Как найти все образующие элементы группы - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

	Образующие циклической группы 24.10.2014, 20:51
09/10/14 53	Задание: Найти все образующие в группе вращений правильного -угольника. Знаю, что по правилам нужно привести попытки решения, но у меня нет идей. Очевидно, что одной из них будет поворот на градусов. Скорее всего, дело в том, что я ещё не совсем разобрался с понятием образующей( надеюсь разобраться на примере задачи ). Так-то нужная теория есть. Образующая группы — элемент, имеющий порядок в группе $G = {a^{0}, a^{1}, ... a^{n-1}}$ . — 24.10.2014, 22:37 — Имеются в виду вращения без переворотов, при которых -угольник переходит в себя. Ответ есть( даже док-во, но оно мне непонятно ): повороты против часовой стрелки на 30, 150, 210 и 330 градусов. Мне не совсем понятно, почему тот же поворот на 60 градусов не будет образующим циклической группы .

ИСН

Re: Образующие циклической группы

24.10.2014, 21:38

Заслуженный участник

18/05/06
13417
с Территории

В любой непонятной ситуации начинай копать. ©
Это что за группа, например? Сколько в ней элементов? Вы их все знаете? Ну вот и проверьте для каждого, является ли он образующим. Некоторые будут, а другие нет.

— менее минуты назад —

Так, поступили обновления. У меня есть ответ на это тоже, но если я его напишу сейчас, Вы его не прочитаете. Выслушайте меня.

RrX	Re: Образующие циклической группы 24.10.2014, 21:44
09/10/14 53	Цитата: Выслушайте меня. Имеете в виду не отвечать пока на первый? Хорошо, слушаю.

ИСН

Re: Образующие циклической группы

24.10.2014, 22:29

Заслуженный участник

18/05/06
13417
с Территории

Так вот, значит, это. Сделайте что я говорю. Тупо проверьте все элементы, вот оно и будет.
Теперь по частностям.

Мне не совсем понятно, почему тот же поворот на 60 градусов не будет образующим циклической группы .

Это что такое за обозначение и что за группа?

RrX	Re: Образующие циклической группы 24.10.2014, 22:46
09/10/14 53	Цитата: Это что такое за обозначение и что за группа? Множество вращений. Поворачиваем на градусов 1 раз, если повернуть второй раз, то возвращаемся в первый элемент цикла. Хотя я понимаю, к чему вы клоните. Подозреваю, что запутался в терминологии «группы вращений».

RrX	Re: Образующие циклической группы 25.10.2014, 00:41
09/10/14 53

Otta

Re: Образующие циклической группы

25.10.2014, 00:53

Заслуженный участник

09/05/13
18/06/23
8903

Ну как-то это совсем очевидно. Если его порядок менее двенадцати, то множество всех его степеней состоит из менее чем двенадцати значений.

RrX	Re: Образующие циклической группы 25.10.2014, 01:14
09/10/14 53	Otta , всё-таки я чего-то не понимаю в теории тут. А почему оно обязательно должно состоять из двенадцати? Двенадцать-то мы взяли для поворота на градусов.

Otta

Re: Образующие циклической группы

25.10.2014, 01:17

Заслуженный участник

09/05/13
18/06/23
8903

А Вы отвлекитесь от своих поворотов и вспомните определения 1) образующего элемента группы, 2) порядка элемента, 3) порядка группы.

RrX	Re: Образующие циклической группы 25.10.2014, 01:28
09/10/14 53	Otta , Порядок элемента — наименьшее число , для которого выполняется $a^{n} = e$ , где — единичный элемент группы. Порядок группы для конечных групп — количество элементов группы. Образующий элемент циклической группы — элемент, для которого выполняется $a^{n} = e$ , порождающий группу $e, a_{1}, a_{2}, ... , a_{n-1}$ . Естественно, для каждой циклической группы порядок будет разным. А группа вращений многоугольника так вообще бесконечна( или нет? )

Otta

Re: Образующие циклической группы

25.10.2014, 01:34

Заслуженный участник

09/05/13
18/06/23
8903

Нет. Группа вращений многоугольника — эта группа таких вращений, которая многоугольник переводит в себя. Различая вершины. Тут у Вас много путаницы. Нарисуйте его и пронумеруйте вершины, что ли.

ИСН

Re: Образующие циклической группы

25.10.2014, 01:50

Заслуженный участник

18/05/06
13417
с Территории

Множество вращений. Поворачиваем на $60$ градусов 1 раз, если повернуть второй раз, то возвращаемся в первый элемент цикла.

Если повернуть второй раз на , то мы окажемся повёрнуты на . Типа того: . Что означают Ваши слова о том, что мы якобы куда-то возвращаемся? Куда это, как это?

RrX	Re: Образующие циклической группы 25.10.2014, 13:08
09/10/14 53	Цитата: Нет. Группа вращений многоугольника — эта группа таких вращений, которая многоугольник переводит в себя. Различая вершины. Тут у Вас много путаницы. Нарисуйте его и пронумеруйте вершины, что ли. Но для группы вращений обязательно, чтобы многоугольник «побывал» на всех своих вершинах? ИСН , хотел написал .

VAL

Re: Образующие циклической группы

25.10.2014, 13:42

Заслуженный участник

27/06/08
4051
Волгоград

Цитата:

Но для группы вращений обязательно, чтобы многоугольник «побывал» на всех своих вершинах?

