Как найти всего в задачах на дроби

Задачи на дроби

• Выражение части в долях целого
• Нахождение дроби от числа
• Нахождение числа по его дроби

Выражение части в долях целого

Чтобы выразить часть в долях целого, нужно часть разделить на целое.

Нахождение дроби от числа

Для решения задач, в которых требуется найти часть целого справедливо следующее правило:

Если часть целого выражена дробью, то чтобы найти эту часть, можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель.

Второй способ нахождения части целого:

Чтобы найти часть целого, можно умножить целое на дробь, выражающую эту часть целого.

Нахождение числа по его дроби

Для решения задач, в которых требуется найти целое по его части справедливо следующее правило:

Если часть искомого целого выражена дробью, то чтобы найти это целое, можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель.

Второй способ нахождения целого по его части:

Чтобы найти целое по величине выражающей его часть, можно разделить эту величину на дробь, выражающую данную часть.

Решение задач на дроби

Ключевые слова конспекта: решение задач на дроби, решения задач в 5-6 классе, ответы на задачи, нахождение части целого, восстановление целого по известной его части, нахождение отношения величин, увеличение (уменьшение) на часть целого, часть от части целого, нахождение целого по его части, выражение остатка через часть целого, выражение величины частью целого, часть от части целого, оставшаяся часть целого.

---

---

Решение основных и типовых задач на дроби для учащихся 5-6 классов, включая углубленный уровень изучения математики.

Задача № 1.
  Нахождение части целого.

Андрей вышел из дома к озеру, до которого 900 м. Пройдя 3/5 пути, он встретил друга. На каком расстоянии от дома Андрей встретил друга?

РЕШЕНИЕ:

Целое задано числом 900. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти 3/5 от 900.

Способ 1.
Найдем 1/5 от 900 и результат умножим на 3; получим 900 : 5 • 3 = 180 • 3 = 540.

Способ 2.
Умножим число 900 на дробь 3/5 и получим 540.

Ответ: 540 м.

Задача № 2.
  Восстановление целого по известной его части.

Андрей вышел из дома к озеру и, пройдя 3/5 расстояния до озера, он встретил друга. Расстояние от дома до встречи с другом составило 540 м. Каково расстояние от дома Андрея до озера?

РЕШЕНИЕ:

Известна часть целого – число 540. Этой части соответствует дробь 3/5. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти по дроби – неизвестное целое.

Способ 1.
Так как 540 – это три пятых целого, то одна пятая – это 540 : 3 = 180. А все целое – это пять пятых и оно равно 180 • 5 = 900.

Способ 2.
Разделим число 540 на дробь 3/5, получим 900.

Ответ: 900 м.

Задача № 3.
  Нахождение отношения величин.

В школе 630 учащихся. В спартакиаде приняло участие 345 учащихся школы. Какая часть всех учащихся школы приняла участие в спартакиаде?

РЕШЕНИЕ:

Один учащийся школы – это 1/630 часть всех учащихся школы. Поэтому 345 учащихся составляют 345/630 всех учащихся школы. Сократив полученную дробь, запишем 23/42 всех учащихся школы.

Ответ: 23/42 всех учащихся школы.

Задача № 4.
  Увеличение (уменьшение) на часть целого.

Цена упаковки составляет 3/50 цены игрушки. Какова стоимость игрушки с упаковкой, если цена игрушки 650 р.?

РЕШЕНИЕ:

Способ 1.
Сначала найдем цену упаковки: 650 : 50 • 3 = 39 (р.). Теперь, увеличив цену, найдем стоимость игрушки е упаковкой: 650 + 39 = 689 (р.).

Способ 2.
Если целое 1 и его часть ³/₅₀, то будем искать 1³/₅₀ от 650 р.
Имеем 650 • 53/50 = 689 (р.).

Ответ: 689 р.

Задача № 5.
  Часть от части целого.

Из 550 учащихся школы в референдуме по вопросу о введении Ученического совета участвовали 22/25 числа всех учащихся. На вопрос референдума 3/4 числа учащихся, принявших участие в голосовании, ответили «да». Какую часть числа всех учащихся школы составили те учащиеся, которые ответили положительно?

РЕШЕНИЕ:

Вычислим число учащихся, утвердительно ответивших на вопрос референдума. Имеем 550 • 22/25 • 3/4 = 363 (уч.). Теперь найдем ответ на вопрос задачи: 363 : 550 = 33/50.

Ответ: 33/50 или 0,66.

Дополнительный вопрос: можно ли ответить на вопрос задачи, не зная числа учащихся школы?

Ответ: да, надо перемножить дроби, т.е найти 3/4 от 22/25.

Задача № 6.
  Нахождение целого по его части.

В сборнике фантастики две повести. Первая занимает 35 страниц, а вторая – 2/7 книги. Сколько всего страниц в книге?

РЕШЕНИЕ:

Сначала найдем, какую часть рукописи занимает первая повесть: 1 – 2/7 = 5/7, а потом – целое по его части: 35 : 5/7 = 49.

Ответ: 49 страниц.

Задача № 7.
  Выражение остатка через часть целого.

На пошив детской одежды ушел весь рулон ткани. Из 3/8 рулона сшили куртки, из четверти рулона – юбки, из оставшихся 24 м сшили несколько брюк. Сколько всего метров ткани было в рулоне?

РЕШЕНИЕ:

Найдем, из какой части всего рулона сшили куртки и юбки: 3/8 + 1/4 = 5/8. Теперь понятно, что на пошив брюк осталась часть, равная 1 – 5/8 = 3/8 рулона, которая составляет 24 м. Значит, во всем рулоне было 24 : 3/8 = 64 (м).

