Как найти все пары натуральных чисел

   1) 5х + 6у = 28.

   Выразим переменную x через y:

      5х + 6у = 28;

      5х = 28 — 6у;

      x = (28 — 6у) / 5.

• a) y = 1; x = (28 — 6) / 5 = 22 / 5 ∉ N;
• b) y = 2; x = (28 — 12) / 5 = 16 / 5 ∉ N;
• c) y = 3; x = (28 — 18) / 5 = 10 / 5 = 2 ∈ N;
• d) y = 4; x = (28 — 24) / 5 = 4 / 5 ∉ N.

   При других натуральных значениях y получим отрицательные числа.

   Единственное решение: (2; 3).

   2) 3х + 2у = 13.

   Выразим переменную y через x:

      3х + 2у = 13;

      2у = 13 — 3х;

      y = (13 — 3х) / 2;

• a) x = 1; y = (13 — 3) / 2 = 10 / 2 = 5 ∈ N;
• b) x = 2; y = (13 — 6) / 2 = 7 / 2 ∉ N;
• c) x = 3; y = (13 — 9) / 2 = 4 / 2 = 2 ∈ N;
• d) x = 4; y = (13 — 12) / 2 = 1 / 2 ∉ N.

   При других натуральных значениях x получим отрицательные числа.

   Два решения: (1; 5); (3; 2).

   Ответ: 1) (2; 3); 2) (1; 5), (3; 2).

Задача 58075 Найти все пары (x,y) натуральных чисел.

Условие

Найти все пары (x,y) натуральных чисел, которые удовлетворяют уравнению 125 · 2x − 3y = 271.

Решение

y — натуральное ⇒ (250/3)x-(271/3) ≥ 1 ⇒

x ≥ 274/250 ⇒ [b]x ≥ 2[/b]

(x/3)-(1/3) должно быть целым положительным

y=83*1+0-90 — не натуральное

y=(250/3)(1+3n)-(271/3) ⇒ y=(-21/3)+250*n, n ∈[b] N[/b]

О т в е т. (1+3n; (-21/3)+250*n); n ∈[b] N[/b]

math4school.ru

Уравнения в целых числах

Немного теории

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

способ перебора вариантов;

применение алгоритма Евклида;

представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

разложения на множители;

решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

метод бесконечного спуска.

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2y 2 = 7.

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

2. Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

в) 201х – 1999у = 12.

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x₀ = 1273·12 = 15276, y₀ = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x 3 + y 3 = 3333333;

б) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).

а) Так как x 3 и y 3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x 3 + y 3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2 ) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

а) в простых числах уравнение х 2 – 7х – 144 = у 2 – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 .

а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

у = х + 9 или у = 16 – х.

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.

Дискриминант этого уравнения равен –3y 2 + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 ?

Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y 3 и z 3 будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь вид

Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно много, а именно, это все числа вида 2n 2 +1. Подставляя в x 2 (x–1) = 2y 2 такое число, после несложных преобразований получаем:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).

6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.

Число x 2 + y 2 + z 2 + u 2 чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 делится на 4, но при этом 2xyzu не делится на 4 – несоответствие.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 – опять несоответствие.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

и исходное уравнение примет вид

Теперь заметим, что (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x₁, y₁, z₁, u₁ нечётны, то x₁ 2 + y₁ 2 + z₁ 2 + u₁ 2 не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x₁ 2 + y₁ 2 + z₁ 2 + u₁ 2 не делится даже на 4. Значит,

и мы получаем уравнение

Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2 n при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

7. Докажите, что уравнение

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

не имеет решений в целых числах.

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у 2 .

если х = 1, то у 2 = 1,

если х = 3, то у 2 = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).

3abc > 0, то a 3 > b 3 + c 3 ;

таким образом имеем

b 2 2 + х = у 4 + у 3 + у 2 + у.

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у 2 + 1),

х(х + 1) = (у 2 + у)(у 2 + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому, приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

Произведение (у 2 + у)(у 2 + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля, только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х₅ = 5, х₆ = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:

Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Задачи без решений

1. Решить в целых числах уравнение:

б) х 2 + у 2 = х + у + 2.

2. Решить в целых числах уравнение:

а) х 3 + 21у 2 + 5 = 0;

б) 15х 2 – 7у 2 = 9.

3. Решить в натуральных числах уравнение:

4. Доказать, что уравнение х 3 + 3у 3 + 9z 3 = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение

5. Доказать, что уравнение х 2 + 5 = у 3 в целых числах не имеет решений.

Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению [tex] x² — y² = 69?

Алгебра | 5 — 9 классы

Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению [tex] x² — y² = 69.

Решите, пожалуйста?

1. Найдите все пары целых чисел (х, у) удовлетворяющих уравнению 2y + x = 15

Найдите все пары целых чисел (х, у) удовлетворяющих уравнению у + 6х = 17.

Найдите какую — нибудь пару натуральных чисел a и b, больших 1, удовлетворяющих уравнению a ^ 13 * b ^ 31 = 6 ^ 2015?

Найдите какую — нибудь пару натуральных чисел a и b, больших 1, удовлетворяющих уравнению a ^ 13 * b ^ 31 = 6 ^ 2015.

Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению?

Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению.

Сколько пар натуральных чисел удовлетворяют равенству 2x + 7y = 70000?

Сколько пар натуральных чисел удовлетворяют равенству 2x + 7y = 70000?

Найдите все пары натуральных чисел, которые удовлетворяют уравнению x + y = 15?

Найдите все пары натуральных чисел, которые удовлетворяют уравнению x + y = 15.

Найдите все пары целых чисел удовлетворяющие уравнению х² — 4у² = 5?

Найдите все пары целых чисел удовлетворяющие уравнению х² — 4у² = 5.

Сколько пар натуральных чисел удовлетворяют уравнению x2 – y2 = 69?

Сколько пар натуральных чисел удовлетворяют уравнению x2 – y2 = 69.

Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению x + 2y = xy?

Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению x + 2y = xy.

Сколько существует пар натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению 5х ^ 2 + (х — у) ^ 2 = 14 ?

Сколько существует пар натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению 5х ^ 2 + (х — у) ^ 2 = 14 ?

Найдите все пары натуральных чисел удовлетворяющих уравнению xy — 2x — y = 11?

Найдите все пары натуральных чисел удовлетворяющих уравнению xy — 2x — y = 11.

Вы перешли к вопросу Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению [tex] x² — y² = 69?. Он относится к категории Алгебра, для 5 — 9 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Алгебра. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

1)6 — 3 + 1 = 4, 3)0, 3 * 2 = 6, 2)512, 4)2.

1. 1 Остальные решаются аналогично С корнем с одной стороны, без корня с другой Далее возводишь всё в квадрат и решаешь как обычное уравнение Затем делаешь проверку.

M в 9 степени • n в 9 степени • p в 9 степени.

Есть формулы : ctg a = cos a / sin a ; 1 = sin ^ 2 a + cos ^ 2 a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : cos a / sin a (sin ^ 2 a + cos ^ 2 a — sin ^ 2 a) = cos a / sin a * cos ^ 2 a = cos ^ 3 a / sin a.

— 24а — 72 + 70а — 20 + 180 = 45а + 90 46а + 88 = 45а + 90 46а = 45а + 2 1а = 2 а = 2 ОТВЕТ : 2.

ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Макарычев. Номер №1141

Решение а

x + y = 11
решения уравнения:
(1;10), (2;9), (3;8), (4;7), (5;6), (6;5), (7;4), (8;3), (9;2), (10;1).

Решение б

xy = 18
решения уравнения:
(1;18), (2;9), (3;6), (6;3), (9;2), (18;1).

Натуральные числа — одно из старейших
математических понятий.

В далёком прошлом люди не знали чисел и,
когда им требовалось пересчитать предметы
(животных, рыбу и т.д.), они делали это не так, как
мы сейчас.

Количество предметов сравнивали с частями тела, например, с
пальцами на руке и говорили: «У меня столько же орехов, сколько пальцев на руке».

Со временем люди поняли, что пять орехов, пять коз и пять зайцев обладают
общим свойством — их количество равно пяти.

При счёте число ноль не используется. Поэтому ноль не
считается натуральным числом.

Записывать числа люди научились гораздо позже, чем считать. Раньше
всего они стали изображать единицу одной палочкой, потом
двумя палочками — число 2, тремя — число 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Затем появились и особые знаки для обозначения чисел — предшественники современных
цифр. Цифры, которыми мы пользуемся для записи чисел, родились в Индии примерно 1 500
лет назад. В Европу их привезли арабы, поэтому их называют
арабскими цифрами.

Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С помощью этих
цифр можно записать любое натуральное число.

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на 1.

Натуральный ряд бесконечен, наибольшего натурального числа в нём не существует.

Систему счёта (счисления), который мы пользуемся,
называют десятичной позиционной.

Десятичной потому, что 10 единиц каждого разряда образуют
1 единицу старшего разряда. Позиционной потому, что значение цифры
зависит от её места в записи числа, то есть от

разряда, в котором
она записана.

Класс миллиардов

Если взять десять сотен миллионов, то получим новую разрядную единицу —
один миллиард или в записи цифрами.

1 000 миллионов = 1 000 000 000 = 1 млрд

Десять таких единиц — десять миллиардов, десять десятков миллиардов образуют
следующую единицу — сто миллиардов.

Разряды и классы натурального числа

Рассмотрим натуральное число 783 502 197 048

Название класса	Миллиарды	Миллионы	Тысячи	Единицы
Название разряда	Сотни миллиардов	Десятки миллиардов	Миллиарды	Сотни миллионов	Десятки миллионов	Миллионы	Сотни тысяч	Десятки тысяч	Тысячи	Сотни	Десятки	Единицы
Цифра (символ)	7	8	3	5	0	2	1	9	7	0	4	8

Название класса	Миллиарды	Миллионы	Тысячи	Единицы
Название разряда	Сотни миллиардов	Десятки миллиардов	Миллиарды	Сотни миллионов	Десятки миллионов	Миллионы	Сотни тысяч	Десятки тысяч	Тысячи	Сотни	Десятки	Единицы
Цифра (символ)	7	8	3	5	0	2	1	9	7	0	4	8

C помощью таблицы разрядов прочитаем это число. Для этого надо слева направо по очереди
называть количество единиц каждого класса и добавлять название класса.

Название класса
единиц не произносят, также не произносят название класса, если все три
цифры в его разрядах — нули.

Теперь прочтем число 783 502 197 048 из таблицы:
783 миллиарда 502 миллиона 197 тысяч
48.

Числа 1, 10, 100, 1000… называются разрядными единицами. С их помощью натуральное число
записывается в виде разрядных слагаемых. Так, например, число 307 898 будет выглядеть
в виде разрядных слагаемых.

307 898 = 300 000 + 7 000 + 800 + 90 + 8

Проверить свои вычисления
вы можете с помощью нашего

калькулятора разложения числа на разряды онлайн.

Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими
наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.

• 1 000 миллиардов = 1 000 000 000 000 = 1 триллион («три» — по латыни «три»)
• 1 000 триллионов = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадриллион («квадра» — по латыни «четыре»)
• 1 000 квадриллионов = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квинтиллион («квинта» — по латыни «пять»)

Все числа пересчитать невозможно, поскольку за каждым числом следует число на единицу большее,
но очень большие числа в повседневной жизни не нужны.

Однако, физики нашли число, которое превосходит количество всех атомов (мельчайших частиц вещества)
во всей Вселенной.

Это число получило специальное название — гугол. Гугол — число, у которого
100 нулей.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

  Найдите все пары натуральных чисел, являющихся решениями уравнения

3ⁿ − 2^m = 1.

  Решение:

  1 способ.

  При n = 1 и m = 1, при n = 2 и m = 3 это равенство верно, других решений при n = 1 и n = 2 нет.

  Предположим, что найдётся такое натуральное число n ≥ 3, что справедливо равенство 3ⁿ − 1 = 2^m. Тогда 2^m делится на 8.

  Так как при делении на 8 числа 3ⁿ остатки равны 3, 1, 3, 1, …, а числа 3ⁿ − 1 — равны 2, 0, 2, 0, …, то 3ⁿ − 1 делится на 8 только при чётных n. Обозначим n = 2k, где k — натуральное число. Тогда равенство 3ⁿ − 1 = 2^m можно записать так:

(3^k − 1)(3^k + 1) = 2^m,

  откуда следует, что каждый из множителей (3^k − 1) и (3^k + 1) является степенью числа 2, т.е.

3^k + 1 = 2^p

и

3^k − 1 = 2^q,

  где p и q натуральные числа, p > q. Вычитая из первого равенства второе, получим, что

2 = 2^q · (2^{p − q} − 1),

  а это равенство справедливо лишь при p = 2 и q = 1 (с увеличением q число 2^q будет больше 2, а наименьшее значение второго множителя 1). Тогда k = 1, n = 2. Мы получили противоречие с условием n > 3, следовательно, других значений n не существует.

  2 способ.

  Предположим, что найдётся такое чётное натуральное число n = 2k, что справедливо равенство

3^2k − 2^m = 1.

  Тогда справедливо равенство

(3^k − 1)(3^k + 1) = 2^m.

  Множители в левой части этого равенства отличаются на 2 и являются степенями двойки:

3^k − 1 = 2^p,   3^k + 1 = 2^p + 2.

  Равенство

2^{p + 1}(2^{p − 1} + 1) = 2^m

  справедливо лишь при р = 1, тогда m = 3 и n = 2 отвечают условиям задачи, а при р > 1 второй множитель — нечётное число, поэтому равенство неверно.

  Так как m = n = 1 отвечают условиям задачи, то предположим, что найдётся другое нечётное натуральное число

n = 2k + 1, n > 1,

  для которого справедливо равенство

3^{2k + 1} − 2^m = 1.

  Тогда справедливо равенство

3^{2k + 1} − 3 = 2^m − 2

или равенство

3(3^k − 1)(3^k + 1) = 2(2^{m − 1} − 1).

  В левой части этого равенства есть два чётных множителя, т.е. левая часть равенства делится на 4, а правая часть равенства делится на 2, но не делится на 4, так как второй множитель — нечётное число при любом m > 1 (при m = 1 равенство неверно).

  Следовательно, для нечётных n > 1 исходное равенство неверно.

  Ответ: n = 1, m = 1 и n = 2 и m = 3.