Как найти вторую производную сложной функции

Производная сложной функции

Формула

Пусть есть функция $ y=f(g(x)) $, тогда производную сложной функции можно найти по формуле:

$$ y’=f'(g(x)) cdot g'(x) $$

Проще говоря, нахождение производной сложной функции выполняется «по цепочке». Сначала находим производную от внешней функции без изменения её аргумента и умножаем на производную аргумента. Если аргумент в свою очередь тоже является сложной функцией, то снова берем производную ещё и от него.

Рассмотрим на практике примеры решений производных сложных функций.

Примеры решений

Пример 1

Найти производную сложной функции: $ y = sqrt{x^2+1} $

Решение

Пользуемся формулой нахождения производной сложной функции. Сначала находим производную внешней функции без учета внутренней функции, а затем и производную от самой внутренней функции:  $$ y’=( sqrt{x^2+1} )’= $$ $$ =frac{1}{2sqrt{x^2+1}} cdot (x^2+1)’= $$ $$ =frac{1}{2sqrt{x^2+1}} cdot 2x = frac{x}{sqrt{x^2+1}} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y’=frac{x}{sqrt{x^2+1}} $$

Пример 2

Найти производную сложной функции: $ y = e^{4x+3} $

Решение

Видим экспоненту в задаче, поэтому берем значение производной для неё из таблицы, а затем вычисляем производную от аргумента: $$ y’=(e^{4x+3})’ = e^{4x+3} cdot (4x+3)’ = $$ $$ = e^{4x+3} cdot 4 = 4e^{4x+3} $$

Ответ

$$ y’ = 4e^{4x+3} $$

Пример 3

Найти производную сложной функции: $ y = arctan x^2 $

Решение

Зная значение производной арктангенса из таблицы, находим производную сложной функции: $$ y’ = (arctan x^2)’ = frac{1}{1+(x^2)^2} cdot (x^2)’ = $$ $$ = frac{1}{1+(x^2)^2} cdot 2x = frac{2x}{1+x^4} $$

Ответ

$$ y’ = frac{2x}{1+x^4} $$

Пример 4

Найти производную сложной функции: $ y = ln(x^3+2) $

Решение

Перед нами сложная функция, точнее натуральный логарифм от многочлена. Поэтому применим правило. Имеем: $$ y’ = (ln(x^3+2))’ = frac{1}{x^3+2} cdot (x^3+2)’ = $$ $$ = frac{1}{x^3+2} cdot 3x^2 = frac{3x^2}{x^3+2} $$

Ответ

$$ y’ = frac{3x^2}{x^3+2} $$

Пример 5

Найти производную от сложной функции: $ y = ln(sin^3x+ e^{cos x}) $

Решение

Сложную функцию представляет натуральный логарифм, аргументом которого является сумма двух функций, обе тоже сложные функции. Вспоминаем формулу и приступаем: $$ y’ = ( ln(sin^3x+e^{cos x}) )’ = $$ $$ =frac{1}{sin^3x+e^{cos x}} cdot (sin^3x+e^{cos x})’ = $$ Производная суммы функций равна сумме производных этих функций: $$ =frac{1}{sin^3x+e^{cos x}} cdot ( (sin^3x)’+(e^{cos x})’) = $$ Первая функция $ (sin^3x)’ $ — это производная от сложной функции: $$ (sin^3x)’ = 3sin^2x cdot (sin x)’ = 3sin^2x cos x $$ Вторая функция $ (e^{cos x})’ $ — это производная сложной функции: $$ (e^{cos x})’ = e^{cos x} cdot (cos x)’ = e^{cos x} cdot (-sin x) $$ Продолжаем нахождение производной исходной функции: $$ = frac{1}{sin^3x+e^{cos x}} cdot (3sin^2x cos x — e^{cos x} sin x) $$

Ответ

$$ y’ = frac{3sin^2x cos x — e^{cos x} sin x}{sin^3x+e^{cos x}} $$

   Раз ты зашел сюда, то уже, наверное, успел увидеть в учебнике эту формулу

((f(g(x)))’=f'(g(x))cdot g'(x))

и сделать вот такое лицо:

Друг, не переживай! На самом деле все просто до безобразия. Ты обязательно все поймешь. Только одна просьба – прочитай статью не торопясь, старайся понять каждый шаг. Я писал максимально просто и наглядно, но вникнуть в идею всё равно надо. И обязательно реши задания из статьи.

Содержание:

• Что такое сложная функция?
• 
  «Распаковка» сложной функции
• 
  Внутренняя и внешняя функция
• 
  Производная сложной функции. Примеры

Что такое сложная функция?

Представь, что ты переезжаешь в другую квартиру и поэтому собираешь вещи в большие коробки. Пусть надо собрать какие-нибудь мелкие предметы, например, школьные письменные принадлежности. Если просто скидать их в огромную коробку, то они затеряются среди других вещей. Чтобы этого избежать, ты сначала кладешь их, например, в пакет, который затем укладываешь в большую коробку, после чего ее запечатываешь. Этот «сложнейший» процесс представлен на схеме ниже:

Казалось бы, причем здесь математика? Да притом, что сложная функция формируется ТОЧНО ТАКИМ ЖЕ способом! Только «упаковываем» мы не тетради и ручки, а (x), при этом «пакетами» и «коробками» служат разные функции.

Например, возьмем x и «запакуем» его в функцию косинуса:

В результате получим, ясное дело, (cos⁡x). Это наш «пакет с вещами». А теперь кладем его в «коробку» — запаковываем, например, в кубическую функцию.

Что получится в итоге? Да, верно, будет «пакет с вещами в коробке», то есть «косинус икса в кубе».

