Как найти второе фокусное расстояние

Лабораторная работа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОКУСНЫХ
РАССТОЯНИЙ СОБИРАЮЩИХ И

РАССЕИВАЮЩИХ ЛИНЗ

Цель работы: научиться определять
фокусные расстояния собирающих и рассеивающих линз.

Приборы и
принадлежности: набор линз; осветитель; экран.

Теоретическая часть

Оптические линзы
представляют собой тела из прозрачного вещества (стёкла, прозрачные кристаллы,
пластмассы и т. д.), ограниченные двумя сферическими поверхностями, вершины
которых лежат на одной оси, называемой оптической осью (рис.1).

а

б

в

г

д

е

Для тонких линз
имеет место соотношение:

,                                                       
(1)

где b – расстояние от линзы до изображения; а – расстояние от
линзы до предмета; f – фокусное расстояние
линзы. Знаки расстояний, входящих в формулу (1), можно определять по простому правилу:
если расстояние отсчитывается от линзы по ходу луча, то ему приписывают знак
«+», в противном случае — « — ».

На рисунке 1
показаны различные типы собирающих и рассеивающих линз: а) двояковыпуклая; б)
плосковыпуклая; в) выпукло-вогнутая; г) двояковогнутая; д) плосковогнутая; е)
вогнуто-выпуклая. Около соответствующих рисунков показаны характеристики линз:
радиусы кривизны и фокусы. К собирающим линзам относят типы а, б, в, к
рассеивающим — г, д, е. У первых середина линзы толще, чем края, у вторых края
толще, чем середина.

Описание экспериментальной установки

Установка для
измерения фокусных расстояний собирающих и рассеивающих линз представлена на
рис. 2.

Установка состоит
из источника света 1 с наклеенной на нем стрелкой, играющей роль предмета.
Источник света 1 установлен на основании 2. Экран 6, на котором получается
изображение, установлен на основании 4. Основания 2 и 4 скрепляются между собой
при помощи стержней, по которым могут перемещаться одна или несколько
исследуемых  линз 3. Вертикальность расположения установки можно регулировать
при помощи ножек 7.Установка снабжена метровой шкалой, позволяющей определить
положение линз в каждом из опытов. Каждая из линз может быть независимо удалена
из оптического тракта.

Выполнение работы

Рассмотрим
методику измерений при работе на установке, изображенной на рисунке 2. В данном
случае фокусное расстояние собирающих линз можно определить тремя способами:

1) по расстояниям от предмета до
линзы и от изображения до линзы;

2) по величине предмета и
изображения;

3) способом Бесселя.

Определение фокусного расстояния
собирающей линзы по расстоянию от предмета до линзы и по расстоянию от
изображения до линзы

В этом случае фокусное расстояние
определяется непосредственно из формулы тонкой линзы. Для этого необходимо:

1. Устанавить в
оптический тракт установки исследуемую собирающую линзу.

2. Отрегулировать
положение осветителя, линзы и экрана по высоте (получаемое изображение должно
получаться неизогнутым).

3. Включить
осветитель и получить четкое увеличенное или уменьшенное изображение на экране.

4. По
измерительному устройству отмерить расстояние от линзы до экрана и от линзы до
предмета.

5. По измеренным
расстояниям от линзы до предмета и от линзы до изображения исходя из формулы (1)
определить фокусное расстояние.

6. Определить
погрешность измерения фокусного расстояния данным методом.

7. Результаты
измерения занести с таблицу 1.

                                                                                                    
             Таблица.1

№	a , м	b , м	f	fср	Df

Данным способом необходимо измерить
фокусное расстояние не менее 3 раз.

Определение фокусного расстояния по
величине предмета и

изображения

Построим геометрическое изображение
предмета в собирающей линзе:

Рис. 3. Схема построения изображения
предмета в собирающей линзе

Исходя из данного
геометрического построения получим:

.                                                        (2)

Тогда с учетом
формулы тонкой линзы , (2) приведется к виду:

.                                          (3)

Производя
простейшие преобразования формулы (3), получаем:

.                                                           (4)

Из (4) следует,
что фокусное расстояние собирающей линзы можно определить по высотам предмета и
изображения. Для измерения до фокусного расстояния данным способом необходимо:

1. Получить четкое уменьшенное или
увеличенное изображение предмета.

2. Измерить при
помощи линейки высоту линейки, высоту предмета и высоту изображения (высота
предмета считается известной h=2.5 см).

3. Измерить расстояние
от предмета до линзы.

4. Полученные
результаты подставить в формулу и найти величину фокусного расстояния.

5. Измерения
повторить не менее 3 раз и результаты занести в таблицу 2.

6. Определить
погрешность нахождения данным способом.

                                                                         
                                                         Таблица 2

№	H , м	h , м	a , м	f	fср	Df

Способ Бесселя

Данный способ
основан на том, что при расстоянии между предметом и экраном, превышающим 4F, одна и та же собирающая линза может давать как
увеличенное, так и уменьшенное изображение предмета. Поясним это, исходя из
формулы тонкой линзы:

.                                              
(5)

,                                                   
(6)

где L – расстояние от предмета до экрана.

Выразим из (6) b и подставим полученное выражение в
формулу тонкой линзы:

.                                       (7)

После
преобразования получаем квадратное уравнение:

.                                       (8)

Исходя из решения
данного квадратного уравнения, получаем:

.                                    (9)

Если расстояние
между двумя положениями линзы обозначить через k, то получим:

.                        (10)

.                                     (11)

Таким образом, в способе Бесселя
достаточно измерить расстояние между предметом и экраном и расстояние между
двумя положениями линзы, при которых она дает четкие изображения. Порядок
измерения в этом случае следующий:

1. Получить четкое увеличенное
изображение предмета и отметить положение линзы  при помощи карандаша.

2. Получить четкое уменьшенное
изображение предмета и отметить положение линзы  при помощи карандаша

3. Измерить расстояние между этими
двумя этими положениями линзы.

4. Измерить расстояние между
предметом и экраном.

5. Вычислить фокусное расстояние.

6. Определить погрешность.

7. Полученные
результаты занести в таблицу 3.

                                                                                      
                 Таблица 3

№	L , м	k, м	f	fср	Df

Определение фокусного
расстояния рассеивающей линзы

Для того чтобы
определить фокусное расстояние рассеивающей линзы, нужно взять  собирающую
линзу с  известным фокусным  расстоянием,  оптическая сила которой больше по
модулю, чем у рассеивающей линзы. Далее эти линзы сдвигаются вплотную друг с
другом. Оптическая сила такой системы складывается из оптических сил каждой из
линз:

,                                            
(12)

или

.                                                 
(13)

Здесь f, f₁ и f₂ – соответственно фокусные
расстояния системы первой и второй линзы. Таким образом, оптическая система из
двух таких линз является собирающей, и ее фокусное расстояние можно определить
как для обычной тонкой собирающей линзы, а затем из формулы (13) найти фокусное
расстояние рассеивающей линзы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие линзы называются
тонкими?

2. Дайте
определения главных фокусов.

3.
Что такое оптическая сила линзы?

4.
Может ли двояковыпуклая линза иметь отрицательную оптическую силу?

5. Покажите, что
если расстояние между предметом и экраном превышает 4 F, то изображение на экране может быть
получено при двух различных положениях линзы. Что будет, если это расстояние
будет 4 F?

8. В каких случаях получаются
действительные изображения, а в каких -мнимые? Чем действительное изображение
отличается от мнимого? При каких условиях изображение переносится в
бесконечность?

9. Что произойдет
с изображением, если половина линзы закрыта непрозрачным экраном?

10. Как построить
изображение точки, лежащей на главной оптической оси?

11. Постройте
график зависимости координаты точки изображения от координаты точечного
источника для тонкой собирающей (рассеивающей) линзы.

12. Восстановите падающий луч по
известному преломленному лучу.

13. Покажите
построением, что все лучи, исходящие из произвольной точки объекта,
находящегося в фокальной плоскости лупы, будут при выходе из лупы параллельны
друг другу.

14. Покажите
построением, что два произвольных параллельных луча, входящих в систему из двух
линз, расположенных так, что задний фокус первой линзы совпадает с передним
фокусом второй линзы, на выходе системы также будут параллельны.

