Как найти стороны прямоугольного треугольника
- Главная
- /
- Математика
- /
- Геометрия
- /
- Как найти стороны прямоугольного треугольника
Чтобы посчитать стороны прямоугольного треугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
- для гипотенузы (с):
- длины катетов a и b
- длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
- для катета:
- длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
- длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
- длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
Введите их в соответствующие поля и получите результат.
Найти гипотенузу (c)
Найти гипотенузу по двум катетам
Катет a =
Катет b =
Гипотенуза c =
0
Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?
Формула
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
c² = a² + b²
следовательно: c = √a² + b²
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:
c = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 см
Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу
Катет (a или b) =
Прилежащий угол (β или α) =
Гипотенуза c =
0
Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?
Формула
c = a/cos(β) = b/cos(α)
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:
c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см
Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу
Катет (a или b) =
Противолежащий угол (α или β) =
Гипотенуза c =
0
Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?
Формула
c = a/sin(α) = b/sin(β)
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:
c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см
Найти гипотенузу по двум углам
Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.
Найти катет
Найти катет по гипотенузе и катету
Гипотенуза c =
Катет (известный) =
Катет (искомый) =
0
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?
Формула
a = √c² — b²
b = √c² — a²
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:
a = √5² — 4² = √25 — 16 = √9 = 3 см
Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу
Гипотенуза c =
Угол (прилежащий катету) = °
Катет =
0
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?
Формула
a = c ⋅ cos(β)
b = c ⋅ cos(α)
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:
b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см
Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу
Гипотенуза c =
Угол (противолежащий катету) = °
Катет =
0
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?
Формула
a = c ⋅ sin(α)
b = c ⋅ sin(β)
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:
a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см
Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу
Катет (известный) =
Угол (прилежащий известному катету) = °
Катет (искомый) =
0
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?
Формула
a = b ⋅ tg(α)
b = a ⋅ tg(β)
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:
b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см
Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу
Катет (известный) =
Угол (противолежащий известному катету) = °
Катет (искомый) =
0
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?
Формула
a = b / tg(β)
b = a / tg(α)
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:
a = 3 / tg(35) ≈ 3 / 0.7 ≈ 4.28 см
См. также
Это смотря какие данные нам даны для решения.
Например есть теорема Пифагора:
по ней, если катеты a и b, а гипотенуза c, то:
a²+b²=c²
Отсюда можно найти катет, зная длину гипотенузы и второго катета:
a²=c²-b²
a=√(c²-b²)
Также находим и b:
b=√(c²-a²)
Ещё можно найти катет через тригонометрические функции, то есть зная угол через синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы и т.д.
Если представить треугольник как вписанный в круг, то зная угол и размер гипотенузы можно найти катеты.
В рассматриваемом треугольнике, вписанном в круг, гипотенуза будет радиусом круга и приравнивается к 1 (к единице). А катеты — это синус и косинус, они меньше единицы.
Допустим зная угол α можно вычислить sin(α) и cos(α).
Синус соответствует вертикальному катету, а косинус горизонтальному.
Теперь, чтобы найти длины этих катетов, нужно перевести их из коэффициентов, которые меньше единицы, в реальные длины. Для этого их нужно домножить на длину гипотенузы:
Если:
Y — вертикальный катет, а X — горизонтальный катет (см. картинку) a Z — гипотенуза, то:
Y=Z*sin(α)
X=Z*cos(α)
Можно найти катет и зная лишь длину второго катета, а также угол.
Допустим знаем Y и угол α.
Тогда запросто находим гипотенузу, выражая её из предыдущей формулы:
Z=sin(α)/Y
А затем уже находим второй катет: X=Z*cos(α)
Если же наоборот знаем только X катет (горизонтальный, относительно приведённого рисунка), то находим гипотенузу так:
Z=X/cos(α)
А затем уже находим катет Y: Y=Z*sin(α)
Как найти неизвестный катет
Катет – это сторона прямоугольного треугольника, прилегающая к прямому углу. Найти его можно, используя теорему Пифагора или тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике. Для этого нужно знать другие стороны или углы этого треугольника.
Вам понадобится
- — теорема Пифагора;
- — тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике;
- — калькулятор.
Инструкция
Если в прямоугольном треугольнике известна гипотенуза и один из катетов, то второй катет найдите, используя теорему Пифагора. Поскольку сумма квадратов катетов a и b, равна квадрату гипотенузы c (c²=a²+b²), то, произведя несложное преобразование, получите равенство для нахождения неизвестного катета. Обозначьте неизвестный катет как b. Для того чтобы найти его, найдите разность квадратов гипотенузы и известного катета, а из результата выделите корень квадратный b=√(c²-a²).
Пример. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а один из катетов 3 см. Найдите, чему равен второй катет. Подставьте значения в выведенную формулу и получите b=√(5²-3²)=√(25-9) =√16=4 см.
Если в прямоугольном треугольнике известна длина гипотенузы и один из острых углов, используйте свойства тригонометрических функций для того, чтобы найти нужный катет. Если нужно найти катет, прилежащий к известному углу, чтобы найти его, используйте одно из определений косинуса угла, которое гласит, что он равен отношению прилежащего катета a к гипотенузе c (cos(α)=a/c). Тогда чтобы найти длину катета, умножьте гипотенузу на косинус прилежащего к данному катету угла a=c∙cos(α).
Пример. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 6 см, а его острый угол 30º. Найдите длину катет, прилежащего к этому углу. Этот катет будет равен a=c∙cos(α)=6∙cos(30º)=6∙√3/2≈5,2 см.
Если нужно найти катет противолежащий острому углу, используйте ту же методику расчета, только косинус угла в формуле поменяйте на его синус (a=c∙sin(α)). Например, используя условие предыдущей задачи, найдите длину катета, противолежащего острому углу 30º. Использовав предложенную формулу, получите: a=c∙sin(α)= 6∙sin(30º)= 6∙1/2=3 см.
Если известен один из катетов и острый угол, то для расчета длины другого используйте тангенс угла, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Тогда, если катет a является прилежащим к острому углу, найдите его, поделив противолежащий катет b на тангенс угла a=b/tg(α). Если катет a противолежит острому углу, то он равен произведению известного катета b на тангенс острого угла a=b∙tg(α).
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Расчёт катета по катету и прилежащему углу
Значащих цифр:
Прямоугольный треугольник это треугольник у которого один из углов равен 90 градусов.
Прямой угол это угол 90 градусов.
Гипотенуза это противолежащая прямому углу сторона, самая длинная сторона прямоугольного треугольника.
Катеты это стороны прямоугольного треугольника прилежащие к прямому углу.
Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам.
Тангенсом называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Известен катет AC и прилежащий угол a
Катет будем рассчитывать с помощью тангенса.
tg(a)=BC/AC
BC = tg(a) x AC
Как найти катет прямоугольного треугольника
В жизни нам часто придется сталкиваться с математическими задачами: в школе, в университете, а затем помогая своему ребенку с выполнением домашнего задания. Люди определенных профессий будут сталкиваться с математикой ежедневно. Поэтому полезно запоминать или вспоминать математические правила. В этой статье мы разберем одно из них: нахождение катета прямоугольного треугольника.
1
Что такое прямоугольный треугольник
Для начала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник – это геометрическая фигура из трех отрезков, которые соединяют точки, не лежащие на одной прямой, и один из углов этой фигуры равен 90 градусам. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, которая лежит напротив прямого угла – гипотенузой.
2
Находим катет прямоугольного треугольника
Существует несколько способов, позволяющих узнать длину катета. Хотелось бы рассмотреть бы их подробнее.
Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника
Если нам известны гипотенуза и катет, то мы можем найти длину неизвестного катета по теореме Пифагора. Звучит она так: “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Формула: c²=a²+b², где c – гипотенуза, a и b – катеты. Преобразовываем формулу и получаем: a²=c²-b².
Пример. Гипотенуза равна 5 см, а катет – 3 см. Преобразовываем формулу: c²=a²+b² → a²=c²-b². Далее решаем: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (см).
Тригонометрические соотношения, чтобы найти катет прямоугольного треугольника
Также можно найти неизвестный катет, если известны любая другая сторона и любой острый угол прямоугольного треугольника. Есть четыре варианта нахождения катета при помощи тригонометрических функций: по синусу, косинусу, тангенсу, котангенсу. Для решения задач нам поможет таблица, которая находится чуть ниже. Рассмотрим эти варианты.
Найти катет прямоугольного треугольника при помощи синуса
Синус угла (sin) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Формула: sin=a/c, где а – катет, лежащий против данного угла, а с – гипотенуза. Далее преобразуем формулу и получаем: a=sin*c.
Пример. Гипотенуза равна 10 см, угол А равен 30 градусов. По таблице вычисляем синус угла А, он равен 1/2. Затем по преобразованной формуле решаем: a=sin∠А*c; a=1/2*10; a=5 (см).
Найти катет прямоугольного треугольника при помощи косинуса
Косинус угла (cos) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Формула: cos=b/c, где b – катет, прилежащий к данному углу, а с – гипотенуза. Преобразуем формулу и получим: b=cos*c.
Пример. Угол А равен 60 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем косинус угла А, он равен 1/2. Далее решаем: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (см).
Найти катет прямоугольного треугольника при помощи тангенса
Тангенс угла (tg) – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Формула: tg=a/b, где а – противолежащий к углу катет, а b – прилежащий. Преобразуем формулу и получаем: a=tg*b.
Пример. Угол А равен 45 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем тангенс угла А, он равен Решаем: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (см).
Найти катет прямоугольного треугольника при помощи котангенса
Котангенс угла (ctg) – это отношение прилежащего катета к противолежащему. Формула: ctg=b/a, где b – прилежащий к углу катет, а – противолежащий. Иначе говоря, котангенс – это “перевернутый тангенс”. Получаем: b=ctg*a.
Пример. Угол А равен 30 градусов, противолежащий катет равен 5 см. По таблице тангенс угла А равен √3. Вычисляем: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).
Итак, теперь вы знаете, как находить катет в прямоугольном треугольнике. Как видите, это не так уж и сложно, главное – запомнить формулы.