Как решать пределы для чайников?
Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что «скучная теория» должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.
Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.
Примеры решений
Пример 1 |
Вычислить а) $ lim_{x to 0} frac{1}{x} $; б)$ lim_{x to infty} frac{1}{x} $ |
Решение |
а) $$ lim limits_{x to 0} frac{1}{x} = infty $$ б)$$ lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0 $$ Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ text{a)} lim limits_{x to 0} frac{1}{x} = infty text{ б)}lim limits_{x to infty} frac{1}{x} = 0 $$ |
Пример 2 |
$$ lim limits_{x to 1} frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} $$ |
Решение |
Внимание «чайникам» Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать: $$ lim limits_{x to 1} frac{x^2+2 cdot x+1}{x+1}=frac{1^2+2 cdot 1+1}{1+1} = $$ $$ = frac{4}{2}=2 $$ Как видим в итоге у нас вычислился предел, результатом стала двойка. Хорошо, когда так получается, но бывает так, что результатом становятся неопределенности. Попробуем разобраться с ними — это не так страшно как кажется |
Ответ |
$$ lim limits_{x to 1} frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} = 2 $$ |
Что делать с неопределенностью вида: $ bigg [frac{0}{0} bigg ] $
Пример 3 |
Решить $ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} $ |
Решение |
Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела. $$ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} = frac{(-1)^2-1}{-1+1}=frac{0}{0} $$ Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование: $$ lim limits_{x to -1}frac{x^2-1}{x+1} = lim limits_{x to -1}frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = $$ $$ = lim limits_{x to -1}(x-1)=-1-1=-2 $$ |
Ответ |
$$ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} = -2 $$ |
Пример 4 |
$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} $$ |
Решение |
$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{0}{0} = $$ $$ = lim limits_{x to 2}frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^2} = $$ $$ = lim limits_{x to 2}frac{x+2}{x-2} = frac{2+2}{2-2} = frac{4}{0} = infty $$ Бесконечность получилась в результате — это следует из примера 1. Когда число делится на 0 под знаком предела, то получается бесконечность. |
Ответ |
$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = infty $$ |
Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ bigg [frac{infty}{infty} bigg ] $
Пример 5 |
Вычислить $ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} $ |
Решение |
$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} = frac{infty}{infty} $ Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное — возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем… $$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} =lim limits_{x to infty} frac{x^2(1-frac{1}{x^2})}{x(1+frac{1}{x})} = $$ $$ = lim limits_{x to infty} frac{x(1-frac{1}{x^2})}{(1+frac{1}{x})} = $$ Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем: $$ = frac{infty(1-frac{1}{infty})}{(1+frac{1}{infty})} = frac{infty cdot 1}{1+0} = frac{infty}{1} = infty $$ |
Ответ |
$$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} = infty $$ |
Пример 6 |
$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} $$ |
Решение |
$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{infty}{infty} $$ Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем… $$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{infty}{infty} = $$ $$ lim limits_{x to infty}frac{x^2(1-frac{4}{x^2})}{x^2(1-frac{4}{x}+frac{4}{x^2})} = $$ $$ lim limits_{x to infty}frac{1-frac{4}{x^2}}{1-frac{4}{x}+frac{4}{x^2}} = frac{1}{1} = 1 $$ |
Ответ |
$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = 1 $$ |
Алгоритм вычисления лимитов
Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:
- Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: «ноль делить на ноль» или «бесконечность делить на бесконечность» и переходим к следующим пунктам инструкции.
- Чтобы устранить неопределенность «ноль делить на ноль» нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
- Если неопределенность «бесконечность делить на бесконечность», тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.
В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.
Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!
Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Понятие предела в математике
Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Lim — от английского limit — предел.
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Пусть есть предел:
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Еще один вид неопределенностей: 0/0
В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент: предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.
В данной публикации мы рассмотрим одно из главных понятий математического анализа – предел функции: его определение, а также различные способы решения с практическими примерами.
- Определение предела функции
-
Решение пределов
- С заданным числом
- С бесконечностью
- С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)
- С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)
Определение предела функции
Предел функции – величина, к которой стремится значение данной функции при стремлении ее аргумента к предельной для области определения точке.
Запись предела:
- предел обозначается значком lim;
- под ним добавляется, к какому значению стремится аргумент (переменная) функции. Обычно, это x, но не обязательно, например: “x→1″;
- затем справа дописывается сама функция, например:
Таким образом, финальная запись предела выглядит выглядит так (в нашем случае):
Читается как “предел функции при икс, стремящемся к единице”.
x→1 – это значит, что “икс” последовательно принимает значения, которые бесконечно приближаются к единице, но никогда с ней не совпадут (ее не достигнут).
Решение пределов
С заданным числом
Давайте решим рассмотренный выше предел. Для этого просто подставляем единицу в функцию (т.к. x→1):
Таким образом, чтобы решить предел, сперва пробуем просто подставить заданное число в функцию под ним (если икс стремится к конкретному числу).
С бесконечностью
В данному случае аргумент функции бесконечно возрастает, то есть “икс” стремится к бесконечности (∞). Например:
Если x→∞, то заданная функция стремится к минус бесконечности (-∞), т.к.:
- 3 – 1 = 2
- 3 – 10 = -7
- 3 – 100 = -97
- 3 – 1000 – 997 и т.д.
Другой более сложный пример
Для того, чтобы решить этот предел, также, просто увеличиваем значения x и смотрим на “поведение” функции при этом.
- При x = 1, y = 12 + 3 · 1 – 6 = -2
- При x = 10, y = 102 + 3 · 10 – 6 = 124
- При x = 100, y = 1002 + 3 · 100 – 6 = 10294
Таким образом при “икс”, стремящемся к бесконечности, функция x2 + 3x – 6 неограниченно растет.
С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)
В данном случае речь идет про пределы, когда функция – это дробь, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены. При этом “икс” стремится к бесконечности.
Пример: давайте вычислим предел ниже.
Решение
Выражения и в числителе, и а знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в таком случае решение будет таким:
Однако не все так просто. Чтобы решить предел нам нужно сделать следующее:
1. Находим x в старшей степени для числителя (в нашем случае – это два).
2. Аналогичным образом определяем x в старшей степени для знаменателя (тоже равняется двум).
3. Теперь делим и числитель, и знаменатель на x в старшей степени. В нашем случае в обоих случаях – во второй, но если бы они были разные, следовало бы взять наибольшую степень.
4. В получившемся результате все дроби стремятся к нулю, следовательно ответ равен 1/2.
С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)
И в числителе, и в знаменателе представлены многочлены, однако, “икс” стремится к конкретному числу, а не к бесконечности.
В данном случае условно закрываем глаза на то, что в знаменателе стоит ноль.
Пример: Найдем предел функции ниже.
Решение
1. Для начала подставим в функцию число 1, к которому стремится “икс”. Получаем неопределенность рассматриваемого нами вида.
2. Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, если они подходят, или решить квадратное уравнение.
В нашем случаем корнями выражения в числителе (2x2 – 5x + 3 = 0) являются числа 1 и 1,5. Следовательно его можно представить в виде: 2(x-1)(x-1,5).
Знаменатель (x – 1) изначально является простым.
3. Получаем вот такой видоизмененный предел:
4. Дробь можно сократить на (x – 1):
5. Остается только подставить число 1 в выражение, получившееся под пределом:
Пример 1:
Вычислить пределы числовых последовательностей:
Решение от преподавателя:
Пример 2:
Решение от преподавателя:
Пример 3:
Вычислить пределы:
Решение от преподавателя:
Пример 4:
Найти предел:
Решение от преподавателя:
Пример 5:
Вычислить пределы числовых последовательностей:
Решение от преподавателя:
Пример 6:
Вычислить предел:
при x0 = 2
Решение от преподавателя:
Пример 7:
Вычислить предел функции
Решение от преподавателя:
Пример 8:
Решение от преподавателя:
Пример 9:
Вычислить предел функции:
Решение от преподавателя:
Пример 10:
Найти пределы:
Решение от преподавателя:
Пример 11:
Вычислить предел функции
Решение от преподавателя:
Пример 12:
Вычислить предел функции:
Решение от преподавателя:
Пример 13:
Вычислить предел функции:
Решение от преподавателя:
Пример 14:
Вычислить предел:
при x0 = 3
Решение от преподавателя:
Пример 15:
Найти предел:
Решение от преподавателя:
Пример 16:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 17:
Вычислить предел функции:
Решение от преподавателя:
Пример 18:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 19:
Найти предел функции:
Решение от преподавателя:
Пример 20:
Найти предел функции:
Решение от преподавателя:
Пример 21:
Вычислить предел функции:
Решение от преподавателя:
Пример 22:
Вычислить предел:
при x0 = ∞
Решение от преподавателя:
Пример 23:
Найти производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 24:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 25:
Вычислить предел функции:
Решение от преподавателя:
Пример 26:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 27:
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
Решение от преподавателя:
Пример 28:
Найти предел функции:
Решение от преподавателя:
Пример 29:
Вычислить предел:
m = 1, n = 5
Решение от преподавателя:
Пример 30:
Найти предел:
Решение от преподавателя:
Пример 31:
Вычислить предел с помощью правила Лопиталя:
Решение от преподавателя:
Пример 32:
Найти предел:
Решение от преподавателя:
Пример 33:
Вычислить предел:
m = 1, n = 5
Решение от преподавателя:
Пример 34:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 35:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 36:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 37:
Вычислить предел:
m = 1, n = 5
Решение от преподавателя:
Пример 38:
Вычислите предел функции:
Решение от преподавателя:
Пример 39:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 40:
Найти предел:
Решение от преподавателя:
Пример 41:
Вычислить предел:
m = 1, n = 5
Решение от преподавателя:
Пример 42:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 43:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 44:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 45:
Вычислите предел:
Решение от преподавателя:
Пример 46:
Вычислите предел или покажите, что он не существует
Решение от преподавателя:
Рассмотрим подпоследовательности при n = 4kи n = 4k + 2
То есть a4k = 3, a4k+2 = 1
Две подпоследовательности стремятся к разным пределам, 3 и 1.
Следовательно, предел исходной последовательности не существует.
Ответ: предел не существует.
Пример 47:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 48:
Найти предел:
Решение от преподавателя:
Пример 49:
Вычислите предел:
Решение от преподавателя:
Пример 50:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 51:
Вычислить предел.
Решение от преподавателя:
Пример 52:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 53:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 54:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 55:
Вычислить предел.
Решение от преподавателя:
Пример 56:
Найти указанный предел:
Решение от преподавателя:
Пример 57:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 58:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 59:
Вычислить предел.
Решение от преподавателя:
Пример 60:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 61:
Найти предел:
Решение от преподавателя:
Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=3, то 3 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x — 3) .
Найдем корни первого многочлена:
x2 -2 x — 3 = 0
D=(-2)2 — 4*1(-3)=16
Найдем корни второго многочлена:
3 x2 -8 x — 3 = 0
D=(-8)2 — 4*3(-3)=100
Получаем:
Пример 62:
Вычислите предел функции, не используя правило Лопиталя:
Решение от преподавателя:
Пример 63:
Вычислить предел.
Решение от преподавателя:
Пример 64:
Найти указанный предел:
Решение от преподавателя:
Пример 65:
Вычислить предел.
Решение от преподавателя:
Пример 66:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 67:
Найти указанный предел:
Решение от преподавателя:
Пример 68:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 69:
Найти указанный предел:
Решение от преподавателя:
Пример 70:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 71:
Найти указанный предел:
Решение от преподавателя:
Пример 72:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 73:
Найти указанный предел:
Решение от преподавателя:
Пример 74:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 75:
Найти указанный предел:
Решение от преподавателя:
Пример 76:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 77:
Найти указанный предел:
Решение от преподавателя:
Пример 78:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 79:
Найти указанный предел:
Решение от преподавателя:
Пример 80:
Вычислить пределы:
Решение от преподавателя:
Пример 81:
Найти предел:
Решение от преподавателя:
Пример 82:
Вычислить пределы:
Решение от преподавателя:
Пример 83:
Найти предел:
Решение от преподавателя:
Пример 84:
Вычислить пределы:
Решение от преподавателя:
Пример 85:
Вычислить предел функции:
Решение от преподавателя:
Пример 86:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 87:
Вычислить предел функции:
Решение от преподавателя:
Пример 88:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 89:
Вычислить предел функции:
Решение от преподавателя:
Пример 90:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 91:
Вычислить предел функции:
Решение от преподавателя:
Пример 92:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 93:
Вычислить предел функции:
Решение от преподавателя:
Пример 94:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 95:
Вычислить предел функции:
Решение от преподавателя:
Пример 96:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 97:
Вычислить предел.
Решение от преподавателя:
Пример 98:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 99:
Вычислить предел.
Решение от преподавателя:
Пример 100:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 101:
Вычислить предел.
Решение от преподавателя:
Пример 102:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 103:
Вычислить предел:
Решение от преподавателя:
Пример 104:
Вычислить предел: