Как найти все стороны параллелепипеда 5 класс - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Математика

5 класс

Урок №31

Прямоугольный параллелепипед

Перечень рассматриваемых вопросов:

— куб;

— параллелепипед;

— элементы параллелепипеда;

— развёртка параллелепипеда.

Тезаурус

Прямоугольный параллелепипед – это шестигранник, у которого все грани являются прямоугольниками.

Грань – плоская поверхность предмета, составляющая угол с другой такой же поверхностью.

Основания параллелепипеда – это его верхняя и нижняя грани.

Обязательная литература

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.// С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 класс. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мир, в котором мы живём, состоит из огромного количества разных по форме, цвету и размеру предметов. Изучая их свойства, люди открывают что-то новое. Например, математики в окружающем пространстве обращают внимание на геометрические тела: цилиндры, кубы и так далее.

Сегодня мы рассмотрим прямоугольный параллелепипед – многогранник, название которого с древнегреческого переводится как «идущие рядом плоскости».

Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью прямоугольниками, то есть шестью гранями. Грань, на которую поставлен параллелепипед, и ей противоположную называют нижним и верхним основаниями.

Остальные четыре грани называют боковыми гранями.

Стороны граней параллелепипеда называют рёбрами. Их двенадцать.

Концы рёбер называют вершинами. Их в параллелепипеде восемь.

Каждая вершина является общим концом трёх рёбер.

Длины двух рёбер основания, выходящих из одной вершины, называют длиной и шириной прямоугольного параллелепипеда.

Длину бокового ребра называют высотой.

Таким образом, длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, называют длиной, шириной, высотой. Иначе длину, ширину и высоту называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед, у которого три ребра, выходящие из одной вершины, равны между собой, называется кубом. Каждая грань куба – квадрат.

Рассмотрим свойства прямоугольного параллелепипеда и куба.

У прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны.

Все грани куба равны между собой.

Построим прямоугольник заданной длины а и высоты h.

Для этого от каждой вершины отложим отрезок, равный половине ширины b под углом 45 градусов. И соединим концы отрезков, причём невидимые грани – пунктирной линией.

Изготовить параллелепипед можно несколькими способами. Например, с помощью развёртки. Для этого на бумаге вычерчивается макет, который выглядит как приведённый шаблон. Обратите внимание, что на картинке даны припуски для того, чтобы можно было склеить параллелепипед.

Другой способ изготовления параллелепипеда – модульная сборка. Она требует ряда последовательных действий.

1) Вырежьте из бумаги шесть одинаковых квадратов.

2) Согните их к середине, как показано на картинке.

3) Согните верхние и нижние края заготовки, как показано на рисунке.

4) Верхний уголок опустите вниз, а нижний – загните наверх. После этого получится квадрат.

5) Сделайте шесть таких заготовок и соедините их в один параллелепипед. Для этого каждый острый уголок вставьте в кармашек соседней части кубика.

Тренировочные задания

№ 1. Какова площадь верхней грани параллелепипеда?

S = ___ см²

Решение: площадь верхней грани параллелепипеда соответствует площади прямоугольника. Верхняя грань параллелепипеда имеет длину 15см и ширину 3см. Значит, далее по формуле вычисляем площадь:

S = а ·b = 15 см · 3 см = 45 см²

Ответ: 45 см²

№ 2. На рисунке изображен куб, состоящий из нескольких маленьких кубиков. Сколько маленьких кубиков ушло на построение данного куба?

Решение: для решения задачи нужно посмотреть, сколько маленьких кубиков расположено на одной грани куба. Их 9 штук. Всего на рисунке изображено три грани. Таким образом, чтобы найти общее количество маленьких кубиков, следует умножить количество кубиков, умещающихся на одной грани, на количество граней: 9 · 3= 27 штук.

Ответ: 27 штук.

Источник

Математика

Тема 4: Площади и объемы

Урок 2: Прямоугольный параллелепипед

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Прямоугольный параллелепипед

Мы часто встречаем предметы, имеющие похожую форму. Они могут быть сделаны из разного материала и окрашены в разные цвета. Например, коробок, шкаф, колонки, кирпич – похожи, но отличаются мелкими деталями: у колонок есть кнопки, у шкафа – двери. Все они напоминают по форме изображенный на рисунке предмет, не имеющий никаких второстепенных деталей. Это тело называется прямоугольный параллелепипед.

Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 прямоугольников, каждый из которых называют гранью прямоугольного параллелепипеда. Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны.

Стороны прямоугольников, которые являются гранями прямоугольного параллелепипеда, называются ребрами этого прямоугольного параллелепипеда, а вершины граней – вершины параллелепипеда.

У прямоугольного параллелепипеда 6 граней, 12 ребер и 8 вершин. Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения – длину, ширину и высоту.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения одинаковы. Поэтому поверхность куба состоит из 6 равных квадратов.

Названия всех ребер параллелепипеда: АВ, ВС, CD, DA, А₁В₁, В₁С₁, C₁D₁, D₁A₁, АА₁, DD₁, СС₁, ВВ₁.

Вершины параллелепипеда: А, В, С, D, А_1,В₁, С₁, D₁.

У параллелепипеда 6 граней, каждая грань повторяется 2 раза. Тогда можно записать формулу для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:

где a, b, c – длина, ширина и высота.

У прямоугольного параллелепипеда 12 ребер, причём длина a=DA=BC= D₁A₁= В₁С₁, ширина b=AB=CD=А₁В₁=C₁D₁, высота c=АА₁=DD₁=СС₁=ВВ₁. Тогда периметр (сумма всех сторон) прямоугольного параллелепипеда будет равен:

Заметили ошибку?

Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.

Источник

Представление о том, что такое прямоугольный параллелепипед, все имеют еще с детства, когда играли в кубики, держали в руках такие предметы, как коробка из-под сока или из- под конфет, видели аквариум такой формы. В жизни мы постоянно сталкиваемся с предметами, которые представляют собой прямоугольный параллелепипед (рисунок 1).

Рисунок 1

Определение

Прямоугольный параллелепипед – это шестигранник, у которого все грани являются прямоугольниками. Грань – плоская поверхность предмета, составляющая угол с другой такой же поверхностью. Основания параллелепипеда – это его верхняя и нижняя грани.

Так, на рисунке 2 показан прямоугольный параллелепипед ABCDEFGH. Он имеет 6 граней, основаниями являются грани ABCD и EFGH.

У параллелепипеда есть вершины, их 8. Они обозначены заглавными латинскими буквами. Также у прямоугольного параллелепипеда есть 12 ребер – это стороны граней: AB, BC, CD, AD, EF, FG, HG, EH, AE, BF, CG, HD.

Рисунок 2

Противоположные (не имеющие общих вершин) грани прямоугольного параллелепипеда равны.

Длина, ширина, высота

Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения – длину (а), ширину (b) и высоту (c) – рисунок 3. Зная эти измерения, можно найти не только площадь каждой грани, но и площадь всей поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Рисунок 3

Так как каждая грань параллелепипеда – это прямоугольник, то для нахождения площади любой грани надо умножить длину и ширину этих граней, т.е S=ab, S=bc, S=ac.

Для нахождения площади поверхности прямоугольного параллелепипеда надо сложить площади всех граней, то есть S поверхности = ab+bc+ac+ab+bc+ac. Так как противоположные грани равны, то их площади тоже равны, значит S поверхности = 2ab+2bc+2ac. Это действие можно записать короче, вынося 2 за скобки, как общий множитель, то есть S поверхности = 2(ab+bc+ac). Таким образом, нахождение площади поверхности становится более быстрым.

Куб

Прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны, называется кубом. Поверхность куба состоит из шести равных квадратов (рисунок 4).

Рисунок 4

Для нахождения площади одной грани достаточно найти площадь квадрата по формуле S=a². Тогда для нахождения площади поверхности куба надо эту площадь умножить на 6, так как шесть равных граней у куба: S=6a²

Объем прямоугольного параллелепипеда

Рисунок 5

С понятием объема люди встречаются в повседневной жизни ежедневно. Мы наливаем воду в чайник, в ванну, другие жидкости в разные ёмкости – это всё измеряется в определенных единицах и является объемом. Наши шкафы, холодильники и другие подобные предметы – имеют объемы, так как мы их заполняем определенными вещами. На рисунке 5 показаны предметы, которые мы используем и которые имеют определенный объем.

Рассмотрим объемные геометрические фигуры. Так, например, прямоугольный параллелепипед. Рассмотрим рисунок 6, где показано, что параллелепипед состоит из нескольких одинаковых кубиков. Значит, объем данного параллелепипеда равен сумме объемов его кубиков.

Рисунок 6

За единицу измерения объема выбирают куб, ребро которого равно единичному отрезку. Такой куб называют единичным.

Объем куба с ребром 1 мм называют кубическим миллиметром и записывают 1 мм³; с ребром 1 см – кубическим сантиметром (см³) и так далее. Измерить объем фигуры – значит подсчитать, сколько единичных кубов в ней помещается. Если объем маленького кубика на рисунке 3 принять за единицу, то объем нашего прямоугольного параллелепипеда будет равен 15 кубическим единицам.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо перемножить три его измерения – длину, ширину и высоту. То есть V=abc (рисунок 4). Зная, что произведение длины и ширины – это есть площадь основания, получим, что V=(ab)h=Sh, где h – высота прямоугольного параллелепипеда. Таким образом, мы получили еще одну формулу для нахождения объема параллелепипеда.

Рисунок 7

Объем куба

Поскольку у куба все ребра равны (рисунок 7), то его объем вычисляется по формуле:

V=a³

Рисунок 8

Пирамида

Рисунок 9

Прямоугольный параллелепипед является одним из видов многогранников. Также одним из видов многогранника является пирамида, образ которой также известен нам из жизни – из истории и других источников (рисунок 9).

Поверхность пирамиды состоит из боковых граней – треугольников, которые имеют общую вершину, а в её основании могут быть различные многоугольники – треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т.д. (рисунок 10).

Рисунок 10

Таким образом, пирамиды можно классифицировать по количеству сторон основания (треугольная, четырехугольная, пятиугольная и т.д.). Если пирамида треугольная (рисунок 11), то её основанием может служить любая грань.

Рисунок 11

Даниил Романович | Просмотров: 1.1k

Источник

Вокруг нас мы часто встречаем предметы, имеющие форму коробки.

Они могут быть сделаны из разного материала и окрашены в разные цвета, но по форме они напоминают друг друга: коробки, шкафы, здания и т. п.

Все эти предметы напоминают геометрическое тело — прямоугольный параллелепипед.

Поверхность его состоит из (6) прямоугольников, которые называются гранями прямоугольного параллелепипеда.

Две грани называются противоположными, если у них нет общего ребра. Каждые две противолежащие грани равны.

Грани можно назвать в зависимости от того, как мы видим прямоугольный параллелепипед:

та грань, которая обращена к нам, называется передней;

точно такая же грань имеется сзади — это задняя грань;

боковые грани также являются равными прямоугольниками;

та грань, которая находится сверху, называется верхней;

а грань, на которой фигура стоит, называется нижней, или основанием, и эти две грани равны.

Вершины параллелепипеда — это вершины его граней, рёбра — отрезки, соединяющие вершины параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед имеет (8) вершин, (12) рёбер, (6) граней (передняя, задняя, нижняя, верхняя и две боковые),

Измерения прямоугольного параллелепипеда — это его длина, ширина и высота (на нижнем рисунке — красные рёбра с общей вершиной).

Если у прямоугольного параллелепипеда все измерения равны, то он называется кубом. Грани куба — равные квадраты.

Источники:

https://pixabay.com/photos/gift-box-christmas-present-3587236/

Источник

Конспект урока: Прямоугольный параллелепипед. Пирамида

Призма

Прямоугольный параллелепипед. Пирамида

План урока

Прямоугольный параллелепипед
Куб
Пирамида

Цели урока

Знать элементы прямоугольного параллелепипеда, пирамиды.
Уметь выделять элементы многогранников.

Разминка

Какие геометрические фигуры на плоскости вы знаете?
Назовите предметы, похожие по форме на кирпич.

Прямоугольный параллелепипед

Рис. 1. Прямоугольные параллелепипеды

Если из одинаковых кубиков сложить такие фигуры, как на рис. 1, то они будут иметь форму прямоугольного параллелепипеда.

Такая форма часто встречается в предметах, которые нас окружают. Например, чемодан, ящик, плитка шоколада и др. предметы имеют форму прямоугольного параллелепипеда.

Рис. 2. Прямоугольный параллелепипед

На рис. 2 изображен прямоугольный параллелепипед ABCDEMKF. Он составлен из 6 прямоугольников, которые называются гранями. Стороны граней называются ребрами параллелепипеда, а их вершины — вершинами параллелепипеда.

Перечислим элементы этой фигуры:

8 вершин: точки A, B, C, D, E, M, K и F;
12 ребер: отрезки AB, BC, CD, AD, AE, BM, CK, DF, EF, EM, MK и FK;
6 граней: прямоугольники ABCD, AEMB, BMKC, DFKC, AEFD, EMKF.

Грани, не имеющие общих вершин, называются противолежащими, например, ABCD и EMKF. Грани ABCD и EMFK называют основаниями прямоугольного параллелепипеда.

Противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда равны.

Ребра, выходящие из одной вершины, называются
измерениями прямоугольного параллелепипеда
.

Их называют длина, ширина и высота. Например, в вершине D (рис. 2) сходятся три ребра: AD (длина), СD (ширина) и DF (высота).

Прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны, называют кубом. Поверхность куба состоит из шести равных квадратов.

Лена решила сделать коробочку для подарка своими руками. Для этого она хочет обклеить картонную коробку цветной бумагой. Сколько бумаги потребуется Лене?

Рис. 3. Развертка прямоугольного параллелепипеда

Получается, что Лене нужно вырезать 6 прямоугольников из цветной бумаги такого же размера (мы уже с вами понимаем, что речь идет о площади каждого прямоугольника), как и грани коробки. Другими словами, нужно найти площадь всех граней прямоугольного параллелепипеда. Эта площадь имеет особое название —
площадь

поверхности

параллелепипеда
.

На рис. 3 справа от прямоугольного параллелепипеда изображена фигура, состоящая из граней этого параллелепипеда.

Рис. 4. Многогранники

Причем грани расположены в том порядке, в котором они находятся по соседству в фигуре слева. Такое изображение называется
разверткой фигуры
. Если мы сделаем загибы по линии ребер и совместим соседние грани, то получим прямоугольный параллелепипед.

Прямоугольный параллелепипед является разновидностью многогранника — фигуры, состоящей из нескольких многоугольников (см. рис. 4). Сами многогранники — геометрические тела.

Рис. 5. Пирамида

Пирамида

Еще из курса истории Древнего мира вам знакомо название «пирамида». Но это не только одно из чудес света, но и название геометрической фигуры. На рис. 5 изображена четырехугольная пирамида SABCD. Поверхность пирамиды состоит из боковых граней треугольников, имеющих общую вершину S, и основания. На рис. 5 четырехугольник ABCD — основание, поэтому и пирамиду назвали четырехугольной. Если бы в основании лежал треугольник, то ее называли бы треугольной и т.д.

Точка S называется вершиной пирамиды.

Рис. 6. Развертка пирамиды

Ребра, выходящие из этой вершины, называются боковыми. Ребра, которые являются сторонами основания — ребра основания.

На рис. 7 представлена развертка пирамиды, состоящая из квадрата и четырех треугольников.

1. В пирамиде SABCD, боковые грани — равносторонние треугольники со стороной, равной 7 см. Чему равна сумма длин всех рёбер пирамиды?

2. Назовите грани и ребра прямоугольного параллелепипеда, имеющие вершину K.

Рис. 7. Упражнение

1. Что такое многоугольник?

2. Как называются фигуры из которых состоит многоугольник?

3. Какая фигура является гранью прямоугольного параллелепипеда?

4. Сколько у прямоугольного параллелепипеда ребер?

5. Что такое пирамида?

6. Сколько граней у шестиугольной пирамиды?

7. Что такое развертка?

Ответы

1. 56 см.

2. Ребра KC, KF, KP

Грани BFKC, EFKP, KCDP.

Предыдущий урок

Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем

Следующий урок

Комбинаторные задачи

Элементы комбинаторики и теории вероятности

Источник