Как найти вторую производную по графику - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Рассмотрим, что можно сказать о функции, анализируя график ее второй производной.

Что мы знаем связи второй производной

с исходной функцией y=f(x)?

1) Функция y=f(x) выпукла вниз на промежутках, где вторая производная положительна

2) Функция y=f(x) выпукла вверх на промежутках, где вторая производная отрицательна

3) Функция y=f(x) имеет критические точки второго рода в точках, в которых вторая производная равна нулю или не существует (речь идет только о внутренних точках области определения функции. Точки на концах области определения не рассматриваем).

4) Функция y=f(x) имеет точки перегиба в точках, в которых вторая производная меняет знак.

5) С учетом того, что x0 — точка максимума функции f(x), если

$[f'({x_0}) = 0_u_f''({x_0}) < 0,]$

точки максимума, если они есть, на графике второй производной лежат ниже оси OX.

Соответственно, x* — точка минимума функции f(x), если

$[f'({x^*}) = 0_u_f''({x^*}) > 0,]$

поэтому точки минимума, если они есть, на графике второй производной лежат выше оси OX.

Пример.

На промежутках (x1; x2) и (x3;x5) вторая производная неотрицательна (в точке x4 она равна нулю, но смены знака нет). Значит, на этих промежутках функция y=f(x) выпукла вниз.

На промежутках (x2; x3) и (x5; x7) вторая производная отрицательна. Поэтому на этих промежутках функция y=f(x) выпукла вверх.

В точках x2, x3, x4, x5 вторая производная равна нулю, в точке x6 — не существует. Это — критические точки второго рода.

Производная меняет знак в точках x2, x3, x5. Следовательно, это — точки перегиба.

Источник

Вторая производная

Всё
очень просто. Вторая производная –
это производная
от первой производной:

Стандартные
обозначения второй производной:
,
или
(дробь
читается так: «дэ два игрек по дэ икс
квадрат»). Чаще всего вторую производную
обозначают первыми двумя вариантами.
Но третий вариант тоже встречается,
причем, его очень любят включать в
условия контрольных заданий, например:
«Найдите
функции…».
А студент сидит и битый час чешет репу,
что это вообще такое.

Рассмотрим
простейший пример. Найдем вторую
производную от функции
.

Для того чтобы
найти вторую производную, как многие
догадались, нужно сначала найти первую
производную:

Теперь находим
вторую производную:

Готово.

Рассмотрим более
содержательные примеры.

Пример 11

Найти
вторую производную функции

Найдем
первую производную:

На
каждом шаге всегда смотрим, нельзя ли
что-нибудь упростить? Сейчас нам предстоит
дифференцировать произведение двух
функций, и мы избавимся от этой
неприятности, применив
известную тригонометрическую
формулу
.
Точнее говоря, использовать формулу
будем в обратном направлении:
:

Находим
вторую производную:

Готово.

Можно
было пойти другим путём – понизить
степень функции еще перед дифференцированием,
используя формулу
:

Если интересно,
возьмите первую и вторую производные
снова. Результаты, естественно, совпадут.

Отмечу,
что понижение степени бывает очень
выгодно при нахождении частных
производных функции.
Здесь же оба способа решения будут
примерно одинаковой длины и сложности.

Как и
для первой производной, можно
рассмотреть задачу
нахождения второй производной в точке.

Например:
Вычислим значение найденной второй
производной в точке
:

Необходимость
находить вторую производную и вторую
производную в точке возникает при
исследовании графика функции на
выпуклость/вогнутость и перегибы.

Пример 12

Найти
вторую производную функции
.
Найти

Это пример для
самостоятельного решения.

Аналогично можно
найти третью производную, а также
производные более высоких порядков.
Такие задания встречаются, но встречаются
значительно реже.

Решения
и ответы:

Пример
2: Найдем производную:

Вычислим
значение функции в точке
:

Пример
4: Найдем производную:

Вычислим
производную в заданной точке:

Пример
6: Уравнение касательной составим по
формуле

1)
Вычислим значение функции в точке
:

2)
Найдем производную. Перед дифференцированием
функцию выгодно упростить:

3)
Вычислим значение производной в
точке
:

4)
Подставим значения
,
и
в
формулу
:

Пример
8: Преобразуем функцию:

Найдем
производную:

Запишем
дифференциал:

Пример
10: Найдем производную:

Запишем
дифференциал:

Вычислим
дифференциал в точке
:

Пример
12: Найдем первую производную:

Найдем
вторую производную:

Вычислим:

4. 2.Частные производные. Примеры решений

На
данном уроке мы познакомимся с понятием
функции двух переменных, а также подробно
рассмотрим наиболее распространенное
задание – нахождение частных
производныхпервого
и второго порядка, полного дифференциала
функции. Студенты-заочники, как правило,
сталкиваются с частными производными
на 1 курсе во 2 семестре. Причем, по моим
наблюдениям, задание на нахождение
частных производных практически всегда
встречается на экзамене.

Для
эффективного изучения нижеизложенного
материала Вам необходимо уметь
более или менее уверенно находить
«обычные» производные функции одной
переменной. Научиться правильно
обращаться с производными можно на
уроках Как
найти производную? иПроизводная
сложной функции.
Также нам потребуется таблица производных
элементарных функций и правил
дифференцирования, удобнее всего, если
она будет под рукой в распечатанном
виде. Раздобыть справочный материал
можно на страницеМатематические
формулы и таблицы.

Начнем
с самого понятия функции двух переменных,
я постараюсь ограничиться минимумом
теории, так как сайт имеет практическую
направленность. Функция двух переменных
обычно записывается как
,
при этом переменные
,
называются независимыми
переменными или аргументами.

Пример:
–
функция двух переменных.

Иногда
используют запись
.
Также встречаются задания, где вместо
буквы
используется
буква
.

Полезно
знать геометрический смысл функций.
Функции одной переменной
соответствует
определенная линия на плоскости,
например,
–
всем знакомая школьная парабола. Любая
функция двух переменных
с
геометрической точки зрения представляет
собой поверхность в трехмерном
пространстве (плоскости, цилиндры, шары,
параболоиды и т.д.). Но, собственно, это
уже аналитическая геометрия, а у нас на
повестке дня математический анализ.

Переходим
к вопросу нахождения частных производных
первого и второго порядков. Должен
сообщить хорошую новость для тех, кто
выпил несколько чашек кофе и настроился
на невообразимо трудный материал: частные
производные – это почти то же самое,
что и «обычные» производные функции
одной переменной.

Для
частных производных справедливы все
правила дифференцирования и таблица
производных элементарных функций. Есть
только пара небольших отличий, с которыми
мы познакомимся прямо сейчас.

Пример 1

Найти
частные производные первого и второго
порядка функции

Сначала найдем
частные производные первого порядка.
Их две.

Обозначения:

или
–
частная производная по «икс»

или
–
частная производная по «игрек»

Начнем
с
. Когда
мы находим частную производную по «икс»,
то переменная
считается
константой (постоянным числом).

Решаем. На данном
уроке я буду приводить полное решение
сразу, а комментарии давать ниже.

Комментарии к
выполненным действиям:

(1)
Первое, что мы делаем при нахождении
частной производной – заключаем всю функцию
в скобки под штрих с
подстрочным индексом.

Внимание,
важно! Подстрочные
индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В
данном случае, если Вы где-нибудь
нарисуете «штрих» без
,
то преподаватель, как минимум, может
поставить рядом с заданием
(сразу
откусить часть балла за невнимательность).

Далее данный шаг
комментироваться не будет, все сделанные
замечания справедливы для любого примера
по рассматриваемой теме.

(2)
Используем правила дифференцирования
,
.
Для простого примера, как этот, оба
правила вполне можно применить на одном
шаге. Обратите внимание на первое
слагаемое: так как
считается
константой, а любую константу можно
вынести за знак производной,
то
мы
выносим за скобки. То есть в данной
ситуации
ничем
не лучше обычного числа. Теперь посмотрим
на третье слагаемое
:
здесь, наоборот, выносить нечего. Так
как
константа,
то
–
тоже константа, и в этом смысле она ничем
не лучше последнего слагаемого –
«семерки».

(3)
Используем табличные производные
и
.

(4) Упрощаем, или,
как я люблю говорить, «причесываем»
ответ.

Теперь
. Когда
мы находим частную производную по
«игрек», то переменная
считается
константой (постоянным числом).

(1)
Используем те же правила дифференцирования
,
.
В первом слагаемом выносим константу
за
знак производной, во втором слагаемом
ничего вынести нельзя поскольку
–
уже константа.

(2)
Используем таблицу производным
элементарных функций. Мысленно
поменяем в таблице все «иксы» на «игреки».
То есть данная таблица рАвно справедлива
и для
(да
и вообще почти для любой буквы). В
частности, используемые нами формулы
выглядят так:
и
.

Итак, частные
производные первого порядка найдены

Подведем итог, чем
же отличается нахождение частных
производных от нахождения «обычных»
производных функции одной переменной:

1)
Когда мы находим частную
производную
, переменная
считается
константой.

2)
Когда мы находим частную
производную
, переменная
считается
константой.

3)
Правила и таблица производных элементарных
функций справедливы и применимы для
любой переменной (
,
либо
какой-нибудь другой), по которой ведется
дифференцирование.

Шаг второй. Находим
частные производные второго порядка.
Их четыре.

Обозначения:

или
–
вторая производная по «икс»

или
–
вторая производная по
«игрек»

или
– смешанная производная
«икс по игрек»

или
– смешанная производная
«игрек по икс»

В
понятии второй производной нет ничего
сложного. Говоря простым языком, вторая
производная – это производная от первой
производной.

Для
наглядности я перепишу уже найденные
частные производные первого порядка:

Сначала
найдем смешанные производные:

Как
видите, всё просто: берем частную
производную
и
дифференцируем ее еще раз, но в данном
случае – уже по «игрек».

Аналогично:

Для
практических примеров справедливо
следующее равенство:

Таким образом,
через смешанные производные второго
порядка очень удобно проверить, а
правильно ли мы нашли частные производные
первого порядка.

Находим
вторую производную по «икс».

Никаких
изобретений, берем
и
дифференцируем её по «икс» еще раз:

Аналогично:

Следует
отметить, что при нахождении
,
нужно
проявить повышенное
внимание, так как
никаких чудесных равенств для проверки
не существует.

Пример 2

Найти
частные производные первого и второго
порядка функции

Это
пример для самостоятельного решения
(ответ в конце урока). Если возникли
трудности с дифференцированием корней,
рекомендую ознакомиться уроком Как
найти производную?

При определенном
опыте частные производные из примеров
№№1,2 будут решаться Вами устно.

Переходим к более
сложным примерам.

Пример 3

Найти
частные производные первого порядка
функции
.
Проверить, что
.
Записать полный дифференциал первого
порядка
.

Решение:
Находим частные производные первого
порядка:

Обратите
внимание на подстрочный индекс:
,
рядом с «иксом» не возбраняется в скобках
записывать, что
–
константа. Данная пометка может быть
очень полезна для начинающих, чтобы
легче было ориентироваться в решении.

Дальнейшие
комментарии:

(1)
Выносим все константы за знак производной.
В данном случае
и
,
а, значит, и их произведение
считается
постоянным числом.

(2) Не забываем, как
правильно дифференцировать корни.

(1)
Выносим все константы за знак производной,
в данной случае константой является

(2) Под
штрихом у нас осталось произведение
двух функций, следовательно, нужно
использовать правило дифференцирования
произведения
.

(3) Не
забываем, что

– это сложная функция (хотя и простейшая
из сложных). Используем соответствующее
правило:

Теперь находим
смешанные производные второго порядка:

,
значит, все вычисления выполнены верно.

Запишем
полный дифференциал
.
В контексте рассматриваемого задания
не имеет смысла рассказывать, что такое
полный дифференциал функции двух
переменных. Важно, что этот самый
дифференциал очень часто требуется
записать в практических задачах.

Полный
дифференциал первого порядка функции
двух переменных имеет вид:

В данном случае:

То
есть, в формулу нужно просто подставить
уже найденные частные производные
первого порядка. Значки дифференциалов
и
в
этой и похожих ситуациях по возможности
лучше записывать в числителях:

Пример 4

Это пример для
самостоятельного решения. Полное решение
и образец оформления задачи – в конце
урока.

Рассмотрим серию
примеров, включающих в себя сложные
функции.

Пример 5

Найти
частные производные первого порядка
функции

.

Записать
полный дифференциал
.

Решение:

(1)
Применяем правило дифференцирования
сложной функции
.
С урока Производная
сложной функции
следует помнить
очень важный момент: когда мы по таблице
превращаем синус (внешнюю функцию) в
косинус, то вложение

(внутренняя
функция) у нас не
меняется.

(2)
Здесь используем свойство корней:

,
выносим константу

за знак производной, а корень

представляем в нужном для дифференцирования
виде.

Аналогично:

Запишем
полный дифференциал первого порядка:

Пример 6

Найти
частные производные первого порядка
функции
.

Записать
полный дифференциал
.

Это пример для
самостоятельного решения (ответ в конце
урока). Полное решение не привожу, так
как оно достаточно простое

Довольно часто
все вышерассмотренные правила применяются
в комбинации.

Пример 7

Найти
частные производные первого порядка
функции
.

(1) Используем
правило дифференцирования суммы

(2)
Первое слагаемое в данном случае
считается константой, поскольку в
выражении

нет ничего, зависящего от «икс» – только
«игреки».

(Знаете,
всегда приятно, когда дробь удается
превратить в ноль).

Для
второго слагаемого применяем правило
дифференцирования произведения. Кстати,
в этом смысле ничего бы не изменилось,
если бы вместо

была дана функция

– важно, что здесь произведение
двух функций, КАЖДАЯ
из которых зависит от
«икс»,
а поэтому, нужно использовать правило
дифференцирования произведения. Для
третьего слагаемого применяем правило
дифференцирования сложной функции.

(1) В
первом слагаемом и в числителе и в
знаменателе содержится «игрек»,
следовательно, нужно использовать
правило дифференцирования частного:
.
Второе слагаемое зависит ТОЛЬКО от
«икс», значит,
считается
константой и превращается в ноль. Для
третьего слагаемого используем правило
дифференцирования сложной функции.

Для тех читателей,
которые мужественно добрались почти
до конца урока, расскажу старый
мехматовский анекдот для разрядки:

Однажды
в пространстве функций появилась злобная
производная и как пошла всех
дифференцировать. Все функции разбегаются
кто куда, никому не хочется превращаться!
И только одна функция никуда не убегает.
Подходит к ней производная и спрашивает:

– А
почему это ты от меня никуда не убегаешь?

– Ха.
А мне всё равно, ведь я «е в степени икс»,
и ты со мной ничего не сделаешь!

На
что злобная производная с коварной
улыбкой отвечает:

– Вот
здесь ты ошибаешься, я тебя продифференцирую
по «игрек», так что быть тебе нулем.

(Кто
понял анекдот, тот освоил производные,
минимум, на «тройку»).

Пример 8

Найти
частные производные первого порядка
функции

.

Это пример для
самостоятельного решения. Полное решение
и образец оформления задачи – в конце
урока.

Ну вот почти и всё.
Напоследок не могу не обрадовать
любителей математики еще одним примером.
Дело даже не в любителях, у всех разный
уровень математической подготовки –
встречаются люди (и не так уж редко),
которые любят потягаться с заданиями
посложнее. Хотя, последний на данном
уроке пример не столько сложный, сколько
громоздкий с точки зрения вычислений.

Пример 9

Дана
функция двух переменных
.
Найти все частные производные первого
и второго порядков.

Это пример для
самостоятельного решения. Полное решение
и образец оформления где-то рядом.

Ответы:

Пример
2:

,

,

,

Пример
4: Ссылка для просмотра ниже.

Пример
6:

,

,

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.02.20157.31 Mб91.rtf
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#

Источник

Исследовать функцию — это значит установить её свойства: указать её область определения и область значений; промежутки возрастания и убывания; промежутки, на которых функция приобретает положительные значения, на которых — отрицательные; выяснить, не является ли данная функция чётной или нечётной и т. д.

Содержание:

Что такое исследование функции

Одна из важных задач исследования функции — определение промежутков её возрастания и убывания. Как отмечалось, в тех точках, в которых функция возрастает, её производная (угловой коэффициент касательной) положительная, а в точках убывания функции её производная отрицательная {рис. 70).

Правильными будут следующие утверждения.

Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке возрастает.
Если производная в каждой точке промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает.
Если производная в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.

