Как найти все подмножества множества онлайн

Множество — это набор элементов, которые обладают общим свойством. В каждом неупорядоченном множестве существует определенное количество подмножеств, которые можно рассчитать при помощи онлайн-калькулятора.

Множество

Множество представляет собой набор элементов, сгруппированных по определенному признаку. В математике это может быть множество натуральных, целых или рациональных чисел. В природе это множества яблок на дереве, песчинок в пустыне или звезд в космосе. На практике множество может представлять собой набор данных, массивы результатов измерений или входных воздействий. Множество — это простейший математический объект, поэтому с ним можно осуществлять простые арифметические действия, то есть складывать, вычитать или разбивать на составляющие — подмножества.

Несобственные подмножества

Каждое множественный объект имеет два несобственных подмножества: само множество и пустое. Согласно канторовской теории, любое множество считается подмножеством самого себя. Пустое множество — это своеобразный нуль теории множеств, и такой набор не содержит ни одного элемента. Потребность в пустом множестве обусловлена аксиомой, что любой результат операции между множествами также должен быть множеством. Пустой набор элементов также считается подмножеством для любого набора чисел.

Собственные подмножества

Помимо самого себя и пустого множества, набор чисел может иметь определенное количество собственных подмножеств. Их численность определяется мощностью множества, то есть количеством его элементов. Для объекта A, которое состоит из n-ного числа элементов, существует количество собственных подмножеств, которое определяется по формуле:

N = 2ⁿ — 2.

Из этого следует, что для набора из 3 элементов существует 2³ — 2 = 6 собственных подмножеств, из 4 членов — 2⁴ — 2 = 14 собственных подмножеств и так далее. К примеру, для множества {X, Y, Z} существуют следующие подмножества:

1. {X};
2. {Y};
3. {Z};
4. {XY};
5. {XZ};
6. {ZY}.

Если не разделять подмножества на собственные и несобственные, то для каждого множества существует подмножества, количеством:

N = 2ⁿ,

где n — количество элементов.

Это означает, что для того же набора {X, Y, Z} добавятся также пустое множество и оно само.

Подмножества и парадоксы

Канторовская теория множеств зашла в тупик, когда ее постулаты породили парадоксы. Наиболее известной проблемой наивной теории множеств считается парадокс Рассела. Известный британский философ и ученый Бертран Рассел рассмотрел бесконечные множества как абстрактные объекты. Если любое множество считается подмножеством самого себя, то верно выражение A Î A. Допустим, существует глобальное множество S, содержащее в себе все наборы объектов, которые не включают самих себя.

Далее возникает вопрос, верно ли, что S Î S? Если верно, то выходит, что S не содержит самого себя, так как изначально набор S содержит все множества, не содержащие себя, следовательно, S Î S. Если неверно, значит, набор S не соответствует первичному определению, следовательно, S Î S.

Данный парадокс так же известен как проблема цирюльника. Некий брадобрей заявляет, что будет брить только тех, кто не бреет сам себя. Тех, кто сами справляются с бритвой, цирюльник брить отказывается. Возникает парадокс: кто побреет цирюльника? Если он бреется сам, то он не должен себя брить, а если не бреется, то брить себя обязан. Для решения подобных парадоксов в теорию множеств была внесен раздел о типах объектов. Согласно теории типов, подмножества всегда должны быть низшего порядка по отношению к своему надмножеству.

Наша программа позволяет сгенерировать все возможные подмножества для любого заданного набора чисел. Для этого вам достаточно ввести числа через запятую в форму онлайн-калькулятора, после чего программа рассчитает все подмножества для выбранного набора, включая собственные и несобственные. Рассмотрим пример генерации подмножеств.

Пример работы калькулятора

Допустим, у нас есть множество последовательных натуральных чисел мощностью 4. Это означает, что наш объект выглядит как А = {1, 2, 3, 4,}. Согласно формуле, для A существует 2⁴ = 16 подмножества: 14 собственных и 2 несобственных. При помощи калькулятора рассчитаем эти составляющие. Мы получим:

• пустое множество — {};
• одноэлементные наборы — {1}, {2}, {3}, {4};
• двухэлементные — {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4};
• трехэлементные — {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4};
• само множество — {1, 2, 3, 4}.

Точно также вы можете рассчитать количество подмножеств для множества произвольной мощности.

Заключение

Множество — это элементарный математический объект, с которым можно осуществлять разные арифметические операции. Используйте наши онлайн-калькуляторы для работы с множественными объектами.