Как найти все целочисленные решения уравнения

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №9. Решение уравнений в целых числах.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. понятие диофантовых уравнений;
2. теоремы для решения уравнений в целых числах;
3. основные методы решения уравнений в целых числах.

Глоссарий по теме

Диофантовыми уравнениями называются уравнения вида

P(x₁, x₂, …, x_n) = 0,

где P(x₁, …, x_n) — многочлен с целыми коэффициентами.

Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Теорема 1. Если НОД(а, b) = d, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах + bу = d.

Теорема 2. Если уравнение ах + bу = 1, если НОД(а, b) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b.

Теорема 3. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с<d, то оно равносильно уравнению , в котором НОД = 1.

Теорема 5. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

х = + bt, у = -at, где — целое решение уравнения ах + bу = 1,

t – любое целое число.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017. Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Этими задачами много занимались самые выдающиеся математики древности, например, греческий математик Пифагор (VI век до н.э.), александрийский математик Диофант (III век н.э.), П.Ферма(XVII в.), Л.Эйлер(XVIII век), Ж.Л.Лагранж(XVIII век), П.Дирихле(XIX век), К.Гаусс(XIX век), П.Чебышев(XIX в.) и многие другие.

Решение уравнений в целых числах является важной задачей и для современной математики. Теоретический интерес уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

Ещё в начальной школе на уроках математики перед нами часто ставили задачу выяснить, при каких допустимых значениях буквы обе части того или иного равенства принимают одинаковые числовые значения. На равенство в этом случае мы смотрели как на уравнение относительно указанной неизвестной величины. В восьмом классе мы познакомились с решением квадратных уравнений с одной переменной. Но, готовясь к олимпиадам, рассматривая контрольно- измерительные материалы Единого государственного экзамена встречаемся с заданиями, в которых предлагали уравнения с двумя переменными.

Диофантовыми уравнениями называются уравнения вида

P(x₁, x₂, …, x_n) = 0,

где P(x₁, …, x_n) — многочлен с целыми коэффициентами.

Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

1. Применение теории делимости к решению неопределенных уравнений в целых числах.

Для решения в целых числах уравнения вида ах + by = c, где а, b, c – целые числа, отличные от нуля, приведем ряд теоретических положений, которые позволят установить правило решения. Эти положения основаны также на уже известных фактах теории делимости.

Теорема 1. Если НОД(а, b) = d, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах + bу = d.

(Это равенство называется линейной комбинацией или линейным представлением наибольшего общего делителя двух чисел через сами эти числа.)

Доказательство теоремы основано на использовании равенства алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (наибольший общий делитель выражается через неполные частные и остатки, начиная с последнего равенства в алгоритме Евклида).

Пример.

Найти линейное представление наибольшего общего делителя чисел 1232 и 1672.

Решение.

1. Составим равенства алгоритма Евклида:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, т.е. (1672,352) = 88.

2) Выразим 88 последовательно через неполные частные и остатки, используя полученные выше равенства, начиная с конца:

88 = 440 — 352∙1 = (1672 — 1232) — (1232 — 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 — 1232∙4, т.е. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Теорема 2. Если уравнение ах + bу = 1, если НОД(а, b) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b.

Справедливость этой теоремы следует из теоремы 1. Таким образом, чтобы найти одно целое решение уравнения ах + bу = 1, если НОД (а, в) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и в.

Пример.

Найти целое решение уравнения 15х + 37у = 1.

Решение.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 — 7∙2 = 15 — (37 — 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

т.е. — решение данного уравнения.

Теорема 3. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Для доказательства теоремы достаточно предположить противное.

Пример.

Найти целое решение уравнения 16х — 34у = 7.

Решение.

(16,34)=2; 7 не делится на 2, уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с<d, то оно равносильно уравнению , в котором НОД = 1.

При доказательстве теоремы следует показать, что произвольное целое решение первого уравнения является также решением второго уравнения и обратно.

Теорема 5. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

х = х₀с + bt, у = y₀c-at, где х₀, y₀ — целое решение уравнения ах + bу = 1,

t – любое целое число.

При доказательстве теоремы следует показать, во-первых, что приведенные формулы действительно дают решения данного уравнения и, во-вторых, что произвольное целое решение этого уравнения заключено в приведенных формулах.

Приведенные теоремы позволяют установить следующее правило решения в целых числах уравнения ах+ bу = с НОД(а, b) = 1:

1. Находится целое решение уравнения ах + bу = 1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел а и b (существуют и другие способы отыскания целых решений этого уравнения, например при использовании цепных дробей);
2. Составляется общая формула целых решений данного уравнения х = х₀с + bt, у = y₀c — at, где х₀, y₀ — целое решение уравнения ах + bу = 1, t – любое целое число.

Придавая t определенные целые значения, можно получить частные решения данного уравнения: наименьшие по абсолютной величине, наименьшие положительные (если можно) и т.д.

Пример.

Найти целые решения уравнения 407х — 2816у = 33.

Решение.

1. Упрощаем данное уравнение, приводя его к виду 37х — 256у = 3.

2.Решаем уравнение 37х — 256у = 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 — 3∙11 = 256 — 37∙6 — 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 — 37∙83 =

= 37∙(-83) — 256∙(-12),

т.е. х₀= -83, y₀= -12.

3. Общий вид всех целых решений данного уравнения:

х = -83∙3 — 256t = -249 — 256t,

у = -12∙3 — 37 t = -36 — 37 t.

Положив t = -1, получим х₁= 7, у₁= 1 и общие формулы решений примут вид: х = 7 — 256t, у = 1-37t.

2. Метод полного перебора всех возможных значений переменных,

входящих в уравнение.

Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения 49х + 51у = 602.

Решение:

Выразим из уравнения переменную х через у , так как х и у – натуральные числа, то

602 — 51у ≥ 49,

51у≤553,

Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются х=5, у=7.

Ответ: (5;7).

3. Решение уравнений методом разложения на множители.

Диофант наряду с линейными уравнениями рассматривал квадратные и кубические неопределенные уравнения. Решение их, как правило, сложно.

Рассмотрим такой случай, когда в уравнениях можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.

Решить уравнение в целых числах: х² + 23 = у²

Решение:

Перепишем уравнение в виде: у² — х² = 23, (у — х)(у + х) = 23

Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи:

; ; ; ;

Решая полученные системы, находим:

; ;;;

Ответ: (-11;12);(11;12);(11;-12);(-11;-12).

4. Выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби.

Решить уравнение в целых числах: х² + ху – у – 2 = 0.

Решение:

Выразим из данного уравнения у через х:

у(х — 1) =2 — х²,

Так как х, у – целые числа, то дробь должна быть целым числом.

Это возможно, если х – 1 =

; ;

; ;

Ответ: (0; -2); (2; -2).

5. Методы, основанные на выделении полного квадрата.

Найдите все целочисленные решения уравнения: х² — 6ху + 13у² = 29.

Решение:

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты,

х² — 6ху + 13у² = (х² — 6ху + 9у²) + 4у² = (х — 3у)² + (2у)² = 29, значит (2у)² 29.

Получаем, что у может быть равен .

1. у = 0, (х — 0)² = 29. Не имеет решений в целых числах.

2. у = -1, (х + 3)² + 4 =29, (х + 3)² = 25, х + 3 = 5 или х + 3 = -5

х=2 х=-8

3. у = 1, (х — 3)² +4 =29,

(х — 3)² =25, х – 3 = 5 или х – 3 = -5

х = 8 х = -2

4. у = -2, (х + 6)² + 16 = 29, (х + 6)² = 13. Нет решений в целых числах.

5. у=2, (х-6)²+16=29, (х-6)²=13. Нет решений в целых числах.

Ответ: (2; -1); (-8; -1); (8; 1); (-2; 1).

6. Решение уравнений с двумя переменными как квадратных

относительно одной из переменных.

Решить уравнение в целых числах: 5х²+5у²+8ху+2у-2х+2=0.

Решение:

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:

5х² + (8у — 2)х + 5у² + 2у + 2 = 0

D = (8у — 2)² — 4·5(5у² + 2у + 2) = 64у² — 32у + 4 = -100у² — 40у – 40= = -36(у² + 2у + 1) = -36(у + 1)²

Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0.

-36(у + 1)² = 0. Это возможно при у = -1, тогда х = 1.

Ответ: (1; -1).

7. Оценка выражений, входящих в уравнение.

Решить в целых числах уравнение:

(х² + 4)(у² + 1) = 8ху

Решение:

Заметим, что если – решение уравнения, то – тоже решение.

И так как х = 0 и у = 0 не являются решением уравнения, то, разделив обе части уравнения на ху, получим:

,

Пусть х > 0, у > 0, тогда, согласно неравенству Коши,

,

тогда их произведение , значит,

Отсюда находим х = 2 и у = 1 – решение, тогда х = -2 и у = -1 – тоже решение.

Ответ: (2; 1); (-2; -1)

8.Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными.

Рассмотрим уравнение второй степени с тремя неизвестными: х² + у²= z².

Геометрически решение этого уравнения в целых числах можно истолковать как нахождение всех пифагоровых треугольников, т.е. прямоугольник треугольников, у которых и катеты х,у и гипотенуза z выражаются целыми числами.

По формуле х = uv, , где u и v – нечетные взаимно простые числа (u > v > 0) можно найти те решения уравнения х² + у² = z², в которых числа х,у и z не имеют общих делителей (т.е. взаимно простые).

Для начальных значений u и v формулы приводят к следующим часто встречающимся равенствам:

3² + 4² = 5² (u = 1, v = 3), 5² + 12² = 13² (u = 1, v = 5), 15² + 8² = 17² (u = 3, v = 5)

Все остальные целые положительные решения этого уравнения получаются умножением решений, содержащихся в формулах, на произвольный общий множитель а.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: выбор элемента из выпадающего списка

Решите уравнение 9х+22у-1=0

Выпадающий список:

1. (-5; 2)
2. (5; 2)
3. (-5; -2)
4. (5; -2)

Решение: Решим данное уравнение, воспользовавшись теоремой 2:

1. 22 = 9 ∙ 2 + 4,

9 = 4 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 9 — 4∙2 = 9 — (22 — 9∙2) ∙2 = 9∙5 + 22∙(-2),

т.е. х₀= 5, у₀= -2 — решение данного уравнения

Ответ: 4. (5; -2)

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Найдите целое решение уравнения 3х+9у=3

х=____

у=____

Решение: Решим данное уравнение: 3х+9у=3

Разделим обе части уравнения на 3, получим:

х+3у=1

1. 3 = 1 ∙ 2 + 1
2. 1 = 3 — 1∙2, т.е. х₀= 1, у₀= 0 — решение данного уравнения

Ответ: х= 1, у= 0.

math4school.ru

Уравнения в целых числах

Немного теории

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

способ перебора вариантов;

применение алгоритма Евклида;

представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

разложения на множители;

решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

метод бесконечного спуска.

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2y 2 = 7.

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

2. Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

в) 201х – 1999у = 12.

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x₀ = 1273·12 = 15276, y₀ = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x 3 + y 3 = 3333333;

б) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).

а) Так как x 3 и y 3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x 3 + y 3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2 ) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

а) в простых числах уравнение х 2 – 7х – 144 = у 2 – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 .

а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

у = х + 9 или у = 16 – х.

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.

Дискриминант этого уравнения равен –3y 2 + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 ?

Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y 3 и z 3 будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь вид

Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно много, а именно, это все числа вида 2n 2 +1. Подставляя в x 2 (x–1) = 2y 2 такое число, после несложных преобразований получаем:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).

6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.

Число x 2 + y 2 + z 2 + u 2 чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 делится на 4, но при этом 2xyzu не делится на 4 – несоответствие.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 – опять несоответствие.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

и исходное уравнение примет вид

Теперь заметим, что (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x₁, y₁, z₁, u₁ нечётны, то x₁ 2 + y₁ 2 + z₁ 2 + u₁ 2 не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x₁ 2 + y₁ 2 + z₁ 2 + u₁ 2 не делится даже на 4. Значит,

и мы получаем уравнение

Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2 n при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

7. Докажите, что уравнение

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

не имеет решений в целых числах.

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у 2 .

если х = 1, то у 2 = 1,

если х = 3, то у 2 = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).

3abc > 0, то a 3 > b 3 + c 3 ;

таким образом имеем

b 2 2 + х = у 4 + у 3 + у 2 + у.

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у 2 + 1),

х(х + 1) = (у 2 + у)(у 2 + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому, приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

Произведение (у 2 + у)(у 2 + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля, только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х₅ = 5, х₆ = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:

Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Задачи без решений

1. Решить в целых числах уравнение:

б) х 2 + у 2 = х + у + 2.

2. Решить в целых числах уравнение:

а) х 3 + 21у 2 + 5 = 0;

б) 15х 2 – 7у 2 = 9.

3. Решить в натуральных числах уравнение:

4. Доказать, что уравнение х 3 + 3у 3 + 9z 3 = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение

5. Доказать, что уравнение х 2 + 5 = у 3 в целых числах не имеет решений.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №9. Решение уравнений в целых числах.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. понятие диофантовых уравнений;
2. теоремы для решения уравнений в целых числах;
3. основные методы решения уравнений в целых числах.

Глоссарий по теме

Диофантовыми уравнениями называются уравнения вида

Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Теорема 1. Если НОД(а, b) = d, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах + bу = d.

Теорема 2. Если уравнение ах + bу = 1, если НОД(а, b) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b.

Теорема 3. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с 1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Для доказательства теоремы достаточно предположить противное.

Найти целое решение уравнения 16х — 34у = 7.

(16,34)=2; 7 не делится на 2, уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с 2 + 23 = у 2

Перепишем уравнение в виде: у 2 — х 2 = 23, (у — х)(у + х) = 23

Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи:

; ; ; ;

Решая полученные системы, находим:

; ;;;

4. Выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби.

Решить уравнение в целых числах: х 2 + ху – у – 2 = 0.

Выразим из данного уравнения у через х:

Так как х, у – целые числа, то дробь должна быть целым числом.

Это возможно, если х – 1 =

; ;

; ;

5. Методы, основанные на выделении полного квадрата.

Найдите все целочисленные решения уравнения: х 2 — 6ху + 13у 2 = 29.

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты,

х 2 — 6ху + 13у 2 = (х 2 — 6ху + 9у 2 ) + 4у 2 = (х — 3у) 2 + (2у) 2 = 29, значит (2у) 2 29.

Получаем, что у может быть равен .

1. у = 0, (х — 0) 2 = 29. Не имеет решений в целых числах.

2. у = -1, (х + 3) 2 + 4 =29, (х + 3) 2 = 25, х + 3 = 5 или х + 3 = -5

3. у = 1, (х — 3) 2 +4 =29,

(х — 3) 2 =25, х – 3 = 5 или х – 3 = -5

4. у = -2, (х + 6) 2 + 16 = 29, (х + 6) 2 = 13. Нет решений в целых числах.

5. у=2, (х-6) 2 +16=29, (х-6) 2 =13. Нет решений в целых числах.

Ответ: (2; -1); (-8; -1); (8; 1); (-2; 1).

6. Решение уравнений с двумя переменными как квадратных

относительно одной из переменных.

Решить уравнение в целых числах: 5х 2 +5у 2 +8ху+2у-2х+2=0.

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:

5х 2 + (8у — 2)х + 5у 2 + 2у + 2 = 0

D = (8у — 2) 2 — 4·5(5у 2 + 2у + 2) = 64у 2 — 32у + 4 = -100у 2 — 40у – 40= = -36(у 2 + 2у + 1) = -36(у + 1) 2

Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0.

-36(у + 1) 2 = 0. Это возможно при у = -1, тогда х = 1.

7. Оценка выражений, входящих в уравнение.

Решить в целых числах уравнение:

(х 2 + 4)(у 2 + 1) = 8ху

Заметим, что если – решение уравнения, то – тоже решение.

И так как х = 0 и у = 0 не являются решением уравнения, то, разделив обе части уравнения на ху, получим:

,

Пусть х > 0, у > 0, тогда, согласно неравенству Коши,

,

тогда их произведение , значит,

Отсюда находим х = 2 и у = 1 – решение, тогда х = -2 и у = -1 – тоже решение.

8.Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными.

Рассмотрим уравнение второй степени с тремя неизвестными: х 2 + у 2 = z 2 .

Геометрически решение этого уравнения в целых числах можно истолковать как нахождение всех пифагоровых треугольников, т.е. прямоугольник треугольников, у которых и катеты х,у и гипотенуза z выражаются целыми числами.

По формуле х = uv, , где u и v – нечетные взаимно простые числа (u > v > 0) можно найти те решения уравнения х 2 + у 2 = z 2 , в которых числа х,у и z не имеют общих делителей (т.е. взаимно простые).

Для начальных значений u и v формулы приводят к следующим часто встречающимся равенствам:

3 2 + 4 2 = 5 2 (u = 1, v = 3), 5 2 + 12 2 = 13 2 (u = 1, v = 5), 15 2 + 8 2 = 17 2 (u = 3, v = 5)

Все остальные целые положительные решения этого уравнения получаются умножением решений, содержащихся в формулах, на произвольный общий множитель а.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: выбор элемента из выпадающего списка

Решите уравнение 9х+22у-1=0

Решение: Решим данное уравнение, воспользовавшись теоремой 2:

2. 1 = 9 — 4∙2 = 9 — (22 — 9∙2) ∙2 = 9∙5 + 22∙(-2),

т.е. х₀= 5, у₀= -2 — решение данного уравнения

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Найдите целое решение уравнения 3х+9у=3

Решение: Решим данное уравнение: 3х+9у=3

Разделим обе части уравнения на 3, получим:

1. 3 = 1 ∙ 2 + 1
2. 1 = 3 — 1∙2, т.е. х₀= 1, у₀= 0 — решение данного уравнения

Математический детектив: поиск положительных целых решений уравнения

«Я экспериментировал с задачами кубического представления в стиле предыдущей работы Эндрю и Ричарда Гая. Численные результаты были потрясающими…» (комментарий на MathOverflow)

Вот так ушедший на покой математик Аллан Маклауд наткнулся на это уравнение несколько лет назад. И оно действительно очень интересно. Честно говоря, это одно из лучших диофантовых уравнений, которое я когда-либо видел, но видел я их не очень много.

Я нашёл его, когда оно начало распространяться как выцепляющая в сети нердов картинка-псевдомем, придуманная чьим-то безжалостным умом (Сридхар, это был ты?). Я не понял сразу, что это такое. Картинка выглядела так:

«95% людей не решат эту загадку. Сможете найти положительные целочисленные значения?»

Вы наверно уже видели похожие картинки-мемы. Это всегда чистейший мусор, кликбэйты: «95% выпускников МТИ не решат её!». «Она» — это какая-нибудь глупая или плохо сформулированная задачка, или же тривиальная разминка для мозга.

Но эта картинка совсем другая. Этот мем — умная или злобная шутка. Примерно у 99,999995% людей нет ни малейших шансов её решить, в том числе и у доброй части математиков из ведущих университетов, не занимающихся теорией чисел. Да, она решаема, но при этом по-настоящему сложна. (Кстати, её не придумал Сридхар, точнее, не он полностью. См. историю в этом комментарии).

Вы можете подумать, что если ничего другое не помогает, то можно просто заставить компьютер решать её. Очень просто написать компьютерную программу для поиска решений этого кажущегося простым уравнения. Разумеется, компьютер рано или поздно найдёт их, если они существуют. Большая ошибка. Здесь метод простого перебора компьютером будет бесполезен.

Не знаю, удастся ли уместить полное решение в статью, если не принять, что все уже знают всё необходимое об эллиптических кривых. Я могу привести здесь только краткий обзор. Основной справочный источник — это чудесная, относительно недавняя работа Бремнера и Маклауда под названием «An unusual cubic representation problem» («Необычная проблема кубического представления»), опубликованная в 2014 году в Annales Mathematicae et Informaticae.

Мы ищем положительные целочисленные решения уравнения

(я заменил обозначения переменных теми, которые используются в работе).

Первое, что нужно сделать, исследуя любое уравнение — попробовать поместить его в нужный контекст. Надо задать вопрос: что это за уравнение? Так, нас просят найти целочисленные решения, то есть это задача теории чисел. В текущей формулировке в уравнении используются рациональные функции (многочлены, делящиеся на другие многочлены), но очевидно, что мы можем домножить на общее кратное знаменателей, чтобы подчистить уравнение и получить только многочлены, то есть привести его к виду диофантова уравнения. Требование «положительности» довольно необычно, и, как мы увидим, усложняет всё.

Итак, сколько же у нас тут переменных? Вопрос кажется глупым: очевидно, что три, а именно , и . Но не торопитесь. Опытный исследователь теории чисел мгновенно заметит, что уравнение однородное. Это значит, что если является одним из решений уравнения, то решением является и . Понимаете, почему? Умножив каждую переменную на какую-нибудь постоянную ( — это просто пример), мы ничего не изменим, потому что константа в каждой из частей сокращается.

Это значит, что уравнение только притворяется трёхмерным. На самом деле оно двухмерно. В геометрическом представлении у нас есть поверхность (одно уравнение с тремя переменными в общем случае задаёт двухмерную поверхность. В целом, уравнений с переменными задают -мерное многообразие, где ). Но эта поверхность на самом деле ограничена линией, колеблющейся и проходящей через начало координат. Получившуюся поверхность можно понять, разобравшись в том, как она рассекает единичную плоскость. Это проективная кривая.

Проще всего объянить это сведение можно так: мы можем разделить решения, какими бы они ни были, на те, при которых , и те, при которых . В первом случае у нас остаётся всего две переменные, и , а во втором мы просто можем разделить на и получить решение при . Поэтому мы можем просто искать рациональные решения в и для случая , умножать их на общий делитель и получать целочисленное решение в , и . В сущности, целочисленные решения однородных уравнений соответствуют рациональным решениям неоднородной версии, которая на одну размерность меньше.

Продолжим: какова степень нашего уравнения? Степень уравнения — это максимальная степень, любого появляющаяся в уравнении одночлена, где «одночлен» — это произведение нескольких переменных, чья «степень» является количеством перемножаемых одночленов. Например, будет одночленом степени .

Поведение диофантовых уравнений сильно зависит от их степени. В целом:

• Со степенью всё просто.
• Степень полностью проанализирована и может быть решена довольно элементарными способами.
• Степень — это обширный океан глубокой теории и миллион нерешённых проблем.
• Степень и выше… Очень, очень сложны.

Мы имеем степень . Почему? Мы просто умножаем на делители:

Даже без раскрывания скобок можно увидеть, что степень равна : мы никогда не перемножаем более трёх переменных за раз. У нас получатся части типа , и , но никогда не будет чего-то больше трёх множителей. Если провести преобразования, то уравнение будет иметь вид

Вы можете возразить, что умножение на делители невозможно, если какие-то из них оказываются равны . Это верно — действительно, наше новое уравнение имеет несколько решений, не соответствующих исходному уравнению. Но на самом деле это хорошо. Версия с многочленами добавляет к оригиналу несколько «заплаток» и с ним становится проще работать. Нам просто нужно будет проверять, не исчезают ли исходные делители при каждом конкретном решении.

На самом деле уравнение с многочленами легко решить, например, , , . Это хорошо: у нас есть рациональное решение (рациональная точка). Это значит, что наше кубическое уравнение (степень = 3) на самом деле является эллиптической кривой.

Когда обнаруживаешь, что уравнение представляет собой эллиптическую кривую, то а) радуешься и б) отчаиваешься, потому что предстоит ещё много чего изучить. Это уравнение — прекрасный пример того, как мощную теорию эллиптических кривых можно применить к нахождению безумно сложно определяемых решений.

Первое, что обычно делают эллиптической кривой — приводят её в вейерштрассову форму. Это уравнение, которое выглядит как

(это называется развёрнутой вейерштрассовой формой. Она необязательна, но иногда более удобна).

Обычно любую эллиптическую кривую можно привести к такому виду (если вы только не работаете над полями с малыми характеристиками, но здесь нам не нужно о них волноваться). Объяснять способ поиска правильного преобразования было бы слишком долго, поэтому просто знайте, что это абсолютно механический процесс (критически важно в нём то, чтобы была хотя бы одна рациональная точка, которая у нас есть). Существуют разные пакеты вычислительной алгебры, которые сделают всё за вас.