Это что-то типа «Граф считает все счета на своем счету»

Элементами группы являются не вершины, а повороты многоугольника вокруг центра, при которых многоугольник переходит сам в себя (хотя вершины при этом могут как-то переставляться). При этом два поворота считаются неразличимыми, если они одинаково действуют на все вершины.

Групповой операцией является последовательное выполнение допустимых поворотов.
Тогда нейтральным элементом, очевидно, будет поворот на $0^o$ (или, что то же самое, на угол кратный $360^o$ ).

Возьмите в качестве начального элемента поворот на $60^o$ . Начните последовательно применять этот поворот. Получите ли Вы при этом все элементы исходной группы?

RrX	Re: Образующие циклической группы 25.10.2014, 14:16
09/10/14 53	Цитата: Элементами группы являются не вершины, а повороты многоугольника вокруг центра Это понятно. Цитата: При этом два поворота считаются неразличимыми, если они одинаково действуют на все вершины. А вот этого не знал. Цитата: Получите ли Вы при этом все элементы исходной группы? Нет. Получится циклическая группа, но элементами её будет лишь вращений многоугольника, а не все. Ок, спасибо, необходимость порядка понятна.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Источник

Рассмотрев
некоторые элементарные свойства групп,
перейдем к анализу взаимосвязей между
различными группами. Такой анализ мы
начнем с групп с совпадающими операциями.
Это приводит к понятию подгруппы группы.
Рассмотрим две группы
,.

Определение. Группа
называется подгруппой группы,
если

и групповые операции 
и 
совпадают на множестве
.

Утверждение. Для
того чтобы непустое подмножество
группыбыло подгруппой, необходимо и достаточно
выполнения следующих условий:

если
(единичный
элемент группы принадлежит подгруппе);

(существует
обратный элемент).

Пример 1. Пусть
– аддитивная группа целых чисел. В ней
можно выделить ряд подгрупп:

1. – подгруппу чётных чисел. Легко проверить,
что множествос заданной операцией сложения образует
группу:

сумма
двух чётных чисел – чётное число;
операция
сложения чётных чисел – ассоциативна;
единичным
элементом является нуль – чётное число;
число,
обратное чётному числу – чётное число.

2. – подгруппу чисел кратных;

3. – подгруппу, содержащую только нуль;

4. – подгруппу целых чисел.

Пример 2. Рассмотрим
аддитивную группу рациональных чисел
.
В ней можно выделить следующие подгруппы:

подгруппу
целых чисел
;

все
подгруппы аддитивной группы целых
чисел;

Замечание. Мы
не можем утверждать, что дроби с нечётными
знаменателями образуют подгруппу,
поскольку любую такую дробь можно
представить в виде дроби с чётным
знаменателем: например, дробь
можно записать в виде.
Следовательно, хотя в действительности
мы имеем в виду дроби с нечётными
знаменателями, следует применять лишь
приведённое выше точное название
подгруппы.

Пример 3. Рассмотрим
мультипликативную группу вещественных
чисел, отличных от нуля
.
В ней можно выделить следующие подгруппы:

мультипликативную
группу положительных вещественных
чисел
:
произведение двух положительных
вещественных чисел положительно (и
вещественно), единица – число
положительное, число, обратное
положительному, также положительно;

Замечание. 1.
В любой группе
можно выделить по крайней мере две
подгруппы:

–подгруппу,
содержащую только один единичный
элемент.

–подгруппу,
совпадающую с самой группой.

2.
В общем случае количество выделяемых
подгрупп в группе
зависит от мощности группы.
Еслии множество– конечно, то конечно и количество
выделяемых подгрупп. Если– бесконечно, то количество выделяемых
подгрупп может быть как конечно, так и
бесконечно.

Определение. Подгруппа
называется собственной подгруппой,
если:и.

В
противном случае подгруппа
называется несобственной илитривиальной.
Итак,
– тривиальные подгруппы любой группы.

Минимальная подгруппа. Пусть
произвольное подмножество множествагруппы,
попробуем выбрать подгруппугруппы,
содержащуюи такую, что для всякой подгруппыиз того, чтобудет вытекать включение,
т.е.– минимальная подгруппа, содержащая
множество.

Лемма. Двух
минимальных подгрупп
и,
содержащих,
не существует.

Доказательство. Действительно,
если
и,
где,– две минимальные подгруппы, то из того,
что,
а из того, что,
откуда следует, что.

Системы образующих. Пусть
– некоторая группа, и существует
семейство подгрупп {,}
группы G, т.е..

Теорема. Пересечение
любого семейства подгруппгруппы G является подгруппой.

Доказательство. Пусть
e – единичный элемент группы G, тогда
свойства:

1. ,

2. ,

3. ,

характеризующие
всякую подгруппу, выполнены в
,
т.к. они выполнены в каждой из подгруппв отдельности. Это свойство групп
позволяет находить в любой группе
«наименьшую» или «минимальную»
подгруппу, содержащую заданное множествоэлементов группы G. Рассмотрим множествоэлементов группы G. Наименьшая подгруппа,
которой принадлежат эти элементы,
содержится во всякой другой подгруппе,
включающей в себя помимо элементов
множества S, еще какие-то другие элементы
группы.

Выберем
теперь в качестве семейства
все те подгруппы, которые содержат
данное множество S, тогда их пересечение

(2.20)

и
будет минимальной «наименьшей»
подгруппой, содержащей множество S.

Определение. Подгруппа
,
определяемая в виде (2.20), называется
минимальной подгруппой, содержащей
множество S.

