Проецирование точки
- Подробности
- Категория: Основы начертательной геометрии
ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ДВЕ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ
Образование отрезка прямой линии АА1 можно представить как результат перемещения точки А в какой-либо плоскости Н (рис. 84, а), а образование плоскости — как перемещение отрезка прямой линии АВ (рис. 84, б).
Точка — основной геометрический элемент линии и поверхности, поэтому изучение прямоугольного проецирования предмета начинается с построения прямоугольных проекций точки.
В пространство двугранного угла, образованного двумя перпендикулярными плоскостями — фронтальной (вертикальной) плоскостью проекций V и горизонтальной плоскостью проекций Н, поместим точку А (рис. 85, а).
Линия пересечения плоскостей проекций — прямая, которая называется осью проекций и обозначается буквой х.
Плоскость V здесь изображена в виде прямоугольника, а плоскость Н — в виде параллелограмма. Наклонную сторону этого параллелограмма обычно проводят под углом 45° к его горизонтальной стороне. Длина наклонной стороны берется равной 0,5 ее действительной длины.
Из точки А опускают перпендикуляры на плоскости V и Н. Точки а’и а пересечения перпендикуляров с плоскостями проекций V и Н являются прямоугольными проекциями точки А. Фигура Аааха’ в пространстве — прямоугольник. Сторона аах этого прямоугольника на наглядном изображении уменьшается в 2 раза.
Совместим плоскости Н с плоскостью V ,вращая V вокруг линии пересечения плоскостей х. В результате получается комплексный чертеж точки А (рис. 85, б)
Для упрощения комплексного чертежа границы плоскостей проекций V и Н не указывают (рис. 85, в).
Перпендикуляры, проведенные из точки А к плоскостям проекций, называются проецирующими линиями, а основания этих проецирующих линий — точки а и а’ — называются проекциями точки А: а’ — фронтальная проекция точки А, а — горизонтальная проекция точки А.
Линия а’ а называется вертикальной линией проекционной связи.
Расположение проекции точки на комплексном чертеже зависит от положения этой точки в пространстве.
Если точка А лежит на горизонтальной плоскости проекций Н (рис. 86, а), то ее горизонтальная проекция а совпадает с заданной точкой, а фронтальная проекция а’ располагается на оси При расположении точки В на фронтальной плоскости проекций V ее фронтальная проекция совпадает с этой точкой , а горизонтальная проекция лежит на оси х. Горизонтальная и фронтальная проекции заданной точки С, лежащей на оси х, совпадают с этой точкой. Комплексный чертеж точек А, В и С показан на рис. 86, б.
ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ТРИ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ
В тех случаях, когда по двум проекциям нельзя представить себе форму предмета, его проецируют на три плоскости проекций. В этом случае вводится профильная плоскость проекций W, перпендикулярная плоскостям V и Н. Наглядное изображение системы из трех плоскостей проекций дано на рис. 87, а.
Ребра трехгранного угла (пересечение плоскостей проекций) называются осями проекций и обозначаются x, у и z. Пересечение осей проекций называется началом осей проекций и обозначается буквой О. Опустим из точки А перпендикуляр на плоскость проекций W и, отметив основание перпендикуляра буквой а», получим профильную проекцию точки А.
Для получения комплексного чертежа точки А плоскости Н и W совмещают с плоскостью V, вращая их вокруг осей Ох и Oz. Комплексный чертеж точки А показан на рис. 87, б и в.
Отрезки проецирующих линий от точки А до плоскостей проекций называются координатами точки А и обозначаются: хА, уА и zA.
Например, координата zA точки А, равная отрезку а’ах (рис. 88, а и б), есть расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций Н. Координата у точки А, равная отрезку аах, есть расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций V. Координата хА, равная отрезку аау — расстояние от точки А до профильной плоскости проекций W.
Таким образом, расстояние между проекцией точки и осью проекции определяют координаты точки и являются ключом к чтению ее комплексного чертежа. По двум проекциям точки можно определить все три координаты точки.
Если заданы координаты точки А (например, хА=20 мм, уА=22мм и zA= 25 мм), то можно построить три проекции этой точки.
Для этого от начала координат О по направлению оси Oz откладывают вверх координату zA и вниз координату уА.Из концов отложенных отрезков — точек az и ау (рис. 88, а) — проводят прямые, параллельные оси Ох, и на них откладывают отрезки, равные координате хА. Полученные точки а’ и а — фронтальная и горизонтальная проекции точки А.
По двум проекциям а’ и а точки А построить ее профильную проекцию можно тремя способами:
1) из начала координат О проводят вспомогательную дугу радиусом Оау, равным координате (рис. 87, б и в), из полученной точки ау1 проводят прямую, параллельную оси Oz, и откладывают отрезок, равный zA;
2) из точки ау проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 88, а), получают точку ау1 и т. д.;
3) из начала координат О проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 88, б), получают точку ау1 и т. д.
21
[1, с. 3–5]; [2, с. 53–61];
[3, с. 6–8]; [4, гл. 2, § 7];
[5, гл. 6, § 32–37]; [6, гл. 1, § 3–4];
§1. Система двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций
Обратимость чертежа, т. е. однозначное определение положения точки в пространстве по ее проекциям, может быть обеспечена проецированием на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций.
1.Для получения изображения объекта на плоскости выбирается ортогональное (прямоугольное) проецирование.
2.Для преобразования изображений, полученных на взаимно перпендикулярных плоскостях, изображение на одну плоскость, следует считать
неподвижным (плоскость 2), а плоскость 1 – вращающейся вокруг оси до совмещения с плоскостью 2.
3. Пространство делится на четверти двумя взаимно-перпендикуляр- ными плоскостями.
Рассмотрим две взаимно перпендикулярные плоскости проекций
(рис. 2.1).
Плоскость 1, расположенную горизонтально, называют горизонтальной плоскостью проекций, вертикальную плоскость 2 – фронтальной плоскостью проекций. Х – линия пересечения плоскостей проекций, которую называют осью проекций. Ось проекций делит каждую плоскость на две полуплоскости, условно назовем их: 1 – «положительную и отрицательную», 2 – «положительную и отрицательную». Плоскости делят окружающее пространство на четыре четверти – I, II, III, IV (рис. 2.1 и 2.2).
22
— 1
— 2
|
Рис. 2.1 |
Рис. 2.2 |
|
§ 2. Точка в системе двух плоскостей проекций |
1 и 2 |
Рассмотрим построение проекций некоторой точки А, расположенной в первой четверти системы 1/ 2 (рис. 2.3). Проведя из А перпендикуляры (проецирующие лучи из бесконечно удаленных центров S1 и S2) к плоскостям проекций 1 и 2, получаем проекции точки А: горизонтальную проекцию А1, и фронтальную проекцию А2.
Если спроецировать отрезки лучей АА1 из центра S2 и АА2 из центра S1 , то получаем две взаимно перпендикулярные прямые А2Ах и А1Ах, соответственно. Эти прямые принято называть линиями связи проекций.
Таким образом, точка А в пространстве характеризуется двумя проекциями А2 и А1 на плоскости 1 и 2 и двумя линиями связи А2Ах и А1Ах
(рис. 2.4).
Проверим, верна ли обратная задача.
Если даны проекции А1, А2 некоторой точки А, то определяют ли они
|
положение точки в пространстве (рис. 2.4). |
||
|
Решение: |
||
|
1. Восстановим из точки А1 |
перпендикуляр к плоскости |
1 (рис. 2.5). |
|
2. Восстановим из точки А2 |
перпендикуляр к плоскости |
2 (рис. 2.6). |
|
S1 |
S1 |
|
|
S2 |
S2 |
|
23
|
3. Фигура АА1АхА2 имеет: |
|||||||||||||||||
|
Ах = 90 |
– по условию 2 |
1 |
|||||||||||||||
|
А2 = 90 |
– по построению |
АА1АхА2 – прямоугольник |
|||||||||||||||
|
А1 = 90 |
– по построению |
||||||||||||||||
Следовательно, точка А есть точка, принадлежащая двум пересекающимся перпендикулярам, лежащим в одной плоскости, и она единственная.
Таким образом, доказано, что две проекции определяют положение точки в пространстве.
§ 3. Образование комплексного чертежа (эпюра)
Для удобства пользования полученными изображениями от пространственной системы плоскостей перейдем к плоскостной.
Для этого:
1. Применим способ вращения плоскости 1 вокруг оси Х до совмещения с плоскостью 2 (рис. 2.7).
2. Совмещаем плоскости 1 и 2 в одну плоскость чертежа (рис. 2.8) Проекции А1 и А2 располагаются на одной линии связи перпендикулярной оси Х. Эта линия называется линией проекционной связи (рис. 2.9).
24
Условные границы плоскостей проекций
Рис. 2.9
Так как плоскость проекций считается бесконечной в пространстве, то границы плоскости 1, 2 можно не изображать (рис. 2.10).
Рис. 2.10
В результате совмещения плоскостей 1 и 2 получается комплексный чертеж или эпюр (от франц. epure чертеж), т.е. чертеж в системе 1 и 2 или в системе двух плоскостей проекций. Заменив наглядное изображение эпюром, мы утратили пространственную картину расположения плоскостей проекций и точки. Но эпюр обеспечивает точность и удобоизмеряемость изображений при значительной простоте построений. Чтобы
25
представить по эпюру пространственную картину, требуется работа воображения: например, по рис. 2.11 надо представить картину, изображенную на рис. 2.12.
При наличии на комплексном чертеже оси проекций по проекциям А1 и А2 можно установить положение точки А относительно 1 и 2 (см. рис. 2.5 и 2.6). Сравнивая рис. 2.11 и 2.12 нетрудно установить, что отрезок А2 АХ
– расстояние от точки А до плоскости 1, а отрезок А1АХ – расстояние от точки А до 2. Расположение А2 выше оси проекций означает, что точка А расположена над плоскостью 1. Если А1 на эпюре расположена ниже оси проекций, то точка А находится перед плоскостью 2.
§ 4. Характеристика положения точки в системе 1 и 2
Точка, заданная в пространстве, может иметь различные положения относительно плоскостей проекций (рис. 2.13).
Рассмотрим возможные варианты расположения точки в пространстве первой четверти:
26
1. Точка расположена в пространстве I четверти на любом расстоянии от оси Х и плоскостей 1 2, например точки А, В (такие точки называются точками общего положения) (рис. 2.14 и рис. 2.15).
|
Точка А |
Точка В |
||||||||||||||||||||||||
|
AX |
A2 |
X |
BX |
B2 |
|||||||||||||||||||||
|
X |
B1 |
||||||||||||||||||||||||
|
A |
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
Рис. 2.14 |
Рис. 2.15 |
||||||||||||||||||||||||
|
2. Точка С принадлежит плоскости |
2, точка D – плоскости |
1 (рис. 2.16 |
|||||||||||||||||||||||
|
и рис. 2.17). |
|||||||||||||||||||||||||
|
Точка С |
Точка D |
||||||||||||||||||||||||
|
С2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
С |
D |
D |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
X |
X |
||||||||||||||||||||||||
|
X |
СХ |
С1 |
|||||||||||||||||||||||
|
D1 |
D |
||||||||||||||||||||||||
|
Рис. 2.16 |
Рис. 2.17 |
||||||||||||||||||||||||
|
3. Точка K принадлежит одновременно и плоскости 1 и |
2, то есть |
||||||||||||||||||||||||
|
принадлежит оси Х (рис. 2.18): |
Точка K
XK 
KХ 
K1 
K2
Рис. 2.18
На основании вышеизложенного можно сделать следующий вывод:
1. Если точка расположена в пространстве I четверти, то ее проекция А2 расположена выше оси Х, а А1 – ниже оси Х; А2А1 – лежат на одном перпендикуляре (линии связи) к оси Х (рис. 2.14).
27
|
2. |
Если точка принадлежит плоскости |
2, то ее проекция С2 |
С (сов- |
||
|
падает с самой точкой С) а проекция С1 |
Х (принадлежит оси Х) и совпа- |
||||
|
дает с СХ: С1 СХ. |
|||||
|
3. |
Если точка принадлежит плоскости |
1, то ее проекция D1 |
на эту |
||
|
плоскость совпадает с самой точкой D |
D1, а проекция D2 принадлежит |
||||
|
оси Х и совпадает с DХ: D2 |
DХ. |
||||
|
4. |
Если точка принадлежит оси Х, |
то все ее проекции совпадают и |
|||
|
принадлежат оси Х: К К1 |
К2 КХ. |
Задание:
1. Дать характеристику положения указанных точек в системе двух плоскостей проекций (рис. 2.19).
|
A2 |
B2 |
D2 |
|||||||||
|
C2 |
D1 |
||||||||||
|
Ax |
B |
1 |
B |
x |
C |
Dx |
E |
2 |
E |
x |
|
|
X |
x |
||||||||||
|
A1 |
C1 |
E1 |
|||||||||
|
Рис. 2.19 |
2. Сравнить положение точек относительно плоскостей проекций 1 и 2 и между собой. Сравнение ведется по характеристикам или признакам. Для точек эти характеристики есть расстояние до плоскостей 1; 2 (рис. 2.20).
|
A2 |
B2 |
C2 |
D2 |
|
|
X |
Ax |
Bx |
Cx |
Dx |
|
A1 |
B1 |
C1 |
D1 |
|
|
Рис. 2.20 |
28
Применение вышеизложенной теории при построении изображений точки может быть осуществлено различными способами:
словами (вербальное);
графически (чертежи);
наглядное изображение (объемное);
плоскостное (комплексный чертеж).
Умение переводить информацию с одного способа на другой способствует развитию пространственного мышления, т.е. с вербального в наглядное (объемное), а затем в плоскостное, и наоборот.
Рассмотрим это на примерах (табл. 2.1 и табл. 2.2).
Таблица 2.1
Примеры изображения точек в системе двух плоскостей проекций
|
Четверть |
Наглядное |
Комплексный |
Характерные |
|
пространства |
изображение |
чертеж |
признаки |
|
Фронтальная про- |
|||
|
екция точки А вы- |
|||
|
I |
ше оси Х, горизон- |
||
|
тальная проекция |
|||
|
точки А ниже оси |
|||
|
X |
|||
|
Фронтальная и го- |
|||
|
II |
ризонтальная про- |
||
|
екции точки B вы- |
|||
|
ше оси Х |
|||
|
Фронтальная про- |
|||
|
екция точки С ниже |
|||
|
III |
оси Х, горизон- |
||
|
тальная проекция |
|||
|
точки C |
|||
|
выше оси X |
29
Окончание табл. 2.1
|
Фронтальная и го- |
||
|
IV |
ризонтальная про- |
|
|
екции точки D ниже |
||
|
оси Х |
|
Таблица 2.2 |
||||||
|
Примеры изображения точек, |
||||||
|
принадлежащих плоскостям проекций |
1 |
и |
2 |
|||
|
Положение |
Наглядное |
Комплексный |
Характерные |
|||
|
точки |
изображение |
чертеж |
признаки |
|||
|
Точка А |
А1 |
– ниже оси Х, |
||||
|
принадлежит |
||||||
|
А2 |
– на оси X |
|||||
|
плоскости |
1 |
|||||
|
Точка B |
B1 |
– выше оси X, |
||||
|
принадлежит |
||||||
|
B2 |
– на оси X |
|||||
|
плоскости |
1 |
|||||
|
Точка С |
С2 |
– выше оси X, |
||||
|
принадлежит |
||||||
|
С1 |
– на оси Х |
|||||
|
плоскости |
2 |
|||||
|
Точка D |
D1 |
– на оси X, |
||||
|
принадлежит |
||||||
|
D2 |
– ниже оси X |
|||||
|
плоскости |
2 |
|||||
Точка Е принадлежит оси X
|
x |
x |
E1 |
совпадает с |
|
|
E2 |
и принадле- |
|||
|
жит оси X |
|
Задача № 1 |
||
|
Построить комплексный чертеж точки А, если: |
||
|
1) |
точка расположена во II четверти и равноудалена от плоскостей 1 и |
2. |
|
2) |
точка расположена в III четверти, и ее расстояние до плоскости |
1 в |
|
два раза больше, чем до плоскости 2. |
||
|
3) |
точка расположена в IV четверти, и ее расстояние до плоскости |
1 |
больше, чем до плоскости 2.
Задача № 2
1. Построить наглядное изображение точек в четвертях: а) А – общего положения в III четверти;
б) В – общего положения в IV четверти;
в) С – во второй четверти, если ее расстояние от 1 равно 0; г) D – в I четверти, если ее расстояние от 2 равно 0.
Задача № 3
Построить комплексный чертеж точек А, В, С, D (см. задачу 2).
§ 5. Система трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций
На практике исследования и построения изображений система двух взаимно перпендикулярных плоскостей не всегда дает возможность однозначного решения. Так, например, если переместить точку А вдоль оси Х, то ее изображение не изменится.
Положение точки в пространстве (рис. 2.21) изменилось (рис. 2.23), а изображения на комплексном чертеже остались без изменений (рис. 2.22
и рис. 2.24).
31
|
Рис. 2.21 |
Рис. 2.22 |
|||||||||
|
Рис. 2.23 |
Рис. 2.24 |
|||||||||
|
Для решения данной задачи вводят систему трех взаимно перпендикуляр- |
||||||||||
|
ных плоскостей, так как при составлении чертежей, например машин и их ча- |
||||||||||
|
стей, требуется не два, а больше изображений. На этом основании в некото- |
||||||||||
|
рые построения при решении задач необходимо вводить в систему |
1, |
2 |
и |
|||||||
|
другие плоскости проекций. |
||||||||||
|
Рассмотрим три взаимно перпендикулярные плоскости 1, 2, 3(рис. 2.25). |
||||||||||
|
Вертикальная плоскость |
3 называется профильной плоскостью про- |
|||||||||
|
екции. Пересекаясь между собой, плоскости |
1, 2, 3 образуют оси проек- |
|||||||||
|
ций, при этом пространство делится на |
||||||||||
|
— |
3 |
z |
8 октантов. |
|||||||
|
— y |
2 |
1 |
2 = x; |
|||||||
|
— 1 |
1 |
3 = у; |
||||||||
|
II |
VI |
|||||||||
|
I |
0 |
3 |
V |
3 = z; |
||||||
|
-X |
||||||||||
|
III X |
2 |
|||||||||
|
VII |
||||||||||
|
0 – точка пересечения осей проекций. |
||||||||||
|
IV |
VIII |
|||||||||
|
1 |
Эти плоскости делят все простран- |
|||||||||
|
— 2 |
||||||||||
|
y |
ство на VIII частей, которые называются |
|||||||||
|
— z |
||||||||||
|
октантами (от лат. okto восемь). Плоско- |
||||||||||
|
Рис. 2.25 |
сти не имеют толщины, непрозрачны и |
|||||||||
|
Рис. |
2.25 |
бесконечны. |
Наблюдатель находится в |
32
|
первой четверти (для систем |
1, 2) или первого октанта (для систем |
||
|
1, |
2, 3) в бесконечном удалении от плоскостей проекций. |
||
|
§ 6. Точка в системе 1, 2, |
3 |
||
|
Построение проекций некоторой точки А, расположенной в I октанте, |
|||
|
на |
три взаимно перпендикулярные плоскости 1, 2, 3 показано |
на |
|
|
рис. 2.26. Используя совмещение плоскостей проекций с плоскостью |
2 и |
применяя способ вращения плоскостей, получаем комплексный чертеж точки А (рис. 2.27): АА1 
1; АА 2 
2; АА 3 
3, где А3 – профильная проекция точки А; АХ, Аy, АZ – осевые проекции точки А. Проекции А1, А2, А3 называются соответственно фронтальной, горизонтальной и профильной проекцией точки А.
|
z |
z |
||||||
|
2 |
2 |
A2 |
Az |
3 |
|||
|
A |
|||||||
|
Az |
3 |
||||||
|
A2 |
|||||||
|
A |
Ax |
0 |
Ay |
||||
|
3 |
|||||||
|
A3 |
x |
y |
|||||
|
Ay |
|||||||
|
x |
O |
||||||
|
Ax |
A1 |
||||||
|
A1 |
Ay |
1 |
y |
||||
|
1 |
y |
||||||
|
Рис. 2.26 |
Рис. 2.27 |
Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси x, y, z, проекции которых можно рассматривать как систему декартовых координат: ось Х называется осью абцисс, ось y – осью ординат, ось Z – осью аппликат, точка пересечения осей, обозначаемая буквой О, есть начало координат.
Так, зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте. Для получения комплексного чертежа применим способ вращения
плоскостей 1 и 3 (как показано на рис. 2.26) до совмещения с плоскостью 2. Окончательный вид всех плоскостей в первом октанте приведен на рис. 2.27, а дополненный проградуированными осями на рис. 2.28
33
Рис. 2.28
Рассмотрим рис. 2.29, где точка пространства А задана координатами (5;4;6) в условных единицах. Эти координаты положительны, и сама она находится в первом октанте. Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели осуществляется с помощью координатного прямоугольного параллелограмма. Для этого на осях координат откладываем отрезки, соответственно отрезкам длины: ОАх = 5, OАy = 4, OАz = 6. На этих отрезках (ОАx, ОАy, ОАz), как на ребрах, строим прямоугольный параллелепипед. Одна из его вершин будет определять заданную точку А.
|
z |
|||
|
2 |
|||
|
Az |
|||
|
A2 |
|||
|
A |
3 |
||
|
A3 |
|||
|
O |
|||
|
x |
Ax |
||
|
1 A1 |
Ay |
y |
|
|
Рис. 2.29 |
Говоря о системе трех плоскостей проекций для построения на комплексном чертеже точки (рис. 2.29), необходимо отметить следующее.
Первое
1)две проекции точки принадлежат одной линии связи;
2)две проекции точки определяют положение третьей ее проекции;
3)линии связи перпендикулярны соответствующей оси проекций.
34
Второе
Любая точка пространства задается координатами. По знакам координат можно определить октант, в котором находится заданная точка. Для этого воспользуемся табл. 2.3, в которой рассмотрены знаки координат в 1–4 октантах (5–8 октанты не представлены, они имеют отрицательное значение х, а y и z повторяются).
|
Таблица 2.3 |
|||
|
x |
Y |
z |
Октант |
|
+ |
+ |
+ |
I |
|
+ |
_ |
+ |
II |
|
+ |
_ |
_ |
III |
|
+ |
+ |
_ |
IV |
Образование комплексного чертежа в системе трех плоскостей проек-
|
ций осуществляется совмещением плоскостей |
1, |
2, 3 (рис. 2.30). |
|||||||
|
z |
— y1 |
||||||||
|
2 |
1 |
3 |
2 |
3 |
1 |
||||
|
-x |
|||||||||
|
x |
0 |
||||||||
|
— y3 |
y3 |
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
||||
|
-z |
y1 |
||||||||
|
Рис. 2.30 |
|||||||||
|
Ось у в этом случае имеет два положения: |
y1 c плоскостью 1, y3 c |
плоскостью 3.
Горизонтальная и фронтальная проекции точки располагаются на линии проекционной связи, перпендикулярной оси x, фронтальная и профильная проекции – на линии проекционной связи, перпендикулярной к оси z.
Расстояние точки от плоскости проекций измеряются аналогично отрезкам на эпюре (рис. 2.31).
35
|
z |
— y1 |
|
|
A2 |
Az |
A3 |
|
x Ax |
0 |
Ay -x |
|
-y3 |
y3 |
Ay A1 -z y1
Рис. 2.31
При построении проекции точки в пространстве и на комплексном чертеже могут применяться различные алгоритмы.
1. Алгоритм построения наглядного изображения точки, заданной координатами (рис. 2.30):
1.1.Соотнести знаки координат x, y, z с данными табл. 2.3.
1.2.Определить четверть, плоскость или ось, где расположена точка.
1.3.Выполнить наглядное (аксонометрическое) изображение четверти.
1.4.Отложить координаты точки на осях АХ, АY, АZ.
1.5.Построить проекции точки на плоскостях 1, 2, 3.
1.6. Построить перпендикуляры к плоскостям 1, 2, 3 в точках проекции А1, А2, А3.
1.7.Точка пересечения перпендикуляров есть искомая точка А.
2.Алгоритм построения комплексного чертежа точки
в системе трех плоскостей проекций 1, 2, 3, заданной координатами (рис. 2.31)
2.1.Определить по координатам октант, в котором расположена точка.
2.2.Определить механизм совмещения плоскостей.
2.3.Построить комплексный чертеж четверти.
2.4.Отложить координаты точки на осях x, y, z (АХ, АY, АZ).
2.5.Построить проекции точки на комплексном чертеже.
36
§ 7. Комплексный чертеж и наглядное изображение точки в I–IV октантах
Рассмотрим пример построения точек А, В, С, D в различных октантах
(табл. 2.4).
|
Таблица 2.4 |
|||||||||
|
Октант |
Наглядное изображение |
Комплексный чертеж |
|||||||
|
z |
|||||||||
|
Az |
|||||||||
|
A2 |
A3 |
||||||||
|
A |
|||||||||
|
O |
|||||||||
|
Ax |
|||||||||
|
I |
Ay |
||||||||
|
x |
у |
||||||||
|
A1 |
|||||||||
|
z;-y1 |
|||||||||
|
3 |
B2 |
B3 |
Bz |
||||||
|
2 |
z |
B1 |
By |
||||||
|
B |
B3 |
||||||||
|
II |
B2 |
O |
|||||||
|
1 |
Bz |
||||||||
|
-y |
x;-y3 |
Bx |
By |
-y3 |
|||||
|
By |
|||||||||
|
B1 |
-z;y1 |
||||||||
|
x |
Bx |
O |
|||||||
|
z;-y1 |
|||||||||
|
1 |
Cy |
||||||||
|
C1 |
|||||||||
|
C1 |
Cy |
||||||||
|
x |
Cx |
O |
|||||||
|
C3 |
|||||||||
|
C |
Cx |
Cy |
O |
||||||
|
III |
|||||||||
|
C2 |
Cz |
x;-y3 |
-y3 |
||||||
|
C3 |
|||||||||
|
3 |
C2 |
Cz |
|||||||
|
2 |
|||||||||
|
-z;y1 |
|||||||||
|
-z |
|||||||||
37
|
Окончание табл. 2.4 |
||||||
|
x |
Dx |
O |
z;-y1 |
|||
|
1 |
Dy |
|||||
|
D1 |
||||||
|
Dx |
O |
Dy |
||||
|
y |
||||||
|
Dz |
x;-y3 |
-х; y3 |
||||
|
IV |
D2 |
|||||
|
2 |
D |
D3 |
D1 |
Dy |
||
|
-z |
Dz |
D3 |
||||
|
3 |
D2 |
|||||
|
-z;y1 |
|
Примеры решения задач в I октанте |
||||||||||||||||||||
|
Дано А1; А2 |
Построить А3 |
|||||||||||||||||||
|
z |
z |
|||||||||||||||||||
|
A2 |
A2 |
A3 |
||||||||||||||||||
|
x |
O |
у |
x |
O |
y |
|||||||||||||||
|
A1 |
у |
A1 |
y |
|||||||||||||||||
|
Дано А2; А3 |
Построить А1 |
|||||||||||||||||||
|
z |
z |
|||||||||||||||||||
|
A2 |
A3 |
A2 |
A3 |
|||||||||||||||||
|
x |
O |
y |
x |
O |
y |
|||||||||||||||
|
y |
A1 |
y |
||||||||||||||||||
|
Дано А1; А3 |
Построить А2 |
|||||||||||||||||||
|
z |
A3 |
A2 |
z |
|||||||||||||||||
|
O |
O |
A3 |
||||||||||||||||||
|
x |
y |
x |
y |
|||||||||||||||||
|
A1 |
A1 |
y |
||||||||||||||||||
|
y |
38
Рассмотрим алгоритм построения точки А (табл. 2.5)
Таблица 2.5
Алгоритм построения точки А
по заданным координатам А (x = 5, y = 20, z = -9)
|
Вербальная форма |
Графическая форма |
|
Соотнести знаки координат x, y, z с |
Согласно табл. 2.3, |
|
данными табл. 2.3 |
это знаки 4-го октанта |
|
x |
0 |
|||||||
|
1 |
y |
|||||||
|
Построить наглядное |
||||||||
|
(аксонометрическое) |
||||||||
|
изображение 4-го октанта |
— |
|||||||
|
2 |
||||||||
|
-z |
3 |
|||||||
|
x |
0 |
|||||||
|
1 |
y |
|||||||
|
Определить механизм |
||||||||
|
совмещения плоскостей |
— |
|||||||
|
2 |
||||||||
|
-z |
3 |
|||||||
|
x |
0 |
y |
|
Построить комплексный чертеж |
1 — 2 |
|
|
4-го октанта |
3 |
-z
39
Продолжение табл. 2.5
|
x |
Ax |
0 |
||
|
Aу |
||||
|
1 |
||||
|
y |
||||
|
Отложить координаты точки |
Az |
|||
|
— |
2 |
|||
|
На осях: x = 5, y = 20, z = -9 |
||||
|
-z |
3 |
|||
|
x |
Ax 0 |
Ay y |
|||
|
Az |
|||||
|
Перенести координаты точки на оси |
— 2 |
||||
|
комплексного чертежа |
1 |
3 |
|||
-z
|
x |
Ax |
0 |
||
|
1 |
||||
|
Построить горизонтальную, |
A1 |
Ay |
||
|
фронтальную и профильную |
A2 |
Az |
y |
|
|
проекции точки А (табл. 2.4) |
— |
2 |
A3 |
|
|
-z |
A |
3 |
||
|
x |
Ax |
0 |
Ay y |
|||
|
Построить проекции |
A2 |
Az |
||||
|
точки А (А1, А2, А3) |
A3 |
|||||
|
A1 |
||||||
|
на комплексном чертеже |
Ay |
|||||
|
(табл. 2.4) |
1 |
— 2 |
3 |
|||
-z
В следующих главах мы будем рассматривать образы: прямые и плоскости только в первой четверти. Хотя все рассматриваемые способы можно применить в любой четверти, а также октанте.
40
Выводы
Таким образом, на основании теории Г. Монжа, можно преобразовать пространственное изображение образа (точки) в плоскостное.
Эта теория основывается на следующих положениях:
1. Все пространство делится на 4 четверти с помощью двух взаимно перпендикулярных плоскостей 1 и 2 либо на 8 октантов при добавлении третьей взаимно-перпендикулярной плоскости 3.
2.Изображение пространственного образа на эти плоскости получается
спомощью прямоугольного (ортогонального) проецирования.
3.Для преобразования пространственного изображения в плоскост-
|
ное считают, что плоскость |
2 – неподвижна, а плоскость |
1 вращается |
||
|
вокруг оси x так, |
что положительная полуплоскость 1 |
совмещается с от- |
||
|
рицательной полуплоскостью |
2, отрицательная часть |
1 – с положитель- |
||
|
ной частью 2. |
||||
|
4. Плоскость |
3 вращается вокруг оси z (линии пересечения плоско- |
|||
|
стей) до совмещения с плоскостью 2 (см. рис. 2.30). |
||||
|
Изображения, |
получающиеся на плоскостях 1, |
2 и |
3 при прямо- |
угольном проецировании образов, называются проекциями. Плоскости 1, 2 и 3 вместе с изображенными на них проекциями, образуют плоскост-
ной комплексный чертеж или эпюр.
Линии, соединяющие проекции образа осям x, y, z, называются линиями проекционной связи.
Для более точного определения образов в пространстве может быть применена система трех взаимно перпендикулярных плоскостей 1, 2, 3.
В зависимости от условия задачи можно выбрать для изображения либо систему 1, 2, либо 1, 2, 3.
Систему плоскостей 1, 2, 3 можно соединить с системой декартовых координат, что дает возможность задавать объекты не только графическим или (вербальным) образом, но и аналитическим (с помощью цифр).
Такой способ изображения образов, в частности точки, дает возможность решать такие позиционные задачи, как:
—расположение точки относительно плоскостей проекций (общее положение, принадлежность плоскости, оси);
41
—положение точки в четвертях (в какой четверти расположена точка);
—положение точек относительно друг друга, (выше, ниже, ближе, дальше относительно плоскостей проекций и зрителя);
—положение проекций точки относительно плоскостей проекций (равноудаление, ближе, дальше).
—Метрические задачи:
—равноудаленность точки от плоскостей проекций;
—отношение удаления точки от плоскостей проекций (в 2–3 раза, больше, меньше);
—определение расстояния точки от плоскостей проекций (при введении системы координат).
Вопросы для самоанализа
1.Линией пересечения каких плоскостей является ось z?
2.Линией пересечения каких плоскостей является ось y?
3.Как располагается линия проекционной связи фронтальной и профильной проекции точки? Покажите.
4.Какими координатами определяется положение проекции точки: горизонтальной, фронтальной, профильной?
5.В какой четверти располагается точка F (10; –40; –20)? От какой плоскости проекций точка F удалена дальше всего?
6.Расстоянием от какой проекции до какой оси определяется удаление
точки от плоскости 1? Какой координатой точки является это расстояние?
Основные понятия, которые необходимо знать:
—система двух и трех плоскостей проекций;
—фронтальная проекция, горизонтальная проекция, профильная проекция точки, комплексный чертеж точки (эпюр);
—линии проекционной связи, четверти в 2-х и октанты в 3-х плоскостях проекций, их элементы.
Способы деятельности, которыми надо уметь пользоваться:
—алгоритм построения точки, заданной координатами в системе трех плоскостей проекций в пространстве и на комплексном чертеже;
—построение третьей проекции по двум заданным.
42
Расчетно-графическая работа № 1.
Построение наглядного изображения и комплексного чертежа точки в системе трех плоскостей проекций
Задания (выполняются в соответствии с вариантом, указанным в нижеследующей таблице)
1.По заданным координатам построить три проекции точек А, В, С.
2.Определить положение точек в системе 3 плоскостей проекций
3.Выполнить наглядные изображения и комплексный чертеж данных точек.
|
Варианты РГР № 1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
||
|
x |
20 |
30 |
10 |
60 |
0 |
50 |
10 |
30 |
10 |
20 |
30 |
20 |
30 |
10 |
60 |
0 |
50 |
10 |
30 |
10 |
20 |
60 |
0 |
50 |
10 |
||
|
А |
|||||||||||||||||||||||||||
|
y |
30 |
10 |
-10 |
0 |
10 |
15 |
30 |
-10 |
30 |
0 |
-15 |
30 |
10 |
-10 |
0 |
10 |
15 |
30 |
-10 |
30 |
0 |
0 |
10 |
15 |
30 |
42 |
|
|
z |
10 |
-20 |
-30 |
-40 |
-50 |
-10 |
-35 |
40 |
-45 |
10 |
50 |
10 |
-20 |
-30 |
-45 |
-50 |
-10 |
-35 |
40 |
-45 |
10 |
-45 |
-50 |
-10 |
-35 |
||
|
x |
10 |
0 |
40 |
30 |
20 |
0 |
10 |
15 |
50 |
0 |
60 |
10 |
0 |
40 |
30 |
20 |
0 |
10 |
15 |
50 |
0 |
30 |
20 |
0 |
10 |
||
|
В |
|||||||||||||||||||||||||||
|
y |
0 |
-50 |
45 |
45 |
-25 |
25 |
40 |
40 |
-15 |
35 |
10 |
0 |
-50 |
45 |
45 |
-25 |
25 |
40 |
40 |
-15 |
35 |
45 |
-25 |
25 |
40 |
||
|
z |
15 |
40 |
25 |
60 |
40 |
-20 |
45 |
40 |
20 |
0 |
5 |
15 |
40 |
25 |
60 |
40 |
-20 |
45 |
40 |
20 |
0 |
60 |
40 |
-20 |
45 |
||
|
x |
20 |
15 |
55 |
55 |
35 |
30 |
55 |
15 |
60 |
50 |
25 |
20 |
15 |
55 |
55 |
35 |
30 |
55 |
15 |
60 |
50 |
55 |
35 |
30 |
55 |
||
|
С |
|||||||||||||||||||||||||||
|
y |
25 |
-30 |
-10 |
30 |
60 |
-60 |
60 |
55 |
-50 |
0 |
-10 |
25 |
-30 |
-10 |
30 |
60 |
-60 |
60 |
55 |
-50 |
0 |
30 |
60 |
-60 |
60 |
||
|
z |
30 |
40 |
-15 |
20 |
10 |
10 |
-60 |
20 |
50 |
-15 |
0 |
30 |
40 |
-15 |
20 |
10 |
10 |
-60 |
20 |
50 |
-15 |
20 |
10 |
10 |
-60 |
||
Примечание.
1.Каждый лист оформляется рамкой и надписью в соответствии с прил. 1.
2.Образец выполнения графической работы приведен в прил. 2.
3.Координаты точек даны в мм.
43
ГЛАВА 3 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ.
ПРОЕЦИРОВАНИЕ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ЛИНИИ
[4, гл. 2, § 10–14];
[5, гл. 7, § 38–40]; [6, гл. 2, § 5–6];
[7, гл. 2, подразделы 2.1–2.3]
§ 1. Общие положения
Линия – это одномерный геометрический образ, имеющий длину; множество всех последовательных положений движущейся точки. По определению Эвклида: «Линия же – длина без ширины».
Положение прямой линии в пространстве определяется положением двух ее точек. Чтобы спроецировать прямую линию в общем случае, надо спроецировать две ее точки и соединить полученные проекции. Прямая в пространстве может быть расположена произвольно. Рассмотрим различные положения прямой относительно плоскостей проекций 1, 2, 3
(рис. 3.1).
Прямые линии
Прямые общего положения
Прямые частного положения
|
Прямые |
Прямые |
|||||||||||||||||
|
уровня |
проецирующие |
|||||||||||||||||
|
Горизонталь |
Фронталь |
Профиль |
Горизонтально проецирующая прямая |
Фронтально проецирующая прямая |
Профильно проецирующая прямая |
|||||||||||||
|
Рис. 3.1 |
44
§ 2. Прямая общего положения в системе трех плоскостей проекций 1, 2, 3
|
Определение |
Наглядное |
Комплексный |
||||||||
|
изображение |
чертеж |
|||||||||
|
Прямой общего положе- |
z |
|||||||||
|
ния называется |
прямая, |
не |
z |
|||||||
|
B2 |
||||||||||
|
параллельная ни |
одной |
из |
2 |
B2 |
B3 |
|||||
|
плоскостей проекций 1, 2, |
3. |
B3 |
||||||||
|
AB – прямая в пространстве; |
B |
3 |
A2 |
A3 |
||||||
|
A1B1 – горизонтальная про- |
A |
A |
||||||||
|
A3 |
x |
O |
||||||||
|
екция прямой; |
x |
2 |
||||||||
|
y |
||||||||||
|
A2B2 – фронтальная проек- |
A1 |
A |
||||||||
|
ция прямой; |
1 |
|||||||||
|
1 |
B1 |
|||||||||
|
A3B3 – профильная проек- |
||||||||||
|
y |
B1 |
y |
||||||||
|
ция прямой |
||||||||||
§ 3. Прямые частного положения
Прямые частного положения – это прямые, которые либо параллельны (табл. 3.1), либо перпендикулярны одной из плоскостей проекций (табл. 3.2).
Прямые уровня
Всякую прямую, параллельную плоскости проекций, называют прямой линией уровня. В начертательной геометрии различают три основные линии уровня: горизонталь, фронталь и профильную линии
|
Таблица 3.1 |
||||||||||||
|
Прямые уровня |
||||||||||||
|
Определение |
Наглядное |
Комплексный |
||||||||||
|
изображение |
чертеж |
|||||||||||
|
Горизонталью называ- |
z |
z |
||||||||||
|
ют всякую прямую |
ли- |
A2 |
||||||||||
|
2 |
B2 |
A3 |
||||||||||
|
нию, |
параллельную го- |
B |
||||||||||
|
A |
B2 |
3 |
||||||||||
|
ризонтальной плоскости |
2 |
A3 |
||||||||||
|
3 |
||||||||||||
|
1: A2B2 |
Оx; |
A |
Ax |
B x 0 |
Ay Bу |
|||||||
|
x |
||||||||||||
|
A3B3 |
y. |
Ax |
B x |
B |
B3 |
y |
||||||
|
A1B1 |
– |
натуральная ве- |
x |
A1 |
||||||||
|
личина отрезка, |
A1 |
B y |
||||||||||
|
1 |
B1 |
y |
||||||||||
|
– угол наклона к 2 |
1 |
B1 |
y |
|||||||||
45
|
Окончание табл. 3.1 |
|||||||||||
|
Фронталью называют |
z |
z |
|||||||||
|
прямую линию, парал- |
Bz |
3 |
|||||||||
|
лельную фронтальной |
B3 |
B2 |
Bz |
||||||||
|
B2 |
B |
B3 |
|||||||||
|
плоскости |
2: |
||||||||||
|
A2 |
|||||||||||
|
2 |
2 |
Az |
A3 |
||||||||
|
A1B1 |
Оx; A2B2 – нату- |
A z |
x |
||||||||
|
A 3 |
|||||||||||
|
Ax |
Bx |
y |
|||||||||
|
ральная величина; |
A y |
B y |
y |
||||||||
|
А3B3 |
z; |
A2 |
B x |
B 1 |
A1 |
B |
|||||
|
A |
1 |
||||||||||
|
y |
|
– угол наклона к |
1 |
x |
A1 |
1 |
|||||||
|
A x |
|||||||||||
|
Профильной линией |
z |
Az |
z |
||||||||
|
называют прямую ли- |
2 |
A2 |
A3 |
||||||||
|
нию, параллельную |
A z |
A z |
B3 |
||||||||
|
профильной плоскости |
A |
A 3 |
B2 |
Bz |
|||||||
|
A x |
B x |
Ay |
By |
||||||||
|
3; A2B2 z; A1B1 y; |
|||||||||||
|
3 |
x |
y |
|||||||||
|
A3B3 – натуральная ве- |
B2 |
B z |
A1 |
Ay |
|||||||
|
личина отрезка, |
A x B x |
0 |
B1 |
||||||||
|
x |
В y |
||||||||||
|
A y |
B3 |
||||||||||
|
A 1 |
|||||||||||
|
– угол наклона к |
1; |
||||||||||
|
B |
|||||||||||
|
– угол наклона к |
1 |
B 1 |
B y |
y |
|||||||
|
2 |
|||||||||||
Прямые проецирующие
Проецирующими прямыми линиями называют прямые, расположенные перпендикулярно к плоскостям проекций 1, 2, 3 (прямые двойного уровня – их второе определение). Различают три основные проецирующие прямые: горизонтальная, фронтальная и профильная.
Если прямая перпендикулярна какой-либо из плоскостей проекций, то на эту плоскость она проецируется в виде точки. Две другие ее проекции параллельны осям и равны натуральной величине отрезка (табл. 3.2).
46
|
Таблица 3.2 |
|||||||||||||||||
|
Проецирующие прямые |
|||||||||||||||||
|
Определение |
Наглядное |
Комплексный чертеж |
|||||||||||||||
|
изображение |
|||||||||||||||||
|
Горизонтально |
проеци- |
A2 |
|||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||
|
рующей прямой называют |
|||||||||||||||||
|
A2 |
|||||||||||||||||
|
прямую, |
перпендикулярную |
B2 |
|||||||||||||||
|
A |
|||||||||||||||||
|
к плоскости |
1; A2B2 – нату- |
B2 |
х |
||||||||||||||
|
ральная |
величина |
AB, |
в |
B |
|||||||||||||
|
плоскости |
1 отрезок |
АВ х |
O |
A1 |
B1 |
||||||||||||
|
проецируется в точку А1 |
В1 |
||||||||||||||||
|
A1 |
B |
||||||||||||||||
|
1 |
1 |
||||||||||||||||
|
2 |
A2 |
B2 |
|||||||||||||||
|
A2 B2 B |
|||||||||||||||||
|
Фронтально проецирую- |
|||||||||||||||||
|
A |
|||||||||||||||||
|
щей прямой называют пря- |
|||||||||||||||||
|
мую, перпендикулярную к |
х |
||||||||||||||||
|
плоскости |
2; AB |
2 и |
х |
O |
B1 |
||||||||||||
|
AB , А В |
– натуральная |
B1 |
|||||||||||||||
|
1 |
1 1 |
A1 |
|||||||||||||||
|
величина В, в плоскости |
|||||||||||||||||
|
2 |
1 |
||||||||||||||||
|
отрезок проецируется в |
|||||||||||||||||
|
A1 |
|||||||||||||||||
|
точку А2 |
В2 |
||||||||||||||||
|
z |
z |
|||||||||
|
Профильно проецирую- |
2 |
|||||||||
|
A2 |
B2 |
A3 |
B3 |
|||||||
|
щей прямой называют пря- |
||||||||||
|
мую, перпендикулярную к |
A2 |
B2 |
3 |
|||||||
|
плоскости 3; АВ |
1 и |
A3 |
B3 |
х |
O |
у |
||||
|
АВ |
2, А1В1 |
A |
B |
|||||||
|
x |
||||||||||
|
и А2В2 – натуральные |
A1 |
B1 |
||||||||
|
величины отрезка АВ, А3В3 |
B1 |
|||||||||
|
A1 |
у |
в точку А3 В3
При сравнительном анализе изображений прямых частного положения на комплексном чертеже (табл. 3.1 и 3.2) следует учитывать:
1. Прямая уровня проецируется в натуральную величину на ту плоскость, которой она параллельна. Две остальные ее проекции обязательно параллельны соответствующим осям проекций.
47
2.Проекция прямой уровня к той плоскости, которой она параллельна, составляет с осями проекций углы, равные углам наклона линии уровня с другими соответствующими плоскостями проекций.
3.Если прямая перпендикулярна плоскости проекций, то ее проекцией на эту плоскость является точка, а другие проекции располагаются перпендикулярно соответствующим осям проекций.
§4. Построение третьей проекции отрезка по двум заданным
В нашем примере мы будем рассматривать построение прямой общего положения в первой четверти (табл. 3.3).
|
Таблица 3.3 |
||||||||||||||
|
Вербальная форма |
Графическая форма |
|||||||||||||
|
1. Прямая AB задана двумя проекциями А1В1 и |
A2 |
z |
||||||||||||
|
А2В2. Необходимо построить третью проекцию А3В3 |
||||||||||||||
|
B2 |
||||||||||||||
|
x |
Ax |
Bx |
O |
y |
||||||||||
|
A1 |
||||||||||||||
|
B1 |
||||||||||||||
|
y |
||||||||||||||
|
2. Построить третью проекцию точки А – А3: |
||||||||||||||
|
а) на оси z и y отложить координаты |
a) |
|||||||||||||
|
точки А: Az и Aу |
||||||||||||||
|
A2 |
z |
|||||||||||||
|
Az |
||||||||||||||
|
B2 |
||||||||||||||
|
x |
Ax |
Bx |
O |
y |
||||||||||
|
Ay |
||||||||||||||
|
A1 |
||||||||||||||
|
B1 |
||||||||||||||
|
y |
||||||||||||||
48
|
Продолжение табл. 3.3 |
||||||
|
б) построить Ау для профильной проекции |
б) |
|||||
|
A2 |
z |
|||||
|
Az |
||||||
|
B2 |
||||||
|
x |
Ax |
Bx |
O |
Ay |
y |
|
|
A1 |
Ay |
|||||
|
B1 |
||||||
|
y |
||||||
|
в) построить перпендикуляры из Аz и Ay. Обозна- |
в) |
|||||
|
чить полученную профильную проекцию точки А3 |
z |
|||||
|
A2 |
A3 |
|||||
|
Az |
||||||
|
B2 |
||||||
|
x |
Ax |
Bx |
O |
y |
||
|
Ay |
||||||
|
A1 |
Ay |
|||||
|
B1 |
||||||
|
y |
||||||
|
3. Построить третью проекцию точки В3: |
||||||
|
а) на осях z и y отложить координаты точки В: Вz и |
а) |
|||||
|
Ву |
z |
|||||
|
A2 |
A3 |
|||||
|
Az |
||||||
|
B2 |
Bz |
|||||
|
x |
Ax |
Bx |
O |
y |
||
|
Ay |
||||||
|
A1 |
Ay |
|||||
|
By |
||||||
|
B1 |
||||||
|
y |
49
|
Окончание табл. 3.3 |
||||||
|
б) построить Ву для профильной проекции точки В |
б) |
|||||
|
z |
||||||
|
A2 |
A3 |
|||||
|
Az |
||||||
|
B2 |
Bz |
|||||
|
x |
Ax |
Bx |
O |
y |
||
|
Ay |
By |
|||||
|
A1 |
Ay |
|||||
|
B1 |
By |
|||||
|
y |
||||||
|
в) построить перпендикуляры: |
в) |
|||||
|
ВzВ3 |
z. |
|||||
|
ВyВ3 |
y. |
z |
||||
|
Обозначить профильную проекцию точки В3 |
||||||
|
A2 |
||||||
|
A3 |
||||||
|
Az |
||||||
|
B2 |
Bz |
B3 |
||||
|
x |
Ax |
Bx |
O |
y |
||
|
Ay |
By |
|||||
|
A1 |
Ay |
|||||
|
B1 |
By |
|||||
|
y |
||||||
|
4. Соединить полученные проекции А3 и В3 – это и |
z |
|||||
|
будет проекция отрезка АВ на плоскость 3 |
||||||
|
A2 |
||||||
|
A3 |
||||||
|
B2 |
B3 |
|||||
|
x |
O |
y |
||||
|
A1 |
||||||
|
B1 |
||||||
|
y |
50
Задача № 1
При решении задач использовать алгоритм построения третьей проекции прямой по двум заданным (табл. 3.3).
1. По двум заданным проекциям построить третью на рис. 3.1–3.9:
A2 z
B2
A1
B1 y
Рис. 3.1
B2 z
A2
|
x |
O |
y |
|
B1 |
||
|
A1 |
||
|
y |
Рис. 3.4.
z A3
B3
B1
y
|
A2 |
B |
z |
A |
z |
|||||||
|
2 |
2 |
||||||||||
|
B2 |
|||||||||||
|
x |
O |
y |
x |
O |
y |
||||||
|
A1 |
|||||||||||
|
A1 |
|||||||||||
|
B1 |
y |
B1 |
y |
||||||||
|
Рис. 3.2 |
Рис. 3.3 |
||||||||||
|
A2 |
B2 |
z |
A2 B2 |
z |
|||||||
|
x |
O |
y |
|||||||||
|
x |
O |
y |
|||||||||
|
B1 |
|||||||||||
|
A1 |
B1 |
y |
A1 |
y |
|||||||
Рис. 3.5. Рис. 3.6.
|
A1 |
z |
z |
|||
|
A2 |
B2 |
A3 B3 |
|||
|
B2 |
|||||
|
x |
O |
y |
x |
O |
y |
|
B1 |
|||||
|
A1 |
y |
y |
|
Рис. 3.7 |
Рис. 3.8 |
Рис. 3.9 |
Задача № 2
Установить на каком из комплексных чертежей отрезок является натуральной величиной, а на каком чертеже можно определить н.в. углов наклона отрезка прямой к плоскостям проекций (рис. 3.1–рис. 3.9)?
51
§ 5. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения на комплексном чертеже
Для определения натуральной величины отрезка прямой линии общего положения по ее проекциям применяют метод прямоугольного треугольника.
Рассмотрим последовательность этого положения (табл. 3.4).
Вербальная форма
Определить на комплексном чертеже Аz, Bz, Ay, By:
z – разность расстояний от точек А и В до плоскости 1;
y – разность расстояний от точек А и В до плоскости 2
Взять любую точку проекции прямой АВ, провести через нее перпендикуляр к отрезку:
а) либо перпендикуляр к А2В2 через точку В2 или
А2; б) либо перпендикуляр к А1В1 через точку В1 или
А1
На этом перпендикуляре от точки В2 отложить y
Или от точки B1 отложить z
Таблица 3.4
Графическая форма
|
B2 |
||
|
A2 |
z=z B-zA |
|
|
12 |
||
|
Ax |
Bx |
|
|
x |
11 |
|
|
A1 |
||
|
y=y B-yA |
||
|
B1 |
||
|
B2 |
||
|
A2 |
z |
|
|
12 |
||
|
Ax |
Bx |
|
|
x |
11 |
|
|
A1 |
||
|
y |
||
|
B1 |
52
Окончание табл. 3.4
Соединить A2 и В*; A1 и В’
5. Обозначить натуральную величину отрезка АВ (гипотенузу треугольника):
|АВ| = А1В’ = А2В*
6.Отметить углы наклона к плоскости проекции
|
1 и 2: |
||||
|
α – угол наклона отрезка АВ к плоскости |
1; |
|||
|
β – угол наклона отрезка АВ к плоскости |
2 |
|||
53
При решении подобной задачи находить натуральную величину отрезка можно только один раз (либо на 1, либо на 2). Если требуется определить углы наклона прямой к плоскостям проекций, то данное построение выполняется дважды – на фронтальной и горизонтальной проекциях отрезка.
|
§ 6. Принадлежность точки прямой |
C2 |
B2 |
|||||
|
Точка принадлежит прямой, если ее про- |
A2 |
||||||
|
екции принадлежат одноименным проекциям |
|||||||
|
прямой (рис. 3.10).Точка С принадлежит от- |
|||||||
|
X |
|||||||
|
резку АВ, так как С2 принадлежит фронталь- |
|||||||
|
ной проекции отрезка, а С1 – горизонтальной |
A1 |
||||||
|
проекции отрезка. |
C1 |
B1 |
|||||
Определить, принадлежит ли точка С отрезку прямой АВ.
Рис. 3.11
Задача № 2
Найти вторую проекцию точки В, если она принадлежит прямой а (рис.
3.12–3.15).
54
Выводы
На основе теории Монжа можно преобразовать пространственное изображение не только точки, но и более сложных объектов, в частности прямой линии и ее отрезка.
Для получения проекций отрезка АВ строят проекции его концовточек А и В – А1В1; А2В2; А3В3. Соединив одноименные проекции точек, получают проекции отрезка А1В1 – на плоскость 1; А2В2 – на плоскость 2; А3В3 – на плоскость 3. Проекции концов отрезков связаны линиями проекционной связи.
Точка принадлежит отрезку прямой, если ее проекции располагаются на одноименных проекциях этого отрезка.
Отрезок прямой относительно плоскостей проекций может быть:
—отрезком общего положения (углы наклона отрезка к плоскостям проекций произвольные);
—отрезком уровня (параллельным какой-либо плоскости проекций);
—проецирующим отрезком (перпендикулярным какой-либо плоскости проекций).
Отрезок может быть задан как в системе 1 2, так и в 1 2 3. По двум заданным проекциям всегда можно построить третью.
Отрезок в пространстве характеризуется длиной и углом наклона к плоскостям проекций.
55
Для отрезков уровня и проецирующих эти величины определяются на самом комплексном чертеже, так как натуральная величина известна и является одной из проекций отрезка.
Для нахождения натуральной величины отрезка общего положения и углов его наклона к плоскостям проекций применяется метод прямоугольного треугольника.
Вопросы для самоанализа
1.Что характерно для прямых, если они параллельны какой-либо плоскости проекции?
2.Какая проекция прямой будет параллельна оси Оx, если эта пря-
мая параллельна 1?
3.Если одна из проекций прямой есть точка, что это за прямая?
4.Когда прямая проецируется на плоскость в натуральную величину?
5.Как определить натуральную величину отрезка общего положения?
6.Что определяют z и y?
Основные понятия, которые необходимо знать:
—проекция прямой, отрезка;
—прямая общего положения;
—прямые уровня (горизонталь, фронталь, профильная прямая);
—проецирующие прямые (горизонтально-проецирующая, фронталь- но-проецирующая, профильно-проецирующая).
Способы деятельности, которыми надо уметь пользоваться:
1.Построение третьей проекции отрезка по двум заданным.
2.Нахождение натуральной величины отрезка способом прямоугольного треугольника.
56
Расчетно-графическая работа № 2. Определение натуральной величины отрезка прямой
Задания
1.По заданным координатам (в мм) построить две проекции отрезка прямой.
2.Определить натуральную величину отрезка АВ и углы наклона к плоскостям проекций 1 и 2.
|
Варианты РГР № 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
||
|
56 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x |
0 |
10 |
15 |
30 |
0 |
60 |
60 |
65 |
10 |
25 |
30 |
10 |
30 |
60 |
60 |
0 |
50 |
10 |
30 |
10 |
20 |
60 |
0 |
50 |
10 |
||
|
A |
y |
45 |
50 |
10 |
35 |
45 |
65 |
40 |
5 |
0 |
30 |
40 |
15 |
20 |
10 |
10 |
10 |
15 |
30 |
10 |
30 |
0 |
0 |
10 |
15 |
30 |
|
|
z |
30 |
20 |
0 |
10 |
30 |
10 |
25 |
40 |
0 |
50 |
45 |
30 |
20 |
0 |
10 |
30 |
20 |
0 |
0 |
10 |
15 |
30 |
50 |
10 |
35 |
||
|
x |
45 |
25 |
25 |
40 |
45 |
20 |
80 |
80 |
15 |
40 |
25 |
45 |
25 |
25 |
40 |
45 |
45 |
25 |
5 |
15 |
10 |
5 |
5 |
0 |
10 |
||
|
B |
y |
60 |
40 |
20 |
45 |
60 |
30 |
65 |
10 |
55 |
35 |
10 |
0 |
50 |
45 |
30 |
20 |
0 |
10 |
30 |
20 |
0 |
10 |
30 |
25 |
40 |
|
|
z |
55 |
35 |
30 |
55 |
55 |
45 |
75 |
15 |
25 |
15 |
5 |
15 |
40 |
25 |
45 |
25 |
25 |
40 |
45 |
5 |
25 |
40 |
10 |
0 |
45 |
||
Примечание. Образец выполнения расчетно-графической работы № 2 (прил. 3)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
При решении геометрических задач в пространстве часто возникает проблема определения расстояния между плоскостью и точкой. В некоторых случаях это необходимо для комплексного решения. Эту величину можно вычислить, если найти проекцию на плоскость точки. Рассмотрим этот вопрос подробнее в статье.
Уравнение для описания плоскости
Перед тем как перейти к рассмотрению вопроса касательно того, как найти проекцию точки на плоскость, следует познакомиться с видами уравнений, которые задают последнюю в трехмерном пространстве. Подробнее — ниже.
Уравнением общего вида, определяющим все точки, которые принадлежат данной плоскости, является следующее:
A*x + B*y + C*z + D = 0.
Первые три коэффициента — это координаты вектора, который называется направляющим для плоскости. Он совпадает с нормалью для нее, то есть является перпендикулярным. Этот вектор обозначают n¯(A; B; C). Свободный коэффициент D однозначно определяется из знания координат любой точки, принадлежащей плоскости.
Далее в статье будем использовать записанное уравнение. Оно требуется, чтобы найти проекцию точки на плоскость.
Понятие о проекции точки и ее вычисление
Предположим, что задана некоторая точка P(x1; y1; z1) и плоскость. Она определена уравнением в общем виде. Если провести перпендикулярную прямую из P к заданной плоскости, то очевидно, что она пересечет последнюю в одной определенной точке Q (x2; y2; z2). Q называется проекцией P на рассматриваемую плоскость. Длина отрезка PQ называется расстоянием от точки P до плоскости. Таким образом, сам PQ является перпендикулярным плоскости.
Как можно найти координаты проекции точки на плоскость? Сделать это не сложно. Для начала следует составить уравнение прямой, которая будет перпендикулярна плоскости. Ей будет принадлежать точка P. Поскольку вектор нормали n¯(A; B; C) этой прямой должен быть параллелен, то уравнение для нее в соответствующей форме запишется так:
(x; y; z) = (x1; y1; z1) + λ*(A; B; C).
Где λ — действительное число, которое принято называть параметром уравнения. Изменяя его, можно получить любую точку прямой.
После того как записано векторное уравнение для перпендикулярной плоскости линии, необходимо найти общую точку пересечения для рассматриваемых геометрических объектов. Ее координаты и будут проекцией P. Поскольку они должны удовлетворять обоим равенствам (для прямой и для плоскости), то задача сводится к решению соответствующей системы линейных уравнений.
Понятие проекции часто используется при изучении чертежей. На них изображаются боковые и горизонтальные проекции детали на плоскости zy, zx, и xy.
Вычисление расстояния от плоскости до точки
Как выше было отмечено, знание координат проекции на плоскость точки позволяет определить дистанцию между ними. Используя обозначения, введенные в предыдущем пункте, получаем, что искомое расстояние равно длине отрезка PQ. Для его вычисления достаточно найти координаты вектора PQ¯, а затем рассчитать его модуль по известной формуле. Конечное выражение для d расстояния между P точкой и плоскостью принимает вид:
d = |PQ¯| = √((x2 — x1)2 + (y2 — y1)2 + (z2 — z1)2).
Полученное значение d представлено в единицах, в которых задается текущая декартова координатная система xyz.
Пример задачи
Допустим, имеется точка N(0; -2; 3) и плоскость, которая описывается следующим уравнением:
2*x — y + z + 4 = 0.
Следует найти точки проекцию на плоскость и вычислить между ними расстояние.
В первую очередь составим уравнение прямой, которая пересекает плоскость под углом 90o. Имеем:
(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).
Записывая это равенство в явном виде, приходим к следующей системе уравнений:
x = 2*λ;
y = -2 — λ;
z = λ + 3;
2*x — y + z + 4 = 0.
Подставляя значения координат из первых трех равенств в четвертое, получим значение λ, определяющее координаты общей точки прямой и плоскости:
2*(2*λ) — (-2 — λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>
6*λ + 9 = 0 =>
λ = 9/6 = 3/2 = 1,5.
Подставим найденный параметр в уравнение прямой и найдем координаты проекции исходной точки на плоскость:
(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5*(2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).
Для вычисления дистанции между заданными в условии задачи геометрическими объектами применим формулу для d:
d = √((3 — 0 )2 + (-3,5 + 2 )2 + (4,5 — 3 )2) = 3,674.
В данной задаче мы показали, как находить проекцию точки на произвольную плоскость и как вычислять между ними расстояние.
Вы здесь
Проецирование точки
СОДЕРЖАНИЕ
- Проецирование точки
- Пример проецирования точки
- Литература
Проецирование точки
Точка относится к основным, неопределяемым понятиям геометрии. Она не может быть определена другими более элементарными понятиями. Точка не имеет размеров.
Положение точки А в пространстве определяется тремя координатами (x, y, z), показывающими величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций.
Чтобы определить эти расстояния достаточно через точку А провести прямые, перпендикулярные к плоскостям, определить точки А′, А″, А′″ пересечения этих прямых с плоскостями проекций и измерить величины отрезков [АA′], [АA″], [АA′″], которые равны значениям аппликаты z, ординаты y и абсциссы x точки А (рис.1).
Рис.1. Проецирование точки
Точки А′, А″, А′″ называют ортогональными проекциями точки А:
Принятые обозначения:
| А1 или А′ | — | горизонтальная проекция точки А; |
| А2 или А″ | — | фронтальная проекция точки А; |
| А3 или А′″ | — | профильная проекция точки А. |
Отрезки:
| [АA′]=[ОАx] | — | абсцисса точки А (определяет расстояние точки от плоскости П3); |
| [АA″]=[ОАy] | — | ордината точки А (определяет расстояние точки от плоскости П2); |
| [АA′″]=[ОАz] | — | аппликата точки А (определяет расстояние точки от плоскости П1). |
Прямые АA′, АA″, АA′″ называют проецирующими прямыми или проецирующими лучами.
| АA′ | — | горизонтально проецирующая прямая; |
| АA″ | — | фронтально проецирующая прямая; |
| АA′″ | — | профильно проецирующая прямая. |
При построении проекций точки А необходимо знать, что горизонтальная проекция определяется абсциссой x и ординатой y, фронтальная проекция – абсциссой x и аппликатой z, а профильная – ординатой y и аппликатой z, т.е.
А′ (x, y)
А″ (x, z)
А′″ (y, z)
Если даны две проекции точки, то по ним можно найти третью проекцию, так как все проекции связаны между собой линиями связи.
Пример проецирования точки
Пример: Даны две проекции точки А (рис.2), необходимо найти третью проекцию точки.
Рис.2. Проецирование точки
Для начала найдем проекции точки А на оси координат, т.е. Аx, АyП1 и Аz (рис.3).
Рис.3. Проецирование точки
При помощи циркуля получаем проекцию точки АyП3 (рис.4).
Рис.4. Проецирование точки
Зная, что проекция точки А′″ имеет координаты (y, z), проводим проецирующие лучи из точки АyП3 и Аz. Точкой пересечения этих лучей будет точка А′″ (рис.5).
Рис.5. Проецирование точки
ЛИТЕРАТУРА
- Начертательная геометрия / С.А. Фролов. – М.: Машиностроение, 1987 – 240 с.
- Черчение / Н.С. Брилинг. – М.: Стройиздат, 1989. – 420 с.
- Краткий справочник по начертательной геометрии и машиностроительному черчению / Н.П. Сберегаев, М.А. Герб. М. – Л., Машиностроение, 1965, 264 с.
- 12493 просмотра
Проекция точки на плоскость онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на заданную плоскость. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения проекции точки на данную плоскость введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Проекция точки на плоскость − теория, примеры и решения
Для нахождения проекции точки M0 на плоскость α, необходимо:
- построить прямую L, проходящую через точку M0 и ортогональной плоскости α.
- найти пересечение данной плоскости α с прямой L(Рис.1).
Общее уравнение плоскости имеет вид:
где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:
Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид:
Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее
Выразим переменные x, y, z через рараметр t.
Подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t.
Подставляя значение параметра t в выражения (4), находим проекцию M1 точки M0 на плоскость (1).
Пример 1.Найти проекцию M1 точки M0(4, -3, 2) на плоскость
Решение.
Нормальный вектор плоскости имеет вид:
т.е. A=5, B=1, C=−8.
Координаты точки M0: x0=4, y0=−3, z0=2.
Подставляя координаты точки M0 и нормального вектора плоскости в (5), получим:
Из выражений (7) находим:
Ответ:
Проекцией точки M0(4, -3, 2) на плоскость (6) является точка: