Как найти выборочное среднее число

1. выборочное среднее;
2. выборочную дисперсию;;
3. подправленную дисперсию;
4. выборочное среднее квадратичное отклонение;
5. подправленное среднее квадратичное отклонение;
6. размах выборки;
7. медиану;
8. моду;
9. квантильное отклонение;
10. коэффициент вариации;
11. коэффициент асимметрии;
12. эксцесс для выборки:

Выборка задана рядом 11, 9, 8, 7, 8, 11, 10, 9, 12, 7, 6, 11, 8, 7, 10, 9, 11, 8, 13, 8.

Решение:
Запишем выборку в виде вариационного ряда (в порядке возрастания):
6; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 10; 10; 11; 11; 11; 11; 12; 13.
Далее записываем статистическое распределение выборки в виде дискретного статистического распределения частот:

Эмпирическую функцию распределения определим по формуле

Здесь n_x – количество элементов выборки которые меньше х. Используя таблицу и учитывая что объем выборки равен n = 20, запишем эмпирическую функцию распределения:

Далее вычислим числовые характеристики статистического распределения выборки.
Выборочное среднее вычисляем по формуле

Выборочную дисперсию находим по формуле


Выборочное среднее, что фигурирует в формуле дисперсии в квадрате найдено выше. Остается все подставить в формулу

Подправленную дисперсию вычисляем согласно формулы

Выборочное среднее квадратичное отклонение вычисляем по формуле

Подправленное среднее квадратичное отклонение вычисляем как корень из подправленной дисперсии

Размах выборки вычисляем как разность между наибольшим и наименьшим значениями вариант, то есть:

Медиану находим по 2 формулам:
если число n — четное;
если число n — нечетное.
Здесь берем индексы в x_i согласно нумерации варианта в вариационном ряду.
В нашем случае n = 20, поэтому

Мода – это варианта которая в вариационном ряду случается чаще всего, то есть

Квантильное отклонение находят по формуле

где – первый квантиль, – третий квантиль.
Квантили получаем при разбивке вариационного ряда на 4 равные части.
Для заданного статистического распределения квантильное отклонения примет значение

Коэффициент вариации равный процентному отношению подправленного среднего квадратичного к выборочному среднему

Коэффициент асимметрии находим по формуле

Здесь центральный эмпирический момент 3-го порядка,

Подставляем в формулу коэффициента асимметрии

Эксцессом статистического распределения выборки называется число, которое вычисляют по формуле:

Здесь m₄ центральный эмпирический момент 4-го порядка. Находим момент

а далее эксцесс
Теперь Вы имеете все необходимые формулы чтобы найти числовые характеристики статистического распределения. Как найти моду, медиану и дисперсию должен знать каждый студент, который изучает теорию вероятностей.

Готовые решения по теории вероятностей

• Следующая статья — Построение уравнения прямой регрессии Y на X

3.1. Показатели центральной тенденции

Простейший пример такого показателя нам уже встречался – это среднее арифметическое значение. Но средней

дело не ограничивается, впрочем, обо всём по порядку:

3.1.1. Генеральная и выборочная средняя

Пусть исследуется некоторая генеральная совокупность объёма , а именно её числовая характеристика , не важно, дискретная или непрерывная.

Генеральной средней называют среднее арифметическое всех значений этой совокупности:

Если среди чисел  есть одинаковые (что

характерно для дискретного ряда), то формулу можно записать в более компактном

виде:
, где:
варианта  повторяется  раз;
варианта  –  раз;
варианта  –  раз;
…
варианта  –  раз.

Живой пример вычисления генеральной средней встретился в Примере 2, но чтобы не занудничать, я даже не буду

напоминать его содержание. Далее.

Как мы помним, обработка всей генеральной совокупности часто затруднена либо невозможна, и поэтому из неё организуют представительную выборку объема , и на основании исследования этой выборки делают вывод обо всей совокупности.

Выборочной средней называется среднее арифметическое всех значений выборки:

и при наличии одинаковых вариант формула запишется компактнее:
 – как сумма произведений вариант  на соответствующие частоты , делённая на объём совокупности .

Выборочная средняя  позволяет достаточно

точно оценить истинное значение , при этом, чем

больше выборка, тем точнее будет эта оценка.

Практику начнём с дискретного вариационного ряда и знакомого условия:

Пример 8

По результатам выборочного исследования  рабочих цеха были установлены их квалификационные разряды: 4, 5, 6, 4, 4, 2, 3, 5, 4,

4, 5, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 2, 3, 6, 5, 4, 6, 4, 3.

Это числа из Примера 4, но теперь нам требуется: вычислить выборочную среднюю, и, не отходя от станка, найти моду

и медиану.

Как решать задачу? Если нам даны первичные данные (конкретные варианты ), то их можно тупо просуммировать и разделить результат на объём

выборки:
 – средний квалификационный разряд рабочих

цеха.

Но здесь удобнее составить вариационный ряд:

и использовать «цивилизованную» формулу:

3.1.2. Мода

3. Основные показатели статистической совокупности

| Оглавление |



Выборочная средняя

Пусть для изучения
генеральной совокупности относительно
количественного признака Х извлечена
выборка объёма n.

Выборочной средней
называют среднее арифметическое значение
признака выборочной совокупности.

Если все значения
признака выборки объёмаn
различны, то
.

Если же значения
признака
имеют соответственно частоты,
то.

Замечание. Выборочная
средняя, найденная по данным одной
выборки, есть, очевидно, определённое
число. Если же извлекать другие выборки
того же объёма из той же генеральной
совокупности, то выборочная средняя
будет изменяться от выборки к выборке.
Таким образом, выборочную среднюю можно
рассматривать как случайную величину,
а, следовательно, можно говорить о
распределениях выборочной средней и о
числовых характеристиках этого
распределения (его называют выборочным),
в частности, о математическом ожидании
и дисперсии выборочного распределения.

Выборочная дисперсия

Для того, чтобы
охарактеризовать рассеяние наблюдаемых
значений количественного признака
выборки вокруг своего среднего значения
,
вводят сводную характеристику –
выборочную дисперсию.

Выборочной
дисперсией
называют среднее арифметическое
квадратов отклонения наблюдаемых
значений признака от их среднего значения.

Если все значения
признака выборки объёмаn
различны, то

.

Если значения
признака
имеют соответственно частоты,
причём,
то

.

Легко «исправить»
выборочную дисперсию так, чтобы её
математическое ожидание было равно
генеральной дисперсии. Достаточно для
этого умножить
на дробь.
Сделав это, получим исправленную
дисперсию, которую обычно обозначают
через:

.

Исправленная
дисперсия является, несмещённой оценкой
генеральной дисперсии.

Итак, в качестве
оценки генеральной дисперсии принимают
исправленную дисперсию
.

Кроме дисперсии
для характеристики рассеяния значений
признака выборочной совокупности вокруг
своего среднего значения пользуются
сводной характеристикой – средним
квадратическим отклонением.

Выборочным средним
квадратическим отклонением (стандартным)
называют квадратный корень из выборочной
дисперсии:
.

Для оценки же
среднего квадратического отклонения
генеральной совокупности используют
«исправленное» среднее квадратическое
отклонение, которое равно квадратному
корню из исправленной дисперсии:
.

Замечание. Сравнивая
формулы
и,
видим, что они отличаются лишь
знаменателями. Очевидно, при достаточно
больших значениях n
объёма выборки выборочная и исправленная
дисперсии различаются мало. На практике
пользуются исправленной дисперсией,
если примерно n<30.

Пример
1. Среди
свиноматок хозяйства было выбрано 64
свиноматки, данные по опоросам среди
которых следующие:

8; 10; 6; 10; 8; 5; 11; 7; 10;
6; 9; 7; 8; 7; 9;11; 8; 9; 10; 8; 7; 8; 11; 8; 7; 10; 8; 8; 5; 11; 8;
10; 12; 7; 5; 7; 9; 7; 10; 5; 8; 9; 7; 12; 8; 9; 6; 7; 8; 7; 11; 8;
6; 7; 9; 10.

Определим
среднее выборочное число поросят в
пометах 64
свиноматок и вычислим показатели
вариации для
этой выборки. Предварительно рассчитаем
вспомогательные
величины в табл.
1.

Таблица 1.

Подставляя найденные
величины в формулы, имеем:

Выборочная средняя
числа поросят в опоросах:

поросят;

Выборочная дисперсия
числа поросят:

.

Выборочное cреднее
квадратическое отклонение числа поросят
в опоросах:

поросят.

Исправленная
выборочная дисперсия числа поросят:

.

Исправленное
cреднее квадратическое отклонение числа
поросят в
опоросах:

поросят.

Итак, нами найдены
следующие точечные оценки по данной
выборке:

точечная оценка
среднего числа поросят в опоросах для
генеральной совокупности (то есть по
всему хозяйству): 8,25 поросят;

точечная оценка
среднего квадратического отклонения
числа поросят в генеральной совокупности:
1,86 поросят.

Соседние файлы в папке Лекции 2 семестр

• #
• #
• #
• #

Генеральная средняя

Пусть нам дана генеральная совокупность относительно случайной величины $X$. Для начала напомним следующее определение:

Пусть значения вариант $x_1, x_2,dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1, n_2,dots ,n_k$. Тогда генеральная средняя вычисляется по формуле:

Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1, x_2,dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1, n_2,dots ,n_k=1$. Получаем, что в этом случае генеральная средняя вычисляется по формуле:

Выборочная средняя

Пусть нам дана выборочная совокупность относительно случайной величины $X$. Для начала напомним следующее определение:

Пусть значения вариант $x_1, x_2,dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1, n_2,dots ,n_k$. Тогда выборочная средняя вычисляется по формуле:

Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1, x_2,dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1, n_2,dots ,n_k=1$. Получаем, что в этом случае выборочная средняя вычисляется по формуле:

!!! В случае, когда значение вариант не являются дискретными, а представляют из себя интервалы, то в формулах для вычисления генеральной или выборочной средних значений за значение $x_i$ принимается значение середины интервала, которому принадлежит $x_i.$

Примеры задач на нахождение средней выборки