Замечание. На
первый взгляд минимальная подгруппа
задается неконструктивно, поскольку
необходимо перебирать все подгруппы,
содержащие заданное множество S, а затем
найти их пересечение. Необходимости в
этом, однако, нет. Покажем это.

Пусть
.
Поскольку подгруппасодержит элементы a, b, c, то три элемента
этой подгруппы уже известны. Кроме того,
мы знаем, что подгруппепринадлежит единичный элемент e. Из
обобщенной ассоциативности следует,
что вместе с каждым из элементов a, b, c
подгруппепринадлежат и все (целые) степени ее
элементов, а так же все произведения
степеней. Следовательно, подгруппасостоит из элементов вида:

, (2.21)

где
– целые числа.

Замечание. 1. Некоторые
из произведений вида (2.21) могут не
содержать какого либо из элементов {a,
b, c}, но их также можно представить в виде
(2.21), положив соответствующие показатели
степени равными нулю.

2. Единичный
элемент e также можно представить в виде
(2.21), положив все показатели степени
равными нулю.

Вывод. Подгруппа
,
порожденная элементами множества,
состоит из произведений степеней
образующих элементов вида (2.20).

Сформулируем
этот вывод в виде следующего утверждения.

Утверждение. Минимальная
подгруппа
группы G совпадает с множеством T,
состоящим из единичного элемента e и
всевозможных произведений:

,
(2.22)

где:
либо
,
либо.

Доказательство. Если
,следовательнои если

то множество T является подгруппой в G.
С другой стороны, каждая подгруппа H,
содержащая все
,
должна содержать все их обратныеи, стало быть, все их произведения вида.
Поэтомуи T совпадает с пересечением всех этих
подгрупп.

Замечание. Далеко
не все произведения

будут различными элементами подгруппы
,
даже если условиться заменять все
встречающиеся пары,взаимно обратных элементов единичным
элементом. В общем случае привопрос о равенстве произведений

достаточно сложен.

Определение. Если
подгруппа
,
порожденная элементами множества S,
совпадает со всей группой G, то элементы
множества S называютсясистемой
образующих
элементов группы
.

Определение. Если
множество S конечно, то группа
,
порожденная множеством S, называется
конечнопорожденной группой.

Утверждение. Каждая
группа G порождается какой-нибудь
системой образующих S.

Доказательство. Пусть
G – группа, порождённая конечным
множеством S своих элементов. Удаляя из
S «лишние» элементы, которые
записываются в виде произведения
оставшихся и их обратных, мы придем к
минимальной системе образующих
группы G, где.
Это означает, что,
но,
если система образующихполучена изудалением хотя бы одного элемента. Пусть.
Тогда вместопишут также.

Пример 1. Пусть
G – аддитивная группа целых чисел, т.е.
.
Необходимо найти минимальную подгруппугруппы G, порожденную множеством S, если:

1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. .

Решение.
1. Если S={2}, то
;

Если
S={4, 6}, то
.
Ясно, что все элементы подгруппычетные т.к. общий элемент
этой подгруппы
можно представить в виде четного числа.
Естественно,
возникает вопрос, все ли четные числа
содержатся в данной подгруппе? Для
ответа на этот вопрос необходимо
проверить, принадлежит ли число два
этой подгруппе. Если число два принадлежит
подгруппе
,
то и все его степени (т.е. четные числа)
принадлежат этой подгруппе..
ПустьТогда имеем,
следовательно,и подгруппабудет содержать все элементы, порожденные
числом два, т.е. все четные числа.
Если
S={0}, тогда
Если
S={1}, то
Если
S={–1}, то

Пример 2. Пусть
G – мультипликативная группа положительных
вещественных чисел, т.е.
.
Необходимо найти минимальную подгруппугруппы G, порожденную множеством S, если:
1.,
2..

Решение. 1. Если
,
то;

2. Если
S={1}, то

Пример 3. Пусть
– аддитивная группа рациональных чисел.
Необходимо найти минимальную подгруппугруппы G, порожденную множеством.

Решение. В
минимальную подгруппу
должны входить все целые кратные
рационального числа.
Кроме того, подгруппепринадлежит любое целое число четвертых,
восьмых и т.д. Следовательно, эта подгруппа
содержит все дроби, в знаменатель которых
не входят никакие простые числа, кроме
2 (т.е. в знаменателе могут стоять лишь
степени числа 2). Но такие дроби образуют
подгруппу, содержащую все заданные
числа. Следовательно, минимальная
подгруппасостоит из дробей, знаменателями которых
служит степень числа 2.

Соседние файлы в папке ЛЕКЦИИ АиГ

Источник

Группоиды, полугруппы, группы

Рассмотрим алгебры, сигнатуры которых состоят из одной. бинарной операции. Эту операцию будем обозначать точкой (,cdot,) и условно называть в этом случае умножением.

Группоидом называют любую алгебру mathcal{G}=(G,cdot) , сигнатура которой состоит из одной бинарной операции. В группоиде на бинарную операцию нет никаких ограничений.

Группоид (G,cdot) называют полугруппой, если его операция ассоциативна, т.е. для любых элементов a,,b,,c носителя выполняется равенство

acdot (bcdot c)= (acdot b)cdot c,.

Пример 2.6. а. Множество V_3 свободных векторов вместе с операцией векторного умножения является группоидом, но не полугруппой, так как векторное умножение не ассоциативно.

