Как найти вычитание векторов по координатам - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Вычитание векторов

Содержание:

Как происходит вычитание векторов
Как производится вычитание векторов по координатам
Основные правила вычисления
- Правило треугольника
- Правило параллелограмма
Примеры задач на понятие разности векторов

Как происходит вычитание векторов

Определение

Вычитание векторов — это арифметическое действие в геометрии, при котором из одного вектора отнимают другой.

Чтобы вычесть (overrightarrow b) из (overrightarrow а), нужно найти такой (overrightarrow с), сложение которого с вектором (overrightarrow b) составляло бы (overrightarrow а).

Таким образом, формула разности будет выглядеть так:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

(overrightarrow а-overrightarrow b=overrightarrow а+left(-overrightarrow bright))

Если задан (overrightarrow а), то можно построить противоположный ему (-overrightarrow а), равный по длине, но противоположно направленный. Тогда происходит сведение двух противоположно направленных векторов к нулевому:

(overrightarrow а+left(-overrightarrow аright)=0)

Как производится вычитание векторов по координатам

Если необходимо произвести вычитание векторов по координатам, то следует просто вычесть соответствующие точки. То есть если из (overrightarrow а) отнимается (overrightarrow b), то из X₁ отнимаем X_2, из Y₁ Y₂ и из Z₁ Z₂.

Проиллюстрируем координатное пространство:

Вычитание векторов по координатам

Основные правила вычисления

Для того, чтобы найти значение разности векторов, можно использовать несколько способов.

Правило треугольника

Чтобы графически продемонстрировать разность, необходимо отложить от произвольной точки вектор (overrightarrow а), из его начала (overrightarrow b). Тогда вектор, начало которого совпадает с концом ( overrightarrow b), а конец — с концом (overrightarrow a), и будет искомым вектором разности (overrightarrow a;-;overrightarrow b). Проиллюстрируем это:

Правило треугольника

Правило параллелограмма

Если два неколлинеарных, то есть непараллельных вектора (overrightarrow а) и (overrightarrow b) имеют общее начало, то их разностью является вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на (overrightarrow а) и (overrightarrow b), причем начало этой диагонали совпадает с концом (overrightarrow b), а конец — с концом (overrightarrow а).

Если векторы (overrightarrow а) и (overrightarrow b) заданы в некотором промежутке:

(overrightarrow a=left(а_1;а_2right),;overrightarrow b=left(b_1;b_2right))

то, чтобы найти координаты их разности (overrightarrow a;-;overrightarrow b), необходимо от точек (overrightarrow a) отнять соответствующие точки (overrightarrow b):

(overrightarrow a;-;overrightarrow b=left(a_1;a_2right)-left(b_1;b_2right)=left(a_1-b_1;a_2-b_2right))

Проиллюстрируем правило многоугольника:

Правило параллелограмма

Примеры задач на понятие разности векторов

Задача 1

Дано

(overrightarrow a;=left(2;-1right),;overrightarrow b=left(0;2right))

Найти: (overrightarrow с=2overrightarrow a-3overrightarrow b;)

Решение

Найдем координаты (2overrightarrow a) и (3overrightarrow b). Для этого умножим каждую на два и три:

(2overrightarrow а=2timesleft(2;-1right)=left(2times2;2timesleft(-1right)right)=left(4;-2right), 3overrightarrow b=3timesleft(0;2right)=left(3times0;3times2right)=left(0;6right))

Тогда искомый вектор:

(overrightarrow с=2overrightarrow a-3overrightarrow b=left(4;-2right)-left(0;6right)=left(4-0;;-2-6right)=left(4;-8right))

Ответ: (overrightarrow с=left(4;-8right).)

Задача 2

Дано

(Аleft(1;-1;0right),;Вleft(2;3;-1right),;Сleft(0;-1;0right),;Dleft(1;0;2right))

Найти: координаты (overrightarrow{AB}-overrightarrow{CD}.)

Решение

Для начала найдем проекции (overrightarrow{AB}) и (overrightarrow{CD}).

Для этого от координат конца вектора, то есть точек B и D, нужно отнять соответствующие проекции его начала, то есть точек А и С.

(overrightarrow{AB}=left(2-1;3-left(-1right);-1-0right)=left(1;4;-1right),;overrightarrow{CD}=left(1-0;0-left(-1right);2-0right)=left(1;1;2right))

Тогда для нахождения координат разности (overrightarrow{AB}-overrightarrow{CD}), от координат первого вычтем координаты второго:

(overrightarrow{AB}-overrightarrow{CD}=left(1;4;-1right)-left(1;1;2right)=left(1-1;4-1;-1-2right)=left(0;3;-3right))

Ответ: (overrightarrow{AB}-overrightarrow{CD}=left(0;3;-3right))

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 3.00 (Голосов: 4)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Поиск по содержимому

Источник

Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, то есть отрезок, имеющий
определенную длину и определенное направление. Пусть точка А – начало вектора, а точка B – его конец, тогда вектор обозначается символом или . Вектор называется противоположным
вектору и может быть
обозначен .

