Как найти все гомоморфные отображения

Добрый день. Задание:
Найти все гомоморфные отображения Z5 —> S3
Пожалуйста, помогите

	Найдите все гомоморфизмы 12.02.2021, 13:43
14/02/20 777	Дорогие друзья, подскажите, правильно я решаю следующую задачу (это Кострикин 58.27 а) Найти все гомоморфизмы Пусть Изоморфизмов (по сути автоморфизмов) будет 2 ( либо ). У существует всего две нетривиальные подгруппы, обе, естественно, нормальные. Первая подгруппа даст нам фактор-группу . Тут будет два гомоморфизма: Вторая подгруппа даст нам фактор-группу . Тут будет один гомоморфизм: . Ну и еще будет тривиальный гомоморфизм . Итого я насчитал 6 гомоморфизмов. Достаточно мучительное здесь оформление, либо я просто не совсем представляю, как такие вещи оформляются.

Slav-27	Re: Найдите все гомоморфизмы 12.02.2021, 13:59
Заслуженный участник 14/10/14 1183	Более простое решение: гомоморфизм однозначно определяется образом , так как в группе 6 элементов, то получается 6 вариантов.

artempalkin	Re: Найдите все гомоморфизмы 12.02.2021, 14:08
14/02/20 777	Более простое решение: гомоморфизм однозначно определяется образом , так как в группе 6 элементов, то получается 6 вариантов. Ну тут надо не пересчитать варианты, а их перечислить. Но вот это интересный факт, о котором я не в курсе. А откуда известно, что для каждого отображения найдется гомоморфизм? И если бы было нужно найти гомоморфизмы (как в пункте б), то было бы заведомо 18 гомоморфизмов?

nnosipov	Re: Найдите все гомоморфизмы 12.02.2021, 14:09
Заслуженный участник 20/12/10 8862	У Кострикина ровно это и написано: «58.27. Гомоморфизм определяется образом порождающего элемента «. — Пт фев 12, 2021 18:11:12 — И если бы было нужно найти гомоморфизмы (как в пункте б), то было бы заведомо 18 гомоморфизмов? Нет, их будет 6. Дело в том, что образ генератора не может быть каким попало элементом. Здесь можно решать задачу в самом общем виде: перечислить все гомоморфизмы . Возможно, в аддитивной нотации будет проще понять.

artempalkin	Re: Найдите все гомоморфизмы 12.02.2021, 14:11
14/02/20 777	Кажется, нет, потому что в случае , к примеру, не получится отобразить (то есть гомоморфизма не найдется). Но в целом момент я понял, хотя не до конца ясно, когда этим свойством можно пользоваться — 12.02.2021, 14:13 — У Кострикина ровно это и написано: «58.27. Гомоморфизм определяется образом порождающего элемента «. В целом это ясно, да, что двух гомоморфизмов, отображающих в один и тот же элемент не найдется, конечно. Другой вопрос Нет, их будет 6. Дело в том, что образ генератора не может быть каким попало элементом. , куда генератор можно и нельзя отображать

nnosipov	Re: Найдите все гомоморфизмы 12.02.2021, 14:19
Заслуженный участник 20/12/10 8862

artempalkin	Re: Найдите все гомоморфизмы 12.02.2021, 14:22
14/02/20 777	Здесь можно решать задачу в самом общем виде: перечислить все гомоморфизмы . Возможно, в аддитивной нотации будет проще понять. Вы имеете в виду задачу по перечислению гомоморфизмов циклических групп или подсчету их количества? Подскажите, прав ли я буду, если скажу, что количество автоморфизмов есть ? Где — функция Эйлера

nnosipov	Re: Найдите все гомоморфизмы 12.02.2021, 14:24
Заслуженный участник 20/12/10 8862	количество автоморфизмов есть ? А зачем 1 вычитаете? Просто (функция Эйлера от ). — Пт фев 12, 2021 18:25:27 — Вы имеете в виду задачу по перечислению гомоморфизмов циклических групп или подсчету их количества? Перечислению всех. Количество прилагается. Собственно, эти две задачи не сильно друг от друга отличаются.

artempalkin	Re: Найдите все гомоморфизмы 12.02.2021, 14:31
14/02/20 777	откуда должно … что? …должно быть кратно . Это означает, что если и взаимно просты, то найдется только тривиальный гомоморфизм. А если они имеют общие делители, тогда имеет смысл отображать в такие , где и имеют общие делители. — 12.02.2021, 14:34 — А зачем 1 вычитаете? Просто (функция Эйлера от ). Да, все верно, вычитать 1 не нужно!

nnosipov	Re: Найдите все гомоморфизмы 12.02.2021, 14:48
Заслуженный участник 20/12/10 8862

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

С точки
зрения алгебры изоморфные группы
неразличимы, так как не существует
способа отличить одну изоморфную группу
от другой.

Однако
такое отождествление в некоторых случаях
становится «несколько преувеличенным»,
«жестким» требованием.

Рассмотрим
две группы G и
.
Пусть

некоторое
отображение. Выясним, удовлетворяет ли
оно всем условиям, предъявляемым к
изоморфизму. Эти условия сводятся к
следующему:

1. Каждый
элемент группы G имеет образ в группе
(образы различных элементов различны,
т.е.
– инъективное отображение).

2. Каждый
элемент группы
имеет прообраз в G (т.е.
– отображение на все множество, т.е. 
– сюрьективно).

3. Групповая
операция при отображении 
сохраняется.

Таким
образом, принципиальным отличием 
от простого отображения множеств
является третье условие.

Если
,
то,

где
.

Если
потребовать выполнение только этого
условия, то получим важный тип отображений,
называемых гомоморфизмами (греч. homos –
одинаковый, равный морфизм).

Определение. Отображение
группыв группуназываетсягомоморфизмом,
если

,

где
.

Другими
словами,
гомоморфизмом
называется отображение (не обязательно
биективное) одной группы в другую,
сохраняющее групповую операцию.

Если гомоморфизм
удовлетворяет какому-либо из условий
(1), (2), то мы получаем разновидности
гомоморфизмов, имеющие специальные
названия.

Определение. Гомоморфизм,
являющийся инъективным отображением,
называется мономорфизмом.

Определение. Гомоморфизм,
являющийся сюрьективным отображением,
называется эпиморфизмом.

Определение. Если
гомоморфизм, является биективным
отображением, то он называется
изоморфизмом.

Общий вывод. Существует
один тип отображений группы G в
,
сохраняющий групповую операцию –
гомоморфизм и три его менее общие
разновидности (рис. 3).

Рис.
3 – Гомоморфизм
групп и его разновидности

Пусть

– произвольный гомоморфизм группы G в
.
Рассмотрим все элементы группы,
которые можно представить в виде.

В
этом случае множество элементов
представляет собой область значений
функции.

Определение. Образом
гомоморфизма 
называется множество

Можно
показать, что
является подгруппой в,
т.е. сохраняет не только групповую
операцию, но и содержит единичный и
обратные элементы.

3 Ядро гомоморфизма

Рассмотрим
элементы группы G, которые гомоморфизм

отображает в единичный элемент
группы(рис. 4).

Определение. Ядром
гомоморфизма
называется множество

Рис.
4 – Ядро
гомоморфизма

Лемма. Ядро
гомоморфизма
является подгруппой в G.

Доказательство. Для
доказательства леммы просто проверим
выполнение всех аксиом группы:

1. Замкнутость

.

Пусть
.
Это означает, что

.

2. Наличие
единичного элемента
,
т.е..

3. Наличие
обратного элемента, принадлежащего
.

Пусть
,

тогда
.

Замечание. 1. В
определении ядра гомоморфизма от
отображения 
не требуется никаких дополнительных
условий, т.е. не только биективности, но
и не инъективности, не сюрьиктивности.

2. Главное
отличие гомоморфизма от изоморфизма
заключается в наличии нетривиального
ядра
,
т.е. если,
то
– гомоморфизм, если
,
т.е.,
то
– изоморфизм.

Пример. Ядро
линейного оператора. Пусть
и– арифметические линейные пространства
векторов размерности n и m.

Определение. Множество
элементов векторов столбцовили строкназывается линейным пространством,
если в нем определены две операции:

• cложение
  .

• умножение
  на скаляр
  .

Кроме
того, для любых
выполняются следующие аксиомы:

• ассоциативность
  операции сложения ;

• коммутативность
  операции сложения ;

• существование
  единичного или нейтрального элемента
  

• существование
  обратного (противоположного) элемента
  .

Таким
образом, в линейном пространстве
выполняются аксиомы группы, следовательно— это аддитивная абелева группа векторов
столбцов размерности n.

Рассмотрим
две абелевы группы
ии отображение

.

Отображение
А представляет собой матрицу размерности
m на n, т.е.

Определение. Отображение
называетсялинейным
оператором,
если выполняются следующие условия:

где
.

Таким
образом, линейный оператор есть
гомоморфизм
аддитивных
групп линейных векторных пространств
в.

Определение. Ядром
линейного оператора
называется множество

.

Таким
образом, ядро линейного оператора
– это множество решений однородной
системы линейных алгебраических
уравнений с матрицей A.

Утверждение. Ядром
линейного оператора
есть подпространство в,
называемое пространством решений
однородной системы линейных уравнений:

.

Доказательство. Для
доказательства утверждения проверим
выполнение аксиом группы для
:

1. Замкнутость
множества
относительно операции сложения.

Пусть
,
тогда необходимо найти суммуи показать, что она также принадлежит
ядру:

.

2. Существование
обратного элемента:

.

Другими
словами, необходимо показать, что
.
Действительно,

.

Следовательно
.

3. Пусть
,
тогда мы должны доказать, что.

Действительно,
,
т.е..

Вывод. Значение
абстрактной алгебры (и математики в
целом) состоит не только в том, что она
позволяет кратко записывать громоздкие
объекты, но и в том, что она позволяет
экономно мыслить, исследуя вместо многих
конкретных примеров – их общие
закономерности.

Соседние файлы в папке ЛЕКЦИИ АиГ

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Гомоморфизмы групп и нормальные делители

Пусть заданы группы и . Отображение называют гомоморфизмом группы в группу (гомоморфизмом групп), если для любых выполняется равенство , т.е. образ произведения любых двух элементов группы при отображении равен произведению их образов в группе .

Если отображение сюръективно (биективно), то его называют эпиморфизмом (изоморфизмом) групп. В этом случае говорят также об эпиморфизме (изоморфизме) группы на группу .

Замечание 2.5. Мы обозначили операции групп и одинаково, как это обычно и делается для однотипных алгебр, хотя, конечно, это разные операции разных групп.

Пример 2.21. Пусть — аддитивная группа целых чисел, а — аддитивная группа вычетов по модулю .

Зададим отображение так: для всякого целого га образ равен остатку от деления на . Можно проверить, что для любых целых и имеет место равенство , т.е. для целых чисел остаток от деления суммы на равен сумме по модулю остатков от деления на каждого слагаемого.

Следовательно, данное отображение есть гомоморфизм группы в группу . Далее, поскольку любое целое число от 0 до есть остаток от деления на какого-то числа, то отображение является и эпиморфизмом группы на группу .

Теорема 2.14. Пусть — произвольные группы. Если — гомоморфизм, то:

1) образом единицы (нейтрального элемента) группы при отображении является единица группы , то есть ;

2) для всякого элемента группы образом элемента является элемент , обратный элементу , то есть .

Согласно определению гомоморфизма, для произвольного имеем . Далее, , то есть . Следовательно, , то есть .

Докажем второе утверждение теоремы. Используя определение гомоморфизма и уже доказанное первое утверждение теоремы, получаем

, то есть .

---

Множество — образ носителя группы при гомоморфизме — замкнуто относительно умножения группы . Действительно, если , то существуют такие , что и . Тогда

Из теоремы 2.14 следует, что содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом обратный к нему элемент. Это значит, что можно определить подгруппу группы носителем которой будет множество . Эту группу называют гомоморфным образом группы при гомоморфизме .

Группу называют просто гомоморфным образом группы , если существует гомоморфизм группы на группу . Так, группа при любом является гомоморфным образом аддитивной группы целых чисел (см. пример 2.21).

---

Пример 2.22. Рассмотрим мультипликативную группу комплексных чисел с обычной операцией умножения комплексных чисел. Легко понять, что эта группа не что иное, как мультипликативная группа поля комплексных чисел.

Рассмотрим также группу невырожденных квадратных матриц второго порядка с операцией умножения матриц (см. пример 2.9.е).

Определим отображение множества комплексных чисел в множество квадратных матриц второго порядка, положив для произвольного ненулевого комплексного числа , что

Покажем, что — гомоморфизм групп. С одной стороны,

С другой стороны,

Следовательно,

Таким образом, отображение — гомоморфизм групп, а гомоморфный образ мультипликативной группы комплексных чисел при — это подгруппа группы матриц , состоящая из матриц вида . Здесь мы учли, что любая матрица вида является образом некоторого комплексного числа (а именно ) при отображении . Группа — собственная подгруппа группы .

---

Важное свойство гомоморфизмов групп

Сформулируем без доказательства одно важное свойство гомоморфизмов групп.

Теорема 2.15. Если — гомоморфизм группы в группу , а — гомоморфизм группы в группу , то композиция отображений есть гомоморфизм группы в группу .

Рассмотрим некоторые свойства изоморфизмов групп.

Теорема 2.16. Если — изоморфизм группы на группу , то отображение , обратное к отображению , есть изоморфизм группы на группу .

Пусть и — произвольные элементы группы , пусть также , а , где и — элементы группы . Тогда

т.е. отображение — гомоморфизм второй группы в первую. Но так как отображение, обратное к биекции, есть биекция, то — изоморфизм группы на группу .

---

Группы и называют изоморфными, если существует изоморфизм одной из них на другую. При этом используют обозначение .

Изоморфные группы с точки зрения их алгебраических свойств совершенно одинаковы, хотя их элементы могут иметь различную природу. Вернемся в этой связи к примеру 2.22. Легко убедиться в том, что определенное там отображение множества комплексных чисел на множество квадратных матриц специального вида является биекцией. Следовательно, мультипликативная группа комплексных чисел и группа матриц указанного вида с операцией умножения матриц изоморфны, хотя элементы этих групп на первый взгляд не имеют между собой ничего общего.

Определение 2.8. Ядром гомоморфизма группы в группу называют прообраз единицы группы при гомоморфизме

Пример 2.23. Ядром гомоморфизма, рассмотренного в примере 2.21, служит множество всех целых чисел, делящихся на .

Теорема 2.17. Ядро гомоморфизма есть подгруппа группы .

Нужно убедиться в том, что множество замкнуто относительно умножения группы , содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом содержит обратный к нему элемент.

Если , то есть , то и . Ясно, что , так как (см. теорему 2.14). Если , то

, то есть .

---

Ядро гомоморфизма, приведенного в примере 2.21, представляет собой подгруппу аддитивной группы целых чисел, состоящую из всех чисел, кратных .

Подгруппа группы называется нормальной подгруппой (нормальным делителем) группы , если для любого .

В коммутативной группе, как было отмечено выше, . Следовательно, в этом случае любая подгруппа является нормальным делителем.

Пусть — подгруппа группы . Для фиксированных элементов через обозначим множество всех произведений вида , где . В силу ассоциативности групповой операции это обозначение корректно.

---

Теорема 2.18. Подгруппа является нормальным делителем группы тогда и только тогда, когда для любого .

Если — нормальный делитель, то для любого имеем , т.е. для любого найдется такое , что . Пусть элемент , то есть для некоторого . Так как , то и поэтому .

Обратно, если , то любой элемент , где , принадлежит и множеству , то есть для некоторого . Отсюда, умножая последнее равенство на справа, получим , т.е. элемент из левого смежного класса принадлежит и правому смежному классу . Итак, .

Теперь возьмем для произвольного обратный к элемент и для него запишем включение (напомним, что (). Рассуждая как и выше, получим, что для некоторых имеет место равенство , то есть и . Итак, и — нормальный делитель.

---

Связь между понятием нормального делителя и понятием гомоморфизма

Оказывается, существует связь между понятием нормального делителя и понятием гомоморфизма, которая продолжает и углубляет на новом уровне уже известную нам из первых лекций связь между понятиями отображения и класса эквивалентности.

Теорема 2.19. Ядро гомоморфизма группы в группу является нормальным делителем группы .

Для любого и любого имеем

Это значит, что для любого выполняется соотношение , а, согласно теореме 2.18, — нормальный делитель.

---

Пусть — нормальный делитель группы . Рассмотрим множество всех левых смежных классов . Это будет не что иное, как фактор-множество множества по определенному выше (см. теорему 2.11) отношению эквивалентности .

Введем операцию умножения на множестве всех левых смежных классов следующим образом: произведением классов и назовем класс .

Это определение корректно, так как множество , т.е. множество всех произведений вида для различных , в силу того что для всякого , совпадает с левым смежным классом . Действительно, поскольку для некоторого , то .

Теперь рассмотрим некоторый , т.е. для некоторого . Поскольку для некоторого , то . Следовательно, .

Можно далее легко показать, что для каждого имеют место

и .

Тем самым определена группа, носителем которой является фактор-множество множества по отношению эквивалентности с операцией умножения левых смежных классов, причем нейтральным элементом относительно этой операции служит носитель подгруппы , а обратным к левому смежному классу будет левый смежный класс . Эту группу называют фактор-группой группы по нормальному делителю и обозначают . Можно указать естественный гомоморфизм группы в фактор-группу , который вводится согласно правилу: . Так как , то для любых имеем

и — действительно гомоморфизм. Его называют каноническим гомоморфизмом группы в фактор-группу .

---

Пример 2.24. а. Рассмотрим аддитивную группу действительных чисел. Эта группа коммутативна. Напомним, что в коммутативной группе любая подгруппа будет нормальным делителем. Поэтому для нее нормальным делителем является подгруппа целых чисел (аддитивная группа целых чисел). (Для этих групп мы приняли такие же обозначения, как и для их носителей: и соответственно.)

Выясним смысл отношения эквивалентности , определяемого через равенство левых смежных классов, по подгруппе в этом случае.

Равенство левых смежных классов означает, что для любого целого найдется такое целое , что , то есть . Обратно, если разность есть целое число, т.е. , то . Итак, тогда и только тогда, когда , или, иначе говоря, действительные числа и эквивалентны по тогда и только тогда, когда их дробные части равны.

Аддитивная группа смежных классов, т.е. фактор-группа группы по нормальному делителю строится так: сумма классов и равна классу . Вводя обозначение , получаем . При этом (т.е. единица фактор-группы — это смежный класс нуля — множество всех целых чисел), причем . Обратим внимание на то, что смежный класс числа однозначно определяется его дробной частью (см. пример 1.14.6), то есть . Канонический гомоморфизм в данном случае задается так: .

б. Рассмотрим теперь аддитивную группу действительных чисел по модулю 1, т.е. группу , заданную на полуинтервале , сложение в которой определяется так: (дробная часть суммы ). Другими словами,

Докажем, что группа изоморфна фактор-группе , то есть .

Зададим отображение множества смежных классов в полуинтервал так, что . Поскольку , то — биекция и, кроме того,

Это значит, что — изоморфизм на .

Группу можно воспринимать как «наглядный образ» фактор-группы . Довольно абстрактная идея фактор-группы кристаллизуется в виде группы с носителем и операцией сложения неотрицательных действительных чисел, строго меньших единицы, с отбрасыванием в результате целой части. Здесь хорошо видна «польза» понятия изоморфизма. То, что само по себе не очень наглядно, становится наглядным через свой изоморфный образ.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

$operatorname{Hom}_{mathbb Z}(mathbb Z^n,mathbb Z^n)simeqoperatorname{Hom}_{mathbb Z}(mathbb Z,mathbb Z^n)^nsimeqmathbb Z^{n^2}$. In fact, a group homomorphism from $mathbb Z^n$ to $mathbb Z^n$ corresponds to a matrix in $M_{n}(mathbb Z)$.

Every surjective endomorphism of $mathbb Z^n$ is an isomorphism: if $Ain M_n(mathbb Z)$ is the corresponding matrix of a surjective endomorphism of $mathbb Z^n$, then there exists $Bin M_n(mathbb Z)$ such that $AB=I_n$. Now, by taking the determinant, it follows that $A$ is invertible. (For a more general case see here.)