.
Здесь берем индексы в x_i согласно нумерации варианта в вариационном ряду.
В нашем случае n = 20, поэтому

Мода – это варианта которая в вариационном ряду случается чаще всего, то есть

Квантильное отклонение находят по формуле

где – первый квантиль, – третий квантиль.
Квантили получаем при разбивке вариационного ряда на 4 равные части.
Для заданного статистического распределения квантильное отклонения примет значение

Коэффициент вариации равный процентному отношению подправленного среднего квадратичного к выборочному среднему

Коэффициент асимметрии находим по формуле

Здесь центральный эмпирический момент 3-го порядка,

Подставляем в формулу коэффициента асимметрии

Эксцессом статистического распределения выборки называется число, которое вычисляют по формуле:

Здесь m₄ центральный эмпирический момент 4-го порядка. Находим момент

а далее эксцесс
Теперь Вы имеете все необходимые формулы чтобы найти числовые характеристики статистического распределения. Как найти моду, медиану и дисперсию должен знать каждый студент, который изучает теорию вероятностей.