Но даже если вы не знаете. как найти преобразование, проверить его очень просто, по крайней мере, это выполняется чисто механически. Необходимое преобразование в нашем случае задаётся страшно выглядящими формулами

Я знаю, что они похожи на неизвестно откуда взявшуюся магию вуду, но поверьте, это не так. Получив эти преобразования, с помощью монотонных, но довольно простых алгебраических расчётов мы покажем, что

Это уравнение, хоть и выглядит совсем по-другому, на самом деле является достоверной моделью исходного. Графически оно выглядит так — типичная эллиптическая кривая с двумя вещественными частями:

«Рыбий хвост» справа растёт «в бесконечность и дальше». Овальная фигура слева является замкнутой и оказывается для нас довольно интересной.

Имея любое решение этого уравнения, мы можем восстановить необходимые значения , , с помощью уравнений

(Помните, что триплет нужно воспринимать проективно – какие бы значения вы ни получили с помощью этих уравнений, их всегда можно умножить на любую константу).

Два показанных нами отображения, из , , в , и наоборот, показывают, что эти два уравнения «одинаковы» с точки зрения теории чисел: рациональные решения одного дают рациональные решения другого. Технически это называется бирациональной эквивалентностью, а она является фундаментальным понятием алгебраической геометрии. Как мы уже заметили, могут существовать точки-исключения, которые не отображаются правильно. Это случаи, когда , или оказываются равны . Это привычная расплата в случае бирациональной эквивалентности, и она не должна вызывать никаких волнений.

Давайте рассмотрим пример.

На эллиптической кривой (2) есть хорошая рациональная точка:

, . Возможно, её не так просто найти, но очень просто проверить: просто вставьте эти значения и вы увидите, что две половины одинаковы (я выбирал эту точку не случайным образом, но пока это неважно). Можно просто проверить, какие значения , , она нам даёт. Мы получаем , , , и поскольку мы можем умножить на общий делитель, то результаты преобразуются в , , .

как можно с лёгкостью убедиться. Это простое решение нашего исходного уравнения в целых числах, но, увы, не в положительных целых. Это решение непросто вывести вручную, но и несложно получить без всей этой рассматриваемой здесь махины, приложив немного терпения. Самая сложность заключается в положительных решениях.

Теперь, получив рациональную точку на эллиптической кривой, например, на нашей кривой (2), можно начать генерировать другие с помощью техники хорд и касательных, рассмотренной в предыдущей статье на Quora.

Для начала прибавим нашу точку к ней самой, найдя касательную к кривой в точке и определив, где она снова встречается с кривой. Результат будет немного пугающим:

и снова эта новая точка соответствует значениям , , , являющимся решением исходного уравнения

Это решение определённо непросто найти вручную, но оно всё ещё под силу компьютеру. Однако оно по-прежнему неположительно.

Не пугаясь неудач, мы продолжаем вычислять , что можно определить соединением прямой линией и и нахождением третьей точки пересечения с кривой. И снова мы вычисляем , , , и снова результат неположителен. То же самое будет и с , и с , и так далее… пока мы не наткнёмся на .

Его определённо непросто найти, но с помощью нашей машинерии нам достаточно повторить девять раз простую геометрическую процедуру. Соответствующие значения , , потрясающи:

a=154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999,
b=36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579,
c=4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036

Это 80-разрядные числа! Вы никак не смогли бы найти 80-разрядные числа на компьютере с помощью простого перебора. Выглядит невероятным, но вставив эти огромные числа в простое выражение , мы действительно получим ровно .

Фактически, они являются наименьшими решениями задачи. Если мы продолжим прибавлять к самой себе точку , то при этом просто будут расти делители. Непросто это доказать, потому что всегда есть вероятность сокращения, но теория высот для эллиптической кривой позволяет нам показать, что эти астрономические числа на самом деле являются простейшим решением уравнения.

Вернёмся к теории. Эллиптическая кривая над рациональными значениями имеет ранг, который является количеством точек, необходимых, чтобы использовать для метод хорд и касательных и быть уверенным, что мы рано или поздно найдём все рациональные точки на кривой. Наша эллиптическая кривая (2) имеет ранг 1. Это значит, что у неё есть бесконечное количество рациональных точек, но все они получаются из единственной, которая является ничем иным, как нашей точкой . Алгоритмы вычисления ранга и нахождения такого генератора далеки от тривиальных, но SageMath (теперь имеющий название CoCalc) выполняет их меньше чем за секунду всего в нескольких строках кода. Мой код можно посмотреть здесь. Он воспроизводит всё решение с нуля, но, конечно же, использует встроенные методы Sage для работы с эллиптическими кривыми.

В нашем случае точка лежит на овальной части кривой, как и точки для любого положительного целого . Они «кружатся» по овалу и постепенно довольно равномерно по нему распределяются. Это очень удачно, потому что только небольшая часть этого овала даёт положительные решения в отношении , , : это выделенная жирным часть графика ниже, взятого из работы Бремнера и Маклауда.

Точки , , и так далее, не лежат на выделенной части, а — лежит, именно так мы и получили наши 80-разрядные положительные решения.

Бремнер и Маклауд изучили, что происходит, если мы заменяем чем-то другим. Если вы думаете, что решения будут большими, то подождите, пока не увидите, какими окажутся решения при результате . Вместо 80 разрядов нам понадобится 398 605 460 разрядов. Да, это только количество разрядов решения. Если заменить результат на , то решение будет содержать триллионы разрядов. Триллионы. Для этого невинно выглядящего уравнения:

Поразительный пример того, как диофантовы уравнения с небольшими коэффициентами могут иметь огромные решения. Это внушает не просто трепет, а ощущение бездонности. Отрицательное решение десятой проблемы Гильберта означает, что рост решений при увеличении коэффициентов — это невычислимая функция, потому что если бы она была вычисляемой, то у нас был бы простой алгоритм решения диофантовых уравнений, а его не существует (ни простого, ни сложного). Соответствие 80-разрядные числа, числа из сотен миллионов разрядов и триллионы разрядов даёт нам небольшое представление о первых, небольших шагах этой чудовищной невычислимой функции. Немного измените числа в уравнении, и решения запросто превзойдут всё, что может вместиться в нашу жалкую, крошечную Вселенную.

Вот такое удивительно хитрое небольшое уравнение.

Благодарю пользователя MrShoor, приславшего мне ссылку на эту интересную статью.

источники:

http://resh.edu.ru/subject/lesson/4728/conspect/

http://habr.com/ru/post/335248/

Решение уравнений в целых числах

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

Объектом исследования является один из наиболее интересных разделов теории чисел – решение уравнений в целых числах.

Существует множество математических задач, ответами к которым служат одно или несколько целых чисел. Однако наиболее часто можно встретить задачи, в которых предлагается решить уравнение в целых (или в натуральных) числах. Некоторые из таких уравнений довольно легко решаются методом подбора, но при этом возникает серьёзная проблема – необходимо доказать, что других решений не существует. Для этого могут потребоваться самые разнообразные приёмы, как стандартные, так и искусственные.

Предметом исследования данной работы являются методы решения уравнений в целых числах. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского. В данной работе представлен достаточно полный анализ уравнений в целых числах, классификация данных уравнений по способам их решения, описание алгоритмов их решения, а также практические примеры применения каждого способа для решения уравнений в целых числах.

Гипотеза: не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решить в целых числах произвольное диофантово уравнение, но изучив типы, классифицировав диофантовы уравнения по методам решения можно успешно справиться с решением задач данного типа.

Цель работы: выделить основные методы решения уравнений в целых числах.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

изучить учебную и справочную литературу, проанализировать олимпиадные материалы, а также материалы профильного ЕГЭ по математике;

собрать теоретический материал по способам решения уравнений;

разобрать алгоритмы решения уравнений данного вида;

рассмотреть примеры решения уравнений с применением данных способов;

составить тренировочные задания.

Данная работа весьма актуальна, так как в школьной программе эта тема затрагивается вскользь. Задачи, основанные на решении уравнений в целых числах, часто встречаются на вступительных экзаменах, на олимпиадах по математике в старших классах и являются задачами повышенной сложности.