б. Множество натуральных чисел вместе с операцией возведения в степень также будет только группоидом, так как $(a^b)^cne a^{(b^c)}$ .

в. Множество 2^A всех подмножеств множества вместе с операцией setminus (разность множеств) тоже только группоид, поскольку указанная операция не ассоциативна.

г. Множество натуральных чисел mathbb{N} вместе с операцией сложения будет полугруппой.

Группоид mathcal{G}=(G,cdot) называют моноидом, если его операция ассоциативна и относительно операции существует нейтральный элемент. Его называют нейтральным элементом моноида или единицей моноида и обозначают bold{1} .

Таким образом, моноид mathcal{G}=(G,cdot) есть полугруппа, в которой для любого а имеют место равенства acdotbold{1}=bold{1}cdot a=a , где bold{1} — нейтральный элемент (единица) моноида.

Поскольку нейтральный элемент относительно любой бинарной операции является единственным, мы можем рассматривать моноид как алгебру (G,cdot,bold{1} , сигнатура которой состоит из двух операций: бинарной операции {}cdot{} (умножение) и нульарной операции bold{1} (нейтрального элемента). Введение bold{1} в сигнатуру моноида удобно тем, что зачастую при рассмотрении конкретных примеров моноидов целесообразно явно указать нейтральный элемент относительно его операции. Например, алгебра $(2^{Atimes A},circ,operatorname{id}A)$ есть моноид всех бинарных отношений на множестве с операцией композиции бинарных отношений, в котором нейтральным элементом является диагональ множества .

Среди полугрупп выделяют полугруппы с коммутативной операцией — коммутативные полугруппы.

Пример 2.7. а. Множество всех бинарных отношений на произвольном множестве с операцией композиции отношений будет моноидом, нейтральным элементом которого служит диагональ множества , поскольку для любых бинарных отношений rho,tau и sigma на множестве имеют место равенства

rhocirc (taucircsigma)= (rhocirctau)circsigma и operatorname{id}Acircrho= rhocircoperatorname{A}=rho. .

б. Множество всех отображений некоторого множества в себя по операции композиции отображений есть моноид.

Напомним, что композиция отображений снова есть отображение и операция композиции имеет нейтральный элемент: тождественное отображение на себя. Поскольку любое отображение множества в себя можно рассматривать как бинарное отношение на этом множестве, а композицию отображений — как частный случай композиции отношений, требуемые свойства операции композиции отображений выполняются (см. пример 2.7.а). При этом тождественному отображению соответствует диагональ operatorname{id}A множества . Этот моноид называют часто симметрическим моноидом или симметрической полугруппой множества .

в. Алгебра $(mathbb{N}_0,+)$ , где носитель — множество $mathbb{N}_0$ неотрицательных целых чисел, а сигнатура состоит из одной операции сложения, есть коммутативный моноид, в котором нейтральный элемент — это число 0. Действительно, сумма двух натуральных чисел есть натуральное число, операция сложения ассоциативна, коммутативна и для любого натурального числа имеет место равенство n+0=n .

Обратим внимание на то, что свойства нейтральных элементов и нулей ассоциируются со свойствами чисел 1 и 0 относительно операций умножения и сложения чисел.

г. Алгебра (mathbb{Z},cdot) , у которой носителем является множество целых чисел, а сигнатура состоит из одной операции умножения, есть коммутативный моноид. Нейтральным элементом этого моноида является число 1.

д. Пусть — конечное множество, а A^n — множество кортежей длины . На множестве всех кортежей $A^{+}= mathop{cup}limits_{ngeqslant1}A^n$ определим операцию соединения (конкатенации) кортежей следующим образом:

(a_1,ldots,a_m)cdot (b_1,ldots,b_k)= (a_1,ldots,a_m,, b_1,ldots,b_k).

Можно видеть, что введенная операция ассоциативна, но не имеет нейтрального элемента. Таким образом, построена полугруппа, но не моноид.

Чтобы превратить эту полугруппу в моноид, расширим носитель полугруппы, введя понятие нулевой декартовой степени A^0 произвольного множества . Под A^0 понимают одноэлементное множество {lambda} , единственный элемент которого называют пустым кортежем. Такое определение множества A^0 объясняется следующим: мощность положительной декартовой степени A^n конечного множества равна |A|^n . При n=0 должно быть |A^0|=|A|^0=1 , откуда заключаем, что A^0 — одноэлементное множество.

Обозначив $A^{ast}=A^{0}cup A^{+}$ , по определению для любого $xin A^{ast}$ полагаем xcdotlambda= lambdacdot x=x . В результате получим алгебру $(A^{ast},cdot)$ , являющуюся моноидом, с нейтральным элементом lambda . Его называют свободным моноидом, порожденным множеством .

Полурешетка в абстрактной алгебре

Полугруппу, операция которой коммутативна и идемпотентна, называют полурешеткой.

Пример 2.8. а. Алгебры (2^A,cup),, (2^A,cap) (для произвольного фиксированного множества ) являются полурешетками, поскольку операции cup и cap ассоциативны, коммутативны и идемпотентны.

