Как найти все отрицательные значения арифметической прогрессии

решение:

1)первым действием можем найти разность прогрессии:

d = -8,4 + 8,6 = 0,2

2) теперь можем найти число отрицательных членов прогрессии, для этого составим формулу n-го члена:

an = -8,6 + 0,2(n-1)

an = 0,2n — 8,8

3) теперь решим неравенство:

0,2n -8,8 < 0

0,2n < 8,8

n < 8,8/0,2

n < 44, значит у нас n = 43

4) теперь найдем сумму всех отрицательных членов данной арифметической прогрессии:

S43 = ((2 *(-8,6) + 0,2 * (43-1))/2) * 43

S43 = ((-17,2 + 8,4)/2) * 43

S43 = (-8,8/2) * 43

S43= -4,4 * 43 = -189,2

Ответ: сумма всех отрицательных чисел равна -189,2

Задание. Найдите сумму всех
отрицательных членов арифметической прогрессии (a_n),
у которой a₁₃—a₆=28,
a₁₄=26.

Варианты ответов:

1)   
-98;

2)   
-26;

3)   
-78;

4)   
-208;

5)   
-102.

Теория тут

Решение.

Запишем все члены через
a₁
– первый член и d –
разность прогрессии: a₁₃=a₁+(13-1)d=a₁+12d;
a₆=a₁+(6-1)d=a₁+5d;
a₁₄=a₁+(14-1)a=a₁+13d.

Подставляем в условие,
получаем, a₁₃—a₆=( a₁+12d)—(
a₁+5d)=7d=28,
откуда d=4. Теперь подставим найденное d
в
a₁₄:
a₁+13∙4=26,
откуда a₁=26-52=-26.
Теперь зададим формулой n-й член прогрессии: a_n=a₁+(n-1)d=-26+(n-1)∙4=-26+4n-4=4n-30.
Узнаем, сколько у нее отрицательных членов (поставим условие a_n<0):
4n-30<0, т.е. n<7,5.
Т.к. n может
принимать только натуральные значения, то все члены с 1 по 7, включая –
отрицательные. Осталось найти сумму первых семи членов этой прогрессии: S₇=(2a₁+(7-1)d)/2∙7=(2∙(-26)+6∙4)/2∙7=-14∙7=-98/

Ответ. 1

№7. Последовательность задана условиями c 1 = − 3, c n + 1 = c n − 1. Найдите c 7 .

Решение:

Данная последовательность является арифметической, так как каждый последующий член последовательности отличается от предыдущего на ( − 1 ) .

d = − 1 – разность арифметической прогрессии.

Запишем формулу нахождения n-го члена арифметической прогрессии:

c n = c 1 + ( n − 1 ) ⋅ d

c 7 = c 1 + ( 7 − 1 ) ⋅ d = − 3 + 6 ⋅ ( − 1 ) = − 9

Ответ: -9

№8. Сколько натуральных чисел n удовлетворяет неравенству 40 n + 1 > 2 ?

Решение:

Разделим обе части неравенства на 2. Получим неравенство 20 n + 1 > 1.

Чтобы дробь была больше единицы, знаменатель дроби должен быть меньше числителя.

n + 1 < 20 ⇒ n < 19 – это значит, что 18 натуральных чисел n : 1 ; 2 ; … ; 17 ; 18 удовлетвояют исходному неравенству.

Ответ: 18

№9. Дана арифметическая прогрессия: − 4 ; − 2 ; 0 ; … Найдите сумму первых десяти её членов.

Решение:

a 1 = − 4 – первый член арифметической прогрессии.

d = − 2 − ( − 4 ) = − 2 + 4 = 2 – разность арифметической прогрессии.

a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ d – формула нахождения n-го члена.

a 10 = − 4 + ( 10 − 1 ) ⋅ 2 = − 4 + 18 = 14

S n = a 1 + a n 2 ⋅ n – формула нахождения суммы n первых членов.

S 10 = − 4 + 14 2 ⋅ 10 = 10 2 ⋅ 10 = 50

Ответ: 50

№10. Дана арифметическая прогрессия ( a n ) : − 7 ; − 5 ; − 3 ; … Найдите a 16 .

Решение:

a 1 = − 7

d = − 5 − ( − 7 ) = − 5 + 7 = 2

a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ d ⇒ a 16 = − 7 + ( 16 − 1 ) ⋅ 2 = − 7 + 15 ⋅ 2 = − 7 + 30 = 23

Ответ: 23

№11. Арифметические прогрессии ( x n ), ( y n ) и ( z n ) заданы формулами n-го члена: x n = 2 n + 4, y n = 4 n , z n = 4 n + 2. Укажите те из них, у которых разность d равна 4.

1. ( x n ) и ( y n )
2. ( y n ) и ( z n )
3. ( x n ) , ( y n ) и ( z n )
4. ( x n )

Решение:

Данные последовательности заданы аналитически (то есть зависимость от n). Для того, чтобы определить, чему равняется разность d в каждой из этих последовательностей, необходимо привести их к рекуррентной форме записи (когда каждый последующий член выражается через предыдущий).

x n = 2 n + 4
x n + 1 = 2 ⋅ ( n + 1 ) + 4 = 2 n + 2 + 4 = x n + 2
d = 2

y n = 4 n
y n+1 =4⋅( n+1 )= 4 n +4= y n +4
d=4

z n = 4 n + 2
z n + 1 = 4 ⋅ ( n + 1 ) + 2 = 4 n + 4 + 2 = z n + 4
d = 4

Разность d=4 одинаковая у последовательностей ( y n ) и ( y n )

Правильный ответ под номером 2.

Ответ: 2

№12. В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

1. 28+2n
2. 30+2n
3. 32+2n
4. 2n

Решение:

Задана арифметическая прогрессия, в которой a 1 = 30, d = 2.

Запишем формулу n-го члена:

a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ d = 30 + ( n − 1 ) ⋅ 2 = 30 + 2 n − 2 = 28 + 2 n

Правильный ответ под номером 1.

Ответ: 1

№13. Дана арифметическая прогрессия: 33 ; 25 ; 17 ; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1. -7
2. -8
3. -9
4. -1

Решение:

Выпишем еще несколько членов этой прогрессии:

a 1 = 33, d = 25 − 33 = − 8

a 2 = 25

a 3 = 17

a 4 = 17 − 8 = 9

a 5 = 9 − 8 = 1

a 6 = 1 − 8 = − 7

Павильный ответ под номером 1.

Ответ: 1

№14. Арифметическая прогрессия задана условиями: a 1 = 6, a n + 1 = a n + 6. Какое из данных чисел является членом это прогрессии?

Решение:

Выпишем несколько первых членов арифметической прогрессии:

a 1 = 6

a 2 = 6 + 6 = 12

a 3 = 12 + 6 = 18

a 4 = 18 + 6 = 24

…

Каждый член данной арифметической прогрессии делится на 6. Из представленных в вариантах ответа числах только число 48 делится на 6.

Правильный ответ под номером 3.

Ответ: 3

№15. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии: − 8,6 ; − 8 ; 4 ; …

Решение:

Для того, чтобы найти сумму всех отрицательных членов заданной прогрессии, сперва необходимо выяснить, сколько их всего – отрицательных членов последовательности.

a 1 = − 8,6, d = 0,2

a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ d < 0

− 8,6 + ( n − 1 ) ⋅ 0,2 < 0

0,2 n − 0,2 < 8,6

0,2 n < 8,8 ⇒ n < 8,8 0,2 ⇒ n < 44 ⇒ n = 43

Всего 43 отрицательных члена прогрессии. Вычислим 43-й член прогрессии (самый последний из отрицательных):

a 43 = a 1 + ( 43 − 1 ) ⋅ d = − 8,6 + 42 ⋅ 0,2 = − 8,6 + 8,4 = − 0,2

Применим формулу суммы:

S n = a 1 + a n 2 ⋅ n ⇒ S 43 = − 8,6 + ( − 0,2 ) 2 ⋅ 43 = − 8,8 2 ⋅ 43 = − 4,4 ⋅ 43 = − 189,2

Ответ: -189,2

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ

   1. Сначала найдем количество отрицательных членов прогрессии. Для этого ищем номер члена, равного нулю:

• a1 = -63;
• a2 = -58;
• d = a2 — a1;
• d = -58 + 63 = 5;

• an = a1 + (n — 1)d;
• (n — 1)d = an — a1;
• n — 1 = (an — a1)/d;
• n = 1 + (an — a1)/d;
• n = 1 + (0 + 63)/5 = 1 + 12,6 = 13,6.

   2. Получили нецелое число, следовательно:

• a13 < 0;
• a14 > 0.

   Значит, a13 — последний отрицательный член прогрессии: n = 13.

   3. Сумму отрицательных членов вычислим по формуле для n первых членов:

• Sn = n(2a1 + (n — 1)d)/2;
• S13 = 13(2 * (-63) + 12 * 5)/2 = 13(-126 + 60)/2 = 13 * (-66)/2 = -13 * 33 = -429.

   Ответ: -429.