ГЛАВНОЕ ФОКУСНОЕ РАССТОЯНИЕ — расстояние от (задней) главной точки до (заднего) главного фокуса фотографического объектива. Главное фокусное расстояние является важнейшей характеристикой фотографического объектива и гравируется на его оправе вместе с другими данными. Чем больше главное фокусное расстояние, тем крупнее при прочих равных условиях изображение. Каждый объектив имеет два главных фокусных расстояния: переднее, отсчитваемое от передней главной точки до переднего главного фокуса и изображаемое на схемах слева от объектива, и заднее, отсчитываемое от задней главной точки до заднего главного фокуса и расположенное справа от объектива. Оба эти расстояния постоянны и равны между собой и отсчитываются в противоположные стороны. В объективах с переменным фокусным расстоянием главное фокусное расстояние изменяется увеличением или уменьшением расстояния между отдельными линзами объектива. Вместе с тем изменяется и масштаб изображения. Величина главного фокусного расстояния отдельной линзы определяется радиусами кривизны и показателем преломления стекла, из которого линза изготовлена: где r 1 и r 2 — радиусы кривизны соответственно первой и второй поверхности линзы. Главное фокусное расстояние системы линз зависит как от главных фокусных расстояний линз, составляющих систему, так и от их взаимного расстояния. Для системы из двух линз главное фокусное расстояние определяется формулой: где f — главное фокусное расстояние системы; f 1 — главное фокусное расстояние первой линзы; f 2 — главное фокусное расстояние второй линзы; Δ — оптический интервал, т. е. расстояние от задней главной точки первой линзы до передней главной точки задней линзы.

22. Объективы с переменным фокусным расстоянием. Устройство объективов с переменным фокусным расстоянием

По
способу построения оптической схемы
объектива выделяют два основных типа:

• Трансфокатор представляет
  собой оптическую систему,
  состоящую из афокальной панкратической
  насадки с переменным угловым увеличением
  и объектива с постоянным фокусным
  расстоянием. Исправление аберраций
  производится для обеих частей
  трансфокатора по отдельности. В такой
  системе трансфокатором могут называть
  только афокальную насадку.

• Вариообъектив представляет
  собой оптическую систему, рассчитанную
  как единое целое с точки зрения аберраций.
  По сравнению с трансфокатором позволяет
  достичь лучшего исправления многих
  аберраций при меньшем числе линз и
  компонентов, а также добиться большей
  геометрической светосилы во всём
  диапазоне фокусных расстояний. По схеме
  вариообъектива построен фотографический
  объектив «Рубин-1»,
  киносъёмочные объективы «Вариогоир».

В
широком применении находятся объективы
обоих типов, и оба термина часто
применяются к ним как синонимы.

Трансфока́тор (Ва́риообъекти́в или
«зум»
от англ. zoom) — объектив с
переменным фокусным
расстоянием.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Мы уже познакомились с явлением преломления света на границе двух плоских сред. Но на практике особый интерес представляет явление преломления света на сферических поверхностях линз.

Определение

Линза — прозрачное тело, ограниченное сферическими поверхностями.

Какими бывают линзы?

По форме различают следующие виды линз:

• Выпуклые — линзы, которые посередине толще, чем у краев.
• Вогнутые — линзы, которые посередине тоньше, чем у краев.

Выпуклые линзы тоже имеют разновидности:

• Двояковыпуклая — линза, ограниченная с обеих сторон выпуклыми сферическими поверхностями (СП). Такая линза изображена ниже на рисунке 1.
• Плосковыпуклая — линза, ограниченная выпуклой СП с одной стороны и плоской поверхностью с другой (рис. 2)
• Вогнуто-выпуклая — линза, ограниченной с одной стороны вогнутой СП, а с другой — выпуклой СП (рис. 3).

Разновидности вогнутых линз:

• Двояковогнутая — линза, ограниченная с обеих сторон вогнутыми СП (рис. 4).
• Плосковогнутая — линза, ограниченная вогнутой СП с одной стороны и плоской поверхностью с другой (рис. 5)
• Выпукло-вогнутая — линза, ограниченной с одной стороны выпуклой СП, а с другой — вогнутой СП (рис. 6).

