Как найти все преобразования функции

Преобразование графиков функций

Анна Малкова

В этой статье мы расскажем об основных преобразованиях графиков функций. Что нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали. Как задать растяжение графика по горизонтали или вертикали. Как отразить график относительно оси Х или Y.

Очень жаль, что эта тема — полезная и очень интересная — выпадает из школьной программы. На нее постоянно не хватает времени. Из-за этого многим старшеклассникам не даются задачи с параметрами — которые на самом деле похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов. Хотя бы для того, чтобы решать задачи с параметрами, стоит научиться строить графики функций.

Но конечно, не только для того, чтобы сдать ЕГЭ. Первая лекция на первом курсе технического или экономического вуза посвящена функциям и графикам. Первые зачеты в курсе матанализа связаны с функциями и графиками.

Начнем со сдвигов графиков по Х и по Y.

1. Сдвиг по горизонтали.

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции сдвинут относительно исходной на а влево.

2. Сдвиг по вертикали.

Пусть функция задана формулой и С — некоторое положительное число. Тогда график функции сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции сдвинут относительно исходного на С вниз.

Теперь растяжение графика. Или сжатие.

3.  Растяжение (сжатие) по горизонтали.

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если , и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если

4.  Растяжение (сжатие) по вертикали.

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если , и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если

И отражение по горизонтали.

5. Отражение по горизонтали.

График функции симметричен графику функции относительно оси Y.

6. Отражение по вертикали.

График функции симметричен графику функции относительно оси Х.

Друзья, не возникло ли у вас ощущения, что вы все это где-то видели? Да, наверняка видели, если когда-либо редактировали изображения в графическом редакторе на компьютере. Изображение можно сдвинуть (по горизонтали или вертикали). Растянуть (по горизонтали или вертикали). Отразить. И все это мы делаем с графиками функций.

И еще два интересных преобразования. Здесь в формулах присутствует знак модуля. Если не помните, что такое модуль, — срочно повторите эту тему.

7. Графики функций и

На рисунке изображен график функции Она специально взята такая — несимметричная относительно нуля.

Построим график функции

Конечно же, мы пользуемся определением модуля.

Это мы и видим на графике. Для неотрицательных значений х график остался таким же, как был. А вместо каждого отрицательного х мы взяли противоположное ему положительное число. И поэтому вся та часть графика функции, что лежала слева от оси Х, заменилась на зеркально отраженную правую часть графика.

Теперь график функции Вы уже догадались, что будет. Вся часть графика, лежащая ниже оси Х, зеркально отражается в верхнюю полуплоскость. А верхняя часть графика, лежащая выше оси Х, остается на месте.

Как определить по формуле функции, будет график преобразован по горизонтали (по Х) или по вертикали (по Y)? Разница очевидна. Если сначала мы что-либо делаем с аргументом х (прибавляем к нему какое-либо число, умножаем на какое-либо число или берем модуль) — преобразование по Х. Если сначала мы нашли функцию, а затем уже к значению функции что-то прибавили, или на какое-нибудь число умножили, или взяли модуль, — преобразование по Y.

Вот самые простые задачи на преобразование графиков.

1. Построим график функции 

Это квадратичная парабола, сдвинутая на 3 влево по x и на 1 вниз по y.

Вершина в точке

2. Построим график функции 

Выделим полный квадрат в формуле.

График — квадратичная парабола, сдвинутая на 2 вправо по x и на 5 вниз по y.

Обратите внимание: график функции пересекает ось y в точке На нашем графике это точка

Продолжение — в статье «Построение графиков функций».

Графический способ представления информации

Перед вами набор данных (см. рис. 1).

Рис. 1. Табличный способ представления информации

Попробуйте по нему понять демографическую ситуацию – растет население, падает, как сильно, есть ли какие-то закономерности.

А вот та же информация, представленная с помощью набора точек в системе координат (год – численность населения) (см. рис. 2). Сразу можно сделать определенные выводы, понять динамику и т. д.

Рис. 2. Графический способ представления информации

Графический способ представления информации часто является одним из наиболее удобных для ее анализа. Поэтому для исследования функций нам нужно научиться строить их графики (в тех случаях, когда это можно сделать).

---

Пример функции, график которой изобразить не получится

Оказывается, есть функции, график которых изобразить в привычном нам смысле не получится. Рассмотрим пример такой функции – функцию Дирихле (см. рис. 3). Эта функция определяется следующим образом:

Рис. 3. Функция Дирихле

То есть эта функция при всех рациональных значениях переменной принимает значение , а во всех иррациональных – . Поскольку между любыми двумя рациональными числами бесконечно много иррациональных и наоборот, то такая функция будет разрывна в каждой точке. Поэтому нарисовать прямые или отрезки в качестве ее графика не получится. Таким образом, график функции Дирихле нам изобразить не удастся.

Но для функций, которые мы будем изучать в школе, такой ситуации не возникнет.

---

Системы координат

Графики базовых функций, которые мы изучили (линейной функции, обратной пропорциональности, квадратичной функции, квадратного корня) (см. рис. 4) и которые еще будем изучать, – это «кирпичики», которые мы будем использовать для того, чтобы строить графики более сложных функций.

Рис. 4. Графики базовых функций

Кроме того, мы можем использовать графики известных нам функций для анализа проведенного эксперимента или исследования. Если нанести на график точки, соответствующие результатам исследования, можно по виду полученной кривой оценить, какой зависимости она наиболее соответствует – линейной, квадратичной, обратно пропорциональной и т. д. (см. рис. 5).

Рис. 5. Приближение графиков функций к базовым

Например, можно провести опрос: сколько готовы платить родители за онлайн-обучение своего ребенка? Поставим по одной оси цену, по другой – количество согласившихся на занятия по такой цене. Отметив точки и соединив их, получим следующую кривую, которая очень похожа на график обратной пропорциональности (см. рис. 6). Что вполне логично: чем больше цена, тем меньше людей, которые готовы покупать продукт. В экономике эта кривая носит название «кривая спроса».

Рис. 6. Кривая спроса

График функции определяется не только типом зависимости величин, но и системой координат, в которой он построен. А она может быть разной.

Мы будем рассматривать графики функций в привычной нам декартовой прямоугольной системе координат (см. рис. 7). Но и она будет зависеть от расположения своего начала – точки отсчета.

Рис. 7. Декартова прямоугольная система координат

---

Виды координат

Системы координат могут отличаться не только точкой отсчета, но и способом выбора самих координат. К примеру, можно использовать не прямоугольную систему координат, а такую, в которой угол между осями отличен от  (см. рис. 8). Естественно, график функции в ней будет иметь другой вид.

Рис. 8. Прямоугольная и косоугольная системы координат

---

Можно использовать и принципиально отличающиеся системы координат, например такую, в которой точка задается расстоянием до начала отсчета и углом отклонения от оси. Такая система координат называется полярной. Но мы будем работать только в декартовой (прямоугольной) системе координат.

Преобразование графиков функций

Вспомните курс физики: система отсчета всегда связана с некоторым телом. Возьмем разные тела – получим разные системы отсчета. Виды зависимости в них будут одинаковы, а вот системы координат, а иногда и графики функций – различны.

Рассмотрим график параболы , проходящий через точку  в другой системе отсчета, связанной с телом, которое расположено в точке  (см. рис. 9).

Рис. 9. График параболы , проходящий через точку  в другой системе отсчета

Поскольку точки отсчета у нас неподвижны, то тип зависимости не может измениться – она как была квадратичной, так и должна такой остаться. Но как именно она будет выглядеть в новых координатах?

Точка  в старой системе имела координаты . Точка  – координаты  и т. д. Можно сделать вывод: точка  в «старой» системе координат имела бы координаты .

То есть:

Значит, зависимость  в новой системе координат будет иметь вид:

Или:

Действительно, если теперь убрать старую систему координат и построить график функции , он будет выглядеть именно так: парабола, которую сдвинули на  единицы влево и на  – вниз (см. рис. 10).

Рис. 10. График функции

Но рассмотренный нами алгоритм можно применять и в обратную сторону – использовать его, чтобы строить график сложной функции, преобразовывая график соответствующей ей базовой функции.

Действительно, используя обратные действия, несложно построить график функции , используя график базовой функции . Для этого параболу нужно перенести на  единицы влево и на  единицы вниз (см. рис. 11).

Рис. 11. График функции , полученный при помощи преобразований графика

Обратите внимание: мы перенесли график влево и вниз, а начало системы координат переносили вправо и вверх. То есть эти действия эквивалентны с точностью до направления. Именно построением графиков сложных функций с использованием графиков базовых мы сегодня и займемся.

Что можно сделать с графиком, чтобы не изменился характер зависимости? Можно его сдвинуть, изменить размер, зеркально отразить, повернуть. Перемещение графика всегда можно представить как комбинацию перемещений вдоль оси  и оси . Изменение размера и зеркальное отображение также возможно относительно каждой из осей.

Про поворот мы говорить не будем, так как формулы для перехода к новой функции в случае поворота будут довольно сложными и выходят за рамки обычной школьной программы. Теперь наша задача состоит в том, чтобы изучить, как изменяются координаты точек графика при каждом из описанных преобразований и как это влияет на аналитический вид функции.

Преобразования вдоль оси

Пусть задана некоторая функция , аналитический вид и ее график (см. рис. 12).

Рис. 12. График функции

Вспомним, что запись  означает, что каждому аргументу  ставится в соответствие значение функции  по некоторому правилу. Будем изменять график функции и смотреть, как меняется ее аналитический вид. Сначала рассмотрим преобразования вдоль оси .

1. Сдвинем график функции вверх на некоторое расстояние . При этом для каждого аргумента  значение функции увеличится на: было , станет . Получим аналитический вид функции:  (см. рис. 13):

Рис. 13. График функции

Аналогично при сдвиге вниз все значения функции уменьшатся на  и мы получим функцию  (см. рис. 14):

Рис. 14. График функции

2. Зафиксируем на графике нули функции, а остальные части растянем вдоль оси  в  раз. При этом для каждого аргумента  значение функции увеличится в раз: было , станет . Функция примет вид  (см. рис. 15):

Рис. 15. График функции

Если же мы сожмем в  раз, то все значения функции уменьшатся в  раз. Получим функцию  (см. рис. 16):

Рис. 16. График функции

3. Отразим график функции зеркально относительно оси . При этом для каждого аргумента все значения функции изменятся на противоположные: было , станет . Функция примет вид  (см. рис. 17).

Рис. 17. График функции

Обратите внимание: если мы хотим получить следующий график функции:  то нужно выполнить комбинацию двух действий – отразить график относительно оси абсцисс, затем растянуть или сжать функцию вдоль оси ординат (см. рис. 18). Или выполнить в обратном порядке – разницы нет: .

Рис. 18. График функции

Преобразования относительно оси

Теперь перейдем к аналогичным преобразованиям относительно оси .

1. Сдвинем график функции вправо на некоторое расстояние . Заметим, что теперь значение функции  для аргумента  будет такое же, как было для аргумента  до сдвига. Получим функцию  (см. рис. 19).

Рис. 19. График функции

Аналогично при сдвиге влево получим функцию  (см. рис. 20):

Рис. 20. График функции

2. Зафиксируем значения функции при , остальной график функции растянем вдоль оси  в  раз. Снова отметим, как изменился аргумент: значение функции  при аргументе  теперь такое же, как было при аргументе . Вид полученной функции:  (см. рис. 21):

Рис. 21. График функции

Если же мы сожмем функцию вдоль оси  в  раз, то получим функцию  (см. рис. 22):

Рис. 22. График функции

3. Отразим функцию зеркально относительно оси . Значение функции  при аргументе  теперь такое же, как было при аргументе при противоположном аргументе, . Получим функцию  (см. рис. 23):

Рис. 23. График функции

И снова аналогичный комментарий про случай: . Чтобы получить график такой функции, необходимо снова выполнить комбинацию двух преобразований (см. рис. 24).

Рис. 24. График функции

Основные преобразования

Мы рассмотрели, как меняется аналитический вид функции при различных преобразованиях ее графика. Проанализируем полученные результаты.

1. Сдвиг графика вверх соответствует прибавлению положительного числа к значению функции , сдвиг вниз соответствует вычитанию .

Прибавление и вычитание положительного числа аналогично прибавлению положительного или отрицательного числа. То есть сдвиг графика вдоль оси  соответствует преобразованию:. Причем при  происходит сдвиг вверх, при  – сдвиг вниз (см. рис. 25).

Рис. 25. Графики функции  при  и

2. Аналогичным образом можем обобщить и движение вдоль оси . Ему соответствует преобразование , причем при  происходит сдвиг влево, при  – сдвиг вправо (рис. 26).

Рис. 26. Графики функции  при  и

3. Растяжение вдоль оси  соответствует умножению на положительное число , сжатие – делению , симметрия относительно оси  – умножению на  . Эти три действия мы можем обобщить умножением на число.

То есть изменение размеров вдоль оси  и симметрия относительно оси  соответствуют преобразованию . Причем при  получим растяжение графика, при  – сжатие (см. рис. 27). При  график симметрично отразится относительно оси . Причем для  он еще и сожмется; при  – растянется (см. рис. 28).

Рис. 27. Графики функции  при  и

Рис. 28. Графики функции  при  и

4. Аналогично можно обобщить растяжение и сжатие вдоль оси , а также симметрию относительно оси . Им будет соответствовать функция . Причем при  график сожмется относительно оси , при  – растянется (см. рис. 29). При  график симметрично отразится относительно оси . Причем для  он еще и растянется; при  – сожмется (см. рис. 30).

Рис. 29. Графики функции  при  и

Рис. 30. Графики функции  при  и

Теперь мы знаем, как при различных преобразованиях график меняется аналитический вид функции. Но на практике нам понадобится обратная связь: меняя аналитический вид функции, мы будем смотреть, как изменяется ее график. Мы получили  основных преобразования:

1. Прибавление числа к функции:

2. Прибавление числа к аргументу:

3. Умножение значения функции на число:

4. Умножение аргумента на число:

Кроме того, мы уже знаем, как выглядят графики некоторых базовых функций (см. рис. 31):

1. Обратная пропорциональность:

2. Квадратичная функция:

3.  Кубическая функция:

4. Функция квадратного корня:

5. Функция модуля:

Рис. 31. Графики некоторых базовых функций

Порядок преобразований

Теперь с помощью этих знаний мы можем получить графики более сложных функций (см. рис. 32) вроде:

Рис. 32. Графики более сложных функций

Именно этим мы и займемся в продолжение урока. А пока что отметим, что, применяя указанные  преобразования, из функции  в общем мы можем получить функцию . Но нужно быть внимательным при составлении порядка преобразований.

Так, чтобы получить из  нужно сначала прибавить число  (сдвинуть график), а затем только умножить на  (растянуть). Выполнив действия в обратном порядке, мы получим другую функцию. Посмотрим почему.

Действие 1. Умножаем аргумент на . Из  получаем .

Действие 2. Прибавляем к аргументу  число . Обратите внимание: не к , а именно к . Поэтому в результате мы получим .

Далее, чтобы получить именно  из , порядок также важен. Сначала нужно умножить на , а затем прибавить . В обратном случае получим . Так что обращайте внимание на порядок выполнения преобразований.

Преобразование графика квадратичной функции

График линейной функции мы уже подробно изучили, поэтому на нем останавливаться не будем.

Начнем с еще одной часто встречающейся в физических и экономических процессах зависимости – квадратичной. Мы уже сталкивались с общим видом многочлена второй степени: . Соответственно, общий вид квадратичной функции:

Мы знаем, как выглядит график в частном случае   (см. рис. 33).

Рис. 33. График функции

Теперь с помощью преобразований этой базовой функции получим общий вид графика квадратичной функции. Функцию  можно с помощью выделения полного квадрата преобразовать к виду:

Похожее преобразование мы уже делали при решении квадратных уравнений . Можете попробовать выполнить его самостоятельно, проверить себя ниже.

---

Выделение полного квадрата

Дана функция:

Поскольку , можем вынести  за скобки:

Выделим в скобках полный квадрат:

Второе слагаемое должно представлять из себя удвоенное произведение:

Для выделения квадрата прибавим и вычтем :

---

Теперь последовательными преобразованиями приведем функцию  к функции:

1. Прибавим к аргументу :

При этом график сместится влево на  (см. рис. 34).

Рис. 34. График функции

2. Умножим значение функции на  (см. рис. 35):

При положительных значениях  график просто растянется/сожмется. При отрицательных – еще и отразится относительно оси .

Рис. 35. График функции

3. Вычтем из значения функции :

График сместится на  вниз (см. рис. 36).

Рис. 36. График функции

Таким образом, мы получили график функции .

Ключевые элементы параболы

Ключевыми элементами любой параболы являются направления ее ветвей и координаты ее вершины  (см. рис. 37).

Рис. 37. Парабола с вершиной

Действительно, если мы будем знать эти два параметра, то сможем схематически нарисовать любую параболу. Кроме того, мы сразу можем определить различные свойства этой функции:

1. Если ветви параболы направлены вверх  (см. рис. 38), то:

Рис. 38. Ветви параболы направлены вверх

2. Если ветви параболы направлены вниз  (см. рис. 39), то:

Рис. 39. Ветви параболы направлены вниз

У параболы  ветви направлены вверх, вершина имеет координаты  (см. рис. 40).

Рис. 40. Парабола  с вершиной

Посмотрим, как меняются эти параметры при преобразовании графика.

1. При сдвиге графика вдоль оси  (см. рис. 41) значение  становится равным:

Рис. 41. Сдвиг графика квадратичной функции вдоль оси

2. При умножении на число  ветви параболы будут по-прежнему направлены вверх, если же , то они станут направлены вниз (рис. 42):

Рис. 42. Умножение на положительное или отрицательное число

3. При сдвиге вдоль оси  значение  становится равным (см. рис. 43):

Рис. 43. Сдвиг графика квадратичной функции вдоль оси

Это выражение не стоит запоминать: на практике значение  проще получить, подставив значение  в формулу .

Исследование свойств квадратичной функции

Итак, теперь у нас есть все инструменты, чтобы исследовать любую квадратичную функцию и построить ее график. Рассмотрим на примере функции:

У нее:

, значит, ветви параболы направлены вверх.

Координату  найдем, подставив значение  в функцию:

Мы уже можем нарисовать схематический график этой функции (см. рис. 44).

Рис. 44. Схематический график функции

Отметим свойства:

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Функция убывает  при ;.

4.  Функция возрастает  при .

5. Функция общего вида.

6. Непериодическая.

Для нахождения нулей функции решим уравнение:

Используем формулу для нахождения корней:

Тогда:

Найдя нули функции, мы можем более точно изобразить график нашей параболы (см. рис. 45).

Рис. 45. Нули функции  равны  и

По графику видно, что:

1.  при ;
2.  при .

Итак, мы провели полное исследование функции и построили ее график.

На самом деле, можно это сделать и не помня формулу для абсциссы вершины, а просто выделив полный квадрат. Действительно:

График этой функции можно получить из графика функции  с помощью следующей последовательности преобразований:

1. Перемещение графика на  вправо.
2. Растяжение графика вдоль оси ординат в  раза.
3. Перемещение графика на  вниз.

Получили тот же самый график (см. рис. 46). И кстати, по нему сразу видны координаты вершины этой параболы.

Рис. 46. График функции

Аналогичным образом можно исследовать любую квадратичную функцию. Добавим лишь еще пару слов о нулях квадратичной функции. При поиске нулей нужно решать квадратное уравнение. Мы уже увидели, что получается, если уравнение имеет  корня.

Если уравнение имеет  корень, то вершина параболы будет лежать на оси  и, в зависимости от направления ветвей, функция будет принимать или только неотрицательные, или только неположительные значения (см. рис. 47).

Рис. 47. Вершина параболы  лежит на оси

Если же уравнение не имеет корней, то весь график функции лежит выше оси , если  и ниже оси , если  (см. рис. 48).

Рис. 48. Вершина параболы  лежит выше оси

Преобразование графика обратной пропорциональности

Еще одна часто встречающаяся зависимость величин – обратная пропорциональность. Мы уже знаем о свойствах и графике самой простой функции  (см. рис. 49). Применим к нему те же преобразования, что и к графику квадратичной функции.

Рис. 49. График функции  

Умножим значение функции на некоторое число , получим функцию:

При  график функции  сожмется/растянется вдоль оси  (см. рис. 50). В целом же его общий вид останется прежним: график будет расположен в 1-й и 3-й четвертях.

Рис. 50. График функции  при 

При  график функции  симметрично отразится относительно оси  и будет уже расположен во 2-й и 4-й четвертях (см. рис. 51).

Рис. 51. График функции  при

Отметим, что:

1. Область определения:

2. Область значений:

Посмотрев на график, можно отметить, что он приближается к двум прямым:  и , но никогда их не пересекает. Такие прямые называют асимптотами графика (см. рис. 52). Соответственно,  – горизонтальная асимптота,  – вертикальная.

Рис. 52. Асимптоты графика

График функции  можно получить смещением графика  вдоль оси . При этом . Вертикальной асимптотой такого графика будет (см. рис. 53).

Рис. 53. График функции

Чтобы далее получить график  нужно сместить график  вдоль оси y. При этом . Прямая  будет горизонтальной асимптотой графика (см. рис. 54).

Рис. 54. График функции

Теперь мы знаем, как построить график функции . Функция может быть не сразу задана в таком виде, но ее можно привести к такому виду.

Например, построим график функции:

Сначала приведем его к виду . Для этого в числителе выделим знаменатель дроби:

Теперь нужно прибавить число, чтобы выражение в числителе было равно :

Получим:

Почленно разделим:

У этого графика вертикальная асимптота , горизонтальная . Коэффициент , то есть график будет расположен во 2-й и 4-й четвертях, образованных этими асимптотами (см. рис. 55).

Рис. 55. График функции

Список литературы

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра, 8 класс. – М.: Учебник, издательство «Просвещение», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал mathprofi.ru (Источник)
2. Интернет-портал uztest.ru (Источник)
3. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)

Домашнее задание

1. Найти координаты точки параболы , у которой ордината на  больше абсциссы.
2. Построить график функции .
3. Построить график функции .

Преобразования графиков функций и уравнений

Часто возникают задачи, в которых требуется по графику функции y=f(x)y = f(x) построить график некоторой похожей функции. Такого типа задачи называют задачами на преобразование графиков функций. Наиболее известны два типа преобразований графиков – линейные преобразования графиков, а также преобразования графиков, связанные с модулями. Начнём со второго типа преобразований. Будем полагать, что нам задан график функции y=f(x)y = f(x).

Рассмотрим ещё один тип преобразований графиков с модулями.

Теперь перейдём к описанию так называемых линейных преобразований графиков. Выделяют, как правило, следующие три типа таких преобразований.

Рассмотрим несколько примеров построения графиков с использованием упомянутого выше набора преобразований.