Методы исследования:

Теоретический анализ и обобщение сведений научной литературы об уравнениях в целых числах.

Классификация уравнений в целых числах по методам их решения.

Анализ и обобщение методов решения уравнений в целых числах.

Глава 1. Знакомство с уравнениями в целых числах и их классификация по методам решения

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Примером диофантового уравнения является уравнение вида

Подобные уравнения называются однородными линейными уравнениями. Они имеют бесконечно много решений в целых числах. Эти решения описываются формулами, , , .

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

хⁿ + yⁿ = zⁿ

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

Для решения уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить множество методов, наиболее часто используемые – следующие методы:

перебора вариантов;

метод, основанный на алгоритме Евклида;

цепной (непрерывной) дроби;

рассеивания;

разложения на множители;

метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби;

решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

метод, основанный на выделении полного квадрата.

Глава 2. Линейные уравнения

2.1. Метод перебора вариантов

В способе перебора вариантов необходимо учитывать признаки делимости чисел, рассмотреть все возможные варианты равенства конечного перебора.

Перебор вариантов при нахождении натуральных решений уравнения с двумя переменными оказывается весьма трудоемким. Кроме того, если уравнение имеет целые решения, то перебрать их не всегда возможно, так как таких решений может быть бесконечное множество.

Задача 1. У нескольких велосипедов 26 колес. Сколько из этих велосипедов трёхколесных и сколько двухколёсных?

Решение: составляем уравнение , в котором х – число трёхколесных, у – число двухколёсных велосипедов.

Выразим у через х: .

х и у – целые неотрицательные числа, значит 27 – 3х должно делиться на 2 без остатка.

Воспользуемся методом перебора:

х	2	4	6	8
у	10	7	4	1

Таким образом, задача имеет четыре решения.

Ответ: (2; 10), (4; 7), (6; 4), (8; 1).

Задача 2. Родительский комитет закупил на 750 руб. тетради по цене 35 руб. и ручки по цене 25 руб. Сколько было куплено тетрадей и ручек, если ручек было куплено больше, чем тетрадей, а разность между числом ручек и тетрадей наименьшая.

Решение: составляем уравнение , в котором х – число тетрадей, у – число ручек.

Разделим обе части уравнения на 5 и выразим у через х: .

х и у – целые неотрицательные числа, значит 150 – 7х должно делиться на 5 без остатка.

Воспользуемся методом перебора:

х	5	10	15	20
у	23	16	9	2

Условию задачи удовлетворяет только одна пара чисел – (10; 16).

Ответ: 16 ручек, 10 тетрадей.

2.2. Метод, основанный на алгоритме Евклида

Применение алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел. 

Существует довольно простой прием, позволяющий находить наибольший делитель двух натуральных чисел. Этот прием называется алгоритмом Евклида. Суть алгоритма Евклида.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел:

1) надо большее из двух чисел, разделить на меньшее;

2) потом меньшее из чисел, разделить на остаток при первом делении;

3) затем остаток при первом делении на остаток при втором делении и вести этот процесс до тех пор, пока не произойдет деление без остатка.

Последний отличный от нуля остаток и есть искомый НОД двух данных чисел. Т. е. для нахождения наибольшего делителя двух чисел a и b (a и b –целые положительные числа, причем ) последовательно выполняется деление с остатком, которое даёт ряд равенств вида:

Деление заканчивается, когда , при этом

Рассмотрим пример нахождения

Решение:

Разделим с остатком 645 на 381. Мы получим: 645=381·1+264.

Далее разделим с остатком 381 на 264, получим: 381=264·1+117.

Далее разделим с остатком 264 на 117, получим: 264=117·2+30.

Далее разделим с остатком 117 на 30, получим: 117=30·3+27.

Далее разделим с остатком 30 на 27, получим 30=27·1+3.

Следующий шаг – делим 27 на 3, получаем, что 27=3·9 +0, т. е. 27 делится на 3 без остатка. Значит, наибольший общий делитель чисел 27 и 3 равен 3, следовательно, и наибольший общий делитель чисел 645 и 381 равен 3, т. е. последнему отличному от нуля остатку.

Таким образом, НОД (645; 381) = 3.

Вывод формул для решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида.

Перейдем теперь к решению линейного уравнения с двумя неизвестными:

Возможны два случая: либо число c делится на , либо нет.

В первом случае можно разделить обе части уравнения на d и свести задачу к решению в целых числах уравнения , коэффициенты которого и взаимно просты.

Во втором случае уравнение не имеет целочисленных решений: при любых целых x и y число делиться на d и поэтому не может равняться числу c, которое на d не делится.

Итак, мы можем ограничиться случаем, когда в уравнении (1) коэффициенты a и b взаимно просты. На основании предыдущего предложения найдутся такие целые числа и , что , откуда пара удовлетворяет уравнению (1). Вместе с ней уравнению (3.1) удовлетворяет бесконечное множество пар (x; у) целых чисел, которые можно найти по формулам

Здесь t – любое целое число. Решение, записанное в виде (2), называется общим решением уравнения (1). Подставив вместо t конкретное целое число, получим его частное решение.

Примеры решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида.

Задача 1. Решить уравнение на множестве целых чисел

Решение: Найдём значения и для решений уравнения по формулам (2). Применим алгоритм Евклида к числам 11 и 8:

Таким образом, получаем , следовательно

Запишем общее решение на множестве целых чисел:

Придавая t конкретные целые значения можно получить частные решения уравнения. Например, при t = 9, получим x = –5, y = 6.

Ответ: (–5; 6) при t = 9;

Задача 2. Туристическое бюро организует поездки на автомашинах двух типов: 22-х местных автобусах и 6-ти местных автомобилях. Группа туристов состоит из 310 человек. Сколько машин того и другого типа следует выделить, чтобы не осталось свободных мест в салоне?

Решение: составляем уравнение , в котором х – число автобусов, у – число автомобилей, х и у – неотрицательные целые числа.

Разделим обе части уравнения на 2, получим уравнение .

Найдём значения и для решений уравнения по формулам (2). Применим алгоритм Евклида к числам 11 и 3:

Запишем общее решение на множестве целых чисел:

Так как x и y – неотрицательные целые числа, то чтобы найти значение t, решим систему неравенств:

.

Таким образом, задача имеет пять решений.

При t = 52, получим x = 1, y = 48.

При t = 53, получим x = 4, y = 37.

При t = 54, получим x = 7, y = 26.

При t = 55, получим x = 10, y = 15.

При t = 56, получим x = 13, y = 4.

Ответ: (1; 48), (4; 37), (7; 26), (10; 15), (13; 4).

2.3. Метод цепной (непрерывной) дроби

Понятие цепной дроби. Представление рациональных чисел в виде цепной дроби.

Решение диофантовых уравнений, методом цепных дробей, впервые использовал Лангранж, который однако замечает, что фактически этот же способ был дан Баше де Мезириаком и другими математиками.

Обратимся к алгоритму Евклида. Из равенства вытекает, что дробь можно представить в виде суммы целой части и правильной дроби: . Из равенства получим

Значит, .

Продолжим этот процесс до тех пор, пока не придём к знаменателю q_п.

В результате мы представим обыкновенную дробь в следующем виде: .

Эйлер назвал дробь, стоящую в правой части равенства непрерывной. Приблизительно в тоже время в Германии появился другой термин – цепная дробь. Так за этими дробями и сохранились оба названия. Ввиду громоздкости развёрнутой записи цепной дроби применяют компактную запись .

Рассмотрим пример представления рационального числа в виде цепной дроби.

Решение:

Очевидно, что любое рациональное число, и только оно записывается в виде конечной цепной дроби. Иррациональным числам соответствуют бесконечные цепные дроби.

Формулы для решения диофантовых уравнений с использованием цепной дроби.

Вернемся к уравнениюax + by = c. Напомним, что в нем aи b взаимно просты. Решение этого уравнения «способом цепной дроби» завершается применением готовых формул, представляющих общее решение данного уравнения.

Теорема. Общее решение в целых числах уравнения , где а, b, с – целые числа, отличные от нуля и НОД(а, b)=1, можно представить в виде

где t – произвольное целое число, а P_n1 и Q_n1 – числитель и знаменатель предпоследней подходящей дроби разложения числа в цепную дробь.

Доказательство.Пусть – разложение числа в цепную дробь, а – подходящие дроби этого разложения. Тогда По условию дробь – несократимая и дробь также несократимая, поэтому . Далее по свойству подходящих дробей , то есть . Умножив обе части последнего равенства на , получим равенство . Это равенство означает, что пара чисел и является целым решением уравнения (*).

Итак, для решения уравнения , где a, b, c – целые коэффициенты, способом цепной дроби нужно:

1) представить число в виде конечной цепной дроби .

2) записать подходящие дроби

3) найти решение уравнения по формулам (3).

Примеры решения диофантовых уравнений методом цепных дробей.

Задача 1. Решить уравнение на множестве целых чисел

Решение:

1) Представим дробь в виде конечной цепной дроби.

, т. е. .

2) Запишем подходящие дроби:

3) Найдем решение уравнения по формулам (3):

Например, при t = 9 получим, что х = –5 и y = 6.

Ответ: (–5; 6) при t = 9;

Задача 2.Тёма сделал несколько мелких покупок в супермаркете, имея при себе сто рублей. Давая сдачу с этой суммы кассир ошиблась, перепутав места ми цифры, и выплатила рублями то, что должна была вернуть копейками, и, наоборот, копейками то, что полагалось вернуть рублями. Купив в аптеке набор пипеток за 1 руб. 40 коп., Тёма обнаружил ошибку кассира и, пересчитав деньги, нашел, что оставшаяся у него сумма втрое превышает ту, которую ему должны были вернуть в супермаркете. Какова стоимость всех покупок Тёмы.

Решение: пусть правильная сдача равна х рублей и y копеек, т.е. 100х + y копеек. Реально кассирша выплатила сумму y рублей и х копеек, т.е. 100y + х копеек. После покупки пипеток у Тёмы останется 100y + х − 140 копеек. По условию эта сумма в три раза больше, чем 100х + y . Это дает следующее уравнение для неизвестных х и y: .

Поскольку число копеек не может быть больше, чем 99, справедливо двойное неравенство: 1 ≤ x, y ≤ 99. Оно, в частности, влечет, что сдача не превышает первоначальную сумму в 100 рублей, которая была у Тёмы.

Уравнение решим методом цепных дробей:

1) Представим дробь в виде конечной цепной дроби.

, т. е. .

2) Запишем подходящие дроби:

3) Найдем решение уравнения по формулам (3):

3) Чтобы найти значение t, решим систему неравенств:

При t = –17, получим x = 31, y = 97.

Поэтому стоимость всех покупок Темы (в рублях) равна .

Ответ:69 рублей 43 копейки.

2.4. Метод рассеивания

Впервые способ рассеивания (размельчения) применил индийский математик Ариабхатта в начале VI века. Данный метод заключается в сведении данного уравнения к последовательности других уравнений с убывающими по абсолютной величине коэффициентами перед неизвестными.

Алгоритм, основанный на последовательном уменьшении по модулю коэффициентов уравнения при неизвестных:

1. Выбор наименьшего по модулю коэффициента (пусть |a| < |b|).

2. Проведение процедуры уменьшения коэффициентов. Это делается с помощью деления с остатком. Повторение процедуры уменьшения коэффициентов. Новое уравнение отличается от старого только тем, что его коэффициенты по модулю меньше коэффициентов старого. За конечное число шагов добьемся того, что коэффициент при одном из новых неизвестных будет равен 1.

3. Возврат от новых переменных к исходным.

Примеры решения диофантовых уравнений методом рассеивания.

Задача 1. Решить уравнение на множестве целых чисел

Решение:

₁₎ Проведём процедуру уменьшения коэффициентов:

Пусть , тогда

Пусть , тогда

Пусть , тогда

2) Выполним возврат от новых переменных к исходным:

Например, при t = 9 получим, что х = –5 и y = 6.

Ответ: (–5; 6) при t = 9;

Задача 2. Фирма продавала чай в центре города по 7 рублей, а кофе по 10 рублей стакан, на вокзале по 4 рубля и 9 рублей, соответственно. Всего было продано за час 20 стаканов чая и 20 стаканов кофе, при этом выручка в центре и на вокзале оказалась одинаковой. Сколько стаканов кофе было продано в центре?

Решение: пусть х и у соответственно – количество стаканов чая и кофе, проданных в центре города. Тогда количество стаканов чая и кофе, проданных на вокзале, будет равно 20 − х и 20 − у соответственно. По смыслу задачи переменные х и у – неотрицательные целые числа, не превосходящие 20.

_{Общая выручка в центре равна} рублей, а на вокзале равна рублей. По условию эти величины равны, составим уравнение:

Уравнение решим методом рассеивания:

₁₎ Проведём процедуру уменьшения коэффициентов:

Пусть , тогда

Пусть , тогда

Пусть , тогда

2) Выполним возврат от новых переменных к исходным:

3) Так как x и y – неотрицательные целые числа, то чтобы найти значение t, решим систему неравенств:

При t = 95, получим x = 15, y = 5.

Ответ:5 стаканов кофе было продано в центре.

Глава 3. Нелинейные уравнения

3.1. Метод разложения на множители

Рассмотрим случай, когда при решении уравнения можно применить один из способов разложения на множители.

Задача 1. Найти все целочисленные решения уравнения

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители, получим: .

Т.е. . Число 3 можно представить в виде произведения целых чисел четырьмя способами: , значит для нахождения значений переменных составим четыре системы уравнений:

Целочисленными решениями данных систем уравнений являются соответственно пары (−1; −2), (5; 2), (1; 2), (−5; −2).

Ответ:(−1; −2), (5; 2), (1; 2), (−5; −2).

Задача 2. Найти все целочисленные решения уравнения .

Решение:

Первым действием перенесем все слагаемые в одну часть:, далее, чтобы разложить левую часть на множители к каждой из частей добавим число (–1), получим . Разложив на множители левую часть, получим .

Число (–1) можно представить в виде произведения целых чисел двумя способами: , значит для нахождения значений переменных составим две системы уравнений:

Целочисленными решениями данных систем уравнений являются соответственно пары (2; 2), (0; 0).

Ответ:(2; 2), (0; 0).

Задача 3. Решить уравнение в целых числах.

Решение:

Раскроем скобки, получим:

.

Далее приведем подобные слагаемые и разделим обе части на 3 и разложим левую часть на множители, в итоге получим уравнение:

.

Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения (x−y)(y−z)(z−x) = 10 равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0.

Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ:нет решений.

Задача 4. Решить уравнение в целых числах.

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители, для этого найдём корни квадратного трехчлена , решив уравнение как квадратное относительно переменной х.

.

Получим, что .

Число 13 можно представить в виде произведения целых чисел четырьмя способами: , значит для нахождения значений переменных составим четыре системы уравнений:

Решая системы, получим, что системы (2) и (4) решений в целых числах не имеют, а решением систем уравнений (1) и (3) являются соответственно пары (2; 1), (−2; −1).

Ответ:(2; 1), (−2; −1).

3.2. Метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби

Многие целочисленные уравнения решают, выражая одну переменную через другую, рассмотрим примеры уравнений, которые можно решить таким способом.

Задача 1. Решить уравнение в целых числах.

Решение:

Выразим y через х, получим, что . Далее выделим целую часть .

Так как , то , это возможно, если . Получим четыре системы уравнений:

Ответ:(1; 9), (0; 2), (2; 8), (−1; 3).

Задача 2. Найти все целочисленные решения уравнения .

Решение:

Выполнив преобразования, приведём уравнение к виду , делаем вывод, что 7 – х кратно 2, то есть . Значит , и из исходного уравнения находим .

Таким образом, общее решение можно записать в виде

Ответ: .

Задача 3. Найти все целочисленные решения уравнения .

Решение:

Выразим из уравнения y², получим, что .

Значит , если , что верно, и если , что не возможно, так как х² не может заканчиваться на 2, и на 7 если, то есть уравнение решений не имеет.

Доказательство выделенного утверждения:

x =	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11…
х2=	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121…

Ответ: нет решений.

3.3. Решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной

Задача 1. Решить уравнение в целых числах.

Решение:

Решим уравнение как квадратное относительно переменной х.

.

Уравнение имеет решение только, если , то есть , а это возможно при y = –1, тогда x = 1.

Ответ: (1; –1)

Задача 2. Решить уравнение в целых числах.

Решение:

Решим уравнение как квадратное относительно переменной х.

.

Уравнение имеет решение только, если , то есть , а это возможно при y = –1, тогда x = 1.

Разделим обе части неравенства на (–3) и выделим полный квадрат в левой части неравенства, получим, что:

.

При .

При .

При .

Ответ: (0; 0), (1; 0), (0; 1), (2; 1), (1; 2), (2; 2)

3.4. Метод, основанный на выделении полного квадрата

Задача 1. Решить уравнение в целых числах.

Решение:

Перенесем все слагаемые в левую часть, добавим 1 к обеим частям и выделим полные квадраты, получим, что: .

Очевидно, что если сумма двух квадратов равна 1, то либо один из них равен нулю, а другой единице, либо наоборот. Таким образом, имеем:

.

Ответ: .

Задача 2. Решить уравнение в целых числах.

Решение:

Перенесем все слагаемые в левую часть и выделим полные квадраты, получим, что:

;

.

Получили, что сумма трёх квадратов равна 2, а это возможно в следующих случаях:

	0	0	2	1	0	1
	0	2	0	1	1	0
	2	0	0	0	1	1

Получим шесть систем уравнений, из которых первые три решений в целых числах не имеют, а оставшиеся три дают пары чисел:

(2; 2); (0; 0); (1; 2); (1; 0); (0; 1); (2; 1).

Ответ:(2; 2); (0; 0); (1; 2); (1; 0); (0; 1); (2; 1).

Выводы

1. В результате проведённых исследований удалось классифицировать по методам решения некоторые типы диофантовых уравнений.

2. На основании проведённого анализа показаны алгоритмы решения уравнений в целых числах в соответствии с приведённой классификацией.

3. По итогам проведённой работы гипотеза исследования подтвердилась, цель исследования считаем достигнутой.

Заключение

В рамках исследования были изучены различные источники, описывающие историю открытия и математическую сущность методов решения уравнений в целых числах. Полученные знания позволили разобраться и отработать основные алгоритмы решения уравнений данного типа.

Решение уравнений в целых – один из самых интересных разделов математики, теоретические и практические сведения которого используются как в инженерии, биологии, так и повседневной жизни. Ни один крупный математик не прошёл мимо теории диофантовых уравнений. Ферма и Эйлер, Лагранж и Дирихле, Гаусс и Чебышев оставили неизгладимый след в этой теории.

В настоящее время, в связи с современными требованиями к выпускнику школы, возникает особенная необходимость в изучении данной темы. Считаем, что необходимо разрабатывать и составлять элективные и специальные курсы по обучению школьников основным приемам решения данных уравнений и поиску способов нахождения этих решений, что, безусловно, служит предметом исследования.

На основе накопленных знаний и полученного опыта были составлены задачи, решение которых возможны с помощью изложенных методов.

Список используемых источников

Литература:

Башмакова, И.Г. Диофант и диофантовы уравнения / И.Г. Башмакова. – М.: Наука, 1972. – 68 с.

Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для
учащихся 5-6 классов средней школы / Н.Я. Виленкин, И.Я. Депман. – М.: Просвещение, 1989. – 287 с.

Гринько, Е.П. Методы решения диофантовых уравнений при подготовке школьников к олимпиадам: учебно-методическое пособие / Е.П. Гринько, А.Г. Головач. – Брест.: БрГУ имени А.С. Пушкина, 2013.

Латанова, Н.И. Решение уравнений в целых числах : учебное пособие / Н.И. Латанова, А.П. Власова, Н.В. Евсеева. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012.

Фалин, Г. И. Линейные диофантовы уравнения / Г.И. Фалин, А.И. Фалин М., Изд-во Чистые Пруды, 2008.

Приложение

Задачи для самостоятельного решения

1. Решите линейное уравнение на множестве целых чисел различными способами:

1) ;

2) ;

3) .

2. Саша поехал на работу, но забыл дома кошелёк. Пошарив по карманам, он обнаружил в кармане много монет. Потом он вспомнил, что в кармане только монеты номиналом 2 рубля и 5 рублей. Что бы Саше добраться до работы, ему нужно потратить ровно 46 рублей на аренду велосипеда, потом доехать на нем до остановки, где нужно пересесть на автобус марки «ЛиАз», проезд в котором стоит как две поездки туда-обратно на велосипеде. Когда Саша выйдет из автобуса, он, как и всегда, зайдет в церковь подать милостыню нуждающимся, которая всегда составляет ровно 100 рублей, и идет пешком до работы, слушая музыку. Найдите наименьшее количество монет в кармане Саши, если денег в кармане без остатка хватило для проезда на работу и домой.

3. Решите уравнение на множестве целых чисел:

1) ;

2) ;

3) .

4. Сумма двух чисел, обратных целым, равна числу, обратному 25. О каких двух целых числах идёт речь

5. Робот стоит в координате 0. Когда он делает шаг вперед, он смещается в координату, большую своей на 2, когда делает шаг назад — меньшую на 1. Сколько шагов вперед и назад необходимо сделать роботу, если он хочетпопасть в координату 5? Выберите и укажите оптимальную стратегию, при которой роботу нужно сделать минимальное количество шагов.

Просмотров работы: 1153

Решение линейных уравнений в целых числах. Примеры.

Теперь
перейдем непосредственно к основной
теме нашего проекта. Когда в уравнении
с двумя переменными, значения переменных
равны целым числам, то такие решения
называют целочисленными.
Если
требуется найти все целочисленные
решения, то говорят о решении
уравнения в целых числах.

Именно
таким решениям уравнений был посвящен
труд вышеупомянутого Диофанта
Александрийского «Арифметика».

Начнем
с того, что уравнения, имеющие в правой
части дробное значение не имеют
целочисленных решений, так как при целых
значениях х
и у,
значение левой части есть целое число,
тогда как значение правой части – число
дробное. Уравнение 4х + 3у = 0,5 имеет вид
ax
+ by
= c,
в котором a
и b
— взаимно
простые числа. Любое линейное уравнение
с рациональными числами a,
b
и
c
можно привести к такому виду. По этому
виду можно узнать о наличии в нем
целочисленных решений: если свободный
член уравнения дробное число, то уравнение
не имеет целочисленных решений.

Пример
1.

Уравнение
4х + 3у = 0,5 не
имеет
целочисленных решений, а уравнение 7х
– у = -1 имеет сколько угодно целочисленных
решений. Если решим это уравнение,
выразив
у,
то получим:

у
= 1 + 7х

При
подстановке любого целого числа вместо
х
в результате вычислений получим
соответствующее значение у,
которое также будет целым числом. Пусть
целое число равно n.
Все целочисленные решения этого уравнения
выражаются формулами:

х
= n
и
у
= 1+7n,
где n
= 0; больше или меньше 1; 2…

Найдем
по этим формулам несколько целочисленных
решений данного уравнения.

Если
n
=0,
то х
= 0; у = 1.

Если
n
=1,
то х
=1; у = 8.

Если
n
=-1,
то х
= -1; у = -6.

Пример
2.

Задача.
В
клетке сидят кролики и фазаны, всего у
них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех
и других.

Решение:
Исходя из того, что у кролика 4 ноги, а у
фазана две, составляется уравнение с
двумя неизвестными переменными, в
котором х – число кроликов, у – число
фазанов:

4х
+ 2у = 18, или, если обе части разделить на
2, 2х + у = 9.

Выразим
у через х : у = 9 – 2х.

Далее
воспользуемся методом перебора:

Х:
1;2;3;4.

У:
7;5;3;1.

Далее
подставляем числа в уравнение в разных
комбинациях. Вышло, что задача имеет
четыре решения.

Ответ:
(1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

Заключение.

Итак,
в заключении мы бы хотели подвести итог
работы, проделанной нашей группой. В
ходе сбора информации, ее редактирования,
составления текста работы и примеров,
мы разобрались в способах решения
уравнений с двумя переменными, а при
составлении презентации научились
строить графики. Подбирая материал для
проекта, мы проверяли и перепроверяли
каждое слово, следя за тем, чтобы текст
и содержание было понятно для наших
ровесников.

Также
мы выполнили и основную часть поставленных
задач, то есть, раскрыли теоретические
моменты решения уравнений, доступным
языком объяснили, как решать уравнения
в целых числах и привели, на мой взгляд,
достаточно простые и понятные примеры.
Другими словами, мы выполнили все
поставленные задачи, и достигли цели.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Уравнения в целых числах – уравнения с двумя и более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями таких уравнений являются целые числа. Также такие уравнения называются диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который изучал такие уравнения еще до нашей эры.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно выделить следующие способы.

1 способ. Метод перебора вариантов.

Решим уравнение  $ (x-2)(y+3)=4 $  в целых числах.

Так как x и у целые числа, совершим перебор вариантов:

$ {x-2=1;; y+3=4rightarrow;x=3;;y=1\ x-2=4;; y+3=1rightarrow;x=6;;y=-2\ x-2=-1;; y+3=-4rightarrow;x=1;;y=-7\ x-2=-4;; y+3=-1rightarrow;x=-2;;y=-4\ x-2=2;; y+3=2rightarrow;x=4;;y=-1\ x-2=-2;; y+3=-2rightarrow;x=0;;y=-5\} $

Ответ: (3; 1), (6; -2), (1; -7), (-2; -4), (4; -1), (0; -5).

Решим уравнение 10х + 10у = 2019 в целых числах.

Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

Пусть нужно решить уравнение в целых числах:  $ 5x+4y=22. $

Методом перебора находим решение  $ x_1=2;;y_1=3. $

Получаем систему уравнений:

$ {begin{cases}5x=4y=22\5cdot2=4cdot3=22end{cases}\ 5(x-2)=4(y-3)=0\ 5(x-2)=-4(y-3)} $

$ x-2=frac{-4(y-3)}{5} $

Из полученного равенства видно, что число (х – 2) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 3) делится на 5, т.е. у – 3 = 5n, где n какое-нибудь целое число.

Имеем:

$ { y=3+5n\ x-2=-4cdotfrac{5n}{5}=-4n\ x=2-4n} $

Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:

$ (2-4n;;3=5n),; где; n in Z. $

Ответ:  $ (2-4n;;3=5n),; где; n in Z. $

2 способ. Алгоритм Евклида

Пусть нужно решить уравнение в целых числах:  $ 5x+7y=6. $

Сделаем это с помощью Алгоритма Евклида. Ищем НОД чисел 5 и 7 с помощью него:

НОД (5, 7) = НОД (5, 7-5) = НОД (5, 2) = НОД (5 — 2∙2, 2) = НОД (1, 2) = 1

Запишем этот процесс в обратном порядке:

$ 1=2-1=2-(5-2cdot2)=2cdot3-5cdot1=(7-5)cdot3-5cdot1=7cdot3-5cdot4. $

То есть:

$ 1=5cdot(-4)+7cdot3 $

Тогда:

$ { 1cdot6=5cdot(-4)cdot6+7cdot3cdot6\ 6=5cdot(-24)+7cdot18\ 6=5x+7y} $

Тогда  $ { x=-24 ;и ; y=18} $  является решением уравнения.

Общее решение записывается в виде:

$ { x=-24+7n; ; y=18+5n,} $  где n – любое целое число.

Выполним проверку:

$ { 5(-24+7n)+7(18+5n)=6\ -120+35n+126+35n=6\ 70n=0} $

$ { n} $  – любое целое.

Верно.

Это не всевозможные способы решения. Зачастую для решения диофантовых уравнений требуются более тонкие рассуждения, связанные с делимостью, перебором остатков, оценками частей уравнения, тождественными преобразованиями и т.п.

Пример.

Решим уравнение:

$ 3^{x}+4^{y}=5^{z} $

Разложить на множители и выразить переменную мы здесь не можем. Воспользуемся методом перебора остатков.

Если левая часть уравнения в целых числах кратна какому-то числу, то и другая обязательно должна быть кратна этому же числу. Отсюда следует, что и остатки от деления обеих частей уравнения на одно и то же число будут давать одинаковые остатки.

Будем делать выводы о делимости одной части уравнения на какое-либо число (или смотреть, какой остаток от деления при этом получается) и проверять, при каких значениях переменных вторая часть уравнения также делится на это число (либо даёт такой же остаток).

Левая часть кратна 5. И остатки от деления на 5 у обеих частей также будут равны.

Про пятёрку уже сказали, что правая часть делится на неё без остатка, значит и левая тоже должна делиться.

Рассмотрим остатки от деления на 4.

Z	$ 5^{z} $	Остаток при делении на 4
1	5	1
2	25	1
3	125	1
4	625	1

Видим простую закономерность, что 5 в любой степени при делении на 4 будет давать остаток 1.

Теперь левая часть: будет делиться на 4 без остатка.

Рассмотрим остатки от деления на 4 числа  $ 3^{x} $

Z	$ 3^{x} $	Остаток при делении на 4
1	3	3
2	9	1
3	27	3
4	81	1
5	243	3

И так далее. Закономерность: при чётных х остаток 1, при нечётных остаток 3.

Отсюда делаем вывод, что х — число чётное, значит, мы можем представить его как х = 2n.

Теперь рассмотрим остатки при делении обеих частей на 3.

Правая часть:

Z	$ 5^{z} $	Остаток при делении на 3
1	5	2
2	25	1
3	125	2
4	625	1

И так далее. Видим закономерность, что при чётных z остаток равен 1, при нечетных z остаток равен 2.

Рассмотрим левую часть. Число  $ 3^{x} $  даёт остаток 0 при делении на 3.

Рассмотрим остатки от деления на 3 числа  $ 4^{y} $

Z	$ 4^{y} $	Остаток при делении на 3
1	4	1
2	16	1
3	64	1
4	256	1
5	1024	1

Получается, что левая часть при делении на 3 может давать только остаток 1. Значит, и правая тоже. Это происходит при чётных z.

Вернёмся к нашему уравнению  $ 3^{x}+4^{y}=5^{z} $

Рассмотрев все остатки от деления, мы делаем выводы, что х и z — чётные числа. Тогда х = 2n, z = 2m, где m, n натуральные. Подставим в уравнение:

$ 3^{2n}+4^{y}=5^{2m} $ , заметим также, что  $ 4^{y}=2^{2y} $

Теперь мы можем разложить на множители, используя формулу разности квадратов:

$ 2^{2y}=5^{2m}-3^{2n} $

$ (5^{m}-3^{n})(5^{m}+3^{n})=2^{2y} $ . Получается, что обе скобки должны быть степенями двойки. Мы не можем сделать никаких обоснованных выводов. Наша группировка неудачная. Попробуем иначе:

$ { 5^{2m}-2^{2y}=3^{2n}\ (5^{m}-2^{y})(5^{m}+2^{y})=3^{2n}} $

Теперь у нас обе скобки являются произведением троек. Рассмотрим такую ситуацию,

$ acdot b=3^{2n} $ , это означает, что и а, и b кратны 3. Либо одно из чисел кратно 3, а другое равно 1.

Рассмотрим случай, когда и а, и b кратны трём. Вспомним основные свойства делимости.

Ключевым признаком здесь будет второй: в нашем случае разность a-b также будет делиться на 3.

Рассмотрим разность скобок:

$ 5^{m}+2^{y}-(5^{m}-2^{y})=2cdot 2^{y} $  — это число никогда не будет кратно 3. Значит, в нашем произведении один из множителей равен 1, а другой равен 3²ⁿ. Так как  $ 5^{m}+2^{y}> 1 $ ,

$ 5^{m}-2^{y}=1,5^{m}+2^{y})=3^{2n} $ Итак, мы с вами уже решаем немного другое уравнение, с переменными m и n, которые зависят от х и у. И пришли к выводу, что  $ 5^{m}+2^{y}=1 $

m	$ 5^{m} $	y	$ 2^{y} $
0	1	0	1
1	5	1	2
2	25	2	4
3	125	3	8

Эта таблица показывает, что  $ 5^{m}+2^{y}=1 $  только в одном случае при m = 1, y = 2. При их увеличении разница между и будет всё больше, поэтому это единственное решение.

Тогда z = 2m = 2, x = 2.

Ответ: (2, 2, 2)