Ответ: 64 м.

Задача № 8.
Выражение величины частью целого.

Оля истратила треть имевшейся у нее суммы денег, а потом еще 100 р. В итоге она истратила половину суммы. Сколько денег было у Оли первоначально?

РЕШЕНИЕ:

Чтобы разобраться в условии задачи, обратимся к рисунку.

Сначала узнаем, какую часть всей суммы составляют 100 р.: 1/2 – 1/3 = 1/6. Теперь мы знаем, что 100 р. – это 1/6 всей суммы. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти целое по его части. В данном случае можно попросту 100 р. умножить на 6. Получим, что у Оли было 600 р.

Ответ: 600 р.

Задача № 9.
  Часть от части целого.

Перед поездкой бак автомобиля был заполнен на 4/5. Во время поездки была истрачена четверть имевшегося запаса бензина. Какая часть бака заполнена бензином к концу поездки?

РЕШЕНИЕ:

Если истрачена четверть от 4/5 бака, то это значит, что осталось 3/4 от 4/5 бака, т.е. всего наполнено бензином 3/5 бака.

Ответ: 3/5 бака.

Задача № 10.
  Оставшаяся часть целого.

Ученик закрасил 3/8 круга синим цветом и 3/10 оставшейся части – желтым цветом. Какая часть круга осталась незакрашенной?

РЕШЕНИЕ:

Способ 1.
После закрашивания синим цветом остались незакрашенными 1 – 3/8 = 5/8 круга. Найдем 3/10 от 5/8 – получим 3/16. Сложим закрашенные части и получим 9/16. Значит, незакрашенными остались – 7/16.

Способ 2.
После закрашивания синим цветом остались незакрашенными 5/8 круга. После закрашивания желтым цветом остались незакрашенными 1 – 3/10 = 7/10 оставшейся части. Найдем 7/10 от 5/8 – получим 7/16.

Ответ: 7/16. Проверьте ответ, сделав рисунок.

---

Это конспект по математике на тему «Решение задач на дроби». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: 
• Вернуться к списку конспектов по Математике.
• Проверить знания по Математике.

В 5 классе на уроках математики ученики знакомятся с дробями и процентами. В 6 классе эта тема повторяется, но изучается более глубоко. А встречаться дроби и проценты продолжат вплоть до задач внешнего тестирования (ЗНО) для 11 класса.

Обыкновенная дробь — это пара чисел, записанных через черту.
Число под чертой (знаменатель), показывает, на сколько частей разделили целое.
Число над чертой (числитель) показывает, сколько этих частей выбрано.

То есть дробь $frac{3}{8}$ (три восьмых) означает, что целое было разделено на 8 частей, а взято из них три.

Существуют три класса задач на дроби: нахождение дроби от числа, нахождение числа по его дроби и выражение отношения чисел в виде дроби.

Как найти дробь от числа

В задачах на дробь от  числа известно само число и дробь, которая от него взята. А найти требуется, какую величину составит эта дробь. Рассмотрим такую задачу

Пример 1.1.
В самолёте 120 пассажиров. $frac{2}{5}$ (две пятых) из них летят в самолёте в первый раз. Сколько пассажиров летит в первый раз?
Это задача на нахождение дроби от числа.
Есть число: 120.
Есть дробь: $frac{2}{5}$
Нужно найти, чему равны две пятых от 120.

Решаются задачи на нахождение дроби от числа так.

Решение
Задаём себе два вопроса:
1. Чему равна $frac{1}{5}$ (одна пятая) от 120?
Для этого 120 делим на 5, получаем 24.
2. Чему равны $frac{2}{5}$ (две пятых) от 120?
Результат 24, корый мы получили, нужно умножить на 2.
Получаем 48.

Значит, $frac{2}{5}$ от 120 составляет 48.
Ответ: 48 пассажиров летят впервые.

Попробуем решить ещё одну задачу на нахождение дроби от числа.
Пример 1.2.
В городе живут 1 500 000 человек. Из них $frac{3}{25}$ — школьники. Сколько в городе школьников?

Решение
1. Чему равна $frac{1}{25}$ от 1 500 000?
1 500 000:25 = 60 000
2. Чему равны $frac{2}{25}$ от 1 500 000?
60 000*3 = 180 000

Ответ: 180 000 школьников.

Когда вы набрались опыта решать такие задачи по вопросам, эти два вопроса можно свести в одно действие и использовать правило:
Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на дробь
Или, что то же самое:
Чтобы найти дробь от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби и умножить на её числитель

Пример 1.3.
В автосалон завезли 14 автомобилей. За месяц продали 2/7 этого количества. Сколько автомобилей продали?

Решение
Умножим 14 на $frac{2}{7}$:
$14cdot frac{2}{7} = frac{14cdot 2}{7} = 2cdot 2 = 4$

Ответ: 4 автомобиля.

Теперь рассмотрим задачи второго типа:

Как найти число по дроби

В задачах этого типа исходное число неизвестно. Зато известна величина некоторой части от этого числа и какую дробь составляет эта часть от исходного числа. Для удобства рассмотрим, как бы выглядели эти же три задачи, если бы в них требовалось найти число по дроби.

Пример 2.1.
В самолёте сидят пассажиры (сколько их неизвестно!). Известно, что 48 пассажиров или $frac{2}{5}$ (две пятых) от их количества летят впервые. Нужно найти: сколько всего пассажирова в самолёте?

Решение
Эти 48 пассажиров, которые летят впервые, составляют две пятых ($frac{2}{5}$) от общего количества пассажиров в салоне. Мы можем найти одну пятую?
Да, нужно 48 разделить на 2.
48:2 = 24.
Мы узнали, что одна пятая часть от всех пассажиров — это 24 человека. Сколько всего пассажиров? В пять раз больше, то есть 24х5 = 120.

Ответ: 120 пассажиров всегов самолёте

Понятно? Давайте разберём ещё одну задачу.
Пример 2.2.
Три двадцать пятых ($frac{3}{25}$) населения города составляют школьники. Школьников в городе 180 000. Каково общее население города?

Решение
Опять само число (то есть население города) на неизвестно, зато известно, чему равны $frac{3}{25}$ от него.Значит, можно сначала найти, чему равна $frac{1}{25}$ от населения города. Разделим 180 000 на 3:
180 000:3 = 60 000

Зная одну двадцать пятую, можно найти и целое, умножив 60 000 на 25.
60 000х25 = 1 500 000

Ответ: в городе 1 500 000 жителей

Когда будете уверенно решать задачи на нахождение числа по его дроби по вопросам, можно будет заменить эти вопросы одним действием и использовать правило:

Чтобы найти число по его дроби, известную величину нужно разделить на эту дробь
Или, что то же самое:
Чтобы найти число по его дроби, известную величину нужно разделить на числитель дроби и умножить на её знаменатель

Пример 2.3.
Из завезённых в автосалон автомобилей за месяц продали удалось продать всего 4, что составляет 2/7 всех автомобилей. Сколько автомобилей завезли в салон?

Решение
Разделим 4 на $frac{2}{7}$:
$4: frac{2}{7} = frac{4cdot 7}{2} = 2cdot 7 = 14$

Ответ: 14 автомобилей завезли в салон.

И перейдём теперь к третьему типу задач на дроби, которые изучаются в математике 5 класса:

Как найти отношение двух чисел и выразить его в виде дроби

В задачах на нахождение отношения оба числа известны, а нужно найти, какую дробь второе число составляет от первого. Решаются они проще всего

Пример 3.1.
В самолёте 120 пассажиров. Из них 48 человек летят в первый раз. Какая часть пассажиров летит в первый раз?

Решение
Чтобы найти, какую дробь 48 составляет от общего количества пассажиров (120), нужно 48 разлелить на 120 и затем скоратить, что возможно.
Доля летящих впервые пассажиров составляет $frac{48}{120}$.

И числитель, и знаменатель делятся на 2, значит, можно сократить на 2.
$frac{48}{120}=frac{24}{60}$

Сократим ещё раз на 2:
$frac{24}{60} = frac{12}{30}$

И ещё раз:
$frac{12}{30} = frac{6}{15}$

Теперь можно сократить на 3:
$frac{6}{15} = frac{2}{5}$

Больше сокращать не на что — это и можно записать как окончательный ответ задачи.
Ответ: $frac{2}{5}$ пассажиров летят впервые.

Так что правило для решения задач на нахождение отношения чисел самое простое:
Чтобы найти, в виде какой дроби выражается отноешние двух чисел, нужно сначала записать дробь, в которой числитель и знаменатель — эти числа, а затем сократить её.


Обратите внимание, что дробь $frac{A}{B}$ обозначает, какую долю величина А составляет от величины В и правильно записывайте величины в числитель и знаменатель.

Разберём ещё два примера.

Пример 3.2.
В городе с населением 1 500 000 жителей живут 180 000 школьников. Какую часть населения города составляют школьники?

Решение
Нужно найти, какую часть 180 000 составляет от 1 500 000?
Записываем дробь и сокращаем:
$frac{180000}{1500000}=frac{18}{150}=frac{9}{75}=frac{3}{25}$

Ответ: школьники составляют $frac{3}{25}$ от общего населения города

Пример 3.3.
Из завезённых в автосалон автомобилей за месяц продали удалось продать всего 4. Какую часть от всех автомобилей это составляет, если всегов автомалон завезли 14 машин?

Решение
Точно так же, берём дробь $frac{4}{14}$ и сокращаем:
$frac{4}{14}=frac{2}{7}$

Ответ: продали $frac{2}{7}$ от общего количества автомобилей.

Вот как решаются задачи на дроби. Вы найдёте справочники по формулам математики 5, 6 и других классов в разделе «Математика в школе».

Анализ методической литературы и личного опыта
при проведении уроков по теме “Обыкновенные
дроби” показывает необходимость обобщения и
систематизации материала, связанного с решением
задач на дроби.

Требования к математической подготовке
учащихся 5–6-х классов общеобразовательных
учреждений предполагают, что в результате
изучения курса математики учащиеся должны “решать
основные задачи на дроби”, уметь находить часть
числа и числа по его части [2;6]. С учетом
этого строится тематическое планирование
учебного материала, ориентированное на учебник
“Математика, 5” авторов Н.Я.Виленкина, В.И.Жохова,
А.С.Чеснокова, С.И.Шварцбурда, где говорится, что “с
пониманием смысла дроби связаны три основные
задачи на дроби, осознанного решения которых
важно добиться от учащихся”.

В задачах на дроби речь идет о некоторой
величине а, принятой за единицу (“целое”), и
некоторой ее части в, выраженной дробью :

Тип задачи определяется тем, что неизвестно – а,
в или .
Соответственно, выделяются три типа задач на
дроби:

1. Задачи на нахождение части от числа,
выраженной дробью:

1 – а

– ?