б. Алгебра (mathbb{N},operatorname{lcm}) , где — операция вычисления наименьшего общего кратного двух чисел, является полурешеткой. Покажем, что указанная операция ассоциативна. Рассмотрим произвольные натуральные числа m,,n и . Каждое из этих чисел можно разложить на произведение простых чисел и представить в виде

$m=p_1^{alpha_1}cdot ldotscdot p_k^{alpha_k},qquad n=p_1^{beta_1}cdot ldotscdot p_k^{beta_k},qquad l=p_1^{gamma_1}cdot ldotscdot p_k^{gamma_k},$

где набор простых чисел p_1,ldots,p_k выбран одинаковым для всех трех чисел, а некоторые из показателей alpha_i,,beta_i и $gamma_i,~ i=overline{1,k}$ могут быть равными нулю. Тогда для чисел тип имеем

$operatorname{lcm}(n,m)= p_1^{max(alpha_1,beta_1)}cdot ldotscdot p_{k}^{max(alpha_k, beta_k)}.$

Таким образом, ассоциативность операции operatorname{lcm} сводится к ассоциативности операции max вычисления наибольшего из двух натуральных чисел. Ассоциативность последней вытекает из очевидного тождества max(a,max(b,c))= max(max(a,b),c) , верного для любых чисел a,,b и .

Поскольку operatorname{lcm}(n,m)= operatorname{lcm}(m,n) , операция коммутативна, а так как для любого натурального числа справедливо равенство operatorname{lcm}(n.n)=n , то операция идемпотентна.

в. Алгебра (mathbb{N},gcd) , где gcd — операция вычисления наибольшего общего делителя двух целых чисел, также является полурешеткой.

Способы задания группы как алгебры

Группоид mathcal{G}=(G,cdot) называют группой, если операция ассоциативна, существует нейтральный элемент (единица) bold{1} относительно умножения и для каждого xin G существует такой элемент x'in G , называемый обратным к , что xcdot x'=x'cdot x=bold{1} .

Таким образом, группа — это алгебра mathcal{G}=(G,cdot) , в которой для всех a,b,cin G выполняется равенство acdot (bcdot c)=(acdot b)cdot c , существует единственный элемент bold{1}in G , такой, что acdotbold{1}= bold{1}cdot a=a для любого ain G , и для каждого ain G существует такой элемент , что acdot a'=a'cdot a=bold{1} . Короче говоря, группа — это моноид, в котором для каждого элемента существует обратный элемент.

Отметим, что задать группу как алгебру можно несколькими способами в зависимости от состава операций, включенных в сигнатуру.

Во-первых, в сигнатуру может быть включена единственная бинарная операция. В этом случае пишут mathcal{G}=(G,cdot) , а все свойства операции описывают дополнительно.

Во-вторых, в сигнатуру может быть включена нульарная операция — нейтральный элемент группы. В этом случае пишут mathcal{G}=(G,cdot,bold{1}) и дополнительно указывают существование обратного элемента относительно бинарной операции для всех элементов носителя.

Третий способ задания группы как алгебры вытекает из следующей теоремы.

Теорема 2.1. В любой группе mathcal{G}=(G,cdot) для каждого ain G элемент, обратный к , единственный.

Пусть в группе (G,cdot) с единицей bold{1} для некоторого существуют два элемента и a'' , обратных к . Тогда a'=a'cdotbold{1} в силу свойства единицы. Так как bold{1}=acdot a'' , то a'=a'cdot (acdot a'') . Используя ассоциативность и учитывая, что — элемент, обратный к а, получим

a'cdot (acdot a'')= (a'cdot a)cdot a''= bold{1}cdot a''=a''.

Единственность для каждого элемента обратного элемента группы mathcal{G} позволяет обозначать его как $a^{-1}$ и операцию $phantom{A}^{-1}colon amapsto a^{-1}$ вычисления (или взятия) обратного элемента ввести в сигнатуру группы. Таким образом, группу можно рассматривать и как алгебру $mathcal{G}=(G,cdot,phantom{A}^{-1},bold{1})$ , сигнатура которой состоит из бинарной операции умножения, унарной операции взятия обратного элемента и нульарной операции — единицы группы (нейтрального элемента).

В дальнейшем в зависимости от контекста будем использовать все указанные варианты задания группы.

Среди групп также выделяют те, бинарная операция в которых коммутативна, — коммутативные (абелевы) группы. В коммутативных полугруппах и группах бинарную операцию часто обозначают знаком {}+ и называют сложением.

Уместно здесь рассмотреть вопрос о двух формах записи бинарной операции группы. В аддитивной записи операции ее обозначают знаком {}+ , нейтральный элемент — знаком bold{0} , а элемент, обратный к относительно операции {}+ , записывают в виде , называя его при этом противоположным к .

В мультипликативной записи операцию обозначают знаком cdot , нейтральный элемент — знаком bold{1} , а элемент, обратный к , записывают в виде $a^{-1}$ . В этом случае бинарную операцию группы часто называют умножением (также умножением группы или групповым умножением), а элемент acdot b , как правило записываемый в виде , — произведением элементов и .

В алгебраической литературе сложилась такая традиция, что аддитивная запись используется преимущественно для коммутативных групп. Поскольку одним из самых простых, распространенных и вместе с тем важных примеров коммутативной группы служит аддитивная группа целых чисел, то обозначения и термины для произвольной аддитивно записываемой коммутативной группы «скопированы» с терминов для группы (mathbb{Z},+,0) . Аналогично мультипликативная запись произвольной группы » позаимствована» у мультипликативных групп рациональных и вещественных чисел.

Пример 2.9. а. Алгебра (mathbb{Z},+) — коммутативная группа, поскольку на множестве целых чисел операция сложения ассоциативна и коммутативна, число 0 есть нейтральный элемент, и для каждого целого числа существует обратный по сложению элемент, а именно число , противоположное . Рассматриваемую группу называют аддитивной группой целых чисел.

б. Множество всех биекций некоторого множества на себя с операцией композиции отображений есть группа.

Это следует из того, что композиция двух биекций есть биекция, операция композиции ассоциативна, ее нейтральный элемент — тождественное отображение operatorname{id}A — есть биекция, для всякой биекций fcolon Ato A отображение $f^{-1}$ , обратное биекций , определено, является биекцией и выполнены равенства

$fcirc f^{-1}= f^{-1}circ f= operatorname{id}A,.$

Эту группу называют симметрической группой множества , а в том случае, когда множество конечно, — группой подстановок множества . Если множество состоит из элементов, группу подстановок этого множества называют также симметрической группой степени или группой подстановок n-й степени и обозначают S_n (см. пример 2.10).

в. Алгебры (mathbb{Q}setminus {0},cdot) и (mathbb{R}setminus {0}, cdot) есть коммутативные группы. Их называют мультипликативной группой рациональных чисел и мультипликативной группой действительных чисел соответственно. В каждой из них число 1 есть нейтральный элемент (единица) группы, а обратный к числу по операции умножения элемент $x^{-1}$ есть число $x^{-1}=1/x$ .

г. Для произвольно фиксированного множества рассмотрим алгебру (2^A,triangle) , где — операция вычисления симметрической разности множеств. Операция ассоциативна и коммутативна. Для любого Xsubseteq A имеем X,triangle,varnothing=X . Кроме того, X=Y тогда и только тогда, когда X,triangle,Y=varnothing . Поэтому алгебра (2^A,triangle) является абелевой группой, в которой каждый элемент обратен сам себе, а нейтральный элемент — пустое множество.

д. Рассмотрим алгебру $mathbb{Z}_{k}^{+}=({0,1,ldots,k-1},oplus_k)$ , в которой операция oplus_k (сложения по модулю ) определяется так: для любых двух и число $moplus_{k}n$ , называемое суммой чисел и по модулю , равно остатку от деления арифметической суммы m+n на . Можно проверить, что эта алгебра является коммутативной группой. Ее называют аддитивной группой вычетов по модулю . Нейтральным элементом служит число 0, а обратным к числу будет k-n , поскольку $noplus_{k}(k-n)=0$ .

е. Множество всех невырожденных (т.е. имеющих ненулевой определитель) числовых квадратных матриц порядка с операцией умножения матриц является группой. Действительно, произведение двух невырожденных матриц снова есть невырожденная матрица; единичная матрица порядка невырожденная, и матрица, обратная к невырожденной, также является невырожденной. Эту группу будем обозначать $mathcal{M}_n$ .

Из рассмотренных четырех видов алгебр — группоида, полугруппы, моноида и группы — последняя обладает наиболее интересными свойствами. Изучим более подробно операцию вычисления обратного элемента.

Теорема 2.2. Пусть mathcal{G}=(G,cdot) — группа. Для любых элементов a,bin G верны тождества

$(acdot b)^{-1}= b^{-1}cdot a^{-1},qquad (a^{-1})^{-1}=a,.$

В силу ассоциативности умножения группы имеем

$(acdot b)cdot (b^{-1}cdot a^{-1})= bigl((acdot b)cdot b^{-1}bigr)cdot a^{-1}.$

Используя еще раз ассоциативность, определение элемента, обратного к данному, и свойства единицы, получим

$bigl((acdot b)cdot b^{-1}bigr)cdot a^{-1}= acdot (bcdot b^{-1})cdot a^{-1}= acdot a^{-1}= bold{1},.$

Итак, $(acdot b)cdot (b^{-1}cdot a^{-1})=bold{1}$ . Точно так же доказывается, что $(b^{-1}cdot a^{-1})(acdot b)=bold{1}$ . Поэтому элемент $b^{-1}cdot a^{-1}$ является обратным к элементу acdot b . Согласно теореме 2.1, обратный элемент единственный, и поэтому $(acdot b)^{-1}=b^{-1}cdot a^{-1}$ . Второе из доказываемых равенств следует непосредственно из определения элемента, обратного к данному. Действительно, определение элемента $a^{-1}$ , обратного к , равенством $a^{-1}cdot a=acdot a^{-1}=bold{1}$ можно рассматривать как определение $(a^{-1})^{-1}$ — обратного элемента к $a^{-1}$ , которым является, согласно этим равенствам, элемент . В силу теоремы 2.1 он единственный, то есть $a=(a^{-1})^{-1}$ .

Таким образом, мы установили, что элемент, обратный к произведению acdot b , равен $b^{-1}cdot a^{-1}$ , а элемент, обратный к элементу, обратному к , равен .

Теорема 2.3. В любой группе mathcal{G}=(G,cdot,bold{1}) справедливы левый и правый законы сокращения: если acdot x=acdot y , то x=y , и если xcdot a=ycdot a , то x=y .

Пусть acdot x=acdot y . Умножая обе части этого равенства слева на элемент $a^{-1}$ , получаем

$a^{-1}cdot (acdot x)= a^{-1}cdot (acdot y).$

В силу ассоциативности групповой операции последнее равенство можно записать так:

$(a^{-1}cdot a)cdot x= (a^{-1}cdot a)cdot y,.$

Поскольку $a^{-1}cdot a=bold{1}$ , то bold{1}cdot x=bold{1}cdot y , откуда x=y . Тем самым доказан левый закон сокращения. Аналогично доказывается и правый закон.