Получившаяся конструкция и есть сложная функция. Она отличается от простой тем, что к одному иксу применяется НЕСКОЛЬКО «воздействий» (упаковок) подряд и получается как бы «функция от функции» — «упаковка в упаковке».

В школьном курсе видов этих самых «упаковок» совсем мало, всего четыре :

Давай теперь «упакуем» икс сначала в показательную функцию с основанием 7, а потом в тригонометрическую функцию тангенс. Получим:

(x → 7^x → tg⁡(7^x))

А теперь «упакуем» икс два раза в тригонометрические функции, сначала в синус, а потом в котангенс:

(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x ))

Просто, правда?

Напиши теперь сам функции, где икс:
   — сначала «упаковывается» в косинус, а потом в показательную функцию с основанием (3);
   — сначала в пятую степень, а затем в тангенс;
   — сначала в логарифм по основанию (4), затем в степень (-2). 

Ответы на это задание посмотри в конце статьи.

А можем ли мы «упаковать» икс не два, а три раза? Да, без проблем! И четыре, и пять, и двадцать пять раз. Вот, например, функция, в которой икс «упакован» (4) раза:

(y=5^{log_2⁡{sin⁡(x^4 )}})

Но такие формулы в школьной практике не встретятся (студентам повезло больше — у них может быть и посложнее☺).

«Распаковка» сложной функции

Посмотри на предыдущую функцию еще раз. Сможешь ли ты разобраться в последовательности «упаковки»? Во что икс запихнули сначала, во что потом и так далее до самого конца. То есть — какая функция вложена в какую? Возьми листок и запиши, как ты считаешь. Можно сделать это цепочкой со стрелками как мы писали выше или любым другим способом.

Сделал?

Теперь правильный ответ: сначала икс «упаковали» в (4)-ую степень, потом результат упаковали в синус, его в свою очередь поместили в логарифм по основанию (2), и в конце концов всю эту конструкцию засунули в степень пятерки.

То есть разматывать последовательность надо В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. И тут подсказка как это делать проще: сразу смотри на икс – от него и надо плясать. Давай разберем несколько примеров.

Например, вот такая функция: (y=tg⁡(log_2⁡x )). Смотрим на икс – что с ним происходит сначала? Берется логарифм от него. А потом? Берется тангенс от результата. Вот и последовательность будет такая же:

(x → log_2⁡x → tg⁡(log_2⁡x ))

Еще пример: (y=cos⁡{(x^3 )}). Анализируем – сначала икс возвели в куб, а потом от результата взяли косинус. Значит, последовательность будет: (x → x^3 → cos⁡{(x^3 )}). Обрати внимание, функция вроде бы похожа на самую первую (там, где с картинками). Но это совсем другая функция: здесь в кубе икс (то есть (cos⁡{(x·x·x)})), а там в кубе косинус (x) (то есть, (cos⁡x·cos⁡x·cos⁡x)). Эта разница возникает из-за разных последовательностей «упаковки».

Последний пример (с важной информацией в нем): (y=sin⁡{(2x+5)}). Понятно, что здесь сначала сделали арифметические действия с иксом, потом от результата взяли синус: (x → 2x+5 → sin⁡{(2x+5)}). И это важный момент: несмотря на то, что арифметические действия функциями сами по себе не являются, здесь они тоже выступают как способ «упаковки». Давай немного углубимся в эту тонкость.

Как я уже говорил выше, в простых функциях икс «упаковывается» один раз, а в сложных — два и более. При этом любая комбинация простых функций (то есть их сумма, разность, умножение или деление) — тоже простая функция. Например, (x^7) – простая функция и (ctg x) — тоже. Значит и все их комбинации являются простыми функциями:

(x^7+ ctg x) — простая,
(x^7· ctg x) – простая,
(frac{x^7}{ctg x}) – простая и т.д.

Однако если к такой комбинации применить еще одну функцию – будет уже сложная функция, так как «упаковок» станет две. Смотри схему:

Хорошо, давай теперь сам. Напиши последовательность «заворачивания» функций:

   (y=cos{⁡(sin⁡x)})

   (y=5^{x^7})

   (y=arctg⁡{11^x})

   (y=log_2⁡(1+x))

Ответы опять в конце статьи.

Внутренняя и внешняя функции

Зачем же нам нужно разбираться во вложенности функций? Что нам это дает? Дело в том, что без такого анализа мы не сможем надежно находить производные разобранных выше функций.

И для того, чтобы двигаться дальше, нам будут нужны еще два понятия: внутренняя и внешняя функции. Это очень простая вещь, более того, на самом деле мы их уже разобрали выше: если вспомнить нашу аналогию в самом начале, то внутренняя функция — это «пакет», а внешняя – это «коробка». Т.е. то, во что икс «заворачивают» сначала – это внутренняя функция, а то, во что «заворачивают» внутреннюю – уже внешняя. Ну, понятно почему – она ж снаружи, значит внешняя.

Вот в этом примере: (y=tg⁡(log_2⁡x )), функция (log_2⁡x) – внутренняя, а  — внешняя.

А в этом: (y=cos⁡{(x^3+2x+1)}),   (x^3+2x+1) — внутренняя,  а  — внешняя.

Выполни последнюю практику анализа сложных функций, и перейдем, наконец, к тому, ради чего всё затевалось — будем находить производные сложных функций:

Заполни пропуски в таблице:

Производная сложной функции

Браво нам, мы всё ж таки добрались до «босса» этой темы – собственно, производной сложной функции, а конкретно, до той самой ужасной формулы из начала статьи.☺

((f(g(x)))’=f'(g(x))cdot g'(x))

Формула эта читается так:

И сразу смотри схему разбора «по словам» чтобы понимать, что к чему относится:

Надеюсь, термины «производная» и «произведение» затруднений не вызывают. «Сложную функцию» — мы уже разобрали. Загвоздка в «производной внешней функции по неизменной внутренней». Что это такое?