Сформулируем ряд базовых определений.

Длиной
или модулем
вектора  называется
длина отрезка и обозначается . Вектор нулевой длины (его суть — точка) называется нулевым  и направления
не имеет. Вектор единичной длины, называется единичным. Единичный вектор,
направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора  .

Векторы
называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых, записывают. Коллинеарные векторы могут иметь совпадающие или
противоположные направления. Нулевой вектор считают коллинеарным любому
вектору.

Векторы
называются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют
одинаковые длины.

Три вектора в пространстве называются компланарными,
если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Если среди
трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы
компланарны.

Рассмотрим в
пространстве прямоугольную систему координат 0xyz. Выделим на осях координат 0x, 0y, 0z единичные векторы (орты) и
обозначим их через соответственно.
Выберем произвольный вектор

пространства и совместим его начало с началом
координат. Спроектируем вектор
на координатные
оси и обозначим проекции через a_x, a_y, a_z
соответственно. Тогда нетрудно показать, что

. (2.25)

Эта
формула является основной в векторном исчислении и называется разложением
вектора по ортам координатных осей. Числа a_x, a_y, a_z называются координатами вектора . Таким образом, координаты вектора являются его
проекциями на оси координат. Векторное равенство (2.25) часто записывают в
виде

. Мы будем использовать обозначение вектора в фигурных
скобках, чтобы визуально легче различать координаты вектора и координаты точки.
С использованием формулы длины отрезка, известной из школьной геометрии, можно
найти выражение для вычисления модуля вектора

:

, (2.26)

то
есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Обозначим углы между вектором
и осями
координат через α, β, γ соответственно. Косинусы этих углов называются
для вектора направляющими, и для них выполняется соотношение:Верность данного равенства можно показать с помощью
свойства проекции вектора на ось, которое будет рассмотрено в нижеследующем
пункте 4.

Пусть в трехмерном пространстве заданы векторы своими
координатами. Имеют место следующие
операции над ними: линейные (сложение, вычитание, умножение на число и
проектирование вектора на ось или другой вектор); не линейные – различные
произведения векторов (скалярное, векторное, смешанное).

1. Сложение двух векторов производится покоординатно, то
есть если

Данная
формула имеет место для произвольного конечного числа слагаемых.

Геометрически
два вектора складываются по двум правилам:

а) правило треугольника –
результирующий вектор суммы двух векторов соединяет начало первого из них с
концом второго при условии, что начало второго совпадает с концом первого
вектора; для суммы векторов –
результирующий вектор суммы соединяет начало первого из них с концом последнего
вектора-слагаемого при условии, что начало последующего слагаемого совпадает с
концом предыдущего;

б)
правило
параллелограмма (для двух
векторов) – параллелограмм строится на векторах-слагаемых как на сторонах,
приведенных к одному началу; диагональ параллелограмма исходящая из их общего начала, является суммой
векторов.

2. Вычитание двух векторов производится
покоординатно, аналогично сложению, то есть если , то

Геометрически два
вектора складываются по уже упомянутому правилу параллелограмма с учетом того, что разностью векторов
является диагональ, соединяющая концы векторов, причем результирующий вектор
направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.

Важным следствием
вычитания векторов является тот факт, что если известны координаты начала и
конца вектора, то для вычисления координат вектора необходимо из координат его конца
вычесть координаты его начала. Действительно, любой вектор пространства может быть
представлен в виде разности двух векторов, исходящих из начала координат: . Координаты векторов и совпадают с
координатами точек А и В, так как начало координат О(0;0;0). Таким образом, по правилу
вычитания векторов следует произвести вычитание координат точки А из координат точки В.

3. Умножение вектора на число λ покоординатно:.

При λ>0
– вектор сонаправлен ; λ<0 – вектор противоположно направлен ; |λ|>1 – длина вектора увеличивается в λ раз; |λ|<1 – длина вектора уменьшается в λ раз.

4. Пусть в пространстве задана
направленная прямая (ось l), вектор задан
координатами конца и начала. Обозначим проекции точек A и B на ось l
соответственно через A’ и B’.

Проекцией вектора на ось l называется длина вектора , взятая со
знаком «+», если вектор и ось l сонаправлены, и со
знаком «–», если и l противоположно направлены.

Если
в качестве оси l взять некоторый другой вектор , то получим проекцию вектора на вектор .

Рассмотрим некоторые
основные свойства проекций:

1) проекция вектора на ось l равна произведению модуля
вектора на косинус угла
между вектором и осью, то есть ;

2.) проекция вектора на ось
положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и
равна нулю, если этот угол – прямой;

3) проекция суммы нескольких
векторов на одну и ту же ось равна сумме проекций на эту ось.

Сформулируем определения и
теоремы о произведениях векторов, представляющих нелинейные операции над
векторами.

5. Скалярным произведением векторов и называется
число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между
ними, то есть

. (2.27)

Очевидно, что скалярный квадрат любого ненулевого вектора равен квадрату его длины, так как в этом случае угол , поэтому его косинус (в 2.27) равен 1.

Теорема 2.2. Необходимым и достаточным условием
перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного
произведения

Следствие. Попарные скалярные произведения единичных орт равны нулю, то есть

Теорема 2.3. Скалярное произведение двух векторов ,
заданных своими координатами, равно сумме произведений их одноименных координат, то есть

(2.28)

С помощью скалярного произведения векторов можно
вычислить угол между ними.
Если заданы два ненулевых вектора
своими координатами , то косинус угла φ между ними:

(2.29)

Отсюда
следует условие перпендикулярности ненулевых векторов
и :

(2.30)

Нахождение проекции вектора на направление,
заданное вектором , может осуществляться по формуле

(2.31)

С помощью скалярного произведения векторов находят
работу постоянной силы на
прямолинейном участке пути.

Предположим, что под действием постоянной силы материальная точка перемещается прямолинейно из
положения А в положение B. Вектор силы образует угол φ с вектором перемещения (рис. 2.14). Физика утверждает, что работа силы при перемещении
равна .

Следовательно, работа постоянной силы
при прямолинейном перемещении точки ее приложения равна скалярному произведению
вектора силы на вектор перемещения.

Пример
2.9. С
помощью скалярного произведения векторов найти угол при вершине A параллелограмма ABCD, построенного на векторах

Решение. Вычислим модули векторов и их скалярное произведение
по теореме (2.3):

Отсюда согласно формуле (2.29) получим косинус
искомого угла

Пример 2.10. Затраты сырьевых и материальных ресурсов, используемых
на производство одной тонны творога, заданы в таблице 2.2 (руб.).

Какова общая цена этих ресурсов, затрачиваемых на изготовление одной
тонны творога?

Таблица 2.2

Решение. Введем в рассмотрение два вектора: вектор затрат
ресурсов на тонну продукции и вектор цены единицы
соответствующего ресурса .

Тогда . Общая цена
ресурсов , что представляет собой скалярное произведение
векторов . Вычислим его по формуле (2.28) согласно теореме 2.3:

Таким образом, общая цена затрат на производство одной
тонны творога составляет 279 541,5 рублей

Примечание. Действия с векторами, осуществленные в примере 2.10,
можно выполнить на персональном компьютере. Для нахождения скалярного
произведения векторов в MS Excel используют функцию СУММПРОИЗВ( ), где в качестве
аргументов указываются адреса диапазонов элементов матриц, сумму произведений
которых необходимо найти. В MathCAD
скалярное произведение двух векторов выполняется при помощи соответствующего
оператора панели инструментов Matrix

Пример 2.11. Вычислить работу, произведенную силой , если точка ее приложения перемещается прямолинейно
из положения A(2;4;6) в положение A(4;2;7). Под каким углом к AB направлена сила ?

Решение. Находим вектор перемещения, вычитая из координат его конца координаты
начала

. По формуле (2.28) (единиц работы).

Угол φ между и
находим по
формуле (2.29), то есть

6. Три некомпланарных вектора , взятые в указанном порядке, образуют правую
тройку, если при наблюдении из конца третьего вектора кратчайший
поворот от первого вектора ко второму
вектору совершается против часовой стрелки, и левую,
если по часовой стрелке.

Векторным
произведением вектора на вектор называется
вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

– перпендикулярен векторам и ;

– имеет длину, равную , где φ – угол, образованный векторами
и ;

– векторы образуют правую
тройку (рис. 2.15).

Теорема 2.4. Необходимым и достаточным
условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного
произведения

Теорема 2.5. Векторное произведение векторов , заданных своими координатами, равно определителю
третьего порядка вида

(2.32)

Примечание. Определитель (2.25)
раскладывается по свойству 7 определителей

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух
векторов является пропорциональность их соответствующих координат

Следствие 2. Векторные произведения единичных орт равны

Следствие 3. Векторный квадрат любого вектора равен нулю

Геометрическая
интерпретация векторного произведения состоит в том, что длина результирующего
вектора численно равна площади S
параллелограмма, построенного на векторах–сомножителях как на сторонах,
приведенных к одному началу. Действительно, согласно определению, модуль
векторного произведения векторов равен . С другой стороны, площадь параллелограмма,
построенного на векторах и , также равна

. Следовательно,

. (2.33)

Также с помощью векторного произведения можно
определить момент силы относительно точки и линейную скорость вращения.

Пусть в точке A приложена
сила  и пусть O –
некоторая точка пространства (рис. 2.16). Из курса физики известно, что моментом
силы  относительно
точки O называется вектор , который проходит через точку O и удовлетворяет следующим условиям:

— перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O, A, B;

— его модуль численно равен произведению силы на плечо .

— образует правую тройку с векторами и .

Следовательно,
момент силы относительно
точки O представляет собой векторное произведение

. (2.34)

Линейная скорость точки М твердого тела, вращающегося с
угловой скоростью вокруг
неподвижной оси, определяется формулой Эйлера , O – некоторая неподвижная

точка оси (рис. 2.17).

Пример 2.12. С помощью
векторного произведения найти площадь треугольника ABC, построенного на векторах
, приведенных к одному началу.

Решение. Найдем векторное произведение заданных векторов по
формуле (2.32).

. Согласно формуле (2.33) модуль векторного
произведения двух неколлинеарных векторов численно равен площади
параллелограмма, построенного на данных векторах как на сторонах, приведенных к
общему началу, то есть . Тогда площадь треугольника
. Следовательно, искомая площадь равна (единиц
площади)

7. Рассмотрим произведение трех векторов , составленное следующим образом: . Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а
результирующий вектор – скалярно на третий. Такое произведение называется смешанным
произведением трех векторов
(векторно–скалярным произведением).

Теорема 2.6. Необходимым и достаточным условием компланарности
трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения

Теорема 2.7. Если три вектора заданы своими координатами, то их смешанное
произведение представляет собой определитель третьего порядка, составленный из
координат векторов- сомножителей соответственно, то есть

(2.35)

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда,
построенного на векторах как на
сторонах, приведенных к общему началу, численно равен модулю смешенного
произведения этих векторов .

Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же
векторах, равен

(2.36)

Пример 2.13. Вершинами пирамиды служат точки . Вычислить объем пирамиды.

Решение. Найдем
координаты векторов

. Вычислим смешанное произведение этих векторов:

По формуле (2.36) объем пирамиды, построенной на
векторах равен
(единиц объема)

Рассмотрим очень важный вопрос о
разложении вектора по базису. Приведем
следующие определения.

Система векторов называется
линейно зависимой, если существуют такие числа , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет
место равенство

(2.37)

Отсюда всегда можно один из линейно
зависимых векторов выразить через линейную комбинацию остальных. Действительно,
допустим для определенности, что . Тогда на это число разделим равенство (2.37), имеем:

получим выражение вектора через
остальные векторы

Линейно независимыми называют векторы, если равенство
(2.37) выполняется только тогда, когда
все

В системе векторов число линейно
независимых векторов равняется рангу матрицы, которая составлена из координат
этих векторов (смотри раздел I.5).

Базисом n – мерного
пространства E_n называют любую совокупность линейно независимых векторов n – мерного пространства.

Произвольный вектор n
– мерного пространства можно представить
в виде линейной комбинации векторов базиса

таким образом:

Числа
называются координатами
вектора в базисе
векторов .

Линейное пространство называется
конечномерным и имеет размерность n, если в этом
пространстве существует система из n линейно независимых векторов (базис) такая,
что каждое ее расширение приводит к линейной зависимости системы.

Например, в трехмерном пространстве
существует базис единичных орт  такой, что любое расширение этой системы
линейно независимых векторов, то есть каждый вектор  трехмерного
пространства, приводит к линейной зависимости векторов (является линейной
комбинацией орт ): Коэффициенты {x₁, x₂, x₃} такого разложения вектора
по ортам  являются координатами вектора  в трехмерном
пространстве.

Вопросы для самопроверки

Источник

Мы постепенно показываем вам математику за пределами школьной программы. Начинали со знакомства с векторами, теперь сделаем следующий шаг.

Напомним основные мысли:

Вектор — это абстрактное понятие, которое представляет собой организованную последовательность каких-то чисел.
В виде вектора можно представить координаты предмета в каком-то пространстве; площадь квартиры и её стоимость; цифровые данные анкеты какого-то человека и динамику цен на нефть.
Если по-простому, то векторы нужны, чтобы обрабатывать большое количество организованных чисел. Представьте, что вектор — это коробка с конфетами, только вместо конфет — числа. Каждое число стоит в своей ячейке.
Машинное обучение основано на перемножении матриц, которые, в свою очередь, можно представить как наборы векторов. Так что векторы лежат в глубине всех модных и молодёжных технологий ИИ.

С векторами можно совершать некоторые математические операции. Вот о них и поговорим.

Правильно — векторы

Математики часто говорят во множественном числе «вектора», но по словарю правильно «векторы». Это такой профессиональный жаргон, как «договора», «бухгалтера» и «сервера». Мы будем использовать «векторы», но если вы окажетесь в постковидном математическом баре, лучше говорите «вектора».

Сложение

Представим четыре вектора, которые лежат в двухмерном пространстве и пока что не связаны между собой. Нарисуем эти векторы и обозначим их буквами X, Y, Z, K.

Поскольку векторы находятся в одном пространстве, координаты каждого состоят из одинакового количества чисел. У нас пример с двухмерным пространством и два числа. Выглядеть это будет так: X = (6, 4); Y = (3, −2); Z = (−7, −5); K = (−10, 4).

Векторы X, Y, Z, K в двухмерном пространстве

Если у нас несколько векторов с одинаковым количеством чисел, то эти числа можно поэлементно складывать. Для этого мы берём первое число одного вектора, складываем его с первым числом другого вектора и так далее.

Предположим, нам нужно сложить векторы X и Y.

X = (6, 4) Y = (3, −2) X + Y = (9, 2)

Вроде просто: складываешь последовательно все координаты, результаты сложения складываешь в исходные коробочки. Так можно делать с любым количеством координат. Помните, что вектор — это необязательно стрелка в двумерном пространстве. Она может быть и в десятимерном пространстве — с точки зрения математики это неважно.

Например, вот сложение векторов с пятью координатами:

X = (6, 4, 11, 14, 99) Y = (3, -2, 10, -10, 1) X + Y = (9, 2, 21, 4, 100)

Интуитивное изображение сложения

Для интуитивного восприятия удобно использовать векторы с двумя координатами. Их удобно рисовать на координатной плоскости и таким образом смотреть на геометрию.

Например, можно на плоскости показать, как будет работать сложение двух векторов. Для этого есть два метода: метод треугольника и метод параллелограмма.

Метод треугольника: ставим векторы Х и Y в очередь друг за другом. Для этого берём вектор Х, ставим за ним вектор Y и получаем новый вектор. Новый вектор начинается в хвосте вектора Х и заканчивается на стрелке вектора Y. Этот вектор — результат сложения. Представьте, что это ребёночек двух векторов.

Сложение векторов по методу треугольника: X = (6, 4); Y = (3, −2); Х + Y = (9, 2)

Чтобы воспользоваться методом параллелограмма, нам нужно поставить векторы Х и Y в одну исходную точку. Дальше мы дублируем векторы Х и Y, формируем параллелограмм и получаем новый вектор. В новом векторе соединяем исходную точку с исходной точкой дублирующих векторов — стрелка проходит посередине параллелограмма. Длина нового вектора — это сумма векторов Х и Y.

Сложение по методу параллелограмма и треугольника даёт одинаковый результат. Поэтому выбирайте вариант, который больше подходит под задачу.

Сложение векторов по методу параллелограмма: X = (6, 4); Y = (3, -2); Х + Y = (9, 2)

Вычитание

Вычитание векторов немного сложнее. Чтобы вычесть векторы, нужно «развернуть» вычитаемый вектор и сложить его с исходным. «Развернуть» — то есть направить в обратную сторону, «перевернув» знаки координат. Получится конструкция вроде такой: Х + (−Y)

Дальше используются правила сложения. Пошагово это выглядит так:

У нас есть X = (6, 4) и Y = (3, −2).
Превращаем формулу Х − Y в формулу Х + (−Y).
Разворачиваем вектор Y. Было: Y = (3, −2). Стало: −Y = (−3, 2).
Считаем: X + (−Y) = (3, 6).

Теперь посмотрим, как выглядит вычитание векторов на графике:

Вычитание векторов по методу треугольника: X = (6, 4); −Y = (−3, 2); X + (−Y) = (3, 6)

Вычитание векторов по методу параллелограмма: X = (6, 4); −Y = (−3, 2); X + (−Y) = (3, 6)

Длина вектора

Длина вектора — это одно число, которое измеряется расстоянием от кончика до стрелки вектора. Длину вектора нельзя путать с координатами. Координаты — это несколько чисел, которые указывают на расположение стрелки вектора. По координатам можно определить только конечную точку вектора. Например, если X = (6, 2), то стрелка будет находиться в точке 6 по оси Х. Или другой пример: если Y = (6, 5), то стрелка этого вектора будет находиться в точке 5 по оси Y.

Предположим, нам известны начальные точки векторов X и Y. Пусть это будет точка 2 по оси X и точка 2 по оси Y. Так мы можем легко посчитать длину отрезков:

X = 6 − 2 = 4 Y = 5 − 2 = 3

Иногда приходится рассчитывать длину третьего вектора, который привязан к двум другим векторам. Это легко сделать с помощью теоремы Пифагора — это когда квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае катетами будут длины векторов X и Y. Вспоминаем школьную формулу и считаем:

|C|2 = 42 + 32 = 25 |C| = √25 = 5

Длина вектора считается по формуле прямоугольного треугольника. Чтобы было проще представить — перенесите векторы на систему координат

Это формула для двумерного пространства. В трёхмерном пространстве формула похожая: нужно сложить квадраты трёх координат и вычислить квадратный корень из суммы.

В пространстве с большим числом измерений формула выглядит сложнее, но по сути то же: складываем все квадраты координат и получаем квадратный корень из этой суммы.

Умножение и деление вектора на число

Умножение и деление позволяют изменить длину и направление вектора. Если мы умножим вектор Х на три, то увеличим его длину в три раза. Если умножим на минус три — увеличим длину и изменим его направление на противоположное.

Умножение вектора на число

Для деления сохраняются аналогичные правила. Делим вектор Х на три и сокращаем длину в три раза. Делим на минус три — сокращаем и разворачиваем.

Деление вектора на число

Да вроде несложно!

Пока ничего сложного. Но если углубляться, вы узнаете, что:

векторы можно умножать на векторы тремя способами в зависимости от задачи и от того, что мы понимаем под умножением;
если от векторов перейти к матрицам, то перемножение матриц имеет несколько более сложную и довольно неинтуитивную математику;
а перемножение матриц — это и есть машинное обучение.

Что дальше

В следующей статье рассмотрим линейную зависимость векторов. Чтобы не скучать — посмотрите интервью с Анастасией Никулиной. Анастасия сеньор-дата-сайентист в Росбанке и по совместительству блогер с интересной историей.

Иллюстратор

Даня Берковский

Источник

Для того, чтобы уяснить, что собой представляет разность векторов, введём понятие откладывания вектора от определённой точки и понятие суммы векторов.

Определение

Если некоторая точка A является началом вектора a, то говорят, что он является отложенным от точки A.

Теорема. От каждой точки можно отложить только один вектор, имеющий заданный модуль и направление. Докажем эту теорему.

Доказательство:

В случае, когда вектор нулевой, то теорема очевидна. Нулевые вектора в одной и той же точки совпадают между собой, т. е. являются одним и тем же вектором.

Сделаем построение. Точкой A обозначим начало вектора a, а точкой B его конец. Пусть у нас имеется некоторая точка K. Проведём через неё прямую b, которая параллельна вектору a. Отложим на данной прямой равные по своей абсолютной величине вектору a отрезки KL и KM. Из векторов, образованных этими отрезками искомым можно назвать только сонаправленный с a.

Единственность нашего вектора следует из того, что мы построили и видим.

Теорема доказана.

Определение

Суммой векторов a и b называется вектор с тем же началом, что вектор a и концом, как у вектора b. При этом вектор b должен начинаться в той же самой точке, в которой заканчивается вектор a.

Равные векторы, начинающиеся в разных точках, нередко обозначают одной и той же буквой. Иногда про подобные векторы говорят, как об одном и том же векторе, отложенном из разных мест.

Разность векторов

Определение

Разностью векторов a и b называется сумма вектора a c вектором, который противоположно направлен к вектору b.

По-другому это определение можно сформулировать следующим образом: разностью двух векторов a и b называется вектор c, который при сложении с вычитаемым b образует уменьшаемое, т. е. вектор a.

Формулами это записывается так:

b + c = a

a – b = c

Как найти разность векторов аналитическим способом

В двухмерном пространстве векторов a {x₁, y₁} и b {x₂, y₂} разность векторов можно вычислить, как показано ниже:

c {x₃, y₃} = {x₁ — x₂, y₁ — y₂}.

Вычитание векторов в 3-мерном пространстве выглядит следующим образом:

c {x₃; y₃; z₃} = {x₁ — x₂, y₂ — y₂, z₁ — z₂}.

Как найти разность векторов графическим способом

Нужно воспользоваться правилом треугольника. Последовательность действий следующая:

Постройте по координатам векторы, для которых требуется найти разность;
Совместите концы построенных векторов. Для этого нужно построить два равных заданным направленных отрезка, концы у которых будут в одной и той же точке;
Соедините начала построенных отрезков и укажите их направление. Вектор c, называемый разностью векторов, будет иметь своё начало в той же точке, где начинается вектор, именуемый уменьшаемым и заканчивается в точке начала вычитаемого. Смотрите рисунок ниже.

Есть ещё один способ графического нахождения разности векторов. Он предусматривает следующий порядок действий:

Постройте исходные направленные отрезки;
Отразите вычитаемый отрезок. Для этого постройте противоположно направленный и равный ему отрезок и затем совместите начало этого отрезка с уменьшаемым;
Постройте сумму, т. е. соедините начало первого отрезка и конец второго.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Примеры вычисления разности векторов

Примеры

Вычислить вектор c, который представляет собой разность вектора a ={1;
2} и вектора b = {4; 8}.

Решение:

Действуем по выше указанному правилу

a — b = {1 — 4; 2 — 8} = {-3; -6}

Ответ: с{-3; -6}.

Вычислить вектор c, который является разностью векторов a = {1; 2; 5} и
b = {4; 8; 1}.

Решение:

Почти всё делается, как в уже рассмотренном примере, только добавляется третья координата.

a — b = {1 — 4; 2 — 8; 5 — 1} = {-3; -6; 4}

Ответ: c {-3; -6; 4}.

На рисунке векторы

Требуется построить разности: p — n, m —
n,m — n — p и найти ту из них, которая
имеет наименьший модуль.

Решение:

Для изображения p — n проще всего воспользоваться правилом треугольника. Параллельным переносом
отрезки
следует соединить таким образом, чтобы совпали их конечные точки. Далее нужно соединить начальные точки и
определить направление. В нашем случае вектор разности берёт своё начало там же, где и вычитаемый n.

Для изображения m — n правильнее будет воспользоваться вторым графическим способом нахождения разности
векторов. Сначала построим вектор противоположный n и найдём его суммы с вектором m.

Для нахождения разности m — n — p разобьём это выражение на два действия. Возможны следующие варианты:

m — (n + p). Сначала нужно построить сумму,
затем уже вычесть её из m;
(m — n) — p. Сначала находим m — n,
осле этого от полученной разности отнимаем p;
(m— p) — n. Сначала определяем m — p, затем от
полученного результата отнимаем n.

Из вычислений выше нам известна разность m — n. Для получения решения нам нужно вычесть из неё
p.
Используя определение 3 построим разность векторов на рисунке. На нём изображён окончательный результат
и промежуточный.

Теперь нужно определить наименьший модуль. В нашем случае для этого можно лишь визуально оценить длины p — n,
m — n и m — n — p. Из построения сразу видно, что наименьшим модулем обладает вектор разности m — n —
p.

Источник

Загрузить PDF

Вектор — это математический объект, который характеризуется величиной и направлением (например, ускорение, перемещение), чем и отливается от скаляров, у которых направления нет (например, расстояние, энергия). Скаляры можно складывать, сложив их значения (например, 5 кДж работы плюс 6 кДж работы равно 11 кДж работы), а вот векторы складывать и вычитать не так просто.

1
Так как векторы имеют величину и направление, то их можно разложить на компоненты, основываясь на размерностях х, у и/или z. Они, как правило, обозначаются так же, как точки в системе координат (например, <х,у,z>). Если компоненты известны, то сложить/вычесть векторы так же просто, как сложить/вычесть координаты x, y, z.
- Обратите внимание, что векторы могут быть одномерными, двумерными или трехмерными. Таким образом, векторы могут иметь компонент «х», компоненты «х» и «у» или компоненты «х», «у», «z». Ниже рассмотрены трехмерные векторы, но процесс аналогичен для одномерных и двумерных векторов.
- Предположим, что вам даны два трехмерных вектора — вектор А и вектор B. Запишите эти векторы в векторной форме: А = <a1, b1, c1> и B = <a2, b2, c2>, где a1 и а2 — компоненты «х», b1 и b2 — компоненты «у», c1 и c2 — компоненты «z».
2
Для сложения двух векторов сложите их соответствующие компоненты. Другими словами, сложите компонент «х» первого вектора с компонентом «х» второго вектора (и так далее). В результате вы получите компоненты х, у, z результирующего вектора.
- A+B = <a1+a2,b1+b2,c1+c2>.
- Сложим векторы A и B. A = <5, 9, -10> и B = <17, -3, -2>. A + B = <5+17, 9+-3, -10+-2>, или <22, 6, -12>.
3
Для вычитания одного вектора из другого необходимо вычесть соответствующие компоненты. Как будет показано ниже, вычитание можно заменить сложением одного вектора и вектора, обратного другому. Если компоненты двух векторов известны, вычтите соответствующие компоненты одного вектора из компонентов другого.
- A-B = <a1-a2,b1-b2,c1-c2>
- Вычтем векторы A и B. A = <18, 5, 3> и B = <-10, 9, -10>. A — B = <18—10, 5-9, 3—10>, or <28, -4, 13>.
Реклама

1
Так как векторы имеют величину и направление, то у них есть начало и конец (начальная точка и конечная точка, расстояние между которыми равно значению вектора). При графическом отображении вектора он рисуется в виде стрелки, у которой наконечник — конец вектора, а противоположная точка — начало вектора.
- При графическом отображении векторов стройте все углы очень точно; в противном случае вы получите неправильный ответ.
2
Для сложения векторов нарисуйте их так, чтобы конец каждого предыдущего вектора соединялся с началом следующего вектора. Если вы складываете только два вектора, то это все, что вам нужно сделать, прежде чем найти результирующий вектор.
- Обратите внимание, что порядок соединения векторов не важен, то есть вектор А + вектор B = вектор B + вектор А.
3

Для вычитания вектора просто прибавьте обратный вектор, то есть измените направление вычитаемого вектора, а затем соедините его начало с концом другого вектора. Другими словами, чтобы вычесть вектор, поверните его на 180^o (вокруг точки начала) и сложите его с другим вектором.
4

