Как найти вторую сторону по площади параллелограмма

Онлайн калькулятор длины сторон параллелограмма  напишет подробное решение с ответом и пояснениями.
Калькулятор может:

1. Сторона параллелограмма через площадь и высоту.
2. Сторона параллелограмма через высоту и угол.

• Параллелограмм- это четырехугольник у которого противоположные стороны параллельны. 
• Противоположные стороны параллелограмма равны.
• Диагональные углы параллелограмма равны.

Как найти длину стороны параллелограмма ?

Сторона параллелограмма может быть легко найдена с помощью нашего онлайн калькулятора. Так же Вы можете воспользоваться формулами ниже для самостоятельного расчета.

	a =
	a =

Параллелограммом называют четырёхугольный многоугольник, две соседние стороны которого равны и
параллельны противоположным. Помимо этого, есть ещё несколько важных условий определения фигуры как
параллелограмма:

1. В месте пересечения диагонали делятся пополам, а точка, в которой пересекаются диагонали,
   является одновременно центром этих двух отрезков. При этом она всегда лежит внутри фигуры.
2. Любая диагональ данного четырёхугольника разделяет его на одинаковые треугольники, так как
   проходит из одной вершины к противоположной, то есть по центру четырёхугольника.
3. Сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей.
4. Углы фигуры, расположенные друг напротив друга, попарно равны. Это условие вытекает из
   утверждения, что параллельные стороны фигуры равны.
5. Сумма двух односторонних углов равна 180°. Это условие напрямую связано с теоремой о двух
   параллельных прямых и секущей. И действительно, если рассматривать две противоположные и третью
   между ними стороны параллелограмма как две параллельные прямые и секущую, то можно заметить, что
   углы, принадлежащие одной стороне, будут соответствовать односторонним углам, сумма которых,
   согласно теореме, равна 180°.

Только при выполнении всех условий четырёхугольный многоугольник будет считаться
параллелограммом.

Нахождение длинной стороны через две диагонали и острый угол между ними

Длинную сторону параллелограмма можно найти, зная обе диагонали и острый угол между ними, по
формуле:

a = (√(D² + d² — 2 (D * d) * cosα)) / 2

где D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, α — острый угол между диагоналями.

Пример. Допустим, дан параллелограмм, у которого диагонали 7 и 4 см, а угол между
ними 68º. Тогда, согласно формуле, сторона будет равна: a = (√(7² + 4² — 2 (7 * 4) * cos68º)) / 2 = 3,317 см. Ответ:
3,317 см.

Нахождение короткой стороны через две диагонали и острый угол между ними

Можно вычислить и короткую сторону по формуле:

b = (√(D² + d² + 2 (D * d) * cosα)) / 2

где D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, α — острый угол между диагоналями.

Пример. Теперь необходимо найти другую сторону параллелограмма. Данные останутся те
же, что и в прошлой задаче, но в уравнении поменяется знак, так как по отношению к углу поменялась
сторона, которую надо найти. Сторона b будет равна: b = (√(7² + 4² + 2 (7 * 4) * cos68º)) / 2 = 4.64.
Ответ: 4,64 см.

Нахождение длинной стороны через две диагонали и тупой угол между ними

Стороны параллелограмма можно найти, зная диагонали и тупой угол между ними. Для этого нужно
использовать следующую формулу:

a = (√(D² + d² + 2 (D * d) * cosβ)) / 2

где D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, β — тупой угол между диагоналями.

Пример. Рассмотрим нахождение сторон всё того же параллелограмма с диагоналями 7 и 4
см. Однако на этот раз возьмём между диагоналями другой угол: β=112º. В таком случае для стороны a
минус меняется на плюс, а сама сторона равна: a = (√(7² + 4² + 2 (7 * 4) * cos112º)) / 2 = 3.914

Нахождение короткой стороны через две диагонали и тупой угол между ними

Аналогично можно найти и короткую сторону, зная диагонали и тупой угол между ними:

b = (√(D² + d² — 2 (D * d) * cosβ)) / 2

где D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, β — тупой угол между диагоналями.

Пример. Для стороны b так же изменится знак в формуле, но наоборот: плюс на минус. Тогда
получается: b = (√(7² + 4² — 2 (7 * 4) * cos112)) / 2 = 4,64 см. Ответ совпал с ответом второй
задачи, все опять решено верно, а сторона в воображаемом параллелограмме действительно равна 4,64
см.