Пусть mathcal{G}=(G,cdot,bold{1}) — группа, и — фиксированные элементы . Рассмотрим задачу решения уравнений

acdot x=b,

(2.1)

xcdot a=b

(2.2)

в группе mathcal{G} , т.е. поиска всех таких элементов xin G , для которых уравнение (2.1) (или (2.2)) превращается в тождество.

Теорема 2.4. В любой группе mathcal{G} уравнения вида (2.1) и (2.2) имеют решения, и притом единственные.

Покажем, что $x=a^{-1}cdot b$ есть решение (2.1). Действительно, $acdot (a^{-1}cdot b)= (acdot a^{-1}cdot b)=b$ .

Докажем единственность решения. Пусть для фиксированных и и некоторого выполнено равенство acdot x=b . В группе для любого существует и однозначно определен элемент $a^{-1}$ , обратный к . Умножив на него обе части равенства, получим $a^{-1}cdot (acdot x)= a^{-1}cdot b$ . В силу ассоциативности преобразуем последнее равенство к виду $(a^{-1}cdot a)cdot x=a^{-1}cdot b$ . Поскольку $a^{-1}cdot a=bold{1}$ , то $bold{1}cdot x=a^{-1}cdot b$ , откуда $x=a^{-1}cdot b$ . Это решение единственное в силу единственности обратного элемента.

Аналогично из xcdot a=b получаем $x=bcdot a^{-1}$ , и это решение также единственное.

Замечание. При использовании аддитивной записи операции для коммутативной группы mathcal{G}=(G,+,bold{0}) оба написанных выше уравнения сводятся к одному:

a+x=b,,

а его решение есть x=b+(-a) . Правую часть этого равенства в коммутативной группе называют разностью элементов и и обозначают b-a . Саму же операцию, сопоставляющую упорядоченной паре (a,b) разность b-a , называют операцией вычитания. С учетом введенных обозначений решение уравнения в коммутативной группе можно записать так: x=b-a .

В случае коммутативной группы при употреблении для бинарной операции мультипликативной записи решения обоих уравнений имеют вид $x=bcdot a^{-1}$ . Выражение $bcdot a^{-1}$ в коммутативной группе называют частным от деления на и обозначают $tfrac{b}{a}$ (или b/a ), а саму операцию называют операцией деления. Решение уравнения в этом случае записывают в виде $x=tfrac{b}{a}$ (или x=b/a ).

Пример 2.10. Рассмотрим группу подстановок n-й степени S_n всех биекций n-элементного множества {1,2,ldots,n} . Произвольную биекцию sigma из S_n обычно записывают в виде

$begin{pmatrix}1&2& cdots &n\ alpha_1& alpha_2& cdots& alpha_n end{pmatrix}!,$

обозначая тем самым, что образ 1 (при отображении sigma ) есть alpha_1 , образ 2 есть alpha_2,ldots образ есть alpha_n . Биекцию множества {1,ldots,n} на себя называют подстановкой этого множества. Подстановку, которая отображает alpha_1 в alpha_2 , alpha_2 в alpha_3,ldots, , $alpha_{k-1}$ в $alpha_{k}$ , а $alpha_{k}$ в $alpha_{1}$ , где 1leqslant alpha_1,alpha_2, ldots,alpha_k leqslant n и все alpha_j попарно различны, а все элементы, отличные от alpha_1,ldots,alpha_k , отображаются сами в себя, называют циклом длины и записывают ее в виде (alpha_1,alpha_2, ldots,alpha_k) . Например, подстановку из группы S_4

$begin{pmatrix}1&2&3&4\3&2&4&1end{pmatrix}$ можно записать в виде begin{pmatrix}1&3&4end{pmatrix} .

Цикл длины 2 называют транспозицией. Транспозиция представляет такое отображение множества {1,ldots,n} в себя, при котором два элемента меняются местами, а остальные остаются на своих местах. Так, полная запись транспозиции (3~~4) в S_4 будет иметь вид

$begin{pmatrix}1&2&3&4\ 1&2&4&3end{pmatrix}!.$

Подстановка, обратная подстановке $begin{pmatrix}1&2&cdots&n\ alpha_1& alpha_2& cdots& alpha_n end{pmatrix}$ , есть подстановка, которая отображает alpha_1 в 1, alpha_2 в 2, ldots~ alpha_n в . Отметим, что при записи обратной подстановки элементы первой строки тем не менее записываются в обычном порядке: 1,ldots,n .

В группе S_3 решим следующее уравнение:

$begin{pmatrix}1&2&3\3&1&1end{pmatrix}! circ Xcirc! begin{pmatrix}1&2&3\ 2&3&1end{pmatrix}= begin{pmatrix}1&2&3\ 3&2&1 end{pmatrix}!.$

Умножив обе части уравнения слева на

$begin{pmatrix}1&2&3\3&1&2end{pmatrix}^{-1}= begin{pmatrix}1&2&3\ 2&3&1 end{pmatrix}$ , получим $Xcirc! begin{pmatrix}1&2&3\ 2&3&1end{pmatrix}= begin{pmatrix}1&2&3\ 2&1&3end{pmatrix}$ .

Далее, умножив полученное уравнение справа на

$begin{pmatrix}1&2&3\ 2&3&1end{pmatrix}^{-1}= begin{pmatrix}1&2&3\ 3&1&2 end{pmatrix}$ окончательно получим $X=begin{pmatrix}1&2&3\ 1&3&2 end{pmatrix}= begin{pmatrix}2&3 end{pmatrix}$ .

Степень элемента в полугруппе

В полугруппе в общем случае законы сокращения и разрешимость уравнений типа (2.1) и (2.2) могут не иметь места. Например, в полугруппе квадратных матриц фиксированного порядка с операцией умножения матриц из матричного равенства AX=AY , вообще говоря, не следует, что X=Y . Это можно утверждать лишь при дополнительном предположении, что det{A}ne0 . Можно доказать, что в свободном моноиде, порожденном некоторым конечным множеством, оба закона сокращения справедливы, но никаких обратных элементов не существует.

В полугруппе можно умножать любой элемент сам на себя, причем в силу ассоциативности операции полугруппы элемент $overbrace{acdot acdotldotscdot a}^{n~text{times}}$ определен однозначно. Этот элемент называют n-й степенью элемента и обозначают a^n . При этом

$a^1=a,quad a^n=acdot a^{n-1},quad n=2,3,ldots$

В моноиде вводят также нулевую степень элемента, полагая $a^0=bold{1}$ .

Если (A,cdot,bold{1}) — группа, то можно ввести и отрицательные степени элемента согласно равенству

$a^{-n}=(a^{-1})^n,quad n=1,2,ldots$

Без доказательства сформулируем утверждения о свойствах степеней.

Теорема 2.5. Для любой полугруппы $a^mcdot a^n= a^{m+n},~ (a^m)^n= a^{mn}~ (m,nin mathbb{N})$ .

Теорема 2.6. Для любой группы $a^{-n}=(a^n)^{-1},~ a^mcdot a^n=a^{m+n},~ (a^m)^n=a^{nm}~ (m,nin mathbb{Z})$ .

Определение 2.4. Полугруппу (в частности, группу) (A,cdot) называют циклической, если существует такой элемент , что любой элемент полугруппы является некоторой (целой) степенью элемента . Элемент называют образующим элементом полугруппы (группы).

Пример 2.11. а. Полугруппа $(mathbb{N}_0,+,0)$ циклическая, с образующим элементом 1. При аддитивной записи бинарной операции возведение элемента в положительную степень есть сумма этих элементов, и это записывают ncdot a (или , без знака умножения).

б. Группа (mathbb{Z},+,0) также циклическая. Для нее образующими элементами могут быть 1 и –1. Рассмотрим элемент 1. Тогда

$begin{gathered}0cdot1=0,quad 1= underbrace{1+ldots+1}_{n~ text{times}}= n~(n>0), quad (-1)cdot1=-1,\ (-n)cdot1= ncdot(-1)= underbrace{(-1)+ldots+(-1)}_{n~ text{times}}=-n~ (n>0). end{gathered}$

Если в качестве образующего взять элемент –1, то 0cdot(-1)=0 , отрицательные целые числа получаются как положительные «степени» –1, а положительные — как отрицательные «степени» –1. Например, (-2)cdot(-1)=2,~ 4cdot (-1)=-4 .

в. Группа $(mathbb{Z}_3,oplus_3,0)$ вычетов по модулю 3 циклическая, причем любой ее ненулевой элемент является образующим.

Действительно, для 1 имеем 1oplus_31=2,~ 1oplus_3 1oplus_3 1=0 , а для 2 получим

2^2=2oplus_3 2=1,qquad 2oplus_3 2oplus_3 2=0.

Строение конечных циклических групп

Изучим подробнее строение конечных циклических групп, используя мультипликативную запись бинарной операции. Напомним, что конечная алгебра {конечная группа, в частности) — это алгебра, носитель которой — конечное множество.

Порядком конечной группы называют количество элементов в этой группе.

Так, например, аддитивная группа вычетов по модулю имеет порядок . Симметрическая группа степени , т.е. группа подстановок S_n , имеет порядок !. Мультипликативная группа вычетов по модулю , где — простое число, имеет порядок p-1 .

Порядок элемента а циклической группы — это наименьшее положительное , такое, что $a^n=bold{1}$ .

Теорема 2.7. Порядок образующего элемента конечной циклической группы равен порядку самой группы.

Пусть mathcal{G}=(G,cdot,bold{1}) — конечная циклическая группа с образующим элементом и n>0 — порядок этого элемента.

Тогда все степени $a^0=bold{1}, a^1=a,ldots,a^{n-1}$ попарно различны. Действительно, если

a^k=a^l,~ 0<l<k<n , то $a^{k-l}= a^{k+(-l)}= a^ka^l= a^la^{-l}= a^{l-l}= bold{1}$ .

Поскольку k-l<n , получено противоречие с выбором как порядка элемента (ибо найдена степень, меньшая , при возведении в которую элемента получится единица).

Осталось доказать, что любая степень элемента принадлежит множеству ${bold{1},a, ldots, a^{n-1}}$ . Для любого целого существуют также целые n,k , такие, что m=kn+q , где — целое и 0leqslant q<n . Тогда

$a^m= a^{kn+q}= a^{kn}cdot a^q= bold{1}cdot a^q= a^qin {bold{1},a, ldots, a^{n-1}}.$

Поскольку каждый элемент группы mathcal{G} есть некоторая степень элемента , то $G={bold{1},a, ldots, a^{n-1}}$ и порядок группы равен .

Из доказанной теоремы следует, что в бесконечной циклической группе не существует такого n>0 , что для образующего элемента группы выполняется равенство $a^n=bold{1}$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник