Как найти все остовы графа

Привет, Хабр!
В свободное от учебы время пишу статьи, которых мне не хватало несколько лет назад.

Формальная постановка задачи

Имеется следующий неориентированный взвешенный граф. Назовем остовным деревом подграф, содержащий все вершины исходного графа, который является деревом. И задача состоит в том, чтобы найти такое остовное дерево, сумма рёбер которого минимальна.

Неформальная постановка задачи

Представьте исходный граф без рёбер, теперь вам нужно как-то соединить все вершины между собой, чтобы можно было бы попасть из любой вершины в другую, не имея при этом циклов в получившемся графе с минимально возможной суммой весов включенных рёбер.

Алгоритм Краскала

Механизм, по которому работает данный алгоритм, очень прост. На входе имеется пустой подграф, который и будем достраивать до потенциального минимального остовного дерева. Будем рассматривать только связные графы, в другом случае при применении алгоритма Краскала мы будем получать не минимальное остовное дерево, а просто остовной лес.

• Вначале мы производим сортировку рёбер по неубыванию по их весам.

• Добавляем i-ое ребро в наш подграф только в том случае, если данное ребро соединяет две разные компоненты связности, одним из которых является наш подграф. То есть, на каждом шаге добавляется минимальное по весу ребро, один конец которого содержится в нашем подграфе, а другой — еще нет.

• Алгоритм завершит свою работу после того, как множество вершин нашего подграфа совпадет с множеством вершин исходного графа.

Данный алгоритм называется жадным из-за того, что мы на каждом шаге пытаемся найти оптимальный вариант, который приведет к оптимальному решению в целом.

Разбор конкретного примера по шагам

При добавлении в наше остовное дерево ребра A <--> C, как вы можете заметить, образовывается цикл, поэтому мы просто пропускаем данное ребро.

По итогу у нас образовывается следующий подграф, и как вы заметили, мы соединили все вершины ребрами с минимально-возможными весами, а значит, нашли минимальное остовное дерево для нашего исходного графа.

Проводим проверку с помощью встроенного алгоритма для нахождения MST на graphonline, и видим, что подграфы идентичны.
И да, из-за того, что при равенстве весов рёбер мы можем выбрать любое из них, конечные подграфы, являющиеся минимальными остовными деревьями, могут различаться с точностью до некоторых рёбер.

Суммарный вес искомого MST равен 33.

Реализация

Псевдокод

vector<int> parent, rank;

void make_set(int v) {
    parent[v] = v;
    rank[v] = 0;
}

int find_set(int v) {
    if (v == parent[v])
        return v;
    return parent[v] = find_set(parent[v]);
}

void union_sets(int a, int b) {
    a = find_set(a);
    b = find_set(b);
    if (a != b) {
        if (rank[a] < rank[b])
            swap(a, b);
        parent[b] = a;
        if (rank[a] == rank[b])
            rank[a]++;
    }
}

struct Edge {
    int u, v, weight;
    bool operator<(Edge const& other) {
        return weight < other.weight;
    }
};

int n;
vector<Edge> edges;

int cost = 0;
vector<Edge> result;
parent.resize(n);
rank.resize(n);
for (int i = 0; i < n; i++)
    make_set(i);

sort(edges.begin(), edges.end());

for (Edge e : edges) {
    if (find_set(e.u) != find_set(e.v)) {
        cost += e.weight;
        result.push_back(e);
        union_sets(e.u, e.v);
    }
}

Алгоритм Прима

Суть самого алгоритма Прима тоже сводится к жадному перебору рёбер, но уже из определенного множества. На входе так же имеется пустой подграф, который и будем достраивать до потенциального минимального остовного дерева.

• Изначально наш подграф состоит из одной любой вершины исходного графа.

• Затем из рёбер инцидентных этой вершине, выбирается такое минимальное ребро, которое связала бы две абсолютно разные компоненты связности, одной из которых и является наш подграф. То есть, как только у нас появляется возможность добавить новую вершину в наш подграф, мы тут же включаем ее по минимальмально возможному весу.

• Продолжаем выполнять предыдущий шаг до тех пор, пока не найдем искомое MST.

Разбор конкретного примера

Выбираем чисто случайно вершину E,далее рассмотрим все ребра исходящие из нее, включаем в наше остовное дерево ребро C <--> E; w = 9, так как данное ребро имеет минимальный вес из всех рёбер инцидентных множеству вершин нашего подграфа. Имеем следующее:

Теперь выборка производится из рёбер:
D <--> C; w = 6
A <--> C; w = 8
F <--> E; w = 10
B <--> C; w = 11
D <--> E; w = 11

То есть, в данный момент, мы знаем только о двух вершинах, соответственно, знаем о всех ребрах, исходящих из них. Про связи между другими вершинами, которые не включены в наш подграф, мы ничего не знаем, поэтому они на этом шаге не рассматриваются.

Добавляем в наш подграф реброD <--> C и по аналогии добаляем ребро D <--> B. Получаем следующее:

Давайте добьем наш подграф до минимального остовного дерева. Вы, наверное, уже догадались о том, по каким ребрам мы будем связывать наши оставшиеся вершины:
A и F.

Проводим последние штрихи и получили тот же самый подграф в качестве минимального остовного дерева. Но как мы раннее говорили, сам подграф ничего не решает, главное тут — множество рёбер, которые включены в наше остовное дерево.

Суммарный вес искомого MST равен 33.

Источники

Инструмент для работы с графами
Лекция Павла Маврина

Насколько подробно я расписываю? (Учтите, что приоритетом данных статей является разжевывание)

Проголосовали 35 пользователей.

Воздержались 6 пользователей.

Дерево
– это граф без циклов.

Понятие дерева
широко используется во многих областях
математики и информатики. Например, как
инструмент при вычислениях, как удобный
способ хранения данных, способ сортировки
или поиска данных.

Достаточно
развитое генеалогическое дерево образует
дерево.

Типичное
частичное организационное дерево для
университета.

Если
дерево имеет хотя бы одно ребро, оно
имеет две вершины со степенью 1. Вершины
со степенью 1 называются листьями.
Другие вершины называются внутренними
вершинами.

Предположим, что
дерево представляет физический объект,
подвижный в вершинах, и подвесим дерево
за одну из его вершин:

Если
подвесить за вершину V3
или V4

Вершина
в верхней части называется корнем
дерева, если корень определен, то дерево
называется корневым.
При необходимости корневое дерево Т
можно заменить на ориентированное
корневое дерево Т’,
порожденное корневым деревом Т.

Если корень выбран,
уровень
вершины V
определяется длиной единственного пути
из корня в вершину V.
Высотой
дерева называется длина самого длинного
пути от корня дерева до листа.

Если рассматривается
корневое
ориентированное дерево Т’,
порожденное данным корневым деревом
Т, тогда вершина u
называется родителем
вершины v;
a v
называется сыном вершины u,
если существует ориентированное ребро
из u
в v.

Если u
— родитель v
и v1,
тогда v и
v1
называются братьями.

Если существует
ориентированный путь из вершины u
в вершину v,
тогда u
называется предком
вершины v,
a v
называется потомком
вершины u.

Если наибольшая
из степеней выхода для вершин дерева
равна m,
тогда дерево называется m
— арным
деревом.

В частном случае,
когда m
= 2, дерево называется бинарным
деревом.

В каждом бинарном
дереве каждый сын родителя обозначается
либо как левый сын, либо как правый сын
(но не то и другое одновременно).

Связный
граф G(V,E),
не имеющий циклов, называется деревом.

ТЕОРЕМА (основные свойства
деревьев):

Пусть граф G(V,E)
имеет n
вершин. Тогда следующие утверждения
эквивалентны:

1. G
   является деревом;

2. G
   не содержит циклов и имеет n-1
   рёбер;

3. G
   связен и имеет n-1
   рёбер;

4. G
   связен, но удаление »
   ребра нарушает связность;

5. »
   две вершины графа G
   соединены ровно одним путём;

6. G
   не имеет циклов, но добавление »
   ребра порождает ровно один цикл.
   

Ориентированное
дерево
представляет собой ориентированный
граф без циклов, в котором полустепень
захода каждой вершины (за исключением
одной, например v₁)
не больше 1, а полустепень захода вершины
v₁
(называемой также корнем)
равна нулю.

Вершину v
ордерева называют потомком
вершины u,
если $
путь из u
в v.
В этом же случае вершину u
называют предком
вершины v.

Вершину, не имеющую
потомков, называют листом.

Высота ордерева
– это наибольшая длина пути из корня
в лист.

Уровень вершины
ордерева – длина пути из корня в эту
вершину.

Ордерево называют
бинарным,
если полустепень исхода любой его
вершины не превосходит 2.

Пусть задан
неориентированный граф.

Остовным деревом
(остовом)
связного графа называется любой его
остовный подграф, являющийся деревом.

Граф и два его
остовных дерева (удаленные ребра
показаны пунктиром).

Задачи о кратчайших
расстояниях на графах.

1. Построение
   минимального остовного дерева
   (кратчайшей связывающей сети) –
   соединение всех узлов сети с помощью
   путей наименьшей длины.

2. Задача
   о нахождении дерева кратчайших
   расстояний – нахождение кратчайшего
   пути из одной вершины в любую другую.

3. Построение
   матрицы кратчайших расстояний –
   нахождение кратчайших путей для любой
   пары вершин.

Необходимо
проложить линии коммуникаций (дороги,
линии связи, электропередач и т.п.) между
n
заданными «точечными» объектами,
при условии:

во-первых,
известны «расстояния» между каждой
парой объектов (это может быть
геометрическое расстояние или стоимость
прокладки коммуникаций между ними),

во-вторых,
объекты могут быть связаны как
непосредственно, так и с участием
произвольного количества промежуточных
объектов.

При допущении,
что разветвления возможны только в
этих же n
объектах, задача сводится к нахождению
кратчайшего остовного дерева (SST —
shortest spanning tree, или MST — minimal spanning tree) во
взвешенном графе, вершины которого
соответствуют заданным объектам, а
веса ребер равны «расстояниям»
между ними.

Определение.
Вес
остовного
дерева взвешенного графа G
равен сумме весов, приписанных ребрам
остовного дерева. Будем обозначать
(T).

Минимальным
остовным деревом
(МОД) называется такое остовное дерево
графа G,
что вес T
меньше или равен весу любого другого
остовного дерева графа G.
Вес минимального остовного дерева
будем обозначать _min(T).

Задача 1:
найти кратчайшее остовное дерево
(минимальный покрывающий остов)
взвешенного графа.

Пусть дан
неориентированный связный граф со
взвешенными ребрами. Вес ребра (x_i,x_j)
обозначим c_ij.
Из всех остовов графа необходимо найти
один, у которого сумма весов на ребрах
наименьшая.

Стоимость остовного
дерева вычисляется как сумма стоимостей
всех рёбер, входящих в это дерево.

Построение остова
графа G,
имеющего наименьший вес, имеет широкое
применение при решении некоторого
класса задач прикладного характера.

Например:

Пусть, например,
G=(V,
E,
)
служит моделью железнодорожной сети,
соединяющей пункты v₁,
v₂,
…, v_nV,
а (v_i,
v_j)
– расстояние между пунктами v_i
и v_j.

Требуется проложить
сеть телеграфных линий вдоль
железнодорожной сети так, чтобы все
пункты v₁,
v₂,
…, v_n
были связаны между собой телеграфной
сетью, протяженность которой была бы
наименьшей.

Рассмотрим два
способа построения минимального
остовного дерева взвешенного графа:
алгоритм Крускала и алгоритм Прима.

Алгоритм
Крускала:

1) Выбрать в графе
G
ребро e
минимального веса, не принадлежащее
множеству E
и такое, что его добавление в E
не создает цикл в дереве T.

2) Добавить это
ребро во множество ребер E.

3) Продолжить,
пока имеются ребра, обладающие указанными
свойствами.

Пример.
Для данного взвешенного графа найти
минимальное корневое остовное дерево,
используя алгоритм Крускала. Определить
высоту построенного дерева.

Алгоритм
Крускала.

Выбираем
ребро с минимальным весом. Это ребро,
(,
)
с весом, равным 4.

Пусть
вершина

будет корнем дерева. Далее выбираем
ребра, инцидентные вершинам
,

и имеющие минимальный вес.

Это
ребро (,
)
с весом 5. Затем к вершине

присоединяем ребро (,)
с весом 7.

Далее,
добавляем ребро (,
)
с весом 7 и ребро (,)
с весом 6.

Минимальный
вес построенного дерева равен:
_min(T)=4+5+7+7+6=29.

const int maxn = 1e5, inf = 1e9;
vector from, to, weight;
bool used[maxn]

// считать все рёбра в массивы

used[0] = 1;
for (int i = 0; i < n-1; i++) {
    int opt_w = inf, opt_from, opt_to;
    for (int j = 0; j < m; j++)
        if (opt_w > weight[j] && used[from[j]] && !used[to[j]])
            opt_w = weight[j], opt_from = from[j], opt_to = to[j]
    used[opt_to] = 1;
    cout << opt_from << " " << opt_to << endl;
}

const int maxn = 1e5, inf = 1e9;
bool used[maxn];
vector< pair<int, int> > g[maxn];
int min_edge[maxn] = {inf}, best_edge[maxn];
min_edge[0] = 0;

// ...

for (int i = 0; i < n; i++) {
    int v = -1;
    for (int u = 0; u < n; j++)
        if (!used[u] && (v == -1 || min_edge[u] < min_edge[v]))
            v = u;

    used[v] = 1;
    if (v != 0)
        cout << v << " " << best_edge[v] << endl;

    for (auto e : g[v]) {
        int u = e.first, w = e.second;
        if (w < min_edge[u]) {
            min_edge[u] = w;
            best_edge[u] = v;
        }
    }
}

set< pair<int, int> > q;
int d[maxn];

while (q.size()) {
    v = q.begin()->second;
    q.erase(q.begin());

    for (auto e : g[v]) {
        int u = e.first, w = e.second;
        if (w < d[u]) {
            q.erase({d[u], u});
            d[u] = w;
            q.insert({d[u], u});
        }
    }
}

int _p[maxn];

int p(int v) {
    if (_p[v] == v)
        return v;
    else
        return p(_p[v]);
}

void unite(int a, int b) {
    a = p(a), b = p(b);
    _p[a] = b;
}

for (int i = 0; i < n; i++)
    _p[i] = i;

int _p[maxn], s[maxn];

int p (int v) { return (_p[v] == v) ? v : _p[v] = p(_p[v]); }

void unite(int a, int b) {
    a = p(a), b = p(b);
    if (s[a] > s[b])
        swap(a, b);
    s[b] += s[a];
    _p[a] = b;
}

// где-то в main:

for (int i = 0; i < n; i++)
    _p[i] = i;

// (w, (a, b))
vector< pair< int, pair<int, int> > > edges;

sort(edges.begin(), edges.end());

for (auto e : edges) {
    int a = e.first.first, b = e.first.second;
    // компоненты разные, если лидеры разные
    if (p(a) != p(b)) {
        // добавим ребро (a, b)
        unite(a, b);
    }
}

Введение

Такая проблема может возникнуть при формировании проекта линий электропередач, дорог, трубопроводов и так далее. То есть когда необходимо требуемые точки объединить посредством системы связей (каналов) так, чтобы пара любых точек имела непосредственное соединение или через иные канальные связи, и при этом нужно обеспечить минимальную длину (стоимость) системы связей.

Под взвешенным графом понимается граф, у которого входящие в него рёбра или дуги имеют некие веса, выраженные в числовой форме. Остовное дерево или остов графа — это связный подграф, не имеющий циклов, который содержит все вершины заданного графа. В состав подграфа входят частично или полностью рёбра заданного графа. Один граф может иметь более одного остова.

Задача о минимальном остовном дереве

Задача минимального остова ставится так: во взвешенном связном графе нужно определить остов, имеющий самый маленький вес. Другими словами, найти остов с минимальным общим весом всех рёбер. Для этих целей возможно использовать алгоритм Краскала, который позволяет выстроить минимальный остов графа. Построение остова выполняется последовательно, с каждым шагом прибавляется по одному ребру. Основой алгоритма являются два принципа:

1. Первым ребром остова является ребро, имеющее самый маленький вес в начальном графе.
2. В случае, если в остове уже есть i (i

Рассмотрим пример нахождения минимального остовного дерева графа, изображённого на рисунке один. Формирование остова следует начать с ребра, имеющего наименьший вес. Таких рёбер два, ($V_1, V_3$) и ($V_2, V_5$), выбираем первый вариант. Рёбра присоединяются к остову в следующей очерёдности: ($V_1, V_3$), ($V_2, V_5$), ($V_1, V_2$), ($V_4, V_5$). И тогда суммарная весовая характеристика остова будет:

$W = 1 + 2 + 1 + 4 = 8$.

Следует отметить, что рёбра ($v_2, v_3$), ($v_1, v_5$) не вошли в состав остова, хотя и обладают меньшим весом чем ребро ($v_4, v_5$), поскольку их присутствие приводит к образованию циклов с рёбрами, уже находящимися в составе остова.

Рассмотрим ещё пример практического применения этой задачи. Предположим есть множество аэродромов, и необходимо рассчитать самый маленький (по суммарному расстоянию) комплект авиационных рейсов, позволяющий летать между всеми аэропортами. Для решения данной задачи, необходимо найти самый маленький остов полного графа дистанций среди аэропортов. Он и будет решением данной проблемы.

Очень много практических задач возможно свести к нахождению самого маленького расстояния между двумя вершинами (или некоторым количеством пар вершин) в заданном графе (или орграфе). Задача может быть поставлена в разных вариациях:

1. Найти маршрут с самым маленьким числом проходимых вершин (например, доехать из одного населённого пункта в другой с минимальным количеством пересадок).
2. Найти маршрут с наименьшей суммарной дистанцией, если все рёбра имеют неотрицательный вещественный вес (в числовом выражении).
3. Найти маршрут с наименьшей суммарной дистанцией, если возможно наличие рёбер, в том числе, и с отрицательным весом.

Расположение «центров», которые покрывают требуемую зону

Примерами задач такого типа могут служить:

1. Необходимо разместить телевизионные или радиопередающие системы для покрытия их вещанием определённой зоны (территории).
2. Необходимо разместить военные базы для контроля заданной территории.
3. Необходимо разместить торговые центры (точки) для обслуживания определённого района.

Рассмотрим конкретный пример. Необходимо выполнить размещение радиопередающих станций на пространстве, которое представляет из себя квадрат, поделённый на шестнадцать районов, таким образом, чтобы станция, размещённая в любом районе, имела возможность вещания на данный район и на соседние районы, размещённые по горизонтали и вертикали. При этом, количество станций необходимо минимизировать.

Алгоритм решения может быть таким. Нужно построить граф, у которого в качестве вершин будут соответствующие районы. Пара вершин соединяется лишь в одном случае, когда районы, которые они символизируют, будут соседними. Когда такой граф построен, решение задачи сводится к определению минимального доминирующего множества вершин в этом графе.

Задача планирования производства

Практическими примерами задач этого типа является планирование производства в организациях различных промышленных сфер. Рассмотрим пример. Необходимо изготовить n товаров на определённом промышленном оборудовании. При этом для одного оборудования при переходе с производства старых товаров на производство новых товаров его нужно перенастраивать, а для других товаров этого делать не требуется. Цена переналадки оборудования одна и та же вне зависимости от типа товаров. Необходимо определить цикл последовательного выполнения операций, которые не требуют выполнять перенастройку оборудования, или доказать, что это невозможно. Для решения этой задачи, требуется выстроить орграф, с вершинами, соответствующими наименованиям товаров. Если существует дуга (n, v), то это значит, что товар v возможно делать после товара n и перенастройка оборудования не требуется. В этом случае задача состоит в определении одного или множества возможных гамильтоновых циклов в данном орграфе.

Задача раскраски графа

Под раскраской графа понимается придание каждой его вершине определённого цвета и при этом пара любых смежных вершин не имеет одинакового цвета. Минимальное из возможных количество цветов в раскраске определяется как хроматическое число графа. При выполнении раскраски все вершины подлежат разбиению на классы «единого цвета». Все вершины одного класса не могут быть смежными.

Требуется определить хроматическое число графа, изображённого на рисунке 2. Выполним раскраску вершин 1, 3, 5, 7 в красные цвета. Вершины 2, 6, 8 раскрасим жёлтым цветом, а вершину 4 выкрасим зелёным. Вычисления хроматического числа дали итог равный трём.