Нахождение стороны параллелограмма через диагонали и другую сторону

Как и в случае с прошлыми пунктами, существуют формула, которая позволяет найти сторону
параллелограмма с использованием диагоналей и известной стороны. Вот она:

a = √(D² + d² — 2b² / 2)

где D, d — диагонали, b — сторона.

Выводится данная формулы из первого следствия теоремы косинусов. 

Пример. Используем для следующих задач другой параллелограмм. Эта фигура будет с
диагоналями 9 и 5 см и стороной 6 см. Тогда другая сторона данного параллелограмма равна: a = √(9² + 5² — 2 * 6² / 2) = 4,1 см. Ответ: 4,1 см.

Для проверки ответа можем решить обратную задачу, при которой нам не известна сторона b, но известна
сторона a = 4,1 см. По обратной формуле получается b = √(9² + 5² — 2 * 4,1² / 2) = 6 см. Ответ
совпадает с изначальными данными первой задачи. А значит и этот воображаемый параллелограмм
действительно существует.

Нахождение стороны через синус угла и высоту

Высота – это отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины фигуры на противоположную сторону. Есть
несколько интересных свойств у неё. Например, высоты, проведенные из острых углов, будут всегда
лежать вне фигуры, в то время как высоты из тупых углов всегда лежат внутри. Если из одного угла
опустить две высоты, то между ними образуется угол, равный смежному углу параллелограмма. Равными
будут те высоты, что заключены между параллельными сторонами четырёхугольника. Найти сторону
параллелограмма через эту величину достаточно просто, по формуле:

a = h / sinα

где: h — высота параллелограмма, sin α — угол.

Стоит заметить, что высота должна быть опущена не к искомой стороне, а к соседней. При этом для
формулы сойдет синус любого известного угла параллелограмма.

Пример. Найти сторону параллелограмма, если высота, опущенная на соседнюю сторону
равна 10 см, а острый угол — 30º. Решение: a=10 / 0,5 = 20 см

Нахождение стороны через площадь и высоту

Более подробно о площади и высоте параллелограмма рассказано в пунктах выше. В этом достаточно легко
вывести единственную формулу, по которой можно найти сторону. Если площадь является произведением
стороны на высоту, то сторона будет равна отношению площади к высоте:

a = S / h

где S — площадь параллелограмма, h — высота.

Причем не имеет значения, к какой стороне опущена высота: к искомой или соседней.

Пример. Найти сторону параллелограмма, если его площадь равна 20 см, а высота,
опущенная на одну из сторон — 5 см. Решение: a = 20 / 5 = 4 см.

Фигура кажется сложной для восприятия из-за того, что её нельзя постоянно наблюдать где-то в
повседневной жизни. Однако всё становится проще, если вспомнить, что есть более известные широкой
публике частные случаи параллелограмма. Их-то человек обычно наблюдает ежедневно. Это ромб,
прямоугольник и квадрат. Причем последний, хоть и наиболее известен, является и наиболее
интересным.

Ромб считается частным случаем, потому что представляет собой параллелограмм, диагонали которого в
точке пересечения образуют прямой угол. Прямоугольник является частным случаем, потому что это
параллелограмм, у которого все углы прямые. У квадрата же положение ещё интереснее, так как его
можно назвать не только частным случаем параллелограмма, но и прямоугольника, и ромба. Квадрат – это
комбо трёх предыдущих определений. Можно даже сказать, что квадрат одновременно является особенным
случаем и для параллелограмма, и для прямоугольника, и для ромба. Все его стороны равны,
противоположные стороны параллельны. Все углы являются прямыми, даже образующиеся при пересечении
диагоналей, которые к тому же делятся пополам в точке пересечения.

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны и параллельны

2. Противоположные углы равны

3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам

1. Формулы длины сторон через диагонали и угол между ними.

a , b – стороны параллелограмма

D – большая диагональ

d – меньшая диагональ

α , β – углы между диагоналями

Формулы сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними (по теореме косинусов), ( a , b ):

Формулы сторон параллелограмма через диагонали и сторону, ( a , b ):

Формулы сторон параллелограмма , ( a , b ):

2. Формулы длины сторон параллелограмма через высоту.

a , b – стороны параллелограмма

H _b – высота на сторону b

H a – высота на сторону a

α , β – углы параллелограмма

Формулы сторон параллелограмма через высоту, ( a , b ):

3. Дополнительные, интересные формулы параллелограмма:

a , b – стороны параллелограмма

D – большая диагональ

d – меньшая диагональ

α – острый угол между диагоналями

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Эта статья на еще одну математическую тему. Мы расскажем, как правильно посчитать площадь параллелограмма. Эту тему подробно изучают только в 8-м классе. И это говорит, что она не такая простая.

Но для начала давайте все-таки напомним, какая фигура называется параллелограммом.

Параллелограмм – это разновидность четырехугольников, у которого противоположные стороны параллельны друг другу.

Классический параллелограмм выглядит вот так:

Впервые об этой фигуре подробно написал древнегреческий математик Евклид в своем известном произведении «Начала». Он же рассказал и о двух частных случаях параллелограмма, которые нам сегодня хорошо известны.

Это и прямоугольник, у которого противоположные стороны не только параллельны друг другу, но и пересекаются под прямым углом. И квадрат, у которого помимо параллельности противоположных сторон, все стороны еще и равны между собой.

И наконец, не лишним будет вспомнить, что подразумевается под термином «площадь».

Площадь геометрической фигуры – это размер плоскости, которая находится внутри сторон фигуры.

Ну а теперь объединим эти два понятия и расскажем, как надо считать площадь параллелограмма.

Формулы для расчета площади параллелограмма

Есть три основных формулы для вычисления площади параллелограмма:

1. если известна длина стороны и высота, проведенная к ней;
2. если известны длины сторон и углы между ними;
3. если известны длины диагоналей и угол между ними.

Теперь о каждом из этих способов подробнее.

Как найти площадь параллелограмма, если известны сторона и высота

Возьмем для примера такой параллелограмм:

В нем указаны две высоты – BE и BF. Напомню, что высота — это отрезок, который опускается из вершины на противоположную сторону под прямым углом.

В данном случае площадь считается весьма просто. Надо всего лишь перемножить длину высоты и длину стороны, к которой она проведена.

И то же самое касается, если знать длины стороны DC и высоты BF. Тогда для вычисления площади достаточно их перемножить.

Кстати, у этой формулы есть весьма интересное доказательство. Так как у параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны, то можно взять треугольник ABE и переставить его к стороне CD. Вот так это будет выглядеть:

В результате мы получим прямоугольник, у которого нам известны длины обеих сторон (высота параллелограмма превратилась в одну из сторон). А как известно, площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

Формула площади параллелограмма, если известны стороны и угол

Площадь параллелограмма можно посчитать, если известны длины обеих его сторон и величина острого угла между ними.

Собственно, этот способ вытекает из предыдущего, Просто по исходным данным нужно вычислить высоту параллелограмма, а уже потом по ней посчитать площадь.

Согласно тригонометрии, синус острого угла в прямоугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе. В нашем примере таким катетом является высота, а гипотенузой сторона «а». И получается:

Соответственно, чтобы посчитать значение высоты надо:

И наша конечная формула для расчета площади будет выглядеть следующим образом:

Как найти площадь параллелограмма через диагонали

Этот способ используется крайне редко, но знать его все равно нужно. Во всяком случае, на экзаменах у школьников такие примеры вполне могут встретиться.

В данном случае для вывода формулы используются весьма непростые математические вычисления. И мы не будем ими вас загружать. А просто покажем конечный результат:

Соответственно, здесь d1 и d2 – длины диагоналей, а y – острый угол между ними.

Вот и все, что мы хотели рассказать о вычислении площади параллелограмма.

Площадь параллелограмма, формулы и калькулятор для вычисления площади в режиме онлайн.

Для вычисления площади параллелограмма применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор для вычисления площади в режиме онлайн.

Площадь параллелограмма – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами), у которой противоположные стороны попарно параллельны и равны между собой.

Площадь параллелограмма по основанию и высоте параллелограмма

Площадь параллелограмма по стороне и высоте, опущенной на эту сторону

Площадь параллелограмма по двум сторонам и углу между ними

Площадь параллелограмма по двум диагоналям и углу между этими диагоналями

Площадь параллелограмма по вписанной окружности и стороне

Данная формула применима только для параллелограммов, в которые можно вписать окружность. Таким параллелограммом может являться только ромб.

Площадь параллелограмма по вписанной окружности и углу между сторонами

Данная формула применима только для параллелограммов, в которые можно вписать окружность. Таким параллелограммом может являться только ромб.

Определения

Параллелограмм – это геометрическая фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами), у которой противоположные стороны попарно параллельны и равны между собой.

Высота параллелограмма – это отрезок проведенный из вершины параллелограмма к противоположной стороне под углом в 90 градусов.

Некоторые свойства параллелограмма:

• Сумма углов параллелограмма равна 360 градусов
• Сумма углов, прилегающих к любой из сторон равна 180 градусов
• Противоположные стороны параллельны и имеют одинаковую длину
• Противолежащие углы равны

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.

Как найти длину одной из сторон параллелограмма? Чтобы найти сторону параллелограмма, необходимо наличие некоторых других значений, которые бы были известны. Далее попросту использовать одну из подходящих формул. Например, по теореме косинусов, это формулы сторон через диагонали и находящийся между ними угол: Другим решением, являются формулы, где стороны рассчитываются по диагонали и одной из известной стороны: Вот еще формулы сторон параллелепипеда, через вторую сторону, диагонали и косинус угла: Стоит напомнить и про формулы длин сторон, через высоту и синус угла: Так же длину стороны параллелограмма, можно определить если известны площадь и высота: Как видим, вариантов расчета высоты параллелограмма достаточно много и хотелось напомнить основные характеристики этой геометрической фигуры: Во первых, параллелограммом называется четырехугольник, имеющий параллельно расположенные противоположные стороны , т. е. находящиеся на параллельных прямых. Квадраты, прямоугольники и ромбы, также являются параллелограммами. система выбрала этот ответ лучшим Для нахождения стороны параллелограмма есть более десятка разных формул (они перечислены в ответе автора Бульбозавр), но для решения задач на эту тему, далеко не всегда их можно применить. На мой взгляд лучше всего разобрать несколько примеров и на практике увидеть, как находить сторону этой фигуры — в наших случаях с помощью уравнений. Пример 1 Нужно найти стороны параллелограмма, если одна из сторон больше другой в два раза а периметр равен 30 см. Даже не нужно чертить рисунок, а просто составить уравнение и решить его периметр(30см) = 2(х+2х) откуда х=5см, следовательно одна сторона равна 5см, другая — 10см. Пример 2 АВСД — параллелограмм, нужно найти его стороны если — ВМ перпендикуляр к АС, АМ=6см, МС=15см, ВС больше АВ на 6 см Для решения этой задачи сначала рассматриваем два прямоугольных треугольника АВМ и ВСМ у которых общий катет h. Согласно Пифагору h*h=a*a-6*6=b*b-15*15 откуда b*b-a*a=(b-a)(b+a)=225-36=189 по условию задачи b-a=7 тогда b+a=189/7=27 решив эту простенькую систему уравнений найдем стороны a=10см b=17cм Alexs­andr8­2 [21.4K] 6 лет назад  Есть еще несколько формул которые будут скорее вспомогательными при решении задач по нахождению стороны паралелограмма но тем не менее их тоже нужно знать. Например одну из сторон паралеллограмма можно найти если известна вторая сторона и периметр фигуры по формуле: Р = 2(а+b), тогда а = (Р/2 — b), или b = (P/2 — a), где Р — периметр, а и b — стороны. Также можно найти сторону паралеллограмма зная его площадь и высоту опущенную на искомую сторону: S = a*H1 = b*H2, тогда а = S/H1 или b = S/H2, где S — площадь, а — меньшая сторона паралелограмма, b — большая сторона, Н1 — высота построенная к меньшей стороне, Н2 — сторна построенная к большей стороне паралеллограмма. Vecto­r 60 [121] 8 месяцев назад  Существует несколько формул для вычисления сторон параллелограмма (a и b). 1) Для нахождения сторон параллелограмма можно воспользоваться длиной диагоналей, а также величиной углов между диагоналями. Формулы будут такими: 2) Если известна одна из сторон и диагонали, то другую сторону можно найти так: 3) Если известна высота и величина одного из углов, то стороны параллелограмма можно найти по таким формулам: 4) Еще можно использовать значение площади и высоты: Stasy­12 [41.5K] более года назад  Формул, конечно много, с помощью которых можно найти сторону параллелограмма. Например можно найти стороны паралелограмма, зная размеры диагоналей и угла между ними(формула 1и 2) Зная длины диагоналей и одну из сторон, легко можно найти вторую(формулы 3 и 4) Через высоту, которая опущена на сторону и угол между сторонами(формулы 5 и 6) Зная площадь и высоту, которая опущена на заданную сторону можно найти длину стороны(формулы 7 и 8). Знаете ответ?