Как найти вторую сторону прямоугольного параллелепипеда - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Представление о том, что такое прямоугольный параллелепипед, все имеют еще с детства, когда играли в кубики, держали в руках такие предметы, как коробка из-под сока или из- под конфет, видели аквариум такой формы. В жизни мы постоянно сталкиваемся с предметами, которые представляют собой прямоугольный параллелепипед (рисунок 1).

Рисунок 1

Определение

Прямоугольный параллелепипед – это шестигранник, у которого все грани являются прямоугольниками. Грань – плоская поверхность предмета, составляющая угол с другой такой же поверхностью. Основания параллелепипеда – это его верхняя и нижняя грани.

Так, на рисунке 2 показан прямоугольный параллелепипед ABCDEFGH. Он имеет 6 граней, основаниями являются грани ABCD и EFGH.

У параллелепипеда есть вершины, их 8. Они обозначены заглавными латинскими буквами. Также у прямоугольного параллелепипеда есть 12 ребер – это стороны граней: AB, BC, CD, AD, EF, FG, HG, EH, AE, BF, CG, HD.

Рисунок 2

Противоположные (не имеющие общих вершин) грани прямоугольного параллелепипеда равны.

Длина, ширина, высота

Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения – длину (а), ширину (b) и высоту (c) – рисунок 3. Зная эти измерения, можно найти не только площадь каждой грани, но и площадь всей поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Рисунок 3

Так как каждая грань параллелепипеда – это прямоугольник, то для нахождения площади любой грани надо умножить длину и ширину этих граней, т.е S=ab, S=bc, S=ac.

Для нахождения площади поверхности прямоугольного параллелепипеда надо сложить площади всех граней, то есть S поверхности = ab+bc+ac+ab+bc+ac. Так как противоположные грани равны, то их площади тоже равны, значит S поверхности = 2ab+2bc+2ac. Это действие можно записать короче, вынося 2 за скобки, как общий множитель, то есть S поверхности = 2(ab+bc+ac). Таким образом, нахождение площади поверхности становится более быстрым.

Куб

Прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны, называется кубом. Поверхность куба состоит из шести равных квадратов (рисунок 4).

Рисунок 4

Для нахождения площади одной грани достаточно найти площадь квадрата по формуле S=a². Тогда для нахождения площади поверхности куба надо эту площадь умножить на 6, так как шесть равных граней у куба: S=6a²

Объем прямоугольного параллелепипеда

Рисунок 5

С понятием объема люди встречаются в повседневной жизни ежедневно. Мы наливаем воду в чайник, в ванну, другие жидкости в разные ёмкости – это всё измеряется в определенных единицах и является объемом. Наши шкафы, холодильники и другие подобные предметы – имеют объемы, так как мы их заполняем определенными вещами. На рисунке 5 показаны предметы, которые мы используем и которые имеют определенный объем.

Рассмотрим объемные геометрические фигуры. Так, например, прямоугольный параллелепипед. Рассмотрим рисунок 6, где показано, что параллелепипед состоит из нескольких одинаковых кубиков. Значит, объем данного параллелепипеда равен сумме объемов его кубиков.

Рисунок 6

За единицу измерения объема выбирают куб, ребро которого равно единичному отрезку. Такой куб называют единичным.

Объем куба с ребром 1 мм называют кубическим миллиметром и записывают 1 мм³; с ребром 1 см – кубическим сантиметром (см³) и так далее. Измерить объем фигуры – значит подсчитать, сколько единичных кубов в ней помещается. Если объем маленького кубика на рисунке 3 принять за единицу, то объем нашего прямоугольного параллелепипеда будет равен 15 кубическим единицам.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо перемножить три его измерения – длину, ширину и высоту. То есть V=abc (рисунок 4). Зная, что произведение длины и ширины – это есть площадь основания, получим, что V=(ab)h=Sh, где h – высота прямоугольного параллелепипеда. Таким образом, мы получили еще одну формулу для нахождения объема параллелепипеда.

Рисунок 7

Объем куба

Поскольку у куба все ребра равны (рисунок 7), то его объем вычисляется по формуле:

V=a³

Рисунок 8

Пирамида

Рисунок 9

Прямоугольный параллелепипед является одним из видов многогранников. Также одним из видов многогранника является пирамида, образ которой также известен нам из жизни – из истории и других источников (рисунок 9).

Поверхность пирамиды состоит из боковых граней – треугольников, которые имеют общую вершину, а в её основании могут быть различные многоугольники – треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т.д. (рисунок 10).

Рисунок 10

Таким образом, пирамиды можно классифицировать по количеству сторон основания (треугольная, четырехугольная, пятиугольная и т.д.). Если пирамида треугольная (рисунок 11), то её основанием может служить любая грань.

Рисунок 11

Даниил Романович | Просмотров: 1.1k

Источник

На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

На рисунке: основание прямоугольного параллелепипеда ABCD; боковое ребро АА1 перпендикулярно АВСD; угол BAD = 90°

Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.

Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

В прямоугольный параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.

Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед является кубом.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы прямоугольного параллелепипеда:

Объем прямоугольного параллелепипеда
V = a · b · h
a — длина, b — ширина, h — высота
Площадь боковой поверхности
Sбок = Pосн·c=2(a+b)·c
Pосн — периметр основания, с — боковое ребро
Площадь поверхности
Sп.п = 2(ab+bc+ac)

Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема

Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.

Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Доказать теорему.

Доказательство теоремы:

Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Применяем формулу:

d² = a² + b² + c²

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора

d₁² = a² + b²

ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора

d² = d₁² + c² = a² + b² + c²

d² = a² + b² + c²

Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.

Куб: определение, свойства и формулы

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.

Каждая грань куба — это квадрат.

Куб

Свойства куба:

В кубе 6 граней, каждая грань куба — квадрат.

Противолежащие грани параллельны друг другу.

Все углы куба, образованные двумя гранями, равны 90°.

У куба четыре диагонали, которые пересекаются в центре куба и делятся пополам.

Диагонали куба равны.

Диагональ куба в √3 раз больше его ребра.

Диагональ грани куба в √2 раза больше длины ребра.

Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.

Формулы куба:

Объем куба через длину ребра a
V = a3
Площадь поверхности куба
S = 6a2
Периметр куба
P = 12a

Решение задач

Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.

Для наглядного решения обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: a — длина, b — ширина, c — высота. Тогда a = 10, b = 5, c = 8.

Так как в прямоугольном параллелепипеде всего по 4 — высота, ширина и длина, и все измерения равны между собой, то:
1) 4 * 10 = 40 (см) — сумма длин параллелепипеда;
2) 4 * 5 = 20 (см) — суммарное значение ширины параллелепипеда;
3) 4 * 8 = 32 (см) — сумма высот параллелепипеда;
4) 40 + 20 + 32 = 92 (см) — сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.

Отсюда можно вывести формулу по нахождению суммы длин всех сторон ПП:
X = 4a + 4b + 4c (где X — сумма длин ребер).

Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

D₁B = √26
BB₁ = 3
A₁D₁ = 4

Нужно найти длину ребра A₁B₁.

В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°.

По теореме Пифагора:
BD₁² = DD₁² + BD²
BD² = BD₁² – DD₁²
BD² = 26 – 9 = 17
BD = √17
В треугольнике ADB угол А = 90°.
BD² = AD² + AB²
AB² = BD² — AD² = (√17)2 — 4² = 1
A₁B₁ = AB = 1.

Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

AB = 4
AD = 6
AA₁= 5
Нужно найти отрезок BD₁.

В треугольнике ADB угол A = 90°.

По теореме Пифагора:
BD² = AB²+AD²
BD² = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD₁ угол D = 90°.
BD₁² = 52 + 25 = 77
BD₁ = √77.

Самопроверка

Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.

Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

AC₁= 15
C₁D₁ = 3
B₁C₁= 12

Вычислите длину ребра AA₁.

Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:

прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию;
параллелепипед называется прямоугольным, когда его боковые ребра перпендикулярны к основанию;
основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник;
три измерения прямоугольного параллелепипеда: длина, ширина, высота;
диагональ параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.

Источник

Параллелепипед

Что за слово такое мудреное – «параллелепипед»? Что за многогранник скрывается за этим словом?

Что-то должно быть связано с параллельностью, не правда ли?

Читай статью, смотри вебинар и ты все про него будешь знать!

Параллелепипед — коротко о главном

Параллелепипед — это четырехугольная призма (многогранник с ( displaystyle 6) гранями), все грани которой — параллелограммы.

Прямой параллелепипед —это параллелепипед, у которого ( displaystyle 4) боковые грани — прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники

Куб — параллелепипед, у которого все грани квадраты.

Высота параллелепипеда – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.

Свойства параллелепипеда

Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через точку пересечения диагоналей (центр параллелепипеда), делится ею пополам.
Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой и равны сумме квадратов его измерений. ( displaystyle ^>=>+^>+^>).

Параллелепипед — подробнее

Параллелепипед – многоугольник, образованный пересечением трех пар параллельных плоскостей.

Если слишком сложно, просто посмотри на картинку.

Какую фигуру из планиметрии (геометрии с «плоскими» фигурами) напоминает параллелепипед?

Немного похоже на параллелограмм, правда? Только «потолще» и слово подлиннее.

Далее смотри на картинки, запоминай и не путай!

Высота – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.

Та грань, на которую опущена высота, называется основанием.

Свойства параллелепипеда

Всеграни параллелепипеда – параллелограммы.
Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Внимание: передняя и задняя грани параллелепипеда равны, верхняя и нижняя – тоже равны, но не равны (не обязаны быть равны) передняя и верхняя грани – потому что они не противоположные, а смежные.

Геометрические фигуры. Прямоугольный параллелепипед.

Прямоугольный параллелепипед — прямой параллелепипед с прямоугольником в основании. У прямоугольного параллелепипеда каждая из шести граней является прямоугольником.

Примерами прямоугольного параллелепипеда являются спортивный зал, коробок спичек или системный блок компьютера.

Формулы прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед с одинаковыми измерениями является кубом. Все 6 граней куба являются равными квадратами.

Обозначим длину ребра куба как n, тогда площадь 1-ой грани:

Площадь поверхности куба:

У прямоугольного параллелепипеда есть еще одно измерение – объем параллелепипеда (обозначается как V).

Прямоугольники, которые составляют поверхность параллелепипеда, являются гранями параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед определяют 3-мя измерениями:

Высота (обозначают как h) равняется длине ребра № 1.

Длина (обозначают как m) равняется длине ребра № 2.

Ширина (обозначают как n) равняется длине ребра № 3.

Площадь всей поверхности параллелепипеда обозначают как S:

В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основаниями являются прямоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны к основаниям.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
Противоположные грани попарно равны и параллельны.
Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$с$ — высота(она же боковое ребро);

$P_$ — периметр основания;

$S_$ — площадь основания;

$S_$ — площадь боковой поверхности;

$S_$ — площадь полной поверхности;

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

$S_=P_·c=2(a+b)·c$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.

Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:

$а$ — длина стороны.

$d=a√3$ – диагональ равна длине стороны, умноженной на $√3$.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Объем любой пирамиды равен трети произведения основания и высоты.

В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

$S=/$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$.
$S=/$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
Формула Герона $S=√
$, где $р$ — это полупериметр $p=/$.
$S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.
$S=/$, где $R$ — радиус описанной окружности.
Для прямоугольного треугольника $S=/$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
Для равностороннего треугольника $S=/$, где $а$ — длина стороны.

В основании лежит четырехугольник.

Прямоугольник.
$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
Ромб.
$S=/$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.
$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.
Трапеция.
$S=/$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
Квадрат.
$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $C, A_1, B_1, C_1, D_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=8, AD=12, AA_1=4$.

Изобразим прямоугольный параллелепипед и на нем отметим вершины многогранника $C, A_1, B_1, C_1, D_1$, получим в итоге четырехугольную пирамиду. В основании пирамиды лежит прямоугольник, так основание пирамиды и прямоугольного параллелепипеда совпадают.

Объем пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник

Для нашего рисунка стороны прямоугольника – это $А_1В_1$ и $A_1D_1$.

В прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра равны и параллельны, следовательно, $AB=А_1В_1=8; AD=A_1D_1=12$.

Высотой в пирамиде $CA_1B_1C_1D_1$ будет являться ребро $СС_1$, так как оно перпендикулярно основанию (из прямоугольного параллелепипеда).

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Источник

Измерения прямоугольного параллелепипеда и его свойства

Содержание:

Что такое прямоугольный параллелепипед — определение
Свойства параллелепипеда, какими обладают противолежащие грани
Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
Как найти диагональ и ширину прямоугольного параллелепипеда

Что такое прямоугольный параллелепипед — определение

Определение

Параллелепипед — это призма с шестью гранями, в основании которой лежит параллелограмм.

Согласно другому определению, это многогранник, состоящий из шести сторон-параллелограммов.

В математике в целом, и в геометрии в частности, выделяют несколько основных видов параллелепипеда:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

прямоугольный;
прямой — параллелепипед, у которого 4 боковые грани являются прямоугольниками;
наклонный — боковые грани объемной фигуры не перпендикулярны основаниям;
ромбоэдр — шестигранная призма, грани которой — это ромбы;
куб — состоит из квадратных граней.

Определение

Прямоугольный параллелепипед — это шестигранная призма, каждая из сторон которой в общем случае является прямоугольником. Также это — многогранник, в основании которого лежит прямоугольник, а боковые грани перпендикулярны основанию.

Прямоугольных параллелепипедов в окружающем человека мире множество: комната, закрытая книга, системный блок компьютера, закрытая коробка для подарка, спичечный коробок и т. д.

Параллелепипед

Источник: wikipedia.org

Прямоугольный параллелепипед, как и любой другой, состоит из:

основания;
граней — противоположных, т. е. не имеющих общего ребра, и смежных — тех, которые имеют общее ребро;
ребер — отрезков, соединяющих соседние вершины объемной шестигранной фигуры;
диагоналей — отрезков, соединяющих противоположные вершины;
диагоналей граней;
высоты — отрезка, соединяющего верхнее и нижнее основания шестигранной призмы.

В некоторых базовых задачах просят найти количество составляющих элементов шестигранной призмы. Эти числа можно запомнить: объемная фигура состоит из 8 вершин, 12 ребер и 6 граней.

Определение

Измерениями прямоугольного параллелепипеда называют его длину, ширину и высоту.

Свойства параллелепипеда, какими обладают противолежащие грани

Вне зависимости от вида параллелепипеда, все они обладают 4 свойствами:

Противолежащие грани равны друг другу и попарно параллельны.
Все 4 диагонали шестигранника пересекаются в одной точке, которой делятся пополам. Любой отрезок, проходящий через середину диагонали, и концы которого принадлежат поверхности, также делится пополам.
Фигура симметрична относительно середины диагонали.
Квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех измерений.

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми этими свойствами и несколькими специфичными, свойственными только ему.

Все стороны — прямоугольники.
Все углы, состоящие из двух граней, равны 90°.
Любую сторону можно принять за основание.
Если все ребра равны и перпендикулярны, то такой шестигранник считается кубом.

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

Определение

Объем прямоугольного параллелепипеда равен длине, умноженной на ширину и высоту.

(V=acdot bcdot h,)

где V — объем, a — длина, b — ширина, h — высота.

Примечание

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней.

(S_{бп}=2(ab+ac))

Примечание

Площадь полной поверхности равна сумме площадей боковых граней и оснований.

(S_{пп}=2(ab+bc+ac))

Как найти диагональ и ширину прямоугольного параллелепипеда

В соответствии с одним из основных свойств параллелепипеда, квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех измерений. Запишем в виде формулы:

(d^2=a^2+b^2+c^2)

Следовательно, длина диагонали равна квадратному корню из суммы трех измерений фигуры:

(sqrt{a^2+b^2+c^2})

Длина, ширина и высота, как правило, вычисляются через формулу объема:

(a=frac V{bh},;b=frac V{ah},;h=frac V{ab})

Существует и второй вариант, как возможно найти одно из измерений. Если известно смежное ему измерение и диагональ общей стороны шестигранника, то можно вычислить вторую сторону через теорему Пифагора или по свойствам диагонали.

Источник

Параллелепипед

Что за слово такое мудреное – «параллелепипед»? Что за многогранник скрывается за этим словом?

Что-то должно быть связано с параллельностью, не правда ли?

Так и есть.

Читай статью, смотри вебинар и ты все про него будешь знать!

Параллелепипед — коротко о главном

Параллелепипед — это четырехугольная призма (многогранник с ( displaystyle 6) гранями), все грани которой — параллелограммы.

Прямой параллелепипед —это параллелепипед, у которого ( displaystyle 4) боковые грани — прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники

pryamougolnyj parallelepiped osnovaniya i grani

Куб — параллелепипед, у которого все грани квадраты.

Высота параллелепипеда – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.

Свойства параллелепипеда

Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через точку пересечения диагоналей (центр параллелепипеда), делится ею пополам.
Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой и равны сумме квадратов его измерений. ( displaystyle {{d}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}).

Параллелепипед — подробнее

Параллелепипед – многоугольник, образованный пересечением трех пар параллельных плоскостей.

Если слишком сложно, просто посмотри на картинку.

Какую фигуру из планиметрии (геометрии с «плоскими» фигурами) напоминает параллелепипед?

Немного похоже на параллелограмм, правда? Только «потолще» и слово подлиннее.

Далее смотри на картинки, запоминай и не путай!

Высота – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.

Та грань, на которую опущена высота, называется основанием.

Прямой параллелепипед

Прямым называется параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Вот так:

У прямого параллелепипеда в основании – параллелограмм, а боковые грани – прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольным называется параллелепипед, у которого в основании прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Это такая обувная коробка:

У прямоугольного параллелепипеда все грани – прямоугольники.

Давай-ка теперь выведем одну интересную формулу для диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.( displaystyle {{d}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}).

Видишь, как красиво? На теорему Пифагора похоже, правда? И формула эта как раз и получается из теоремы Пифагора.

Смотри:

diagonal pryamougolnyj paralellepiped Pifagor

Куб

Куб – параллелепипед, у которого все грани квадраты.

Все ребра куба равны.

Кстати, заметь, что куб – частный вид прямоугольного параллелепипеда.

Поэтому для диагонали куба действует формула, которую мы получили для прямоугольного параллелепипеда.

( displaystyle {{d}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}+{{a}^{2}}),

То есть

( displaystyle d=asqrt{3})

Давай убедимся в пользе этой формулы.

Представь, что у тебя задача: «Диагональ куба равна ( displaystyle 5sqrt{3}). Найти полную поверхность».

Решим ее.

Бонус. Видео из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

А теперь пора закрепить знания и порешать задачки. Иначе твои знания будут не полными!

На этом вебинаре мы на примере самых простых объемных фигур (куб, параллелепипед, призма — задание №8 из ЕГЭ) научимся находить важнейшие вещи в стереометрии — расстояния и углы в пространстве.

Бери ручку, тетрадь и решай задачи вместе с Алексеем!

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи

тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
репетиторский стаж — c 2003 года;
в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

Источник