Как найти все треугольники в многоугольнике

Пушкин сделал!

Разбор домашних заданий 1-4 класс

Home » Математика » Сколько треугольников изображено на рисунке звезда в пятиугольнике

Сколько треугольников изображено на рисунке звезда в пятиугольнике

Часто знает и дошкольник,
Что такое треугольник,
А уж вам−то как не знать!
Но совсем другое дело −
Быстро, точно и умело
Треугольники считать.
Например, в фигуре этой
Сколько разных? Рассмотри!
Все внимательно исследуй
И по краю, и внутри!

Для того, чтобы решить данную задачу и не запутаться делаем следующее.

Берем большой лист бумаги и рисуем на нем заданную фигуру раз 10 как минимум. Берем цветные карандаши или фломастеры и начинаем раскрашивать треугольники.

Стараемся действовать не хаотично, а системно.

Сначала раскрасьте все самые маленькие треугольнички. Их у вас получится 10 штук.

Затем раскрашиваем треугольнички побольше, которые состоят из двух маленьких треугольничков. У вас получится 2 варианта по 5 штук в каждом.

Затем видим треугольники по боковым граням. Так как граней пять, то и треугольников боковых у нас должно выйти 5.

Затем находим большие треугольники (из трех частей) в центре. Их три штуки.

И наконец самые большие треугольники с вершинами в вершинах звезды. У звезды пять вершин, значит и больших треугольников мы должны найти 5 штук.

Мы ничего не пропустили и нашли 35 треугольников.

А вот какая у вас должна в итоге получится картинка.

Вам может быть интересно:

Здравствуйте! Меня зовут Мария, я автор сайта Пушкин сделал. Надеюсь, что мой сайт вам помогает, в свою очередь прошу помощи у вас. Моему сыну поставили диагноз аутизм. Ему необходимы ежедневные коррекционные занятия, если вы можете помочь, буду вам благодарна. Каждые ваши 10 рублей — еще один шанс для моего ребенка жить полноценной жизнью. Страница для сбора здесь

Геометрия многоугольника: пятиугольники, шестиугольники и додекагоны

Двумерные правильные многоугольники везде

Немногие геометрические фигуры столь же разнообразны, как многоугольники. Они включают в себя знакомый треугольник, квадрат и пятиугольник, но это только начало.

В геометрии многоугольник – это любая двумерная форма, которая удовлетворяет следующим условиям:

• Состоит из трех или более прямых
• Закрыто без отверстий или разрывов в форме
• Имеет пары линий, которые соединяются в углах или вершинах, где они образуют углы
• Имеет равное количество сторон и внутренних углов

Двумерный означает плоский, как лист бумаги. Кубы не являются полигонами, потому что они трехмерны. Круги не являются полигонами, потому что они не содержат прямых линий.

Специальный вид многоугольника может иметь углы, которые не все равны. В этом случае он называется неправильным многоугольником.

О полигонах

Название многоугольник происходит от двух греческих слов:

• Poly, , что означает много .
• Гон, что означает угол

Формы, которые являются полигонами

• Треугольник (треугольник): 3 стороны
• Тетрагон (квадрат): 4 стороны
• Пентагоны: 5 сторон
• Шестиугольник: 6 сторон
• Семиугольник: 7 сторон
• Восьмиугольники: 8 сторон
• Нонагон: 9 сторон
• Декагон: 10 граней
• Undecagon: 11 сторон
• Додекагоны: 12 сторон

Как называются полигоны

Названия отдельных многоугольников получаются из числа сторон или углов, которыми обладает форма. Полигоны имеют одинаковое количество сторон и углов.

Общим названием для большинства полигонов является греческий префикс «сторон», прикрепленный к греческому слову «угол» (gon).

Примеры этого для пяти- и шестигранных правильных многоугольников:

• Пента (по-гречески означает пять) + гон = Пентагон
• Гекса (по-гречески означает шесть) + гон = шестиугольник

Есть исключения из этой схемы именования. В частности, со словами, которые чаще всего используются для некоторых полигонов:

• Треугольник . Использует греческий префикс Tri , но вместо греческого гона используется латинский угол . Trigon – правильное геометрическое имя, но оно используется редко.
• Четырехсторонний. Производный от латинского префикса quadri, , означающего четыре, прилагается к слову боковой, , которое является еще одним латинским словом, означающим сторона.
• Квадрат . Иногда четырехсторонний многоугольник (квадрат) называется четырехугольником или четырехугольником .

N-угольники

Полигоны с более чем 10 сторонами встречаются нечасто, но следуют тому же греческому соглашению об именовании Таким образом, 100-сторонний многоугольник называется гектогоном .

Однако в математике пятиугольники иногда удобнее называть n-гонами :

• 11-гонник: гендекагон
• 12-Гон: Додекагон
• 20-угольник: Icosagon
• 50-гонник: пятиконечный
• 1000-гон: чилиагон
• 1000000-гон: мегагон

В математике н-гоны и их греческие аналоги взаимозаменяемы.

Предел полигона

Теоретически, нет ограничения на количество сторон, которые может иметь многоугольник.

По мере того, как размер внутренних углов многоугольника увеличивается, а длина его сторон становится короче, многоугольник приближается к кругу, но никогда не достигает его.

Классификация полигонов

Регулярные и неправильные полигоны

Полигоны классифицируются на основании того, равны ли все углы или стороны.

• Обычныймногоугольник . Все углы имеют одинаковый размер, а все стороны равны по длине.
• Нерегулярныймногоугольник . Углы или стороны одинакового размера не имеют одинаковой длины.

Выпуклые против вогнутых полигонов

Второй способ классификации полигонов – по размеру их внутренних углов.

• Выпуклые многоугольники: Внутренние углы не превышают 180 °.
• Вогнутые многоугольники . Как минимум, один внутренний угол превышает 180 °.

Простые и сложные полигоны

Еще один способ классификации полигонов – это то, как линии, образующие многоугольник, пересекаются.

• Простые полигоны : линии соединяются или пересекаются только один раз – в вершинах.
• Сложные полигоны : линии пересекаются более одного раза.

Названия сложных многоугольников иногда отличаются от названий простых многоугольников с одинаковым числом сторон.

• шестиугольник правильной формы – это шестигранный простой многоугольник.
• Звездообразная гексаграмма – это шестигранный сложный многоугольник, созданный наложением двух равносторонних треугольников.

Правило суммы внутренних углов

Как правило, каждый раз, когда сторона добавляется в многоугольник, например:

• От треугольника до четырехугольника (три-четыре стороны)
• От пятиугольника до шестиугольника (пять-шесть сторон)

еще 180 ° добавляется к сумме внутренних углов.

Это правило можно записать в виде формулы:

(n – 2) × 180 °

где n равно числу сторон многоугольника.

Таким образом, сумма внутренних углов для шестиугольника может быть найдена с помощью формулы:

(6 – 2) × 180 ° = 720 °

Сколько треугольников в этом многоугольнике?

Приведенная выше формула внутреннего угла получается путем деления многоугольника на треугольники, и это число можно найти с помощью вычисления:

n – 2

В этой формуле n равно числу сторон многоугольника.

Шестиугольник (шесть сторон) можно разделить на четыре треугольника (6 – 2) и додекагон на 10 треугольников (12 – 2).

Размер угла для правильных многоугольников

Для правильных многоугольников, у которых все углы одинакового размера, а стороны одинаковой длины, размер каждого угла в многоугольнике можно рассчитать путем деления общего размера углов (в градусах) на общее количество сторон.

Для правильного шестигранного шестигранника каждый угол равен:

720 ° ÷ 6 = 120 °

Некоторые известные полигоны

Фермы

Фермы часто имеют треугольную форму. В зависимости от ширины и уклона крыши ферма может включать равносторонние или равнобедренные треугольники. Из-за их большой прочности, треугольники используются в строительстве мостов и велосипедных рам, и видны в Эйфелевой башне.

Пентагон

Пентагон – штаб-квартира Министерства обороны США – берет свое название от его формы. Здание представляет собой пятисторонний, правильный пятиугольник.

Главная пластина

Другой известный пятисторонний правильный пятиугольник – домашняя тарелка на бейсбольном алмазе.

Поддельный Пентагон

Гигантский торговый центр недалеко от Шанхая, Китай, построен в форме правильного пятиугольника и его иногда называют поддельным пятиугольником.

Снежинки

Каждая снежинка начинается с шестиугольника, но температура и уровень влажности добавляют ветви и усики, так что каждая из них выглядит по-разному.

Пчелы и осы

Естественные шестиугольники также включают ульи, где каждая клетка в соте, которую пчелы строят для содержания меда, является шестиугольной. Гнезда бумажных ос также содержат гексагональные клетки, в которых они растут.

Тротуар гиганта

Шестиугольники также найдены на мощёной дорожке Гиганта, расположенной на северо-востоке Ирландии. Это естественная горная порода, состоящая из около 40000 взаимосвязанных базальтовых колонн, которые были созданы в виде лавы из-за медленно остывающего древнего вулканического извержения.

Восьмиугольник

Восьмиугольник – имя, данное кольцу или клетке, используемому в боях Ultimate Fighting Championship (UFC) – берет свое название от своей формы. Это восьмигранный правильный восьмиугольник.

Стоп Знаки

Стоп знак – один из самых знакомых дорожных знаков – еще один восьмигранный правильный восьмиугольник. Хотя цвет, формулировка или символы на знаке могут различаться, восьмиугольная форма знака остановки используется во многих странах мира.

Задача, которую решают единицы: сколько треугольников на картинке?

Если у вас нашлась свободная минутка, то почему бы вам не проверить свои силы и не попробовать решить довольно простую задачу. Хотя простой она может показаться уже после того, как вы узнаете ответ. Итак, сколько треугольников вы можете найти на этой картинке?

Считается, что найти все зашифрованные треугольники могут только люди с высоким IQ. Если вы думаете, что действительно нашли все треугольники, то попробуйте сравнить свой ответ с нашим.

Число треугольников на картинке 24. Эта цифра может показаться невозможной, но это единственно верный ответ.

We will learn how to find the number of
triangles contained in a polygon.

If the polygon has ‘n’ sides, then the
number of triangle in a polygon is (n – 2).

● Polygons

Polygon and its Classification

Terms Related to Polygons

Interior and Exterior of the Polygon

Convex and Concave Polygons

Regular and Irregular Polygon

Number of Triangles Contained in a Polygon

Angle Sum Property of a Polygon

Problems on Angle Sum Property of a Polygon

Sum of the Interior Angles of a Polygon

Sum of the Exterior Angles of a Polygon

Сколько треугольников в пятиугольнике со звездой? Ответ обоснуйте, чтобы было понятно, что не от балды. Такое задание предлагают второклассникам в учебнике Петерсона. Хотя оно и взрослого может поставить в тупик. Чтобы его решить, нужно сделать следующее. Взять большой лист белой бумаги, нарисовать на нем много данных фигур покрупнее. Далее взять цветные карандаши и начинать раскрашивать треугольники. Причем это нужно делать не хаотично, а систематизировано. Сначала красим маленькие треугольники, затем треугольники побольше и так далее. В общем если вы все сделаете правильно, то у вас должно получиться 35 треугольников. Если затрудняетесь, то вот отличная раскрашенная картинка всех треугольников. модератор выбрал этот ответ лучшим Salve 2022 [133K] 3 года назад  Из школьных заданий определить количество геометрических фигур в другой геометрической фигуре — самая распространенная, которая развивает внимательность и пространственное воображение. Нам для решения загадки предоставлена геометрическая фигура, которая является по всем стандартом пятиугольником, внутри которой изображена фигура в виде пятиконечной звезды. Если раскрасить треугольники разными цветами, то получится 35 треугольников. Примерно так получается 35 треугольников. Элени­я [445K] 3 года назад  Знание геометрии пригодится, чтобы разделить вписанный пентакль в многоугольник. Видим шестиугольную фигуру, в которую вписана другая фигура — «пятиконечная звезда». Сам по себе шестиугольник будет образовывать треугольники, если провести диагонали из вершин к другим вершинам: В многоугольнике можно выделить многими способами треугольники. Также, звезда тоже образована множеством треугольников. Еще появляются треугольники, которые образуются между обоими фигурами. Так сколько же в всего треугольников? Итак, посчитаем общее количество, сколько всего треугольников? Их много, поэтому начнем по порядку. Чтобы решить головоломку, необходимо тщательно сопоставить все варианты, быть внимательными и не упустить ни один из них. Чтобы учесть каждый из треугольников, не пропустив, обозначим все разным цветом. И остается только сложить! Здесь по пять «красных», «желтых», «синих», «серых» и «зеленых» фигур, а «лиловых» — десять. Посчитаем общее количество, согласно всем результатам. Это «пять» раз по «пять» («двадцать пять») и один раз по «десять», всего — «тридцать пять» штук. У нас получается цифра — «35». 35 треугольников. После того, как сам нашёл эти треугольники — нашёл аналогичный вопрос на этом сайте с таким же ответом: вопрос «Сколько треугольников найдете?» (можно найти поиском по сайту). Тупо копирую наиболее наглядный ответ оттуда. Ответ: на рисунке 35 треугольников вписано в пятиугольник. 1) Для начала посчитаем самые маленькие треугольники, то есть те, которые ничем не перечёркиваются. Получилось, что их 10 (на моём рисунке 5 красных и 5 зелёных). 2) Теперь посчитаем самые крупные треугольники. Их получилось тоже 10 (5 красных — боковых и 5 центральных жёлтых). 3) Теперь посчитаем оставшиеся — средние по размеру треугольники. Их у меня получилось 15. Сначала я нашёл 10 средних треугольников (2 жёлтых, 4 красных и 4 зелёных). Затем я пригляделся и увидел внутри фигуры ещё 5 больших треугольников. Их я выделил синим цветом. Итого суммируем и получаем 35 (10+10+15). Евген­ий трохо­в [56.5K] 5 лет назад  Обозначим вершины большого пятиугольника цифрами 1,2,3,4,5.Тогда будет 5 треугольников образованных вершинами пятиугольника (1,2,3),(2,3,4),(3,4­,5)(4,5,1),(5,1,2).По­смотрите на свой рисунок.Видно что каждый такой треугольник пересечён двумя прямыми(углом звезды исходящей из вершины).Тогда получается что каждый треугольник добавляет еще по 5 треугольников.( 3 по одному и 2 состоящих из объединения двух малых).Это ещё 25 треугольников.Ещё 5 треугольников дают треугольники образованные из двух вершин большого пятиугольника и одной вершины малого внутреннего пятиугольника.И ещё 5 треугольников образованных вершинами (1,2,4),(2,3,5),(3,4­,1),(4,5,2),(5,1,3),и­того 5+25+5+5=40 треугольников. Zummy out off [226K] 3 года назад  Очень хорошая задача на внимательность и на развитие пространственного воображения. Нужно очень внимательно шаг за шагом просматривать все фигуры, которые образованы линиями, искать среди фигур треугольники. Трудно это сделать, если смотреть на исходную фигуру. Лучше всего нарисовать эту же фигуру на листе бумаги и закрашивать треугольники один за другим, от самых мелких до самых крупных. Жалко, что уже много ответов в интернете на эту задачу. Скорее всего, ученик сразу в поиске найдёт результат. Но результат нужно представить в виде решения, то есть все фигуры найти. Вот один из вариантов решения. Добры­й Мстит­ель [255K] 4 года назад  Второклассника придется вооружиться терпением, чтобы определить количество треугольников в пятиугольника со щвездой. Взяв цветные карандаши или фломастеры, на листе бумаге нарисовать сначала фигуры, желательно много, они пригодятся для решения. Потом начинаем раскрашивать треугольники, начиная с самых маленьких, затем раскрашивание более большие и так доходим до самых больших, которые тоже разукрашиваем. Треугольники можно раскрашивать в разные цвета. Потом ведём подсчет, получается ровно 35. Верный ответ: 35 треугольников. [поль­зоват­ель забло­киров­ан] [321K] 4 года назад  В задании/головоломке вопрос: такая геометрическая фигура, как пятиугольник со звездой, разделенная на треугольники, в пятиугольник образуется множество треугольников, которые нужно подсчитать. Существуют подсчеты,которые можно получить путем раскрашивания треугольников, можно просто выделять стороны треугольников. Правильным ответом будет количество — 35. danil­aups [4.9K] 3 года назад  Интересная задачка, взята она кстати из учебника для вторых классов по математике Петерсона. Сказать по правде, прочтя вопрос, сразу стал глазами искать эти самые треугольники, всего насчитал 32. Затем, опустив взгляд чуть ниже, стал читать ответы других пользователей, оказалось что я обсчитался на три треугольника, что и не удивительно, все таки аудитория не целевая для таких задач. Как вы уже наверно догадались правильный ответ 35 треугольников, есть разные способы их подсчета, использовав любой их которых вы так или иначе развиваете свои умственные способности, особенно если это происходит во втором классе. владс­андро­вич [766K] 4 года назад  Всего должно получиться 35 треугольников: Очень удобно считать их выделив по цветам, а именно:тех которые идут красного и зеленого цвета, идет по пять и это уже выходит = 10. Затем желтым и красным цветом вы видите самые крупные треугольники и их выходит тоже =10. В завершении вы видите треугольники, которые считаются средними и их выходит 15, а если сложить все, то = 35. SvetK­it [4K] 3 года назад  Эта фигура является пятиугольником. Звезда тоже пятиконечная. Выбираем один треугольник, например, образованный стороной пятиугольника и лучами звезды с вершиной напротив этой стороны. Если внимательно приглядеться, то можно увидеть такую закономерность: лучи звезды и плюс дополнительно стороны этого пятиугольника образовывают по пять одинаковых треугольников, смещенных по кругу. Также, группами по пять штук, расположены и все остальные треугольники. Таких видов треугольников насчитывается 7. Итого, общее число треугольников в данной фигуре 7×5 равно 35. Знаете ответ?

Сколько треугольников видно на картинке?

Сначала насчитала 8, потом 9, а потом пошло и поехало. Не уверена что правильно посчитала, но у меня всего получилось 22 треугольника. Интересно сколько их на самом деле. Хорошее упражнение на внимательность.

Давайте попробуем считать треугольники по каким-тот правилам. Итак, треугольников которые имеют общую вершину на самом верху всего 18. Действительно из этой вершины исходят три луча, которые пересекаются с двумя прямыми, образуя на каждом уровне по 6 треугольников (3 маленьких, 2 средних и один большой).

Теперь перейдем к вершине на втором уровне, там можно найти 3 треугольника (большой, средний и маленький). Те же 3 треугольника можно найти на нижнем уровне. Итак всего 24 треугольника: 18+3+3 = 24.

Как вычислить количество треугольников?

Вот я криво нарисовал треугольник и разбил его на несколько маленьких, а затем задумался: можно ли как-нибудь без банального пересчета узнать общее количество получившихся треугольников? Немного подумав я разделил все треугольники на несколько типов: одинарные, двойные и т. д. То есть формула должна быть суммой всех треугольников каждого типа. На рисунке сторона самого большого треугольника поделена на 7 отрезков. Практическим методом я понял, что при любом количестве этих отрезков число одинарных треугольников равно квадрату числа отрезков. То есть, самых маленьких треугольничков на рисунке 49. Так же разобрался с двойными, их количество находится по формуле 3(n-1), где n- опять же число отрезков. К этой сумме можно прибавить число самых больших треугольников — всегда 1. Вот и все: для остальных треугольников не могу закономерности увидеть. Может из здесь присутствующих кто нибудь увидит?
/>

считай не треугольники, а ВЕРХНИЕ/НИЖНИЕ ВЕРШИНЫ (как вариант- ПАРЫ точек, задающих горизонтальное основание)
_________

Сколько есть горизонтальных отрезков длины 1?
1+2+. +(n-1)+n
Каждый, кроме последних n,задает 2 треугольника.
2*(1+2+. +(n-1))+n
________________
Сколько есть горизонтальных отрезков длины 2?
1+2+. +(n-2)+(n-1)
Каждый, кроме последних (n-1) и (n-2),задает 2 треугольника.

только не бросайся сразу складывать.)))

Просто пойми сначала, что можно смотреть на задачу с разных сторон.
____________________

вторая идея тебе:
попробуй идти не от мелкого к крупному, а наоборот- от самого большого размера уменьшать понемногу.

Задачи «на подсчет треугольников»

5.3.2. Опишем проведенную работу при решении задач «на подсчет треугольников». В первых геометрических задачах будет применяться термин «взаимопроникающие фигуры», предложенный И.С. Якиманской. Вслед за ней взаимопроникающими мы называем такие фигуры, которые имеют часть общей площади: одними своими частями они перекрывают друг друга, другими частями не совпадают [196].

Посмотрите на рис. 5.2, а: треугольник АВС можно разделить на составляющие его фигуры: треугольники АЕО, О DC, АОС и четырехугольник BEOD (рис. 5.2, б).

Можно рассмотреть и другие имеющиеся в треугольнике АВС треугольники: ABD, ЕВС, АЕС, ADC (рис. 5.2, в). В этом случае мы получаем «взаимопроникающие» фигуры.

Исследование И.С. Якиманской [196] было направлено на изучение того, как учащийся анализирует геометрический чертеж, какие фигуры выступают для него более явно, бросаются в глаза, а какие трудны для выделения, на что опирается учащийся при рассмотрении чертежа, какие умственные процессы обеспечивают возможность различного видения чертежа. Результаты, полученные И.С. Якиманской, очень интересны, к сожалению, их недостаточно используют при работе с учащимися.

Задачи с взаимопроникающими элементами использовал в своей работе и В. А. Крутецкий. С помощью этих задач он исследовал особенности аналитико-синтетического восприятия геометрических фигур учащимися, в частности умения рассматривать и оценивать взаимопроникающие элементы геометрических фигур с различных точек зрения, выделять элементы фигур и фигуры из фона, включать один и тот же элемент в разные фигуры и соответственно давать им различную интерпретацию.

Рассмотрим некоторые задачи по подсчету треугольников с учетом взаимопроникающих фигур.

Задача 5.8. Сколько отрезков вы видите на рис. 5.3? Назовите их.

Задача 5.9. Сколько треугольников изображено на рис. 5.4? Назовите их.

Задача 5.10. Сколько углов вы видите на рис. 5.5? Назовите их.

В.А. Крутецкий ограничивал исследование тем, что фиксировал, «насколько полный ответ дают испытуемые, какую роль играют „видение» и „рассуждение»» [98].

Учитывая вышеизложенное, рассмотрим, как можно использовать «цепочки задач на подсчет треугольников» для выявления «геометрического зрения», уровней владения приемами анализа и синтеза, алгоритмических способностей учащихся, причем не будем ограничиваться только окончательным ответом, а приведем качественный анализ выполнения задания.

Б.М. Теплов подчеркивал, что «не следует вовсе исключать возможность количественного подхода при исследовании способностей. Он возможен, однако, только в том случае, когда он следует за качественным анализом, вытекает из него, им определяется» [171].

Количественная характеристика применялась нами при оценке:

• • геометрического зрения — насколько полно и точно учащийся увидел искомые фигуры; количество выделенных фигур из фона;
• • аналитико-синтетической деятельности — наличие и количество «идей» при решении задач, выбор наиболее рационального способа решения;
• • алгоритмические способности — количество шагов, приводящих к правильному решению.

Ниже приведены некоторые из предлагаемых учащимся заданий по подсчету треугольников и дан анализ их решения.

Задача 5.11. Сосчитайте, сколько треугольников изображено на рис. 5.6.

Цепочка задач построена таким образом, что при переходе к каждой последующей фигуре увеличивается число искомых треугольников (принцип нарушается при переходе от слу-

чая 5.6, в к случаю, изображенному на рис. 5.6, г, но в случае 5.6, г усложняется «геометрический фон», т. е. появляются такие взаимопроникающие треугольники, которые состоят, например, из треугольника и четырехугольника, а в случае 5.6, в все взаимопроникающие треугольники можно рассматривать состоящими только из треугольников).

Оценка выполнения задания (а)

• 1. Если учащийся увидел на рис. 5.6, а большой треугольник, состоящий из двух маленьких, т. е. всего три треугольника, то он получает 1 балл.
• 2. Если учащийся не видит какой-либо из трех треугольников, то он получает 0 баллов.

Оценка выполнения задания (б)

На рис. 5.6, б изображен большой треугольник, состоящий из трех маленьких, всего четыре треугольника. Такое решение оценивается в 1 балл.

Схема рассуждений и ход решения (в)

1. Воспроизведем рис. 5.6, в. Пронумеруем треугольники (рис. 5.7, а). Сосчитаем все маленькие треугольники, их всего шесть (рис. 5.7, б).

• 2. Сосчитаем треугольники, состоящие из двух маленьких, их всего три (рис. 5.7, в).
• 3. Сосчитаем треугольники, состоящие из трех маленьких, их всего шесть (рис. 5.7, г).
• 4. Треугольник, состоящий из шести маленьких треугольников, — один (рис. 5.7, а).

Всего получилось 16 треугольников.

Оценка выполнения задания (в)

• 1. Учащиеся сосчитали (увидели) все взаимопроникающие треугольники, подсчет вели с помощью алгоритма — 2 балла.
• 2. Задача решалась без применения алгоритма (какие треугольники учащийся увидел, такие и сосчитал, но нашел больше семи треугольников — 1 балл).
• 3. Учащийся при решении насчитал меньше семи треугольников, т. е. не увидел взаимопроникающих треугольников, — оценка 0 баллов.

Схема рассуждений и ход решения (г)

• 1. Сосчитаем треугольники в «нижней» части рис. 5.6, г, их всего шесть, причем все они состоят только из треугольников (рис. 5.8, а, б, в).
• 2. Добавляем «верхнюю» часть, получаем треугольники, состоящие из треугольников и четырехугольника, решение аналогично решению в случае а, треугольников тоже шесть (рис. 5.9, а, б, в).

Всего получилось: (3 + 2 + 1) + (3 + 2+ 1) = 12 треугольников.

Оценка выполнения задания (г)

• 1. Учащийся подсчитал все треугольники с помощью алгоритма (выбор алгоритма значения не имеет) — оценка 3 балла.
• 2. Учащийся применил для решения алгоритм, не позволивший выделить все имеющиеся на рисунке треугольники — оценка 2 балла.
• 3. Учащиеся, сосчитавшие только треугольники на рис. 5.8, а, в и рис. 5.9, а, в, т. е. не увидевшие взаимопроникающих треугольников, получают 1 балл.

4. Учащиеся, увидевшие на рисунке меньше семи треугольников, получают О баллов.

Схема рассуждений и ход решения (д)

В этой задаче (как, впрочем, и в других) при подсчете числа треугольников без алгоритма есть опасность «потерять» треугольники, поэтому полезно обозначить треугольники цифрами (рис. 5.10).

• 1. Начнем подсчет с маленьких треугольников, их всего 12 (рис. 5.10).
• 2. Считаем треугольники, состоящие из трех маленьких (два маленьких треугольника образуют ромб), таких треугольников шесть (рис. 5.11).

3. Четыре, пять, шесть, семь, восемь маленьких треугольников не образуют новых треугольников, а треугольников, состоящих из девяти маленьких треугольников, — два (рис. 5.12).

Всего получилось 12 + 6 + 2 = 20 треугольников.

Оценка выполнения задания (д)

• 1. Учащиеся, предложившие алгоритм подсчета и сосчитавшие все треугольники, получают 3 балла.
• 2. Учащиеся, сосчитавшие все треугольники, но не предложившие алгоритм подсчета, получают 2 балла.
• 3. Учащиеся, увидевшие случаи, изображенные на рис. 5.11 и рис. 5.12, но пропустившие некоторые треугольники, получают 1 балл.
• 4. Учащиеся, не увидевшие случаи, изображенные на рис. 5.11, 5.12, получают 0 баллов.

Схема рассуждений и ход решения (е)

Эта задача самая сложная в цепочке, выявляющей «уровни видения» взаимопроникающих треугольников, так как в ней появляются треугольники, состоящие из треугольников и пятиугольника. Пронумеруем все элементы пятиугольника (рис. 5.13).

1. Десять маленьких треугольников (1-10) (рис. 5.13).

• 2. Десять треугольников, состоящих из двух маленьких треугольников (1-2, 2-3,
• 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, 7-8, 8-9, 9-10, 10-1).
• 3. Пять треугольников, состоящих из трех маленьких треугольников (1-2-3,
• 3-4-5, 5-6-7, 7-8-9, 9-10-1).
• 4. Пять треугольников, состоящих из двух маленьких треугольников и пятиугольника (2-11-6, 4-11-8, 6-11-10, 8-11-2,10-11-4).
• 5. Пять треугольников, состоящих из четырех маленьких треугольников и пятиугольника (1-2-10-11-6, 3-4-2-11-8, 5-6-4-11-10,7-8-6-11-2,9-8-10-11-4).

Всего получилось 10 + 10 + 5 + 5 + 5 = 35 треугольников.

Оценка выполнения задания (д)

• 1. Учащийся увидел все взаимопроникающие треугольники, предложил алгоритм подсчета (не обязательно рассмотренный нами) — оценка 4 балла.
• 2. Учащийся увидел треугольники, соответствующие пп. 1, 2, 3, 4 или 1, 2, 3, 5 и какие-то треугольники, соответствующие пп. 4 или 5, — оценка 3 балла.
• 3. Учащийся увидел треугольники, соответствующие пп. 1, 2, 3, но не увидел ни одного треугольника, соответствующего пп. 4 и 5, — оценка 2 балла.
• 4. Учащийся увидел какие-то треугольники, соответствующие пп. 1, 2, 3, но не все — оценка 1 балл.
• 5. Учащийся увидел только треугольники, соответствующие п. 1, — оценка 0 баллов.

При рассмотрении предложенных в предыдущей задаче случаев видно, что можно пользоваться «методом проб и ошибок», но без подключения «анализа» (причем иногда довольно углубленного) успеха добиться трудно.

Задача 5.12. Сосчитайте, сколько треугольников изображено на рис. 5.14.

Ответ: на рис. 5.14, а изображено 13 треугольников; 5.14,6 — 27 треугольников; 5.14, в — 47 треугольников; 5.14, г —27 треугольников; 5.14, д — 32 треугольника; 5.14, е — 48 треугольников.

Интересная получилась задачка… Вот первые решения — от 3 до 20 и соответственно графики. Числа внутри картинок — площадь покрытия и ее отношение к площади многоугольника (на графике соответственно синяя и красная линия). Если кто какую математику сумеет привязать и рассказать, было бы интересно посмотреть…

Update 1

На 25-угольнике проклюнулся подтверждающий идею пятый треугольник:

Переписал с применением ДП, скорости достаточно, чтоб просчитывать сотни… На картинках уже ничего не разглядеть, но при N=282 (пятый порядок треугольников) площадь треугольников 93.6% от площади многоугольника.

Update 2

Ну, и последняя капля Пусть

— площадь N-угольника, а — площадь покрытия треугольниками.

По моим прикидкам, при больших N (ну, там, тысячи хотя бы…)

Update 3

По просьбам на e-mail и в комментариях. Вот две программки, писано на бегу, когда вечером свет есть, так что качество — какое уж есть. Все компилил VC++2019.

Получение оптимального решения для N-угольника.

#include <vector>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
#include <numbers>
#include <array>
#include <map>

using namespace std;

struct Pnt
{
    double x,y;
};

Pnt pnt(int i, int N)
{
    Pnt p;
    p.x = cos(2*numbers::pi*i/N);
    p.y = sin(2*numbers::pi*i/N);
    return p;
}

using Trigon = array<int,3>;
using Soltri = vector<Trigon>;

struct Solution
{
    int N, count;
    double S = -1;
    Soltri sol;
};

// pair<int,int> - N и количество вершин (отсчет c 0)
map<pair<int,int>,Solution> Rep;

// Площадь треугольника
double Area(int i, int j, int k, int N)
{
    return abs(sin(2*numbers::pi*(j-i)/N) + sin(2*numbers::pi*(k-j)/N) + sin(2*numbers::pi*(i-k)/N))/2;
}

// pair<int,int> - начальная вершина и их количество
double S(pair<int,int> d, Soltri& st, int N)
{
    if (d.second < 3) return 0;
    if (auto sl = Rep.find(make_pair(N,d.second)); sl != Rep.end())
    {
        for(auto t: sl->second.sol)
        {
            t[0] += d.first;
            t[1] += d.first;
            t[2] += d.first;
            st.push_back(t);
        }
        return sl->second.S;
    }

    double maxS = 0;
    Soltri trs;

    for(int i = d.first; i < d.first + d.second - 2; ++i)
        for(int j = i+1; j < d.first + d.second - 1; ++j)
            for(int k = j+1; k < d.first + d.second; ++k)
            {
                Soltri cur;
                Trigon t {i,j,k};
                cur.push_back(t);
                double pS = Area(i,j,k,N);
                pair<int,int> a[4];
                a[0] = make_pair(d.first,i - d.first);
                a[1] = make_pair(i+1,j - i - 1);
                a[2] = make_pair(j+1,k - j - 1);
                a[3] = make_pair(k+1,d.second - k - 1);

                pS += S(a[0],cur,N) + S(a[1],cur,N) + S(a[2],cur,N) + S(a[3],cur,N);

                if (pS > maxS)
                {
                    maxS = pS;
                    trs = cur;
                }
            }
    Solution sol;
    sol.N = N; sol.count = d.second; sol.S = maxS;
    for(auto m: trs)
    {
        st.push_back(m);
        for(int& tg: m) tg -= d.first;
        sol.sol.push_back(m);
    }
    Rep.insert(make_pair(make_pair(N,d.second),sol));

    return maxS;
}

double Sol(Soltri& st, int N)
{
    double maxS = 0;
    Soltri trs;
    int i = 0;
    for(int j = 1; j < N - 1; ++j)
        for(int k = j+1; k < N; ++k)
        {
            Soltri cur;
            Trigon t{i,j,k};
            cur.push_back(t);
            double pS = Area(i,j,k,N);
            pair<int,int> a[4];
            a[0] = make_pair(i+1,j - i - 1);
            a[1] = make_pair(j+1,k - j - 1);
            a[2] = make_pair(k+1,N - k - 1);
            pS += S(a[0],cur,N) + S(a[1],cur,N) + S(a[2],cur,N);
            if (pS > maxS)
            {
                maxS = pS;
                trs = cur;
            }
        }
    for(auto m: trs) st.push_back(m);
    return maxS;
}

double S(int N, Soltri& sol)
{
    sol.clear();
    return Sol(sol,N);
}

double Sn(int N)
{
    return N*sin(2*numbers::pi/N)/2;
}

int main(int argc, char * argv[])
{
    cout << fixed << setprecision(6);
    for(int N = 5; N < 50; ++N )
    {
        Soltri sol;
        double s = S(N,sol);
        cout << setw(2) << N << ":  "
            << setw(10) << s
            << setw(10) << s/Sn(N) << endl;
        for(auto t: sol)
        {
            for(auto p: t) cout << p << " ";
            cout << endl;
        }
    }
}

Расчет (не)покрытой площади для N=9*2^k-6

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
#include <numbers>

using namespace std;

double Sn(int N)
{
    return N*sin(2*numbers::pi/N)/2;
}

double Area(int i, int j, int k, int N)
{
    return abs(sin(2*numbers::pi*(j-i)/N) + sin(2*numbers::pi*(k-j)/N) + sin(2*numbers::pi*(i-k)/N))/2;
}


int main()
{
    for(int k = 1; k < 21; ++k)
    {
        int N = (1 << k)*9-6;
        double s = 0;
        int L = 1;
        for(int i = k-1; i >= 0; --i)
        {
            int count = 3*(1<<i);
            s += count *Area(0,L,2*L,N);
            L = L*2 + 2;
        }
        s += Area(0,L,2*L,N);
        s = s/Sn(N);

        cout << N << "   " << setprecision(15) << 1.0-s << endl;
    }
}

Update 4

Все, проломил односекундный барьер для 500

#include <vector>
#include <string>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
#include <numbers>
#include <array>
#include <map>

using namespace std;

struct Pnt
{
    double x,y;
};

Pnt pnt(int i, int N)
{
    Pnt p;
    p.x = cos(2*numbers::pi*i/N);
    p.y = sin(2*numbers::pi*i/N);
    return p;
}

using Trigon = array<int,3>;
using Soltri = vector<Trigon>;

struct Solution
{
    int N, count;
    double S = -1;
    Soltri sol;
};

// pair<int,int> - N и количество вершин (отсчет c 0)
map<pair<int,int>,Solution> Rep;

// Площадь треугольника
double Area(int i, int j, int k, int N)
{
    return abs(sin(2*numbers::pi*(j-i)/N) + sin(2*numbers::pi*(k-j)/N) + sin(2*numbers::pi*(i-k)/N))/2;
}

// pair<int,int> - начальная вершина и их количество
double S(pair<int,int> d, Soltri& st, int N)
{
    if (d.second < 3) return 0;
    if (auto sl = Rep.find(make_pair(N,d.second)); sl != Rep.end())
    {
        for(auto t: sl->second.sol)
        {
            t[0] += d.first;
            t[1] += d.first;
            t[2] += d.first;
            st.push_back(t);
        }
        return sl->second.S;
    }

    double maxS = 0;
    Soltri trs;

    int i = d.first, k = d.first + d.second-1;
    for(int j = max((i+k)/2,i+1); j < min((i+k)/2+3,k); ++j)
    {
        Soltri cur;
        Trigon t {i,j,k};
        cur.push_back(t);
        double pS = Area(i,j,k,N);
        pair<int,int> a[4];
        a[0] = make_pair(d.first,i - d.first);
        a[1] = make_pair(i+1,j - i - 1);
        a[2] = make_pair(j+1,k - j - 1);
        a[3] = make_pair(k+1,d.second - k - 1);

        pS += S(a[0],cur,N) + S(a[1],cur,N) + S(a[2],cur,N) + S(a[3],cur,N);

        if (pS > maxS)
        {
            maxS = pS;
            trs = cur;
        }
    }
    Solution sol;
    sol.N = N; sol.count = d.second; sol.S = maxS;
    for(auto m: trs)
    {
        st.push_back(m);
        for(int& tg: m) tg -= d.first;
        sol.sol.push_back(m);
    }
    Rep.insert(make_pair(make_pair(N,d.second),sol));

    return maxS;
}

double Sol(Soltri& st, int N)
{
    double maxS = 0;
    Soltri trs;
    int i = 0;
    for(int j = max(N/3 - 2,1); j < max(N/3+2,N); ++j)
        for(int k = max(2*N/3 - 2,j+1); k < max(2*N/3+2,N); ++k)
        {
            Soltri cur;
            Trigon t{i,j,k};
            cur.push_back(t);
            double pS = Area(i,j,k,N);
            pair<int,int> a[4];
            a[0] = make_pair(i+1,j - i - 1);
            a[1] = make_pair(j+1,k - j - 1);
            a[2] = make_pair(k+1,N - k - 1);
            pS += S(a[0],cur,N) + S(a[1],cur,N) + S(a[2],cur,N);
            if (pS > maxS)
            {
                maxS = pS;
                trs = cur;
            }
        }
    for(auto m: trs) st.push_back(m);
    return maxS;
}

double S(int N, Soltri& sol)
{
    sol.clear();
    return Sol(sol,N);
}

double Sn(int N)
{
    return N*sin(2*numbers::pi/N)/2;
}

int main(int argc, char * argv[])
{
    cout << fixed << setprecision(6);
    for(int N: {250,500})
    {
        Soltri sol;
        double s = S(N,sol);

        cout << setw(2) << N << ":  "
            << setw(10) << s
            << setw(10) << s/Sn(N) << endl;
        for(auto t: sol)
        {
            for(auto p: t) cout << p << " ";
            cout << endl;
        }
    }
}