Если вы складываете или вычитаете насколько (больше двух) векторов, то последовательно соедините их концы и начала. Порядок, в котором вы соединяете векторы, не имеет значения. Этот метод можно использовать для любого числа векторов.
5
Нарисуйте новый вектор, начиная от начала первого вектора и заканчивая концом последнего вектора (при этом число складываемых векторов не важно). Вы получите результирующий вектор, равный сумме всех складываемых векторов. Обратите внимание, что этот вектор совпадает с вектором, полученным путем сложения компонентов «х», «у», «z» всех векторов.
- Если вы нарисовали длины векторов и углы между ними очень точно, то вы можете найти значение результирующего вектора, просто измерив его длину. Кроме того, вы можете измерить угол (между результирующим вектором и другим указанным вектором или горизонтальной/вертикальной прямыми), чтобы найти направление результирующего вектора.
- Если вы нарисовали длины векторов и углы между ними очень точно, то вы можете найти значение результирующего вектора при помощи тригонометрии, а именно теоремы синусов или теоремы косинусов. Если вы складываете несколько векторов (более двух), сначала сложите два вектора, затем сложите результирующий вектор и третий вектор и так далее. Смотрите следующий раздел для получения дополнительной информации.
6
Представьте результирующий вектор, обозначив его значение и направление. Как отмечалось выше, если вы нарисовали длины складываемых векторов и углы между ними очень точно, то значение результирующего вектора равно его длине, а направление — это угол между ним и вертикальной или горизонтальной прямой. К значению вектора не забудьте приписать единицы измерения, в которых даны складываемые/вычитаемые вектора.
- Например, если вы складываете векторы скорости, измеряемые в м/с, то и к значению результирующего вектора припишите «м/с», а также укажите угол результирующего вектора в формате «^o к горизонтальной прямой».
Реклама

1
Чтобы найти значения компонентов векторов необходимо знать значения самих векторов и их направление (угол относительно горизонтальной или вертикальной прямой). Рассмотрим двумерный вектор. Сделайте его гипотенузой прямоугольного треугольника, тогда катетами (параллельными осям Х и Y) этого треугольника будут компоненты вектора. Эти компоненты можно рассматривать как соединенные два вектора, которые при сложении дают исходный вектор.
- Длины (значения) двух компонентов (компонентов «х» и «у») исходного вектора можно вычислить при помощи тригонометрии. Если «х» — это значение (модуль) исходного вектора, то компонент вектора, прилежащий к углу исходного вектора, равен xcosθ, а компонент вектора, противолежащий углу исходного вектора, равен xsinθ.
- Важно отметить направление компонентов. Если компонент направлен противоположно направлению одной из осей, то его значение будет отрицательным, например, если на двумерной плоскости координат компонент направлен влево или вниз.
- Например, дан вектор с модулем (значением) 3 и направлением 135^o (по отношению к горизонтали). Тогда компонент «х» равен 3cos 135 = -2,12, а компонент «у» равен 3sin135 = 2,12.
2
После того, как вы нашли компоненты всех складываемых векторов, просто сложите их значения и найдете значения компонентов результирующего вектора. Сначала сложите значения всех горизонтальных компонентов (то есть компонентов, параллельных оси Х). Затем сложите значения всех вертикальных компонентов (то есть компонентов, параллельных оси Y). Если значение компонента отрицательное, то оно вычитается, а не прибавляется.
- Например, сложим вектор <-2,12, 2,12> и вектор <5,78, -9>. Результирующий вектор будет таким <-2,12 + 5,78, 2,12-9> или <3,66, -6,88>.
3
Вычислите длину (значение) результирующего вектора, используя теорему Пифагора: c²=a²+b² (так как треугольник, образованный исходным вектором и его компонентами является прямоугольным). В этом случае катетами являются компоненты «х» и «у» результирующего вектора, а гипотенузой — сам результирующий вектор.
- Чтобы найти значение результирующего вектора, компоненты <3,66, -6,88> которого вы нашли в предыдущем шаге, используйте теорему Пифагора.
  - c²=(3,66)²+(-6,88)²
  - c²=13,40+47,33
  - c=√60,73 = 7,79
4
Чтобы найти направление результирующего вектора, используйте формулу θ=tan^-1(b/a), где θ — угол между вектором и горизонтальной осью, b — значение компонента «у», а — значение компонента «х».
- Найдите направление результирующего вектора из нашего примера.
  - θ=tan^-1(-6,88/3,66)
  - θ=tan^-1(-1,88)
  - θ=-61,99^o
5
Представьте результирующий вектор, обозначив его значение и направление. К значению вектора не забудьте приписать единицы измерения, в которых даны складываемые/вычитаемые вектора.
- Например, если в нашем примере вы складывали силу, измеряемую в Ньютонах, то ответ запишите так: 7,79 Н под углом -61,99^o (к горизонтальной оси).
Реклама

Советы

Не путайте векторы с их модулями (значениями).
Векторы, у которых одно направление, можно складывать или вычитать, просто сложив или отняв их значения. Если складываются два противоположно направленных вектора, то их значения вычитаются, а не складываются.
Векторы, которые представлены в виде xi + yj + zk можно сложить или вычесть, просто сложив или вычтя соответствующие коэффициенты. Ответ также запишите в виде i,j,k.
Значение вектора в трехмерном пространстве можно найти с помощью формулы a²=b²+c²+d², где a — значение вектора, b, c, и d — компоненты вектора.
Векторы-столбцы можно складывать/вычитать, сложив/вычтя соответствующие значения в каждой строке.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 183 256 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник