Как найти все обратимые элементы кольца

Задача: найти все обратимые элементы в кольце $%mathbb{Z}[omega], omega^2+omega+1=0$%.

Решение: учитывая $%omega^2=-omega-1$%,
$$(a+bomega)(x+yomega)=(ax-by)+(ay+bx-by)omega=1$$
Для уравнения $%ay+bx-by=bx+(a-b)y=0$% получаем пары решений $%((a-b)t, -bt), tinmathbb{Z}$%, подставляя в уравнение $%ax-by=1$% получаем
$$a(a-b)t+b^2t=(a^2-ab+b^2)t=1,$$
откуда $%a^2-ab+b^2=1$% (отрицательной быть не может). Небольшим перебором получаем решения $%(pm1,0),(0,pm1),(pm1,pm1)$% и, соответственно, 6 обратимых элементов: $%pm1,pmomega,pm1pmomega$%.

Вопрос. Хотелось бы узнать, все ли в моем решении «чисто». Меня слегка смущает такой перебор, вроде как можно сказать, что для других ненулевых пар значений $%a$% и $%b$% будут получаться значения, бОльшие, чем единица, но это звучит как-то искусственно. Все-таки хочется убедиться в чистоте этого решения.

Образует ли следующее множество функций кольцо относительно обычных операций сложения и умноженияфункций:а) множество функций действительного переменного на отрезке [a, b];б) множество функций действительного переменного, имеющих вторую производную на интервале (a, b);в) множество рациональных функций действительного переменного;г) множество непрерывных периодических функций действительного переменного;д) множество функций действительного переменного, обращающихся в 0 на некотором подмножестве D ⊆ R;е) множество функций, определенных на некотором множестве D и принимающих значение в некотором кольце K.2.10.115Задачи2.5. В множестве многочленов от переменного t с обычнымсложением в качестве умножения рассматривается операциясуперпозиции, заданная правилом (f ◦g)(t) = f (g(t)).

Являетсяли это множество кольцом относительно заданных операций?2.6. Образует ли кольцо множество всех подмножествнекоторого множества относительно симметрической разностии пересечения, рассматриваемых как сложение и умножениесоответственно?2.7. Является ли кольцом множество трехмерных векторов относительно операций векторного сложения и векторногоумножения?2.8. Доказать, что в кольце с единицей выполняются тождестваа) − ab = (−1)ab,б) (−1) · (−1) = 1.2.9.

Какие из колец в задачах 2.1 – 2.7 содержат делителинуля?2.10. Доказать, что если ak — делитель нуля, то и a — делитель нуля.2.11. Доказать, что все диагональные матрицы, т. е. матрицы видаa1 0 0 . . . 0 0 a2 0 . . . 0  0 0 a3 . . . 0  ,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . anпорядка n > 2 с действительными коэффициентами относительно обычных операций сложения и умножения матриц образуют коммутативное кольцо с делителями нуля.2.12. Доказать, что в кольце квадратных матриц порядка nс элементами из некоторого поля делителями нуля являютсявырожденные матрицы, и только они. (Матрица называетсявырожденной, если ее определитель равен 0).2.13. Найти все делители нуля кольца Z ⊕ Z (определениепрямой суммы колец см.

на с. 87).2.14. Доказать, что все обратимые элементы кольца с единицей образуют группу относительно умножения.116Глава 2.Кольца2.15. Найти обратимые элементы в кольцах с единицей иззадач 2.1 – 2.7.2.16. Доказать, что из равенства ax = ay для данного элемента a и любых элементов x и y кольца следует равенствоx = y тогда и только тогда, когда a не является делителемнуля.2.17. Показать, что матрицы порядка n > 2 с элементамииз некоторого поля, в которых все строки, начиная со второй,состоят из нулей, образуют кольцо относительно матричногосложения и умножения, в котором всякий элемент, отличныйот нуля, будет правым делителем нуля. Какие матрицы в этомкольце не будут левыми делителями нуля?2.18.

Элемент a кольца R называется нильпотентным, если am = 0 для некоторого натурального m. Для коммутативного кольца R доказать, что а) если a — нильпотентный, тодля любого r ∈ R элемент ra — также нильпотентный; б) еслиa, b — нильпотентные, то a + b — также нильпотентный.2.19. Найти все обратимые элементы, все делители нуля ивсе нильпотентные элементы в кольцах a) Zpn , где p — простое число; б) кольцо верхних треугольных матриц над полем;в) кольцо M2 [R] матриц второго порядка с действительнымиэлементами; г) кольцо всех функций, определенных на некотором множестве S и принимающих значения в поле K.2.20. Пусть R — конечное кольцо.

Доказать, чтоа) если R не содержит делителей нуля, то оно имеет единицу и все его ненулевые элементы обратимы;б) если R имеет единицу, то каждый его элемент, имеющийодносторонний обратный, обратим;в) если R имеет единицу, то всякий левый делитель нуляявляется правым делителем нуля;Верно ли утверждение в) для колец без единицы?2.21. Доказать, что в кольце с единицей и без делителейнуля каждый элемент, имеющий односторонний обратный, является обратимым.2.22. Пусть R — кольцо с единицей, x, y ∈ R. Доказать, чтоа) если произведения xy и yx обратимы, то элементы x и yтакже обратимы;б) если R без делителей нуля и произведение xy обратимо,то элементы x и y также обратимы;2.10.117Задачив) если R конечно и произведение xy обратимо, то элементыx и y также обратимы;г) без дополнительных предположений о кольце R из обратимости произведения xy не следует обратимость элементов xи y.2.23.

Пусть R — кольцо с единицей и S — его подкольцо.а) Верно ли, что 1 ∈ S?б) Может ли подкольцо S иметь единицу e, отличную от1 — единицы кольца R?2.24. Показать, что в кольце с единицей коммутативностьсложения вытекает из остальных аксиом кольца.2.25. Проверить, что равенства 0 · a = a · 0 = 0 можнодоказать, не используя коммутативности сложения. Доказать,что в кольце, содержащем хотя бы один элемент c, не являющийся делителем нуля, коммутативность сложения вытекаетиз остальных аксиом кольца.2.26. Привести примеры колец матриц, в которых естьнесколько правых или левых единиц.2.27. Доказать, что если все элементы коммутативногокольца R имеют общий делитель a, то это кольцо обладаетединицей.2.28. Указать коммутативное кольцо с единицей, содержащее элемент a 6= 0 с одним из следующих свойств:а) a2 = 0;б) для данного целого числа n > 1 выполнены условияan = 0, ak 6= 0, если 0 < k < n.2.29.

Пусть R — коммутативное кольцо с единицейи Rhxi —P∞kмножество всех формальных степенных рядовk=0 ak x ,ak ∈ R. Введем обычные операции сложения и умножениярядов:∞Xak xk +k=0∞Xk=0∞Xbk xk =k=0∞X(ak + bk )xk ,k=0∞∞ X Xak xk ·bk xk =(ck )xk ,k=0где ck =k=0Показать, что:а) Rhxi — коммутативное кольцо с единицей;kXj=0aj bk−j .118Глава 2.Кольцаб) Rhxi содержит подкольцо, изоморфное R;в) если R не имеет делителей нуля, то это верно и для Rhxi;P∞г) если R — поле, то k=0 ak xk тогда и только тогда будетобратимым элементом кольца Rhxi, когда a0 6= 0.√2.30.

Пусть R — множество всех чисел вида a + b −3,где a, b ∈ Z. Показать, что R — кольцо с единицей, в котором разложение на простые множители существует, но неоднозначно. В частности,показать,что в двух разложениях√√4 = 2 · 2 = (1 + −3) · (1 − −3) сомножителиявляются√простыми, причем 2 не ассоциировано с 1 ± −3.P2.31*. Доказать, что все конечные суммыak 2rk с целымикоэффициентами ak и неотрицательными двоично рациональными rk относительно обычных операций сложения и умножения чисел образуют коммутативное кольцо с единицей ибез делителей нуля, в котором не существует разложения напростые множители.2.32.

Доказать изоморфизмследующих колец: кольца ком√m+in Dплексных чисел вида, где D — фиксированное целое2число, свободное от квадратов (не делящееся на квадрат простого числа), n, m — целые числа одинаковой четности относительно обычныхсложения и умножения, и кольца операцийm n1, где D — то же самое число, n, m —матриц вида 2Dn mцелые числа одинаковой четности, относительно матричногосложения и умножения.2.33.

Доказать изоморфизмследующихколец: кольцо комzwплексных матриц видаотносительно матричного−w̄ z̄сложения и умножения и кольцо действительных матриц видаx −y ztyx −t z .−ztx y−t −z −y xотносительно матричного сложения и умножения.2.34. Пусть R — кольцо, состоящее из всех действительных функций f (x), определенных на всей числовой прямой,с обычными операциями сложения и умножения, и c — действительное число. Доказать, что:2.10.119Задачиа) отображение ϕ[f (x)] = f (c) есть гомоморфное отображение кольца R на поле R действительных чисел;б) ядро Ker ϕ гомоморфизма ϕ есть идеал в R;в) факторкольцо R/ Ker ϕ изоморфно полю действительных чисел R.2.35.

Алгебра кватернионов H — это множествоH = {a0 + a1 i + a2 j + a3 k | ai ∈ R}с операциями покомпонентного сложения(a0 + a1 i + a2 j + a3 k) + (b0 + b1 i + b2 j + b3 k)и умножения, которое определяется таблицей умножения«мнимых единиц»ijki−1−kjjk−1−ik−ji−1и условием дистрибутивности.а) Сопряженным кватерниону h = a0 + a1 i + a2 j + a3 kназывается кватернион h̄ = a0 −a1 i−a2 j −a3 k. Проверить, чтоhh̄ — действительное число (кватернион вида a + 0i + 0j + 0k).Это число называется квадратом нормы кватерниона.б) Проверить, что кватернионы образуют тело.в) Проверить, что любой кватернион нормы 1 можно записать в виде h = cos(θ/2) + sin(θ/2)v, где «мнимая часть»кватерниона v является единичным вектором в трехмерномевклидовом пространстве с ортонормированным базисом i, j,k.

Кватерниону h сопоставим вращение трехмерного пространства вокруг оси, задаваемой вектором v, на угол θ.Доказать, что построенное соответствие является гомоморфизмом: произведению кватернионов соответствует композиция соответствующих им вращений.a + bi c + di2.36. Доказать, что алгебра матриц вида−c + di a − bi√с действительными a, b, c, d и i = −1 изоморфна алгебрекватернионов H.120Глава 2.Кольца2.37.

Доказать, что алгебра действительных матриц видаabcd −b a −d c  −c da −b−d −c baизоморфна алгебре кватернионов H.2.38. Пусть (n) — идеал, порожденный целым числом n > 1в кольце многочленов с целыми коэффициентами Z[x]. Доказать, что факторкольцо Z[x]/(n) изоморфно кольцу Zn [x]многочленов над кольцом Zn вычетов по модулю n.2.39. Пусть R и S — кольца с единицей, ϕ : R → S — гомоморфизм.а) Верно ли, что образ единицы кольца R является единицей кольца S?б) Верно ли утверждение а), если гомоморфизм ϕ сюръективен?2.40. Гомоморфизм ϕ : R → S колец R и S с единицами 1 иe называется унитарным, если ϕ(1) = e. Найтиа) все унитарные гомоморфизмы кольца Z и кольца многочленов Z[x] в произвольное кольцо R с единицей;б) все гомоморфизмы кольца Z и кольца многочленов Z[x]в произвольное кольцо R.2.41. Пусть K — поле и f пробегает множество всех многочленов степени 2 из K[x].

Разбить на классы попарно изоморфных колец совокупность колец K[x]/(f ), если а) K = C;б) K = R; в) K = Q; г) K — конечное поле.2.42. Найти с точностью до изоморфизма: а) все кольцас единицей, б) все кольца, у которых аддитивная группа —циклическая порядка n.2.43. Доказать, что любое гомоморфное отображение поляP в кольцо R является или изоморфным отображением нанекоторое поле, входящее в R как подкольцо (так называемоевложение P в R), или отображением всех элементов из P внуль из R.2.44.

Пусть Z — кольцо целых чисел и R — любое кольцо сединицей e. Доказать, что отображение ϕ : n 7→ ne есть гомоморфное отображение Z в R. Найти образ ϕ(Z) кольца Z приэтом гомоморфизме.2.10.Задачи1212.45. Будут ли следующие множества подгруппами аддитивной группы, подкольцами или идеалами указанных нижеколец:а) множество nZ чисел, кратных числу n > 1, в кольце Zцелых чисел;б) множество Z целых чисел в кольце Z[x] многочленов сцелыми коэффициентами;в) множество nZ[x] многочленов, коэффициенты которыхкратны числу n > 1, в кольце Z[x] многочленов с целымикоэффициентами;г) множество N натуральных чисел в кольце Z целых чисел;д) множество Z целых чисел в кольце Z[i] целых гауссовыхчисел, т. е. чисел вида m + ni с целыми m, n ∈ Z;е) множество E чисел a + ai в кольце Z[i] целых гауссовыхчисел;ж) множество C чисел вида x(1 + i) в кольце Z[i] целыхгауссовых чисел, где x пробегает всё кольцо Z[i];з) множество Z[x] многочленов с целыми коэффициентамив кольце Q[x] многочленов над полем Q рациональных чисел;и) множество I многочленов, не содержащих членов с xkдля всех k < n, где n > 1, в кольце Z[x] многочленов с целымикоэффициентами;к) множество I многочленов с четными свободными членами в кольце Z[x] многочленов с целыми коэффициентами;л) множество I многочленов с четными старшими коэффициентами в кольце Z[x] многочленов с целыми коэффициентами.2.46.