Строгое доказательство этого утверждения достаточно громоздкое, поэтому мы его не приводим. Заметим только, что в нём выражается достаточный признак возрастания или убывания функции, но не необходимый. Поэтому функция может возрастать и на промежутке, в некоторых точках которого она не имеет производной. Например, функция

Из сказанного следует, что два соседних промежутка, на одном из которых функция возрастает, а на другом — убывает, могут разделяться только такой точкой, в которой производная функции равна нулю или не существует.

Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Следовательно, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции нужно решить неравенства или найти все критические точки функции,разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких — убывает.

Пример:

Найдите промежутки возрастания и убывания функции

Решение:

Уравнение имеет корни Это — критические точки. Область определения данной функции — множество — они разбивают на три промежутка: (рис. 72). Производная функции на этих промежутках имеет соответственно такие знаки: Следовательно, данная функция на промежутках возрастает, а на убывает.

Замечание: Если функция непрерывна в каком-нибудь конце промежутка возрастания или убывания, то эту точку можно присоединить к рассматриваемому промежутку. Поскольку функция в точках 0 и 2 непрерывна, то можно утверждать, что она возрастает на промежутках на — убывает.

Пример:

Найдите промежутки убывания функции

Решение:

Критические точки: Они всю область определения функции разбивают на интервалы: (рис. 73). Производная на этих промежутках имеет соответственно такие знаки: Следовательно, функция убывает на промежутках Поскольку в точках данная функция непрерывна, то ответ можно записать и так:

Пример:

Найдите критические точки функции

Решение:

Найдем произвольную функции:
Найдём точки, в которых производная равна нулю или не существует: — не существует, если знаменатель равен нулю, отсюда и Точка не входит в область определения функции. Следовательно, функция имеет две критические точки:

Ответ. 0 и 4.

Пример:

Докажите, что функция возрастает на

Решение:

При любом значении выражение имеет положительное значение. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения, т.е. на множестве

Пример:

Установите, на каком промежутке функция возрастает, а на каком убывает.

Решение:

Способ 1. Найдём производную функции:

Найдём критические точки функции:

Эта точка разбивает область определения функции на два промежутка (рис. 74). Определим знак производной на каждом из них.

Следовательно, функция возрастает на промежутке а убывает на

Способ 2. Решим неравенство и

Ответ. Возрастает, если убывает если

Применение второй производной к исследованию функций и построению их графиков

При помощи первой производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы и схематично построить график. Оказывается, что поведение некоторых функций не всегда можно охарактеризовать, используя первую производную. Более детальное исследование проводится при помощи второй производной. Вспомним, что такое вторая производная.

Пусть функция является дифференцируемой, её производная — функция, которая также дифференцируема. Тогда можно найти производную Это производная второго порядка, или вторая производная функции

Например, найти производную 2-го порядка функции означает найти производную этой функции и полученную функцию продифференцировать:

Кривая называется выпуклой на интервале если все её точки, кроме точки касания, лежат ниже произвольной её касательной на этом интервале (на рис. 86 — 1).

Кривая называется вогнутой на интервале если все её точки, кроме точки касания, лежат выше произвольной её касательной на этом интервале (на рис. 86 — 2).

Точкой перегиба называется такая точка кривой, которая отделяет её выпуклую часть от вогнутой.

Интервалы выпуклости и вогнутости находят при помощи такой теоремы.

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции отрицательна на интервале то кривая выпуклая на данном интервале; если вторая производная функции положительная то кривая вогнутая на

Из теоремы следует, что точками перегиба кривой могут быть только точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Такие точки называют критическими точками второго рода.

Установим до статочное условие существования точки перегиба.

Теорема. Пусть — критическая точка второго рода функции Если при переходе через точку производная меняет знак, то точка является точкой перегиба кривой

Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба графика функции целесообразно пользоваться следующей схемой:

найти область определения функции;
найти критические точки второго рода;
определить знак второй производной на образованных интервалах. Если то кривая выпуклая; если — кривая вогнутая;
если производная меняет знак при переходе через точку то точка является точкой перегиба кривой

Пример №1

Найдите интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой

Решение:

1) Область определения функции:

2) Найдём вторую производную: Критические точки второго рода: Других критических точек нет.

3) Разбиваем область определения на интервалы и определяем знак второй производной на каждом из них.

Если поэтому кривая вогнутая.

Если поэтому кривая выпуклая.

Если — кривая вогнутая.

Следовательно, точки — точки перегиба кривой. Рассмотрим ещё один компонент в исследовании функций, благодаря которому упрощается построение некоторых графиков. Это асимптоты. В предыдущих параграфах рассматривались горизонтальные и вертикальные асимптоты. Повторим, расширим и обобщим это понятие. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные (рис. 87).

Напомним, что прямая будет вертикальной асимптотой кривой если при (справа или слева) значение функции стремится к бесконечности, т.е. выполняется одно из условий:

Уравнение наклонной асимптоты:

Если записанные пределы существуют, то существует наклонная асимптота; если хотя бы один из них не существует или равен то кривая наклонной асимптоты не имеет.

Если поэтому — уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание: Рассмотренные пределы могут быть односторонними, а под символом следует понимать и При этом указанные пределы могут быть разными при

Пример №2

Найдите асимптоты кривых:

Решение:

а) Найдём вертикальные асимптоты. Поскольку функция не определена в точках и то прямые — вертикальные асимптоты.

Найдём наклонную асимптоту: Кривая имеет горизонтальную асимптоту, её уравнение:

Следовательно, заданная кривая имеет три асимптоты:

Найдем вертикальные асимптоты.

Поскольку функция не определена в точках и то прямые — вергикальные асимптоты.

Для наклонной асимптоты

Значит прямая — наклонная асимптота. Горизонтальной асимптоты нет.

Итак, асимптоты кривой:

Будем искать наклонные асимптоты:

Следовательно, — наклонная асимптота, если

2) если (проверьте самостоятельно), отсюда — наклонная асимптота, если

Следовательно, заданная кривая имеет две асимптоты:

Определение точек перегиба, интервалов выпуклости и асимптот существенно помогает в построении графиков различных функций.

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции

Интервалы возрастания и убывания функции

возрастающая функция

Если для любых и из некоторого промежутка области определения при выполняется условие то на этом промежутке функция возрастающая.

убывающая

Если для любых и из некоторого промежутка области определения при выполняется условие на этом промежутке функция убывающая.

Связь промежутков возрастания и убывания функции с угловым коэффициентом секущей можно выразить следующим образом.

Если на заданном промежутке угловой коэффициент любой секущей положителен, то на этом промежутке функция возрастает.

Если на заданном промежутке угловой коэффициент любой секущей отрицателен, то на этом промежутке функция убывает.

Промежутки возрастания и убывания функции

Пусть на определенном промежутке производная функции положительна, т. е. Так как то угловой коэффициент касательной будет положительным. А это значит, что касательная с положительным направлением оси абсцисс образует острый угол и на заданном промежутке график «поднимается «, т. е. функция возрастает. Если тогда касательная с положительным направлением оси абсцисс образует тупой угол, график «спускается», т. е. функция убывает.

Теорема. Если функция дифференцируема в каждой точке заданного промежутка, то:

Примечание: если функция непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.

По графику функции исследуйте промежутки возрастания и убывания функции.

На интервалах и угловой коэффициент касательной положительный, поэтому на каждом из промежутков и функция возрастает.

На интервале угловой коэффициент касательной отрицателен, поэтому на промежутке функция убывает.

Пример №3

При помощи производной определите промежутки возрастания и убывания функции

Решение: 1. Алгебраический метод.

Найдем производную функции

Функция на промежутке удовлетворяющем неравенству т. е. возрастает.

Для решения неравенства сначала надо решить соответствующее уравнение

Значит, при и Точки разбивают область определения функции на три интервала: и В каждом из интервалов выберем контрольную точку для проверки и установим знак производной.

Из таблицы и непрерывности функции видно, что данная функция возрастает на промежутках и и убывает на промежутке Из графика так же видно, что задания решение верно.

2. Промежутки возрастания и убывания функции можно определить но графику производной. На рисунке изображен график производной

График производной при и расположен выше оси значит, При график производной расположен ниже оси значит Так как функция в точках и непрерывна, то на промежутках и она возрастает, а на промежутке убывает.

Пример №4

Изобразите схематично график непрерывной функции согласно еле дующим условиям:

a) при при

b) при или при

Решение:

а) при знак производной положительный: значит,

функция возрастает. При знак производной отрицательный: значит, функция убывает, при значение функции равно 5.

b) При и знак производной положительный: значит, функция возрастает. При знак производной отрицательный: значит, функция убывает, при значение функции равно 0.

Критические точки и экстремумы функции

В некоторых точках из области определения производная функции может быть равна нулю или вообще может не существовать. Такие точки из области определения называются критическими точками функции. Покажем критические точки на графике заданной функции.

1. Для значений равных угловой коэффициент касательной к графику равен 0. Т. e.Эти точки являются критическими точками функции.

2. В точках функция не имеет производной. Эти тоже критические точки функции.

3. Для рассматриваемой нами функции критические точки делят ее область определения на чередующиеся интервалы возрастания и убывания. Точки — критические точки, которые не изменяют возрастание и убывание (или наоборот).

По графику видно, что в точках внутреннего экстремума( и ) производная функции равна нулю, а в точке производная не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю, также называются стационарными точками.

Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)

Во внутренних точках экстремума производная либо равна нулю, либо не существует.

Примечание. Точка, в которой производная равна нулю, может и не быть точкой экстремума. Например, в точке производная функции равна нулю, но эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума.

На отрезке непрерывности функция может иметь несколько критических точек, точек максимума и минимума. Существование экстремума в точке зависит от значения функции в данной точке и в точках, близких к данной, т. е. имеет смысл локального (местного) значения. Поэтому иногда используют термин локальный максимум и локальный минимум.

Достаточное условие существования экстремума

Пусть функция непрерывна на промежутке и Если является критической точкой, в окрестности которой функция дифференцируема, то, если в этой окрестности:

слева от точки положительна, а справа — отрицательна, то точка является точкой максимума.
слева от отрицательна, а справа — положительна, то точка является точкой минимума
с каждой стороны от точки имеет одинаковые знаки, то точка не является точкой экстремума.

Чтобы найти наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значение функции, имеющей конечное число критических точек на отрезке, надо найти значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.

Соответствующие наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке записываются как и

Ниже представлены примеры определения максимума и минимума в соответствии со знаком производной первого порядка.

Пример №5

Для функции определите максимумы и минимумы и схематично изобразите график.

Решение: Для решения задания сначала надо найти критические точки. Для данной функции этими точками являются точки (стационарные), в которых производная равна нулю.

1. Производная функции:

2. Критические точки функции:

3. Точки и разбивают область определения функции на три промежутка.

Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки:

для интервала

При имеем максимум

При имеем минимум

4. Используя полученные для функции данные и найдя координаты нескольких дополнительных точек, построим график функции.

Пример №6

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Решение: Сначала найдем критические точки.

Так как то критические точки можно найти из уравнения и Критическая точка не принадлежит данному отрезку и поэтому мы ее не рассматриваем. Вычислим значение заданной функции в точке и на концах отрезка.

Из этих значений наименьшее — 4, наибольшее 12. Таким образом:

Пример №7

Найдите экстремумы функции

Решение: 1. Производная функции:

2. Критические точки:

3. Интервалы, на которые критические точки делят область определения функции:

Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки.

Для промежутка возьмем

Используя полученную для функции информацию и найдя значение функции еще в нескольких точках, можно построить график функции. При этом следует учитывать, что в точках с абсциссами и касательная к графику горизонтальна. Построение графика можно проверить при помощи графкалькулятора.

Пример №8

Найдите экстремумы функции

Решение: 1. Производная

2. Критические точки: для этого надо решить уравнение или найти точки, в которых производная не существует. В точке функция не имеет конечной производной. Однако точка принадлежит области определения. Значит, точка является критической точкой функции.

3. Промежутки, на которые критическая точка делит область определения функции: и

Определим знак выбрав пробные точки для каждого промежутка:

Для возьмем

Пример №9

По графику функции производной схематично изобразите график самой функции.

Решение:

Производная в точке равна нулю, а при отрицательна, значит, на интервале функция убывающая. При производная положительна, а это говорит о том, что функция/на промежутке возрастает. Точкой перехода от возрастания к убыванию функции является точка Соответствующий график представлен на рисунке.

Заказать решение задач по высшей математике

Построение графиков функции с помощью производной

Функция — многочлен определена и непрерывна на всей числовой оси.

Чтобы построить график функции- многочлен надо выполнить следующие шаги.

Определите точки пересечения с осями координат.
Найдите критические точки.
Найдите промежутки возрастания и убывания функции.
Найдите максимумы и минимумы.
Постройте график.

Пример:

Постройте график функции

1) Точки пересечения с осями координат :

2) Критические точки ( точки, в которых производная равна нулю):

значит, точки и расположены на графике.

3) Промежутки возрастания и убывания. Экстремумы.

Критические точки деляг область определения функции на четыре промежутка. Проверим знаки производной

4) Используя полученную информацию, построим график функции.

Чтобы построить график рациональной функции надо выполнить следующие шаги.

Найдите область определения.
Найдите асимптоты (если они есть).
Определите точки пересечения с осями координат.
Найдите критические точки.
Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы.
Постройте график.

Пример:

Постройте график функции

1) Область определения функции:

2) Асимптоты:

Прямая вертикальная асимптота функции.

Так как степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе, рациональная функция не имеет горизонтальной асимптоты. Однако, записав следующее:

условии имеем т. е. график функции бесконечно приближается к прямой В этом случае прямая является наклонной асимптотой функции Вообще, если степень многочлена на 1 единицу больше степени многочлена то рациональная функция имеет наклонную асимптоту.

3) Точки пересечения с осями координат:

4) Критические точки:

5) Промежутки возрастания и убывания: в точке функция не определена, точки и являются критическими точками функции. Определим знаки производной в каждом полученном интервале.

6) Построим график. Отметим на координатной плоскости точки относящиеся к графику. Проведем вертикальную асимптоту и наклонную асимптоту Используя полученные результаты, изобразим график функции.

Обратите внимание! В области, близкой к точке график функции ведет себя как парабола

Задачи на экстремумы. Оптимизации

В реальной жизненной ситуации возникает необходимость выбора оптимального варианта и нахождения экстремумов определенной функции. Ежедневно, при решении проблем в различных областях, мы сталкиваемся с терминами наибольшая прибыль, наименьшие затраты, наибольшее напряжение, наибольший объем, наибольшая площадь и т.д. Большое экономическое значение в промышленности, при определении дизайна упаковки, имеет вопрос, как подобрать размеры упаковки с наименьшими затратами. Такого рода задания связаны с нахождением максимального или минимального значения величины. Задачи на нахождение максимального и минимального значения величины называются задачами на оптимизацию. Для решения данных задач применяется производная.

Замечание 1: На интервале должны учитываться предельные значения функции на концах.

Замечание 2: В рассматриваемом интервале может быть одна стационарная точка: или точка максимума, или точка минимума. В этом случае, в точке максимума функция принимает наибольшее значение, а в точке минимума — наименьшее значение.

Пример 1. Максимальный объем. Фирма планирует выпуск коробки без крышки, с квадратным основанием и площадью поверхности Найдите размеры коробки, при которых она будет иметь наибольший объем?

Решение:

Так как основанием коробки является квадрат, то ее объем можно вычислить по формуле Используя другие данные задачи, выразим объем только через одну переменную Вычислим площадь поверхности коробки. Она равна и состоит из 4 площадей боковых граней + площадь основания.

Тогда выразим подставим в формулу Зависимость объема коробки от переменной можно выразить следующим образом:

Теперь найдем область определения функции согласно условию задачи.

Понятно, что длина не может быть отрицательной, т. е. Площадь квадрата в основании коробки должна быть меньше 192, т. е.

или Значит,

Найдем максимальное значение функции на интервале

Для этого используем производную первого порядка:

При и имеем, что

Однако. Значит, в рассматриваемом интервале критической точкой является

При имеем при имеем функция

в точке принимает максимальное значение.

Если длина основания коробки будет 8 см, то высота будет равна

Значит, максимальный объем будет иметь коробка с размерами

Построив при помощи графкалькулятора график функции также можно увидеть, что при объем имеет максимальное значение. Постройте график функции при помощи производной и убедитесь в правильности решения.

Пример 2. Минимальное потребление. Два столба высотой 4 м и 12 м находятся на расстоянии 12 м друг от друга. Самые высокие точки столбов соединены с металлической проволокой, каждая из которых, в свою очередь крепится на земле в одной точке. Выберите такую точку на земле, чтобы для крепления использовалось наименьшее количество проволоки.

Решение: 1) Изобразим рисунок, соответствующий условию задачи, и обозначим соответствующие данные на рисунке.

2) Аналитически выразим зависимость между переменными.

По теореме Пифагора:

зависимость функции от переменной будет

Производная функции

Найдем критические точки функции

Сравнивая значения функции в точках (это проверьте самостоятельно), получим, что наименьшее количество проволоки используется при (метр)

При решении задач на экстремумы обратите внимание на следующее!

1. Внимательно читайте условие. Сделайте соответствующий рисунок.

2. Задайте список соответствующих переменных и констант, которые менялись и оставались неизменными и какие единицы использовались. Если на рисунке есть размеры, обозначьте их.

3. Выберите соответствующий параметр и выразите искомую величину функцией Найдите экстремумы данной функции.

4. Полученные значения объясните экспериментально.

Пример: Минимальное потребление материала. Для мясных консервов планируется использовать банку в форме цилиндра объемом 250

a) Каких размеров должна быть банка, чтобы для ее изготовления использовалось как можно меньше материала?

b) Для круглого основания используется материал, цена 1 которого равна 0,05 гяпик, а для боковой поверхности используется материал цена 1 которого равна 0,12 гяпик. Какие размеры должна иметь банка, чтобы затраты на ее изготовление были минимальными?

Решение: а) По условию задачи объем равен 250 Эти данные дают нам возможность найти зависимость между и

Для функции, выражающей площадь поверхности, область определения представляет собой незамкнутый интервал, и мы должны найти, при каком значении где функция имеет наименьшее значение. Найдем производную функции

Критическая точка функции: При имеем при

Значит,

Подставим значение в формулу для высоты получим

Итак, минимальные затраты на материал будет иметь банка цилиндрической формы с размерами и

Размеры, при которых затраты на материал будут минимальными

Приложения производной
Производные высших порядков
Дифференциал функции
Дифференцируемые функции
Касательная к графику функции и производная
Предел и непрерывность функции
Свойства функций, непрерывных в точке и на промежутке
Предел функции на бесконечности

Источник

Лекция 6. Вторая производная, её геометрический и
физический смысл. Применение производной к исследованию функций и построению
графиков. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.

План

1. Производная
второго порядка.

2. Физический смысл
второй производной.

3. Геометрический
смысл второй производной. Точки перегиба.

4. Исследование функции на экстремум с помощью
второй производной.

5. Решение задач

(Учебник: Ш.А.
Алимов Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс глава IX §53 стр. 283-286)

1. Производная
второго порядка.

Пусть функция y = f(x) определена на
интервале (a; b), и пусть в каждой
точке этого интервала она имеет производную , тогда можно назвать первой
производной (или производной первого порядка) данной функции.

Рассмотрим функцию . Если имеет производную в точке , то эту производную
называют второй производной (или производной второго порядка) данной
функции f(x) в точке и обозначают .

Короче, вторая производная – это
производная от первой производной, т.е. .

Производная от , т.е. , называется третьей
производной (или производной третьего порядка) данной функции f(x) и т.д.

Определение. Вообще
n-й производной (или производного n-го
порядка) функции y = f(x) в точке x (или
на некотором интервале (a;b))
называется производная от производной (n-1)-го порядка в
этой точке x (или на этом интервале (a;b)). Она обозначается

Или .

Примеры

а) Если , то

б) если , то

и вообще

если .

2. Физический
смысл второй производной.

Пусть
материальная точка движется прямолинейно и
, — закон движения. Тогда
скорость в данный момент времени есть производная от пути по времени , вычисленная для
момента .

(1)

Ускорение в данный момент времени есть производная от
скорости по времени, вычисленная для момента .

. (2)

С другой стороны: .

. (3)

Физический смысл второй производной:

Ускорение движения в данный
момент времени есть вторая
производная от пути по времени.

Пример 1

Точка движется прямолинейно по закону . Найти величину скорости и
ускорения в момент времени .

Решение

Ответ: м/с, .

3.
Геометрический смысл второй производной. Точки перегиба.

Условия выпуклости
и точки перегиба графика функции

График функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз, если он расположен не ниже любых
касательных, проведенных к графику функции (рис. 2.14а).

Выпуклость,
направленная вверх, будет, если график функции на этом интервале расположен не выше любых касательных (рис. 2.14б).

Теорема. Если функция имеет на интервале вторую производную и она положительна , то функция выпукла вниз на этом интервале.

Если же , на интервале , то она выпукла вверх на этом интервале.

Точка
перегиба графика непрерывной функции — это точка, при переходе через которую функция меняет направление
выпуклости.

Геометрическая
интерпретация: в точке перегиба касательная пересекает
график функции, так как он переходит с одной стороны касательной на другую,
«перегибаясь» через неё (рис. 2.15).

Точка x = 0 – точка перегиба кубической параболы

Теорема (необходимое
условие существования точки перегиба). Если является точкой перегиба функции , то вторая производная, если она существует, должна обратиться в нуль:
.

Критические
точки – это точки графика, для которых .

Теорема
(достаточное условие существования точки перегиба).
Пусть функция имеет вторую производную в окрестности точки . Эта точка является точкой перегиба функции, если при переходе через неё вторая
производная меняет знак.

Пример 2

Найти интервалы
выпуклости и точки перегиба функции .

Решение

Найдём ,

На интервале , следовательно, функция выпукла вниз на этом интервале.

На интервале , следовательно, и на этом интервале функция выпукла вниз.

На интервале и, следовательно, функция выпукла вверх.

Рассмотрим точку x = -1. При переходе через неё меняет знак. Следовательно, x = -1 – это точка
перегиба данной функции.

Рассмотрим точку x = 1. Вторая производная так же меняет знак. Точка x = 1 – точка перегиба
данной функции.

4. Исследование функции на экстремум с
помощью второй производной.

Часто бывает
рациональнее исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной.

Правило
исследования функции на экстремум с помощью второй производной:

1. Находят первую
производную .

2. Приравняв к нулю
первую производную, находят действительные корни полученного уравнения (т.е.
критические значения).

3. Находят вторую
производную .

4. Во вторую
производную подставляют поочередно все критические значения; если при этой
подстановке вторая производная окажется положительной, то в этой точке функция
имеет минимум; если же вторая производная окажется отрицательной, то функция
имеет максимум.

5. Вычисляют
значения функции в точках максимума и минимума.

Замечание. Если при подстановке критического значения во вторую производную она
обратится в нуль, то ничего определенного относительно существования экстремума
сказать нельзя, а исследование нужно продолжить с помощью первой производной.

Пример 3

Исследовать на
экстремум с помощью второй производной функцию
.

Решение

1. Находим
производную .

2. Из уравнения находим критические значения.

3. Находим вторую
производную .

4. Знаки второй
производной в критических точках:

;

5. Вычислим
значения функции в точках минимума и максимума:

Ответ: функция имеет максимум в точке и минимум в точке .

5. Задания для
самостоятельного решения

Задача 1. (1 балл) Найти производную третьего порядка функции .

Задача 2. (2 балла) Найдите точки перегиба кривой .

Задача 3. (2 балла) Найдите интервалы выпуклости вверх и интервалы выпуклости
вниз функции .

Задача 4. (3 балла) Исследовать на экстремум с помощью второй производной
функцию
.

Задача 5. (2 балла) В момент времени t тело находится на
расстоянии км от места отправления. Найти его ускорение через 2ч.

Источник

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №18. Производная второго порядка, выпуклость и точки перегиба.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение производной второго порядка;

2) Определение промежутка выпуклости графика функции с помощью алгоритма;

3) Решение прикладных задач с использованием производной второго порядка.

Глоссарий по теме

Возрастание функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых х₁ и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Выпуклость вверх. Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Выпуклость вниз. Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Производная второго порядка (вторая производная). Производная второго порядка есть первая производная от производной первого порядка.

Производную определяют, как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел существует.

Точка максимума функции. Точку х₀называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .

Точка минимума функции. Точку х₀называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .

Точка перегиба. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, называются точками перегиба.

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых х₁ и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Алгоритм нахождения интервалов выпуклости графика функции:

Найти область определения функции
Найти вторую производную функции
Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует
Найти интервалы, на которые область определения функции разбивается этими точками
Определить знаки второй производной на каждом интервале
Если f ‘‘(х) < 0, то кривая выпукла вверх;

если f ‘‘(х) > 0 то кривая выпукла вниз.

Точки, в которых вторая производная меняет знак, — точки перегиба.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции .

Решение:

Область определения данной функции D(y) = (-∞; +∞)
Найдем вторую производную функции:
при х = 1, х = -1
Определим знаки второй производной на каждом интервале (-∞; -1), (-1; 1), (1; +∞), используя метод интервалов (рис. 1).

Рисунок 1 – интервалы на числовой прямой

Так как на интервалах (-∞; -1) и (1; +∞) вторая производная положительна, то на этих интервалах функция выпукла вниз.

Так как на интервале (-1; 1) вторая производная отрицательна, то на этом интервале функция выпукла вверх.

Так как при переходе через точки х = 1 и х = -1 вторая производная меняет знак, то эти точки являются точками перегиба.

Ответ: функция выпукла вниз на интервалах (-∞; -1), (1; +∞);

функция выпукла вверх на интервале (-1; 1);

х = 1, х = -1 – точки перегиба.

Пример 2.Найти точки перегиба функции у=sinх

Решение:

Найдем вторую производную заданной функции

У’=соsх

У»= -sinх

Приравняем её к нулю и найдем корни полученного уравнения -sinх=0

В промежутках

Функция у=sinх принимает положительные значения, следовательно, У»= -sinх <0, а в промежутках , sinх <0, следовательно

У» >0. Значит, в точках вторая производная меняет знак и в этих точках график функции у=sinх имеет перегиб

Ответ: точка перегиба

Пример 3.Точка движется по закону S(t) = 3t⁴ – 8t³ + 2t – 3. В какой момент времени ускорение точки будет равно 48?

Решение:

Ускорение — это вторая производная s(t).

Найдем уравнение ускорения.

v=S'(t) = 12t³ – 24t² + 2

a= S»(t) = 36t² – 48t

Остается подставить вместо ускорения его значение равное 48 и решить уравнение.

36t² – 48t=48

36t² – 48t-48=0

При решении один корень получается отрицательный, чего не может быть по условиям задачи, а второй корень равен 2

Ответ: 2

Пример 4. Найдите интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз и точки перегиба функции f(x) = x³ – 6xlnx.

Проверьте свое решение.

Решение:

D(f) = (0; +∞)
f (x) = (x³ – 6xln x)

f (x) = 0 при х = 1, х = -1.

f (x) не существует при х = 0.

С учетом области определения функции, х = 1

Так как на интервале (1; +∞) вторая производная положительна, то на этом интервале функция выпукла вниз.

Так как на интервале (0; 1) вторая производная отрицательна, то на этом интервале функция выпукла вверх.

Так как при переходе через точку х = 1 вторая производная меняет знак, то эта точка является точкой перегиба.

Ответ: функция выпукла вниз на интервале (1; +∞);

функция выпукла вверх на интервале (-1; 1);

х = 1– точка перегиба.

Источник