Тонкая линза

Мы будем говорить о линзах, у которых толщина l = AB намного меньше радиусов сферических поверхностей этой линзы R₁ и R₂. Такие линзы называют тонкими.

Определение

Тонкая линза — линза, толщина которой пренебрежимо мала по сравнению с радиусами сферических поверхностей, которыми она ограничена.

Главная оптическая ось тонкой — прямая, проходящая через центры сферических поверхностей линзы (на рисунке она соответствует прямой O₁O₂).

Оптический центр линзы – точка, расположенная в центре линзы на ее главной оптической оси (на рисунке ей соответствует точка О). При прохождении через оптический центр линзы лучи света не преломляются.

Побочная оптическая ось — любая другая прямая, проходящая через оптический центр линзы.

Изображение в линзе

Подобно плоскому зеркалу, линза создает изображения источников света. Это значит, что свет, исходящий из какой-либо точки предмета (источника), после преломления в линзе снова собирается в точку (изображение) независимо от того, какую часть линзы прошли лучи.

Определение

Оптическое изображение — картина, получаемая в результате действия оптической системы на лучи, испускаемые объектом, и воспроизводящая контуры и детали объекта.

Практическое использование изображений часто связано с изменением масштаба изображений предметов и их проектированием на поверхность (киноэкран, фотоплёнку, фотокатод и т. д.). Основой зрительного восприятия предмета является его изображение, спроектированное на сетчатку глаза.

Изображения разделяют на действительные и мнимые. Действительные изображения создаются сходящимися пучками лучей в точках их пересечения (см. рисунок а). Поместив в плоскости пересечения лучей экран или фотоплёнку, можно наблюдать на них действительное изображение.

Если лучи, выходящие из оптической системы, расходятся, но если их мысленно продолжить в противоположную сторону, они пересекутся в одной точке (см. рисунок б). Эту точку называют мнимым изображением точки-объекта. Она не соответствует пересечению реальных лучей, поэтому мнимое изображение невозможно получить на экране или зафиксировать на фотоплёнке. Однако мнимое изображение способно играть роль объекта по отношению к другой оптической системе (например, глазу или собирающей линзе), которая преобразует его в действительное.

Собирающая линза

Обычно линзы изготавливают из стекла. Все выпуклые линзы являются собирающими, поскольку они собирают лучи в одной точке. Любую из таких линз условно можно принять за совокупность стеклянных призм. В воздухе каждая призма отклоняет лучи к основанию. Все лучи, идущие через линзу, отклоняются в сторону ее главной оптической оси.

Если на линзу падают световые лучи, параллельные главной оптической оси, то при прохождении через нее они собираются на одной точке, лежащей на оптической оси. Ее называют главным фокусом линзы. У выпуклой линзы их два — второй главный фокус находится с противоположной стороны линзы. В нем будут собираться лучи, которые будут падать с обратной стороны линзы.

Главный фокус линзы обозначают буквой F.

Определение

Фокусное расстояние — расстояние от главного фокуса линзы до их оптического центра. Оно обозначается такой же букой F и измеряется в метрах (м).

В однородных средах главные фокусы собирающих линз находятся на одинаковом расстоянии от оптического центра.

Пример №1. Что произойдет с фокусным расстоянием линзы, если ее поместить в воду?

Вода — оптически более плотная среда, поэтому преломленные лучи будут располагаться ближе к перпендикуляру, восстановленному к разделу двух сред. Следовательно, фокусное расстояние увеличится. На рисунке лучам, выходящим из линзы в воздухе, соответствуют красные линии. Лучам, выходящим из линзы в воде — зеленые. Видно, что зеленые линии больше приближены к перпендикуляру, восстановленному к разделу двух сред, что соответствует закону преломления света.

Направим три узких параллельных пучка лучей от осветителя под углом к главной оптической оси собирающей линзы. Мы увидим, что пересечение лучей произойдет не в главном фокусе, а в другой точке (рисунок а). Но точки пересечения независимо от углов, образуемых этими пучками с главной оптической осью, будут располагаются в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси линзы и проходящей через главный фокус (рисунок б). Эту плоскость называют фокальной плоскостью.

Поместив светящуюся точку в фокусе линзы (или в любой точке ее фокальной плоскости), получим после преломления параллельные лучи.

Если сместить источник дальше от фокуса линзы, лучи за линзой становятся сходящимися и дают действительное изображение.

Когда же источник света находится ближе фокуса, преломленные лучи расходятся и изображение получается мнимым.

Рассеивающая линза

Вогнутые линзы обычно являются рассеивающими (лучи, выходя из них, не собираются, а рассеиваются). Это бывает если, поместить вогнутую линзу в оптически менее плотную среду по сравнению с материалом, из которого изготовлена линза. Так, стеклянная линза в воздухе является рассеивающей.

Если направить на вогнутую линзы световые лучи, являющиеся параллельными главной оптической оси, то образуется расходящийся пучок лучей. Если провести их продолжения, то они пересекутся в главном фокусе линзы. В этом случае фокус (и изображение в нем) является мнимым. Этот фокус располагается на фокусном расстоянии, равном F.

Другой мнимый фокус находится по другую сторону линзы на таком же расстоянии при условии, что среда по обе стороны линзы одинаковая.

Оптическая сила линзы

Оптическая сила линзы — величина, характеризующая преломляющую способность симметричных относительно оси линз и центрированных оптических систем, состоящих из таких линз.

Обозначается оптическая сила линзы буквой D. Единица измерения — диоптрий (дптр). Оптической силой в 1 дптр обладает линза с фокусным расстоянием 1 м.

Оптическая сила линзы равна величине, обратной ее фокусному расстоянию:

D=±1|F|

D > 0, если линза собирающая, D < 0, если линза рассеивающая. Чем ближе к линзе ее фокусы, тем сильнее линза преломляет лучи, собирая или рассеивая их, и тем больше оптическая сила линзы.

Пример №2. Найти фокусное расстояние линзы, если ее оптическая сила равна –5 дптр.

Так как оптическая силы линзы отрицательная, речь идет о рассеивающей линзе. Следовательно, будем использовать формулу:

D=−1|F|

Отсюда:

|F|=−1D=−1−5=0,2 (м)

Алиса Никитина | Просмотров: 15.8k

Явление преломления света на сферической поверхности раздела двух оптических сред позволяет получать изображения светящихся предметов. Эта возможность осуществляется с помощью линзы — прозрачного тела, ограниченного двумя сферическими поверхностями. Линза является основным оптическим элементом в таких приборах, как фотоаппарат, проекционный фонарь, микроскоп, телескоп и т. д.

На рисунке 1 показан разрез преломляющей сферической поверхности, разделяющей две оптические среды с различными показателями преломления. Очевидно, качественное изображение любого предмета возможно только в том случае, когда пучок лучей, исходящих из любой точки предмета (например, из точки (P)), после преломления соберется снова в точку. Вообще говоря, сферическая граница раздела двух сред не обеспечивает этого условия. Так, луч (NB) после преломления пересечет ось (PQ), строго говоря, в другой точке, нежели луч (MA). Однако при некоторых условиях пучок лучей, испущенных точкой, может собраться практически в точку. Это будет в том случае, когда высота (h), на которой все лучи этого пучка пересекают преломляющую поверхность, мала по сравнению с радиусом кривизны (OC) преломляющей поверхности. Другими словами, когда мал угол (alpha). Лучи, удовлетворяющие этому условию, называются параксиальными. Для удаленных источников требование малости угла (alpha) эквивалентно требованию малости угла (u). Но малость угла (u) не является достаточным условием параксиальности. Действительно, луч, параллельный оси (PQ) ((u = 0)), но достаточно удаленный от нее ((h) велико), не будет параксиальным.

Таким образом, в зависимости от того, сколь хорошо выполняется условие параксиальности, в окрестности точки (P) будет более или менее большой кружок размытия. Однако на практике нет необходимости делать его меньше некоторой, вполне определенной, величины. Например, если кружок размытия станет меньше элемента сетчатки глаза (зерна фотоэмульсии на фотопленке, неровностей матового стекла и т. п.), он будет восприниматься нами как точка. Его дальнейшее уменьшение в нашем зрительном ощущении ничего не изменит.

Всюду в дальнейшем мы будем иметь дело только с параксиальными лучами (можно, в принципе, придумать такие преломляющие поверхности, для которых условие параксиальности лучей не является обязательным. Однако наиболее просты в изготовлении именно сферические поверхности). Кроме того, ограничимся рассмотрением только тонких линз, то есть таких линз, фокусные расстояния которых существенно больше их толщины.

Если тонкая линза изготовлена из материала с показателем преломления (n), слева от линзы находится среда показателем преломления (n_1), а справа — с показателем преломления (n_2), то имеют место соотношения:

(frac{{{n_2}}}{{{F_2}}} = frac{{n – {n_1}}}{{{R_1}}} + frac{{n – {n_2}}}{{{R_2}}}),    (1)

(frac{{{n_1}}}{{{F_1}}} = frac{{n – {n_1}}}{{{R_1}}} + frac{{n – {n_2}}}{{{R_2}}}),    (2)

Здесь (F_1) и (F_2) — переднее и заднее фокусные расстояния линзы, (R_1) и (R_2) — радиусы кривизны, соответственно, передней и задней поверхностей линзы. Эти соотношения можно получить (проделайте это самостоятельно!), рассматривая ход лучей, идущих от бесконечно удаленного источника, находящегося в первом случае слева от линзы, а втором случае — справа. В частности, когда с обеих сторон от линзы находится воздух ((n_1 = n_2 = 1)),

(frac{1}{{{F_1}}} = frac{1}{{{F_2}}} = left( {n – 1} right)left( {frac{1}{{{R_1}}} + frac{1}{{{R_2}}}} right)).    (3)

Принято считать, что если поверхность своей выпуклой стороной обращена к среде с меньшим показателем преломления, то ее радиус кривизны (R) положителен ((R > 0)), в противном случае (R < 0). Линзы, у которых фокусное расстояние положительно ((F > 0)), называются положительными или собирающими, если же (F < 0) — отрицательными или рассеивающими. Величина (D = frac{1}{F}) называется оптической силой линзы; она измеряется в диоптриях.

При построении изображений, полученных с помощью тонких линз, используют три основных (или базисных) луча, показанных на рисунке 2. С помощью этого рисунка нетрудно получить формулу тонкой линзы:

(frac{1}{d} + frac{1}{f} = frac{1}{F}),

а также выражения для её линейного (поперечного) увеличения:

(Gamma = frac{H}{h} = frac{f}{d} = frac{{f – F}}{F} = frac{F}{{d – F}})

и для углового увеличения:

(gamma = frac{{tg,u’}}{{tg,u}} = frac{{h/f}}{{h/d}} = frac{d}{f} = frac{1}{Gamma }).

Рассмотрим теперь несколько конкретных задач.

Задача 1

На поверхности воды (n_в = 1,3) лежит двояковыпуклая тонкая стеклянная линза (n_{ст} = 1,5) с радиусами кривизны (R_1 = R_2 = 10) см. Определите переднее и заднее фокусные расстояния линзы. Чему равно фокусное расстояние этой линзы в воздухе?

Это относительно простая задача. Непосредственное применение формул (1) и (2), где (n_1 = 1), (n_2 = n_в = 1,3) и (n = n_{ст} = 1,5), дает

({F_1} approx 14) см и ({F_2} approx 18,5) см.

Для фокусного расстояния линзы в воздухе формула (3) приводит к результату (F = 10) см.

Задача 2

На рисунке 3 дан ход луча (ABC) через тонкую положительную линзу. Построить ход произвольного луча (DE) после преломления в линзе.

Проведем (A’O), параллельный лучу (AB) и проходящий через оптический центр линзы. Он не преломится. Точка (O) пересечения этого луча с лучом (BC) лежит в фокальной плоскости (H). Луч (D’O), параллельный (DE), пересечет фокальную плоскость в точке (P). Через эту же точку пройдет, преломившись, и луч (DE).

3адача 3

Какие очки вы пропишите близорукому человеку, который может читать текст, расположенный не далее 20 см?

Очки ни в коей мере не исправляют дефектов человеческого глаза. Их роль сводится к тому, чтобы отобразить объекты окружающего мира на такое расстояние, с которого глаз четко различает предметы. В нашем случае для того чтобы близорукий человек мог видеть удаленные предметы, например, звезду, очки должны создавать изображение звезды не далее 20 см от глаза, а глаз будет рассматривать уже это изображение. Предположим, что линза очков вплотную придвинута к глазу (небольшой зазор между линзой и глазом несущественно исказит приведенные ниже расчеты), и запишем формулу линзы:

(frac{1}{d} – frac{1}{f} = frac{1}{F}),

Здесь (d) —расстояние до звезды, а (f) — максимальное расстояние от изображения звезды до глаза. Член (frac{1}{f}) берется со знаком минус, поскольку изображение мнимое. Так как (d) очень велико, можно смело положить (frac{1}{d} = 0). По условию задачи (f = 20) см. Отсюда

(F = – 20) см, (D = – 5) дптр.

Таким образом, близорукому человеку следует прописать очки с рассеивающими линзами оптической силы -5 дптр.

Задача 4

С помощью линзы с фокусным расстоянием (F) на экране получают уменьшенное и увеличенное изображения предмета, находящегося на расстоянии (L) от экрана. Найти отношение размеров изображений.

Пусть высота предмета равна (h). Тогда изображение имеет высоту (H = Gamma h), и отношение размеров изображений есть

(frac{{{H_1}}}{{{H_2}}} = frac{{{Gamma _1}h}}{{{Gamma _2}h}} = frac{{{f_1}/{d_1}}}{{{f_2}/{d_2}}}).

Теперь нам нужно найти (d_1), (d_2), (f_1) и (f_2). По формуле линзы (frac{1}{d} + frac{1}{f} = frac{1}{F}), а из условия задачи (d + f = L). Исключив (d), получим квадратное уравнение

[{f^2} – fL + FL = 0,]

откуда

[{f_{1,2}} = frac{L}{2} pm sqrt {frac{{{L^2}}}{4} – FL} .]

Кроме того, из свойства обратимости лучей (d_1 = f_2) и (d_2 = f_1). Таким образом,

[frac{{{H_1}}}{{{H_2}}} = frac{{f_1^2}}{{f_2^2}} = {left( {frac{{L/2 + sqrt {{L^2}/4 – FL} }}{{L/2 – sqrt {{L^2}/4 – FL} }}} right)^2}.]

Задача 5

С помощью положительной линзы получают изображения двух точечных источников (A) и (B). Один из них расположен на оптической оси на двойном фокусном расстоянии от линзы, другой смещен от оси так, что прямая, соединяющая источники, образует с оптической осью угол (varphi = 30^circ) (рис. 4) Под каким углом (psi ) к оси следит расположить плоский экран, чтобы одновременно получить на нем четкие изображения обоих источников?

Очевидно, экран нужно расположить по лучу (AB) (проведенному от источника (A) через точку (B)) после его преломления в линзе. Используем формулу для углового увеличения:

(gamma = frac{1}{Gamma } = frac{d}{f} = frac{F}{f-F}).

Здесь (f) — расстояние от изображения источника (A) до линзы, a (F) — фокусное расстояние линзы. Поскольку (A) находится на двойном фокусном расстоянии от линзы, (f = 2F). Следовательно,

(gamma = frac{F}{{2F – F}} = 1,) и (psi = varphi = 30^circ ).

Задача 6

Сложный объектив состоит из двух тонких линз: положительной с фокусным расстоянием (F_1 = 20) см и отрицательной с фокусным расстоянием (F_2 = -10) см. Линзы расположены на расстоянии (l = 15) см друг от друга. С помощью объектива получают на экране изображение Солнца. Какое фокусное расстояние (f) должна иметь тонкая линза, чтобы изображение Солнца, полученное с ее помощью, имело такой же размер?

Здесь мы уже имеем дело с системой линз.

Найдем размер изображения Солнца, создаваемого сложным объективом, рассматривая ход лучей последовательно в обеих линзах. Изображение, создаваемое первой линзой, находится, очевидно, в ее фокальной плоскости. Размер этого изображения ({H_1} = {F_1}tgalpha ), где (alpha) — угловой диаметр Солнца, видимый с Земли (рис.5). Увеличение, даваемое второй линзой, равно (frac{{{H_2}}}{{{H_1}}} = frac{{{f_2}}}{{{d_2}}}). По формуле линзы имеем

[ – frac{1}{{{d_2}}} + frac{1}{{{f_2}}} = frac{1}{{{F_2}}},]

где (d_2 = F_1 – l) (изображение Солнца в первой линзе является мнимым источником для второй). Отсюда

[{f_2} = frac{{{F_2}left( {{F_1} – l} right)}}{{{F_1} + {F_2} – l}}.]

Таким образом, размер изображения, создаваемого всем объективом,

[{H_2} = frac{{{F_1}{F_2}tgalpha }}{{{F_1} + {F_2} – l}}.]

Одиночная линза с фокусным расстоянием (F) дает изображение, имеющее размер ({H_2} = F;tgalpha ). Сопоставляя два последних выражения, получим

[F = frac{{{F_1}{F_2}}}{{{F_1} + {F_2} – l}} = frac{{20left( { – 10} right)}}{{20 + left( { – 10} right) – 15}} = 40;см]

Только что разобранная задача является частным случаем более общей, практически важной задачи: дана система двух (или более) тонких линз с общей оптической осью; необходимо найти одну тонкую линзу, действие которой эквивалентно действию данной системы. Эта задача будет полностью решена, если мы найдем фокусное расстояние эквивалентной линзы и ее местоположение (или, что то же самое, положение ее фокуса). Попробуйте вывести соответствующие формулы самостоятельно. Для ориентировки приведем окончательные результаты: фокусное расстояние искомой эквивалентной линзы равно

[F = frac{{{F_1}{F_2}}}{Delta },]

а ее фокус находится от второй линзы на расстоянии (f_2), равном

[{f_2} = frac{{{F_2}left( {Delta – {F_2}} right)}}{Delta }.]

Здесь (F_1) и (F_2) — фокусные расстояния первой и второй линз соответственно, а (Delta) — расстояние между задним фокусом первой линзы и передним фокусом второй (его называют оптическим интервалом). Принято считать (Delta > 0), если передний фокус второй линзы лежит левее заднего фокуса первой линзы, и (Delta < 0) в противном случае.

В заключение предлагаем несколько задач для самостоятельного решения.

Упражнения

1. На рисунке 6 дан ход луча (ABC) через тонкую отрицательную линзу. Определить построением фокусное расстояние линзы.

1. Какие очки вы пропишите дальнозоркому человеку, который резко видит предметы, расположенные не ближе 50 см?
2. Положительная линза дает действительное изображение с увеличением в 2 раза. Определить фокусное расстояние линзы, если расстояние между линзой и изображением 24 см.
3. Предмет в виде отрезка длиной (l) расположен вдоль оптической оси тонкой положительной линзы с фокусным расстоянием (F). Середина отрезка находится на расстоянии (d) от линзы. Линза дает действительное изображение всех точек предмета. Определить продольное увеличение предмета.
4. Положительная линза с фокусным расстоянием (F) и отрицательная с фокусным расстоянием (-F) расположены на расстоянии (a) друг от друга так, что их оптические оси совпадают. На расстоянии (a) перед положительной линзой находится источник света. Изображение этого источника, даваемое системой линз, располагается на таком же расстоянии (a) за отрицательной линзой. Определить это расстояние.
5. Оптическая система состоит на двух линз: собирающей с фокусным расстоянием (F_1 = 30) см и рассеивающей с фокусным расстоянием (F_2 = – 30) см. Оптические оси линз совпадают. Параллельный пучок лучей падает на первую линзу и, пройдя через систему, собирается в некоторой точке, лежащей на оптической оси. На сколько сместится эта точка, если линзы поменять местами?
6. В проекционном аппарате используется сложный объектив, состоящий из двух собирающих линз с фокусными расстояниями (F_1 = 20) см и (F_2 = 15) см. Линзы расположены на расстоянии (a=5) см друг от друга. Определить, с каким увеличением будет проецироваться диапозитив на экран, находящийся на расстоянии (b=10) м от объектива проектора. К диапозитиву обращена линза с фокусным расстоянием (F_2).

Источник: Журнал “Квант”, №4 1977 г. Автор: Е. Кузнецов.