Чтобы найти часть числа, выраженную дробью,
можно это число разделить на знаменатель дроби и
умножить на ее числитель:

b = a : n • m

2. Задачи на нахождение числа по его части,
выраженной дробью:

1 – ?

– в

Чтобы найти число по его части, выраженной
дробью, можно эту часть разделить на числитель
дроби и умножить на ее знаменатель:

a = в : т • п

3. Задачи на нахождение дроби, которую одно
число составляет от другого.

1 – а

? – в

Чтобы найти дробь, которую одно число
составляет от другого, можно первое число
разделить на второе:

= а: в

При изучении темы важно научить учащихся
понимать, что принимается за единицу (целое) в
каждой конкретной задаче, на сколько долей она
разбивается, каково значение одной доли, сколько
долей берут, каково значение всех взятых долей,
каковы правила нахождения дроби от числа, числа
по дроби и дроби, которую одно число составляет
от другого.

Представленный ниже материал можно
использовать как в отдельных фрагментах уроков,
так и в специально выделенных уроках по решению
задач на дроби.

1. Задачи на нахождение части от числа,
выраженной дробью

№	Текст задачи	Краткая запись	Схема	Решение
889	Купили кусок ткани длиной 2 м 50 см и из куска сшили платье для куклы. Сколько сантиметров ткани ушло на это платье?	250см -1 ?см —(от 250см)		250:5·1=50(см) Ответ: 50см
890	От дыни массой 2 кг 400 г Ване отрезали дыни, а Маше – дыни. Чему равна масса каждого отрезанного куска? Сколько граммов дыни осталось?	2400г – 1 ?г –(от 2400г) ?г – (от 2400г) ост.–?г		2400:5·1=480(г) 2400:6·1=400(г) 3) 2400––(480+400)= =1520(г) Ответ: 480г, 400г, 1520г
891	Петя готовил уроки 1 ч 40 мин. На математику он потратил этого времени, а на историю – оставшегося времени. Сколько минут Петя готовил уроки по математике и сколько по истории?	120мин-1 ?мин-(от120мин) ост.- ?мин ?мин – (от ост.)		120:5·1=24(мин) 120-24=96(мин) 96:4·1=24(мин) Ответ: 24 мин, 24 мин
902	На базу в Антарктиду доставили 22 собаки. Из всех собак составили упряжку, на которой отправились в поход. Сколько собак не вошло в упряжку?	22с. – 1 ?с. – (от22с.) ост. –?с.		1) 22:11·5=10 (с.) 2) 22-10=12 (с.) Ответ: 12 собак
К задачам №№900; 901; 903; 909; 928; 929; 960; 968; 1134(1,2); 1141; 1337; 1338; 1296(1,2); 1681(1,2); 980; 983; 1001; 1014; 1015; 1019;1043; 1044; 1733; 1343; 1344; 1345; 1377; 1494; 1595 можно составить аналогично краткую запись, схему и решение.

2. Задачи на нахождение части от числа,
выраженной дробью

№	Текст задачи	Краткая запись	Схема	Решение
904	Сколько молока в бидоне, если этого молока составляет 13 л?	13 л – ? л – 1(все молоко)		13:1·5=65(л) Ответ: 65 л
905	Дорога от Фабричного до Кратова равна 5 км, что составляет дороги от Фабричного до Ильинского. Найдите расстояние от Фабричного до Ильинского.	5 км – ? км – 1(расстояние от Ф.до И.)		5:5·8=8(км) Ответ: 8 км
906	Человек прошел дороги. Какова длина всей дороги, если он прошел 4 км?	4 км – ? км – 1(вся дорога)		4:2·3=6(км) Ответ: 6 км
907	Велосипедист проехал дороги. Какова длина дороги, если он проехал 40 км?	40 км – ? км – 1(вся дорога)		40:2·9=180(км) Ответ:180 км
908	Миша исписал 10 страниц тетради, что составляет всей тетради. Сколько страниц в тетради?	10 стр. – ? стр. – 1(вся тетрадь)		10:5·6=12 (стр.) Ответ: 10 страниц
К задачам №№930; 931; 962; 969; 981; 1046; 1824; 982; 1002; 1020; 1021; 1731; 1732; 1346; 1347; 1378; 1481(1,2); 1495; 1594 можно составить аналогично краткую запись, схему и решение.

3. Задачи на нахождение дроби, которую одно
число составляет от другого

№	Текст задачи	Краткая запись	Схема	Решение
896	Дорога от Фабричного до Ильинского равна 8 км. Лена прошла по этой дороге 3 км. Какую часть дороги она прошла?	8 км – 1 3 км – ? часть (от всей дороги)		3:8=(часть) Ответ: часть от всей дороги
897	В январе 31 день, а в году 365 дней. Какую часть года составляет январь?	365 дней – 1 31 день (январь) – ? часть (от года)		31:365=(часть) Ответ: январь – часть от года.
898	В январе 1995 года с 1 января по 10 января были зимние каникулы. 15, 22 и 29 января были воскресными днями, а остальные – учебными. Какую часть января составили свободные от учебы дни? Какую часть составили учебные дни?	31 день – 1 13 дней (свободные) – ? часть (от января) 18 дней (учебные) – ? часть (от января)		13:31=(часть) 18:31=(часть) Ответ: часть от января– свободные дни, часть – учебные.
899	Площадь поля 16 км2. Пшеницей засеяли 11 км2, а рожью – 5 км2. Какая часть поля засеяна пшеницей и какая рожью?	16 км2 – 1 11 км2 – ? часть (от поля) 5 км2 – ? часть (от поля)		1) 11:16=(часть) – пшеница 2) 5:16=(часть) – рожь Ответ: и частей поля.
К задачам №№926; 956; 957; 958; 959; 961; 1037(1,2); 1045; 1069; 1070; 1727; 1822; 1823; 1245; 1013; 1729; 1730 можно составить аналогично краткую запись, схему и решение.

Литература:

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд
   С.И. Математика: учебник для 5 класса
   общеобразовательных учреждений в двух частях.
   Часть 2 (Дробные числа)/, – 18-е издание. – Москва:
   Мнемозина, 2006.
2. Жохов В.И. Разработки уроков, нормативные и
   контрольно-методические материалы: Математика,
   5-6: Книга для учителя. – Москва: ИЛНКСА, 2007.
3. Шевкин А. В. Материалы курса “Текстовые задачи в
   школьном курсе математики”: Лекции 1-4, 5-8. –
   Москва: Педагогический университет “Первое
   сентября”, 2006.
4. Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 1, 2. –
   Москва: Издательство “Ювента”. 2005.
5. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 5 класс.
   Часть 2. – Москва: Издательство “Ювента”. 2006.
6. Программы для общеобразовательных учреждений.
   Математика/ Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк, –
   Москва, 2000.

Задачи на дроби

Задача 1. В классе  школьников составляют отличники. Какую часть составляют остальные? Сделать графическое описание задачи. Рисунок может быть любым.

Решение

Если  составляют отличники, то  составляют остальные

---

Задача 2. В классе  школьников составляют отличники,  составляют хорошисты,  составляют троечники. Сделать графическое описание задачи. Рисунок может быть любым.

---

Задача 3. В классе 24 школьника.  школьников составляют отличники,  составляют хорошисты,  составляют троечники. Сколько в классе отличников, хорошистов и троечников?

Решение

24 : 6 × 1 = 4 × 1 = 4 (отличника)

24 : 6 × 3 = 4 × 3 = 12 (хорошистов)

24 : 6 × 2 = 4 × 2 = 8 (троечников)

Проверка

4 + 12 + 8 = 24 (школьника)

24 = 24

---

Задача 4. В классе  школьников составляют отличники,  составляют хорошисты. Какую часть составляют троечники?

Решение

Школьники разделены на 6 частей. На одну из частей приходятся отличники, на три части — хорошисты. Нетрудно догадаться, что на остальные две части приходятся троечники. Значит  школьников составляют троечники

Не приводя рисунков можно сложить дроби  и , и полученный результат вычесть из дроби , которая выражает всю часть школьников. Другими словами, сложить отличников и хорошистов, затем вычесть этих отличников и хорошистов из общего количества школьников

---

Задача 5. В классе 16 школьников. Из них  составляют отличники,  составляют хорошисты. Сколько отличников и хорошистов в классе? Сделать графическое описание задачи. Рисунок может быть любым.

Решение

16 : 4 × 1 = 4 × 1 = 4 (отличника)

16 : 16 × 12 = 1 × 12 = 12 (хорошистов)

---

Задача 6. В классе 16 школьников. Из них  составляют отличники,  составляют хорошисты,  составляют троечники. Сколько отличников, хорошистов и троечников в классе? Сделать графическое описание задачи. Рисунок может быть любым.

Решение

16 : 8 × 1 = 2 × 1 = 2 (отличника)

16 : 16 × 10 = 1 × 10 = 10 (хорошистов)

16 : 4 = 4 (троечника)

---

Задача 7. Из зерен пшеницы производят полтавскую крупу, масса которой составляет  массы зерна пшеницы, а остальное составляют кормовые отходы. Сколько можно получить полтавской крупы и кормовых отходов из 500 центнеров пшеницы

Решение

Найдем  от 500 центнеров:

Теперь найдем массу кормовых отходов. Для этого вычтем из 500 ц массу полтавской крупы:

Значит из 500 центнеров зерен пшеницы можно получить 320 центнеров полтавской крупы и 180 центнеров кормовых отходов.

---

Задача 8. Килограмм сахара стоит 88 рублей. Сколько стоит  кг сахара?  кг?  кг?  кг?

Решение

1)  кг это половина одного килограмма. Если один килограмм стоит 88 рублей, то половина килограмма будет стоит половину от 88, то есть 44 рубля. Если найти половину от 88 рублей, мы получим 44 рубля

88 : 2 = 44

44 × 1 = 44 рубля

2)  кг это четверть килограмма. Если один килограмм стоит 88 рублей, то четверть килограмма будет стоит четверти от 88 рублей, то есть 22 рубля. Если найти  от 88 рублей, мы получим 22 рубля

88 : 4 = 22

22 × 1 = 22 рубля

3) Дробь  означает, что килограмм разделен на восемь частей, и оттуда взято три части. Если один килограмм стоит 88 рублей, то стоимость трех восьми килограмм будут стоить  от 88 рублей. Если найти  от 88 рублей, мы получим 33 рубля.

4) Дробь  означает, что килограмм разделен на восемь частей, и оттуда взято одиннадцать частей. Но невозможно взять одиннадцать частей, если их только восемь. Мы имеем дело с неправильной дробью. Сначала выделим в ней целую часть:

Одиннадцать восьмых это один целый килограмм и  килограмма. Теперь мы можем по отдельности найти стоимость одного целого килограмма и стоимость трёх восьмых килограммов. Один килограмм, как было указано выше стоит 88 рублей.  Стоимость  кг мы также находили и получили 33 рубля. Значит  кг сахара будет стоит 88+33 рубля, то есть 121 рубль.

Стоимость  можно найти не выделяя целой части. Для этого достаточно найти  от 88.

88 : 8 = 11

11 × 11 = 121

Но выделив целую часть можно хорошо понять, как сформировалась цена на  кг сахара.

---

Задача 9. Финики содержат  сахара и  минеральных солей. Сколько граммов каждого из веществ содержится в 4 кг фиников?

Решение

Узнаем сколько граммов сахара содержится в одном килограмме фиников. Один килограмм это тысяча грамм. Найдем  от 1000 грамм:

1000 : 25 = 40

40 × 18 = 720 г

В одном килограмме фиников содержится 720 грамм сахара. Чтобы узнать сколько грамм сахара содержится в четырех килограммах, нужно 720 умножить на 4

720 × 4 = 2880 г

Теперь узнаем сколько минеральных солей содержится в 4 килограммах фиников. Но сначала узнаем сколько минеральных солей содержится в одном килограмме. Один килограмм это тысяча грамм. Найдем  от 1000 грамм:

1000 : 200 = 5

5 × 3 = 15 г

В одном килограмме фиников содержится 15 грамм минеральных солей. Чтобы узнать сколько грамм минеральных солей содержится в четырех килограммах, нужно 15 умножить на 4

15 × 4 = 60 г

Значит в 4 кг фиников содержится 2880 грамм сахара и 60 грамм минеральных солей.

Решение для данной задачи можно записать значительно короче, двумя выражениями:

Суть в том, что от 4 килограмм нашли  и полученные 2,88 перевели в граммы, умножив на 1000. Тоже самое сделали и для минеральных солей — от 4 кг нашли  и получившиеся килограммы перевели в граммы, умножив на 1000. Обратите также внимание на то, что дробь от числа найдена упрощенным способом — прямым умножением числа на дробь.

---

Задача 10. Поезд прошел 840 км, что составляет  его пути. Какое расстояние ему осталось пройти? Каково расстояние всего пути?

Решение

В задаче говорится, что 840 км это  от его пути. Знаменатель дроби  указывает на то, что весь путь разделен на семь равных частей, а числитель указывает на то, что четыре части этого пути уже пройдено и составляют 840 км. Поэтому, разделив 840 км на 4, мы узнаем сколько километров приходится на одну часть:

840 : 4 = 210 км.

А поскольку весь путь состоит из семи частей, то расстояние всего пути можно найти, умножив 210 на 7:

210 × 7 = 1470 км.

Теперь ответим на второй вопрос задачи — какое расстояние осталось пройти поезду? Если длина пути 1470 км, а пройдено 840, то оставшийся путь равен 1470−840, то есть 630

1470 − 840 = 630

---

Задача 11. Одна из групп, покорившая горную вершину Эверест, состояла из спортсменов, проводников и носильщиков. Спортсменов в группе было 25, число проводников составляло  числа спортсменов, а число спортсменов и проводников вместе лишь 9/140 числа носильщиков. Сколько было носильщиков в этой экспедиции?

Решение

Спортсменов группе 25. Проводников составляет  числа спортсменов. Найдем  от 25 и узнаем сколько в группе проводников:

25 : 5 × 4 = 20

Спортсменов и проводников вместе — 45 человек. Это число составляет от числа носильщиков. Зная что  от числа носильщиков это 45 человек, мы можем найти общее число носильщиков. Для этого найдем число по дроби:

45 : 9 × 140 = 5 × 140 = 700

---

Задача 12. В школу привезли 900 новых учебников, из них учебники по математике составляли  всех книг, учебники по русскому языку  всех книг, а остальные книги были по литературе. Сколько привезли книг по литературе

Узнаем сколько составляют учебники по математике:

900 : 25 × 8 = 288 (книг по математике)

Узнаем сколько учебников по русскому языку:

900 : 100 × 33 = 297 (книг по русскому языку)

Узнаем сколько учебников по литературе. Для этого из общего числа книг вычтем учебники по математике и по русскому:

900 – (288+297) = 900 – 585 = 315

Проверка

288 + 297 + 315 = 900

900 = 900

---

Задача 13. В первый день продали , а во второй день  поступившего в магазин винограда. Какую часть винограда продали за два дня?

Решение

За два дня продали  винограда. Эта часть получается путем сложения дробей  и 

Можно представить поступивший в магазин виноград в виде шести гроздей. Тогда  винограда это две грозди,  винограда — три грозди, а  винограда это пять гроздей из шести, проданные за два дня. Ну и нетрудно увидеть, что осталась одна гроздь, выраженная дробь  (одна гроздь из шести)

---

Задача 14. Вера в первый день прочитала  книги, а во второй день на  меньше. Какую часть книги прочитала Вера во второй день? Успела ли она прочитать книгу за два дня?

Решение

Определим часть книги, прочитанной во второй день. Сказано, что во второй день прочитано на  меньше, чем в первый день. Поэтому из  нужно вычесть 

Во второй день Вера прочитала  книги. Теперь ответим на второй вопрос задачи — успела ли Вера прочитать книгу за два дня? Сложим то, что Вера прочитала в первый и во второй день:

За два дня Вера прочитала  книги, но осталось ещё  книги. Значит Вера не успела прочитать всю книгу за два дня.

Сделаем проверку. Предположим что книга, которую читала Вера, имела 180 страниц. В первый день она прочла  книги. Найдем  от 180 страниц

180 : 9 × 5 = 100 (страниц)

Во второй день Вера прочитала на  меньше, чем в первый. Найдем  от 180 страниц, и вычтем полученный результат из 100 листов, прочитанных в первый день

180 : 6 × 1 = 30 × 1 = 30 (страниц)

100 − 30 = 70 (страниц во второй день)

Проверим, являются ли 70 страниц  частью книги:

180 : 18 × 7 = 10 × 7 = 70 (страниц)

Теперь ответим на второй вопрос задачи — успела ли Вера прочитать все 180 страниц за два дня. Ответ — не успела, поскольку за два дня она прочла только 170 страниц

100 + 70 = 170 (страниц)

Осталось прочесть еще 10 страниц. В задаче в роли остатка у нас была дробь  . Проверим являются ли 10 страниц  частью книги?

180 : 18 × 1 = 10 × 1 = 10 (страниц)

---

Задача 15. В одном пакете  кг, а в другом на  кг меньше. Сколько килограммов конфет в двух пакетах вместе?

Решение

Определим массу второго пакета. Она на  кг меньше, чем масса первого пакета. Поэтому из массы первого пакета вычтем массу второго:

Масса второго пакета  кг. Определим массу обоих пакетов. Сложим массу первого и массу второго:

Масса обоих пакетов  кг. А  килограмма это 800 граммов. Можно решать такую задачу, работая с дробями, складывая и вычитая их. Также можно сначала найти число по данным в задаче дробям и приступить к решению. Так  килограмма это 500 граммов, а  кг это 200 граммов

1000 : 2 × 1 = 500 × 1 = 500 г

1000 : 5 × 1 = 200 × 1 = 200 г

Во втором пакете на 200 граммов меньше, поэтому чтобы определить массу второго пакета, нужно из 500 г вычесть 200 г

500 − 200 = 300 г

Ну и напоследок сложить массы обоих пакетов:

500 + 300 = 800 г

---

Задача 16. Туристы прошли путь от турбазы до озера за 4 дня. В первый день они прошли  всего пути, во второй  оставшегося пути, а в третий и четвертый дни проходили по 12 км. Чему равна длина всего пути от турбазы до озера?

Решение

В задаче сказано, что во второй день туристы прошли  оставшегося пути. Дробь  означает, что оставшийся путь разделен на 7 равных частей, из них туристы прошли три части, но осталось пройти остальные . На эти  приходится то расстояние, которое туристы прошли в третий и четвертый день, то есть 24 км (по 12 км в каждом дне). Нарисуем наглядную схему, иллюстрирующую второй, третий и четвертый дни:

В третий и четвертый день туристы прошли 24 км и это составляет  от пути, пройденного во второй, третий и четвертый дни. Зная, что  составляют 24 км, мы можем найти весь путь, пройденный во второй, третий и четвертый день:

24 : 4 × 7 = 6 × 7 = 42 км

Во второй, третий и четвертый день туристы прошли 42 км. Теперь найдем  от этого пути. Так мы узнаем сколько километров туристы прошли во второй день:

42 : 7 × 3 = 6 × 3 = 18 км

Теперь возвращаемся к началу задачи. Сказано, что в первый день туристы прошли  всего пути. Весь путь разделен на четыре части, и на первую часть приходится путь, пройденный в первый день. А путь, который приходится на остальные три части, мы уже нашли — это 42 километра, пройденные во второй, третий и четвертый дни. Нарисуем наглядную схему, иллюстрирующую первый и остальные три дня:

Зная, что  пути составляют 42 километра, мы можем найти длину всего пути:

42 : 3 × 4 = 56 км

Значит длина пути от турбазы до озера составляет 56 километров. Сделаем проверку. Для этого сложим все пути, пройденные туристами в каждый из четырех дней.

Сначала найдем путь пройденный в первый день:

56 : 4 × 1 = 14 (в первый день)

14 + 18 + 12 + 12 = 56

56 = 56

---

Задача из арифметики известного среднеазиатского математика Мухаммеда ибн-Мусы ал-Хорезми (IX век н. э.)

«Найти число, зная, что если отнять от него одну треть и одну четверть, то получится 10»

Изобразим число, которое мы хотим найти, в виде отрезка, разделенного на три части. В первой части отрезка отметим треть, во второй — четверть, оставшаяся третья часть будет изображать число 10.

Сложим треть и четверть:

Теперь изобразим отрезок, разделенный на 12 частей. Отметим на нем дробь  , остальные пять частей пойдут на число 10:

Зная, что пять двенадцатых числа составляют число 10, мы можем найти всё число:

10 : 5 × 12 = 2 × 12 = 24

Мы нашли всё число — оно равно 24.

Эту задачу можно решить не приводя рисунков. Для этого, сначала нужно сложить треть и четверть. Затем из единицы, которая играет роль неизвестного числа, вычесть результат сложения трети и четверти. Затем по полученной дроби определить всё число:

---

Задача 17. Семья, состоящая из четырех человек, в месяц зарабатывает 80 тысяч рублей. Бюджет распланирован следующим образом:  на еду,  на коммунальные услуги,  на Интернет и ТВ,  на лечение и походы по врачам, на пожертвование в детский дом,  на проживание в съемной квартире,  в копилку. Сколько денег выделено на еду, коммунальные услуги, на Интернет и ТВ, на лечение и походы по врачам, пожертвование на детский дом, на проживание в съемной квартире, и на копилку?

Решение

80 : 40 × 7 = 14 (тыс. на еду)

80 : 20 × 1 = 4 × 1 = 4 тыс. (на коммунальные услуги)

80 : 20 × 1 = 4 × 1 = 4 тыс. (на Интернет и ТВ)

80 : 20 × 3 = 4 × 3 = 12 тыс. (на лечение и походы по врачам)

80 : 10 × 1 = 8 × 1 = 8 тыс. (на пожертвование в детский дом)

80 : 20 × 3 = 4 × 3 = 12 тыс. (на проживание в съемной квартире)

80 : 40 × 13 = 2 × 13 = 26 тыс. (в копилку)

Проверка

14 + 4 + 4 + 12 + 8 + 12 + 26 = 80

80 = 80

---

Задача 18. Туристы во время похода за первый час прошли  км, а за второй на  км больше. Сколько километров прошли туристы за два часа?

Решение

Найдем числа по дробям.  это три целых километра и семь десятых километра, а семь десятых километра это 700 метров:

 это один целый километр и одна пятая километра, а одна пятая километра это 200 метров

Определим длину пути, пройденного туристами за второй час. Для этого к 3 км 700 м нужно прибавить 1 км 200 м

3 км 700 м + 1 км 200 м = 3700м + 1200м =  4900м = 4 км 900 м

Определим длину пути, пройденного туристами за два часа:

3 км 700 м + 4 км 900 = 3700м + 4900м = 8600м = 8 км 600 м

Значит за два часа туристы прошли 8 километров и еще 600 метров. Решим эту задачу с помощью дробей. Так её можно значительно укоротить

Получили ответ  километра. Это восемь целых километров и шесть десятых километра, а шесть десятых километра это шестьсот метров

---

Задача 19. Геологи прошли долину, расположенную между горами, за три дня. В первый день они прошли , во второй  всего пути и в третий оставшиеся 28 км. Вычислить длину пути, проходящего по долине.

Решение

Изобразим путь в виде отрезка, разделенного на три части. В первой части отметим  пути, во второй части  пути, в третьей части оставшиеся 28 километров:

Сложим части пути, пройденные в первый и во второй день:

За первый и второй дни геологи прошли  всего пути. На остальные  пути приходятся 28 километров, пройденные геологами в третий день. Зная, что 28 километров это  всего пути, мы можем найти длину пути, проходящего по долине:

28 : 4 × 9 = 7 × 9 = 63 км

Проверка

63 : 9 × 5 = 7 × 5 = 35

63 : 9 × 4 = 7 × 4 = 28

35 + 28 = 63

63 = 63

---

Задача 20. Для приготовления крема использовали сливки, сметану и сахарную пудру. Сметану и сливки составляют 844,76 кг, а сахарная пудра и сливки 739,1 кг. Сколько в отдельности сливок, сметаны и сахарной пудры содержится в 1020,85 кг крема?

Решение

сметана и сливки — 844,76 кг
сахарная пудра и сливки — 739,1 кг

Вытащим из 1020,85 кг крема сметану и сливки (844,76 кг). Так мы найдем массу сахарной пудры:

1020,85 кг — 844,76 кг = 176,09 (кг сахарной пудры)

Вытащим из сахарной пудры и сливок сахарную пудру (176,09 кг). Так мы найдем массу сливок:

739,1 кг — 176,09 кг = 563,01 (кг сливок)

Вытащим сливки из сметаны и сливок. Так мы найдем массу сметаны:

844,76 кг — 563,01 кг = 281,75 (кг сметаны)

176,09 (кг сахарная пудра)

563,01 (кг сливки)

281,75 (кг сметана)

Проверка

176,09 кг + 563,01 кг + 281,75 кг = 1020,85 кг

1020,85 кг = 1020,85 кг

---

Задача 21. Масса бидона, заполненного молоком равна 34 кг. Масса бидона, заполненного наполовину, равна 17,75 кг. Какова масса пустого бидона?

Решение

Вычтем из массы бидона, заполненного молоком, массу бидона заполненного наполовину. Так мы получим массу содержимого бидона, заполненного наполовину, но уже без учета массы бидона:

34 кг − 17,75 кг = 16,25 кг

16,25 это масса содержимого бидона заполненного наполовину. Умножим эту массу на 2, получим массу бидона заполненного полностью:

16,25 кг × 2 = 32,5 кг

32,5 кг это масса содержимого бидона. Чтобы вычислить массу пустого бидона, нужно из 34 кг вычесть массу его содержимого, то есть 32,5 кг

34 кг − 32,5 кг = 1,5 кг

Ответ: масса пустого бидона составляет 1,5 кг.

---

Задача 22. Сливки составляют 0,1 массы молока, а сливочное масло составляет 0,3 массы сливок. Сколько сливочного масла можно получить из суточного надоя коровы, равного 15 кг молока?

Решение

Определим сколько килограмм сливок можно получить с 15 кг молока. Для этого найдем 0,1 часть от 15 кг.

15 × 0,1 = 1,5 (кг сливок)

Теперь определим сколько сливочного масла можно получить с 1,5 кг сливок. Для этого найдем 0,3 часть от 1,5 кг

1,5 кг × 0,3 = 0,45 (кг сливочного масла)

Ответ: из 15 кг молока можно получить 0,45 кг сливочного масла.

---

Задача 23. 100 кг клея для линолеума содержат  55 кг асфальта, 15 кг канифоли, 5 кг олифы и 25 кг бензина. Какую часть этого клея образует каждая из его составляющих?

Решение

Представим, что 100 кг клея как 100 частей. Тогда на 55 частей приходится асфальт, на 15 частей — канифоль, на 5 частей — олифа, на 25 частей — бензин. Запишем эти части в виде дробей, и по возможности сократим получающиеся дроби:

Ответ:  клея составляет асфальт,  составляет канифоль,  составляет олифа,  составляет бензин.

---