Ответ: это обычная производная внешней функции, при которой изменяется только внешняя функция, а внутренняя остается такой же. Все равно непонятно? Хорошо, давай на примере.

Пусть у нас есть функция (y=sin⁡(x^3 )). Понятно, что внутренняя функция здесь (x^3), а внешняя  . Найдем теперь производную внешней по неизменной внутренней.

Из таблицы производных мы знаем, что производная синуса икс есть косинус икс (табличные значения надо знать наизусть!):      (({sin⁡{x}})’=cos⁡{x}).

Тогда производная внешней функции по неизменной внутренней для нашего случая будет (cos⁡(x^3)). То есть, мы взяли ее как обычную производную синуса, а содержимое синуса (внутреннюю функцию) просто скопировали в полученную производную (косинус), ничего в ней не меняя.

Таким образом, на данный момент имеем:

Осталась «производная внутренней функции». Ну, это совсем легко – обычная производная от внутренней функции, при этом внешняя не влияет вообще никак. В нашем примере, производная от (x^3).

((x^3 )’=3x^2)

Все, теперь можем писать ответ:

Вот так. Давай еще один пример разберем.

Пусть надо найти производную функции (y=(sin⁡x )^3).

Анализируем. Последовательность «заворачивания» у нас такая: (x → sin⁡x → (sin⁡x )^3). Значит, в данном примере внутренняя функция это (sin⁡x), а внешняя .

Производная внешней по внутренней – это производная куба (содержимое куба при этом не меняется). Так как , а в нашем случае в куб «завернут» (sin⁡x), то производная внешней будет (3(sin⁡x)^2). То есть, имеем:

Ну, а производная внутренней – это просто производная синуса икс, то есть косинус икс.

В итоге, имеем:

(y’=((sin⁡x )^3 )’=3(sin⁡x )^2·(sin⁡x )’=3(sin⁡x )^2·cos⁡x)

Понятно?
Ладно, ладно, вот еще один пример с разбором. ☺

Пример. Найти производную сложной функции (y=ln(x^2-x)).

Разбираем вложенность функций: (x → x^2-x → ln⁡(x^2-x)).
Внутренняя: (x^2-x).            Внешняя: .  
Из таблицы производных знаем:.
То есть производная внешней по внутренней будет: (ln⁡(x^2-x)’=) (frac{1}{x^2-x}).
Производная внутренней: ((x^2-x)’= (x^2)’-(x)’=2x-1).
В итоге, согласно большой и страшной формуле имеем:

(y ‘=(ln⁡(x^2-x) )’=)(frac{1}{x^2-x})(·(2x-1))

Ну и напоследок можно немного «причесать» ответ, чтоб никто не докопался:

(y ‘=(ln⁡(x^2-x))’=)(frac{1}{x^2-x})(·(2x-1)=)(frac{2x-1}{x^2-x})

Готово.

Что, еще примеров желаешь? Легко.

Пример. Найти производную сложной функции (y=sin⁡{(cos⁡x)}).
Вложенность функций: (x → cos⁡x → sin⁡{(cos⁡x)})
Внутренняя: (cos⁡x)    Внешняя:
Производная внешней по внутренней: (sin{⁡(cos⁡x )}’=cos⁡{cos⁡x})
Производная внутренней: ((cos⁡x )’= -sin⁡x)
Имеем: (y’=(sin⁡{(cos⁡x)})’=cos⁡{cos⁡x}·(-sin⁡x )=-cos⁡{cos⁡x} ·sin⁡x)

Замечание: Обрати внимание, что заменить запись (cos⁡{cos⁡x}) на (cos^2⁡x) НЕЛЬЗЯ, так как (cos^2⁡x) — это комбинация простых функций (cos^ 2⁡x=cos⁡x·cos⁡x), а (cos⁡{cos⁡x}) – сложная функция: косинус от косинуса икс. Это абсолютно разные функции.

Еще пример с важным замечанием в нем.

Пример. Найти производную сложной функции (y=sqrt{x^6} )
Вложенность функций: (x → x^6 → sqrt{x^6})
Внутренняя: (x^6)      Внешняя:
Производная внешней по внутренней: (sqrt{x^6}’=)(frac{1}{2sqrt{x^6}})
Производная внутренней: ((x^6)’= 6x^5)
Имеем: ((sqrt{x^6})’=)(frac{1}{2sqrt{x^6}})(·6x^5)
И теперь упростим ответ. Вспомним свойство корня: (sqrt[b]{x^a} =x^{frac{a}{b}}). Тогда (sqrt{x^6}=x^{frac{6}{2}}=x^3). С учетом этого получаем:

(y’=( sqrt{x^6})’=)(frac{1}{2sqrt{x^6}})(·6x^5=)(frac{1}{2x^3})(·6x^5=)(frac{6x^5}{2x^3})(=3x^2)

Всё. А теперь, собственно, важное замечание:

Тот же самый ответ, но значительно меньшими усилиями мы могли бы получить, упростив исходную функцию сразу. Воспользуемся тем же свойством корня: (sqrt[b]{x^a} =x^{frac{a}{b}}). Тогда исходная функция приобретает вид: (y=sqrt{x^6}=x^{frac{6}{2}}=x^3). А производная куба это практически табличное значение! Готов ответ: (y’=(sqrt{x^6})’=(x^3 )’=3x^2). Немножко проще предыдущего решения, правда ☺? Поэтому прежде чем искать производную, посмотрите, можно ли исходную функцию упростить, чтоб решать было проще.

Давай рассмотрим пример, где эта идея нам сильно поможет.

Пример. Найти производную сложной функции (y=ln⁡(x^3)).
Можно, конечно, рассмотреть вложенность функций: (x → x^3 → ln⁡(x^3 )), разобрать на внутреннюю и внешнюю и так далее. Но можно вспомнить свойство логарифма: (log_a⁡{b^c}=c·log_a{⁡b}). И тогда функция получается (y=ln⁡(x^3 )=3ln⁡x). Отлично! Берем производную:

(y’=(ln⁡(x^3 ) )’=(3ln⁡x )’=3(ln⁡x )’=3·)(frac{1}{x}=frac{3}{x})

Вуаля!

Теперь задачка посложнее, для продвинутых. Решим пример с тройной вложенностью!

Пример. Найти производную сложной функции (y=3^{sin⁡(x^4+1)}).
Вложенность функций: (x → x^4+1 → sin⁡(x^4+1) → 3^{sin⁡(x^4+1)})
Внутренняя: (x^4+1)    Средняя:      Внешняя:
Сначала производная внешней по средней. Вспоминаем таблицу производных: . Значит, в нашем случае будет (3^{sin⁡(x^4+1)}·ln⁡3).
Хорошо, теперь производная средней по внутренней. По таблице: . Значит, мы получим, (sin⁡(x^4+1)’=cos⁡(x^4+1)).
И наконец, производная внутренней: ((x^4+1)’=(x^4 )’+(1)’=4x^3).
Отлично. Теперь собираем все вместе, перемножая отдельные производные:

((3^{sin⁡(x^4+1)})’=3^{sin⁡(x^4+1)} ·ln⁡3·cos⁡{(x^4+1)}·4x^3)

Готово. Да, это ответ. ☺

Ну, а что ты хотел, я сразу сказал – пример для продвинутых! А представь, что будет с четырехкратной или пятикратной вложенностью? ☺

Пример: Найти производную сложной функции (y=tg⁡(7^x)).

Разбираем вложенность функций: (x : → :7^x : → :tg⁡(7^x)).
Внутренняя: (7^x)       Внешняя: (tg⁡(7^x)).
Ищем производную самой внешней функции, внутреннюю при этом не трогаем.
Из таблицы производных знаем: .
То есть, в нашем случае производная внешней по внутренней будет:  (frac{1}{cos^2⁡(7^x)}).
Теперь ищем производную внутренней. Этой формулой мы уже пользовались, так что сразу пишем ответ: ((7^x)’=7^x·ln⁡7).
И перемножаем результаты:

(y’=tg⁡(7^x)’=)(frac{1}{cos^2⁡(7^x)}·7^x·ln⁡7)

И «причесываем»:   (y’=(tg⁡(7)^x))’=)(frac{1}{cos^2⁡(7^x )})( ·7^x·ln⁡7=)(frac{ln⁡7·7^x}{cos^2⁡(7^x)}).

Ну, теперь думаю всё понятно? И снова повторю – не пугайся сложных конструкций в ответах и промежуточных вычислениях. Они «на лицо ужасные», но зато добрые (в смысле простые) внутри. ☺ Пойми принцип и делай все последовательно.

Последний пример. Такие задания в разных вариациях весьма часто дают на контрольных и тестах. Он вроде как считается сложным. ☺ Хех, наивные учителя. ☺

Пример: Найти производную сложной функции (y=sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2}).

Казалось бы, опять у нас тройная вложенность функций:

(x → x^5+2x-5 → (x^5+2x-5)^2 → sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2}).

Но давай снова воспользуемся свойством корня (sqrt[b]{x^a} =x^{frac{a}{b}}) и преобразуем нашу функцию к виду:

(y=sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2}=(x^5+2x-5)^{frac{2}{3}})

Вот так. И теперь у нас вложенность двойная: (x → x^5+2x-5 → (x^5+2x-5)^{frac{2}{3}})
При этом функция осталась той же! Удобное свойство, однако. Стоит его запомнить, да? ☺ Ладно, поехали дальше.
Внутренняя функция: (x^5+2x-5).    Внешняя: .
Производная внешней по внутренней. По таблице производных общая формула производной степенной функции:   . Получаем:   . Тогда в нашем случае будет: (frac{2}{3}(x^5+2x-5)^{-frac{1}{3}}).
Производная внутренней: ((x^5+2x-5)’=5x^4+2).
Общий результат: (y ‘=(sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2})’=((x^5+2x-5)^{frac{2}{3}} )’=frac{2}{3}(x^5+2x-5)^{-frac{1}{3}}·(5x^4+2)).

В принципе, ответ найден. Но здесь можно сильно «причесать» результаты. Это может показаться сложным, но это не так, просто опять нагромождения символов большое и возникает такое ложное ощущение. На всякий случай помни: «не причесанный» ответ – тоже ответ. Поэтому если не поймешь дальнейших преобразований – не критично. Ладно, расческу в руки и вперед.
Вспоминаем свойство отрицательной степени (a^{-n}=)(frac{1}{a^n}). Получаем:

(y ‘=frac{2}{3}(x^5+2x-5)^{-frac{1}{3}}·(5x^4+2)=)(frac{2}{3})(·)(frac{1}{(x^5+2x-5)^{frac{1}{3}}})(·(5x^4+2))

А теперь применяем свойство корня (sqrt[b]{x^a} =x^{frac{a}{b}}) в обратную сторону. То есть, вот так (x^{frac{a}{b}}=sqrt[b]{x^a}). В результате имеем:

(y’=)(frac{2}{3})(frac{1}{(x^5+2x-5)^{frac{1}{3}}})(·(5x^4+2)=)(frac{2}{3})(frac{1}{sqrt[3]{x^5+2x-5}})(·(5x^4+2))

Ну, и перемножаем дроби.

(y’=)(frac{2}{3})(frac{1}{sqrt[3]{x^5+2x-5}})(·(5x^4+2)=)(frac{2(5x^4+2)}{3sqrt[3]{x^5+2x-5}})(=)(frac{10x^4+4}{3sqrt[3]{x^5+2x-5}})

ВСЁ!!! А теперь сам.

Найти производные функций:

a. (y=ctg⁡(x^7))
b. (y=e^{x^4+5x^3})
c. (y=sqrt{cos⁡x})
d. (y=log_5⁡{5^x})
e. (y=(tg⁡x)^3)
f. (y=sin⁡(ln⁡(x^2)))

Ответы ко всем заданиям (вперемежку).

(y=tg⁡(x^5))

(y=log^{-2}_{4}{⁡x})

(y=3^{cos⁡x})

(x → 1+x → log_2⁡{(1+x)} )

(x → 11^x → arctg⁡(11^x) )

(x → x^7 → 5^{x^7})

(x → sin⁡x → cos⁡(sin⁡x))

Сошлось? Красавчик!

Что такое функция          и           что такое сложная функция ?   

Функция    $gleft(tright)=3cdot t-1$     — это правило отображения     $t$ — чисел в значения функции   $gleft(.right)$ по указанному правилу.

Например:   числу       $t=2$     соответствует значение        $gleft(2right)=3cdot 2-1=5$.      «2»     отображается в   «5».

Еще:     $t=0$     отображается в       $-1$,     т.е.       $gleft(0right)=-1$ ;     говорят: функция    $g$    в точке    $0$     принимает значение    $-1$.

Именно все такие пары соответствий   $left(2;5right)$ ,    $left(0;-1right)$ ,    $left(4;11right)$ … все прочие «делают» функцию.

«Я знаю кто он, если я знаю на что он способен, что и как он делает».       Функция:   аргумент —>   значение

$gleft(tright)$ переводит значения аргументов в значения функции. Имя аргумента   » $t$ » здесь не важно, важно правило: $3cdot t-1$ !

Другая функция,    $fleft(zright)=z^2$     переводит, отображает      5 —> 25,      -1 —> 1.       т.е.      $fleft(5right)=25$            $fleft(-1right)=1$

• Ключевые термины:           функция                              имя                      аргумент               правило вычисления значения    
• $gleft(tright)$                       $gleft(tright)=3cdot t-1$                  $g$                       $t$                            $3cdot t-1$            
• $fleft(zright)$                      $fleft(zright)=z^2$                            $f$                       $z$                           $z^2$   

Сложная функция         $fleft(gleft(xright)right)=left(3x-1right)^2$            комбинированная из двух:   $f$   и $g$

для      $x=2$     функция         $fleft(gleft(2right)right)=fleft(5right)=25$,        значение по правилу такое же      $left(3cdot 2-1right)^2=25$

для      $x=0$     функция         $fleft(gleft(0right)right)=fleft(-1right)=1$,       также и значение по правилу      $left(3cdot -1-1right)^2=1$

• термины $fleft(gleft(xright)right)$               $x$   —   аргумент   функции      $g$.                 $gleft(xright)$     —    аргумент функции     $f$.

• $f$    —    внешняя функция,              $g$    —     внутренняя функция.           правило сложной функции   $left(3x-1right)^2$    

• $fleft(gleft(xright)right)=fleft(3x-1right)=left(3x-1right)^2=left(gleft(xright)right)^2$    …        $x$   (по правилу   $g$ )    —>    $left(3x-1right)$    (по правилу $f$)     —>     $left(3x-1right)^2$

Дифференцирование «сложных» функций, … … «как замена» и умножение на производную «замены»:

• Производная сложной функции …   в аргументе функции выражение от $x$, называем «заменой» $X$ :
• $left(fleft(Xright)right)’=f’left(Xright)cdotleft(Xright)’$.   В сложных функциях надо распознать и выделить внешнюю и внутреннюю функцию.
• Найти производную внешней функции и умножить на производную внутренней функции.
• f- внешняя функция,         $X$ — внутренняя.       $f’left(Xright)$   —     производная в $X$ !

Пример 2:       Найти производные «сложных» функций

В сложных функциях важно правильно распознать внешнюю и внутреннюю функцию. И, перемножить их производные.

A.       $left(sin7xright)’=left(sin Xright)’=cos Xcdotleft(X’right)=cos7xcdotleft(7xright)’=7cos7x$

B.       $left(sqrt{5cdot x^2-6}right)’=left(sqrt{X}right)’=frac{1}{2sqrt{X}}cdotleft(Xright)’=frac{1}{2sqrt{5cdot x^2-6}}cdotleft(5cdot x^2-6right)’=frac{10x}{2sqrt{5cdot x^2-6}}=frac{5x}{sqrt{5cdot x^2-6}}$

C.       $left(e^{-5x}right)’=left(e^Xright)’=e^Xcdotleft(Xright)’=e^{-5x}cdotleft(-5xright)’=-5e^{-5x}$      

D.       $left(cossqrt{5cdot x^2-6}right)’=left(cos Xright)’=-sin Xcdotleft(Xright)’=-sinsqrt{5cdot x^2-6}cdotleft(sqrt{5cdot x^2-6}right)’=-frac{5xcdotsinsqrt{5cdot x^2-6}}{sqrt{5cdot x^2-6}}$

E.       $left(log_3left(x^5-3x^2right)right)’=left(log_3Xright)’=left(frac{ln X}{ln3}right)’=frac{1}{ln3cdot X}cdotleft(Xright)’=frac{1}{ln3cdotleft(x^5-3x^2right)}cdotleft(x^5-3x^2right)’=frac{5x^4-6x}{ln3cdotleft(x^5-3x^2right)}$

Пример 3:       Найти   производную        $left(sqrt{3x}cosleft(4x+1right)right)’$

• перед нами произведение двух функций , возьмем производную от умножения по формуле

• $left(fgright)’=f’g+fg’$ :                $left(sqrt{3x}right)’cosleft(4x+1right)+sqrt{3x}left(cosleft(4x+1right)right)’$ .

• функции , от которых   предстоит взять производную, являются сложными ….   производные   сложных?

• важно правильно распознать, какая функция будет внешней, а какая внутренней для каждой сложной функции.

• $sqrt{3x}$    :     внешняя функция — квадратный корень ; внутренняя — выражение под корнем $3x$ , берем производную:

• $left(sqrt{3x}right)’=frac{1}{2}left(3xright)^{frac{1}{2}-1}cdotleft(3xright)’=frac{1}{2}left(3xright)^{-frac{1}{2}}cdot3=frac{3}{2sqrt{3x}}$

• $cosleft(4x+1right)$ :    внешняя функция   — тригонометрическая    cos   ; внутренняя — аргумент косинуса $4x+1$

• $left(cosleft(4x+1right)right)’=-sinleft(4x+1right)cdotleft(4x+1right)’=-sinleft(4x+1right)cdot4x’=-4sinleft(4x+1right)$

• соберем все наши выкладки и получим производную исходного выражения:

• $left(sqrt{3x}right)’cosleft(4x+1right)+sqrt{3x}left(cosleft(4x+1right)right)’=frac{3}{2sqrt{3x}}cosleft(4x+1right)-4sqrt{3x}sinleft(4x+1right)$

Иллюстационный пример:        Учет сложности под разными функциями ….

Классная Интерактивная Доска:

Упражнения:

Вторая производная

Всё
очень просто. Вторая производная –
это производная
от первой производной: 

Стандартные
обозначения второй производной: 
, 
 или 
 (дробь
читается так: «дэ два игрек по дэ икс
квадрат»). Чаще всего вторую производную
обозначают первыми двумя вариантами.
Но третий вариант тоже встречается,
причем, его очень любят включать в
условия контрольных заданий, например:
«Найдите 
 функции…».
А студент сидит и битый час чешет репу,
что это вообще такое.

Рассмотрим
простейший пример. Найдем вторую
производную от функции 
.

Для того чтобы
найти вторую производную, как многие
догадались, нужно сначала найти первую
производную:

Теперь находим
вторую производную:

Готово.

Рассмотрим более
содержательные примеры.

Пример 11

Найти
вторую производную функции 

Найдем
первую производную:

На
каждом шаге всегда смотрим, нельзя ли
что-нибудь упростить? Сейчас нам предстоит
дифференцировать произведение двух
функций, и мы избавимся от этой
неприятности, применив
известную тригонометрическую
формулу 
.
Точнее говоря, использовать формулу
будем в обратном направлении: 
:

Находим
вторую производную:

Готово.

Можно
было пойти другим путём – понизить
степень функции еще перед дифференцированием,
используя формулу 
:

Если интересно,
возьмите первую и вторую производные
снова. Результаты, естественно, совпадут.

Отмечу,
что понижение степени бывает очень
выгодно при нахождении частных
производных функции.
Здесь же оба способа решения будут
примерно одинаковой длины и сложности.

Как и
для первой производной, можно
рассмотреть задачу
нахождения второй производной в точке.

Например:
Вычислим значение найденной второй
производной в точке 
:

Необходимость
находить вторую производную и вторую
производную в точке возникает при
исследовании графика функции на
выпуклость/вогнутость и перегибы.

Пример 12

Найти
вторую производную функции 
.
Найти 

Это пример для
самостоятельного решения.

Аналогично можно
найти третью производную, а также
производные более высоких порядков.
Такие задания встречаются, но встречаются
значительно реже.

Решения
и ответы:

Пример
2: Найдем производную:

Вычислим
значение функции в точке 
:

Пример
4: Найдем производную:

Вычислим
производную в заданной точке:

Пример
6: Уравнение касательной составим по
формуле 

1)
Вычислим значение функции в точке 
:

2)
Найдем производную. Перед дифференцированием
функцию выгодно упростить:

3)
Вычислим значение производной в
точке 
:

4)
Подставим значения 
, 
 и 
 в
формулу 
:

Пример
8: Преобразуем функцию:

Найдем
производную:

Запишем
дифференциал:

Пример
10: Найдем производную:

Запишем
дифференциал:

Вычислим
дифференциал в точке 
:

Пример
12: Найдем первую производную:

Найдем
вторую производную:

Вычислим: 

4. 2.Частные производные. Примеры решений

На
данном уроке мы познакомимся с понятием
функции двух переменных, а также подробно
рассмотрим наиболее распространенное
задание – нахождение частных
производныхпервого
и второго порядка, полного дифференциала
функции. Студенты-заочники, как правило,
сталкиваются с частными производными
на 1 курсе во 2 семестре. Причем, по моим
наблюдениям, задание на нахождение
частных производных практически всегда
встречается на экзамене.

Для
эффективного изучения нижеизложенного
материала Вам необходимо уметь
более или менее уверенно находить
«обычные» производные функции одной
переменной. Научиться правильно
обращаться с производными можно на
уроках Как
найти производную? иПроизводная
сложной функции.
Также нам потребуется таблица производных
элементарных функций и правил
дифференцирования, удобнее всего, если
она будет под рукой в распечатанном
виде. Раздобыть справочный материал
можно на страницеМатематические
формулы и таблицы.

Начнем
с самого понятия функции двух переменных,
я постараюсь ограничиться минимумом
теории, так как сайт имеет практическую
направленность. Функция двух переменных
обычно записывается как 
,
при этом переменные 
, 
 называются независимыми
переменными или аргументами.

Пример: 
 –
функция двух переменных.

Иногда
используют запись 
.
Также встречаются задания, где вместо
буквы 
 используется
буква 
.

Полезно
знать геометрический смысл функций.
Функции одной переменной 
 соответствует
определенная линия на плоскости,
например, 
  –
всем знакомая школьная парабола. Любая
функция двух переменных 
 с
геометрической точки зрения представляет
собой поверхность в трехмерном
пространстве (плоскости, цилиндры, шары,
параболоиды и т.д.). Но, собственно, это
уже аналитическая геометрия, а у нас на
повестке дня математический анализ.

Переходим
к вопросу нахождения частных производных
первого и второго порядков. Должен
сообщить хорошую новость для тех, кто
выпил несколько чашек кофе и настроился
на невообразимо трудный материал: частные
производные – это почти то же самое,
что и «обычные» производные функции
одной переменной. 

Для
частных производных справедливы все
правила дифференцирования и таблица
производных элементарных функций. Есть
только пара небольших отличий, с которыми
мы познакомимся прямо сейчас.

Пример 1

Найти
частные производные первого и второго
порядка функции 

Сначала найдем
частные производные первого порядка.
Их две.

Обозначения:

 или 
 –
частная производная по «икс»

 или 
 –
частная производная по «игрек»

Начнем
с 
. Когда
мы находим частную производную по «икс»,
то переменная 
 считается
константой (постоянным числом).

Решаем. На данном
уроке я буду приводить полное решение
сразу, а комментарии давать ниже.

Комментарии к
выполненным действиям:

(1)
Первое, что мы делаем при нахождении
частной производной – заключаем всю функцию
в скобки под штрих с
подстрочным индексом.

Внимание,
важно! Подстрочные
индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В
данном случае, если Вы где-нибудь
нарисуете «штрих» без 
,
то преподаватель, как минимум, может
поставить рядом с заданием 
 (сразу
откусить часть балла за невнимательность).

Далее данный шаг
комментироваться не будет, все сделанные
замечания справедливы для любого примера
по рассматриваемой теме.

(2)
Используем правила дифференцирования 
, 
.
Для простого примера, как этот, оба
правила вполне можно применить на одном
шаге. Обратите внимание на первое
слагаемое: так как 
 считается
константой, а любую константу можно
вынести за знак производной,
то 
 мы
выносим за скобки. То есть в данной
ситуации
 ничем
не лучше обычного числа. Теперь посмотрим
на третье слагаемое 
:
здесь, наоборот, выносить нечего. Так
как 
 константа,
то 
 –
тоже константа, и в этом смысле она ничем
не лучше последнего слагаемого –
«семерки».

(3)
Используем табличные производные 
 и 
.

(4) Упрощаем, или,
как я люблю говорить, «причесываем»
ответ.

Теперь 
. Когда
мы находим частную производную по
«игрек», то переменная 
 считается
константой (постоянным числом).

(1)
Используем те же правила дифференцирования 
, 
.
В первом слагаемом выносим константу 
 за
знак производной, во втором слагаемом
ничего вынести нельзя поскольку 
 –
уже константа.

(2)
Используем таблицу производным
элементарных функций. Мысленно
поменяем в таблице все «иксы» на «игреки».
То есть данная таблица рАвно справедлива
и для
 (да
и вообще почти для любой буквы). В
частности, используемые нами формулы
выглядят так: 
 и 
.

Итак, частные
производные первого порядка найдены

Подведем итог, чем
же отличается нахождение частных
производных от нахождения «обычных»
производных функции одной переменной:

1)
Когда мы находим частную
производную 
, переменная 
 считается
константой.

2)
Когда мы находим частную
производную 
, переменная 
 считается
константой.

3)
Правила и таблица производных элементарных
функций справедливы и применимы для
любой переменной (
, 
 либо
какой-нибудь другой), по которой ведется
дифференцирование.

Шаг второй. Находим
частные производные второго порядка.
Их четыре.

Обозначения:

 или 
 –
вторая производная по «икс»

 или 
 –
вторая производная по
«игрек»

 или 
 – смешанная производная
«икс по игрек»

 или 
 – смешанная производная
«игрек по икс»

В
понятии второй производной нет ничего
сложного. Говоря простым языком, вторая
производная – это производная от первой
производной.

Для
наглядности я перепишу уже найденные
частные производные первого порядка:

Сначала
найдем смешанные производные:

Как
видите, всё просто: берем частную
производную 
 и
дифференцируем ее еще раз, но в данном
случае – уже по «игрек».

Аналогично:

Для
практических примеров справедливо
следующее равенство: 

Таким образом,
через смешанные производные второго
порядка очень удобно проверить, а
правильно ли мы нашли частные производные
первого порядка.

Находим
вторую производную по «икс».

Никаких
изобретений, берем 
 и
дифференцируем её по «икс» еще раз:

Аналогично:

Следует
отметить, что при нахождении 
, 
 нужно
проявить повышенное
внимание, так как
никаких чудесных равенств для проверки
не существует.

Пример 2

Найти
частные производные первого и второго
порядка функции 

Это
пример для самостоятельного решения
(ответ в конце урока). Если возникли
трудности с дифференцированием корней,
рекомендую ознакомиться уроком Как
найти производную?

При определенном
опыте частные производные из примеров
№№1,2 будут решаться Вами устно.

Переходим к более
сложным примерам.

Пример 3

Найти
частные производные первого порядка
функции 
.
Проверить, что 
.
Записать полный дифференциал первого
порядка 
.

Решение:
Находим частные производные первого
порядка:

Обратите
внимание на подстрочный индекс: 
,
рядом с «иксом» не возбраняется в скобках
записывать, что 
 –
константа. Данная пометка может быть
очень полезна для начинающих, чтобы
легче было ориентироваться в решении.

Дальнейшие
комментарии:

(1)
Выносим все константы за знак производной.
В данном случае 
 и 
,
а, значит, и их произведение 
 считается
постоянным числом.

(2) Не забываем, как
правильно дифференцировать корни.

(1)
Выносим все константы за знак производной,
в данной случае константой является

.

(2) Под
штрихом у нас осталось произведение
двух функций, следовательно, нужно
использовать правило дифференцирования
произведения 
.

(3) Не
забываем, что

– это сложная функция (хотя и простейшая
из сложных). Используем соответствующее
правило:

.

Теперь находим
смешанные производные второго порядка:

,
значит, все вычисления выполнены верно.

Запишем
полный дифференциал 
.
В контексте рассматриваемого задания
не имеет смысла рассказывать, что такое
полный дифференциал функции двух
переменных. Важно, что этот самый
дифференциал очень часто требуется
записать в практических задачах.

Полный
дифференциал первого порядка функции
двух переменных имеет вид:

В данном случае:

То
есть, в формулу нужно просто подставить
уже найденные частные производные
первого порядка. Значки дифференциалов 
 и 
 в
этой и похожих ситуациях по возможности
лучше записывать в числителях:

Пример 4

Найти
частные производные первого порядка
функции 
.
Проверить, что 
.
Записать полный дифференциал первого
порядка 
.

Это пример для
самостоятельного решения. Полное решение
и образец оформления задачи – в конце
урока.

Рассмотрим серию
примеров, включающих в себя сложные
функции.

Пример 5

Найти
частные производные первого порядка
функции

.

Записать
полный дифференциал 
.

Решение:

(1)
Применяем правило дифференцирования
сложной функции 
.
С урока Производная
сложной функции
следует помнить
очень важный момент: когда мы по таблице
превращаем синус (внешнюю функцию) в
косинус, то вложение

 (внутренняя
функция) у нас не
меняется.

(2)
Здесь используем свойство корней:

,
выносим константу

за знак производной, а корень

представляем в нужном для дифференцирования
виде.

Аналогично:

Запишем
полный дифференциал первого порядка:

Пример 6

Найти
частные производные первого порядка
функции 
.

Записать
полный дифференциал 
.

Это пример для
самостоятельного решения (ответ в конце
урока). Полное решение не привожу, так
как оно достаточно простое

Довольно часто
все вышерассмотренные правила применяются
в комбинации.

Пример 7

Найти
частные производные первого порядка
функции 
.

(1) Используем
правило дифференцирования суммы

(2)
Первое слагаемое  в данном случае
считается константой, поскольку в
выражении

нет ничего, зависящего от «икс» – только
«игреки».

(Знаете,
всегда приятно, когда дробь удается
превратить в ноль).

Для
второго слагаемого применяем правило
дифференцирования произведения. Кстати,
в этом смысле ничего бы не изменилось,
если бы вместо

была дана функция

– важно, что здесь произведение
двух функций, КАЖДАЯ
из которых зависит от
«икс»,
а поэтому, нужно использовать правило
дифференцирования произведения. Для
третьего слагаемого применяем правило
дифференцирования сложной функции.

(1) В
первом слагаемом и в числителе и в
знаменателе содержится «игрек»,
следовательно, нужно использовать
правило дифференцирования частного: 
. 
Второе слагаемое зависит ТОЛЬКО от
«икс», значит, 
 считается
константой и превращается в ноль. Для
третьего слагаемого используем правило
дифференцирования сложной функции.

Для тех читателей,
которые мужественно добрались почти
до конца урока, расскажу старый
мехматовский анекдот для разрядки:

Однажды
в пространстве функций появилась злобная
производная и как пошла всех
дифференцировать. Все функции разбегаются
кто куда, никому не хочется превращаться!
И только одна функция никуда не убегает.
Подходит к ней производная и спрашивает:

– А
почему это ты от меня никуда не убегаешь?

– Ха.
А мне всё равно, ведь я «е в степени икс»,
и ты со мной ничего не сделаешь!

На
что злобная производная с коварной
улыбкой отвечает:

– Вот
здесь ты ошибаешься, я тебя продифференцирую
по «игрек», так что быть тебе нулем.

(Кто
понял анекдот, тот освоил производные,
минимум, на «тройку»).

Пример 8

Найти
частные производные первого порядка
функции

.

Это пример для
самостоятельного решения. Полное решение
и образец оформления задачи – в конце
урока.

Ну вот почти и всё.
Напоследок не могу не обрадовать
любителей математики еще одним примером.
Дело даже не в любителях, у всех разный
уровень математической подготовки –
встречаются люди (и не так уж редко),
которые любят потягаться с заданиями
посложнее. Хотя, последний на данном
уроке пример не столько сложный, сколько
громоздкий с точки зрения вычислений.

Пример 9

Дана
функция двух переменных 
.
Найти все частные производные первого
и второго порядков.

Это пример для
самостоятельного решения. Полное решение
и образец оформления где-то рядом.

Ответы:

Пример
2:

,


,


,

Пример
4: Ссылка для просмотра ниже.

Пример
6:

,


,

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #

  08.02.20157.31 Mб91.rtf

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

1. Найти производную функции $f'(х)$
2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
3. Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
4. Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
5. Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

1. Найти производную функции $f'(х)$
2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
3. Разложить производную функции на множители.
4. Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
5. Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.

Таблица производных некоторых элементарных функций:

Функция	Производная
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^{n-1}, n∈N$
${1}/{x}$	$-{1}/{x^2}$
${1}/x{^n}, n∈N$	$-{n}/{x^{n+1}}, n∈N$
$√^n{x}, n∈N$	${1}/{n√^n{x^{n-1}}, n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	${1}/{cos^2x}$
$ctgx$	$-{1}/{sin^2x}$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	${1}/{x}$
$log_{a}x$	${1}/{xlna}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

2. Производная произведения.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f^'(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)’}/{g^2(x)}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$