Как найти выделившуюся теплоту на конденсаторе

Условие задачи:

Определить количество электрической энергии, перешедшей в тепло при соединении одноименно заряженных обкладок конденсаторов электроемкостью 2 и 0,5 мкФ, заряженных до напряжений 100 и 50 В, соответственно.

Задача №6.4.57 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(C_1=2) мкФ, (C_2=0,5) мкФ, (U_1=100) В, (U_2=50) В, (Q-?)

Решение задачи:

Обратимся к закону сохранения энергии, согласно которому количество теплоты (Q) можно определить как разность начальной (W_1) и конечной (W_2) суммарной электрической энергии конденсаторов, то есть:

[Q = {W_1} – {W_2};;;;(1)]

Начальную энергию (W_1) двух заряженных конденсаторов легко определить по такой формуле (это просто сумма двух энергий заряженных конденсаторов):

[{W_1} = frac{{{C_1}U_1^2}}{2} + frac{{{C_2}U_2^2}}{2};;;;(2)]

Чтобы найти конечную энергию двух конденсаторов (W_2), нужно воспользоваться законом сохранения заряда. Пусть (q_{01}) и (q_{02}) – начальные заряды первого и второго конденсаторов соответственно, а (q_{1}) и (q_{2}) – конечные заряды. Тогда должно выполняться равенство:

[{q_{01}} + {q_{02}} = {q_1} + {q_2}]

После соединения одноименно заряженных обкладок напряжение на конденсаторах станет одинаковым и равным некоторому (U). Последнее равенство можно записать в ином виде, если заряд выразить как произведение электроемкости на напряжение:

[{C_1}{U_1} + {C_2}{U_2} = {C_1}U + {C_2}U]

[{C_1}{U_1} + {C_2}{U_2} = left( {{C_1} + {C_2}} right)U]

[U = frac{{{C_1}{U_1} + {C_2}{U_2}}}{{{C_1} + {C_2}}};;;;(3)]

Конечную энергию конденсаторов можно найти по формуле:

[{W_2} = frac{{{C_1}{U^2}}}{2} + frac{{{C_2}{U^2}}}{2}]

[{W_2} = frac{{left( {{C_1} + {C_2}} right){U^2}}}{2};;;;(4)]

Подставим (4) в (3), тогда:

[{W_2} = frac{{left( {{C_1} + {C_2}} right) cdot {{left( {{C_1}{U_1} + {C_2}{U_2}} right)}^2}}}{{2 cdot {{left( {{C_1} + {C_2}} right)}^2}}}]

[{W_2} = frac{{{{left( {{C_1}{U_1} + {C_2}{U_2}} right)}^2}}}{{2 cdot left( {{C_1} + {C_2}} right)}};;;;(5)]

Подставим теперь (2) и (5) в (1), тогда получим:

[Q = frac{{{C_1}U_1^2}}{2} + frac{{{C_2}U_2^2}}{2} – frac{{{{left( {{C_1}{U_1} + {C_2}{U_2}} right)}^2}}}{{2 cdot left( {{C_1} + {C_2}} right)}}]

В принципе задача уже решена, но хочется привести ответ к более красивому виду, поэтому приведем под общий знаменатель:

[Q = frac{{{C_1}U_1^2 cdot left( {{C_1} + {C_2}} right) + {C_2}U_2^2 cdot left( {{C_1} + {C_2}} right) – {{left( {{C_1}{U_1} + {C_2}{U_2}} right)}^2}}}{{2 cdot left( {{C_1} + {C_2}} right)}}]

Раскроем скобки в числителе:

[Q = frac{{C_1^2U_1^2 + {C_1}{C_2}U_1^2 + {C_1}{C_2}U_2^2 + C_2^2U_2^2 – C_1^2U_1^2 – 2{C_1}{C_2}{U_1}{U_2} – C_2^2U_2^2}}{{2 cdot left( {{C_1} + {C_2}} right)}}]

[Q = frac{{{C_1}{C_2}U_1^2 + {C_1}{C_2}U_2^2 – 2{C_1}{C_2}{U_1}{U_2}}}{{2 cdot left( {{C_1} + {C_2}} right)}}]

[Q = frac{{{C_1}{C_2}left( {U_1^2 – 2{U_1}{U_2} + U_2^2} right)}}{{2 cdot left( {{C_1} + {C_2}} right)}}]

[Q = frac{{{C_1}{C_2}{{left( {{U_1} – {U_2}} right)}^2}}}{{2 cdot left( {{C_1} + {C_2}} right)}}]

Смотрите какую замечательную формулу мы поучили! Пришло время посчитать ответ:

[Q = frac{{2 cdot {{10}^{ – 6}} cdot 0,5 cdot {{10}^{ – 6}} cdot {{left( {100 – 50} right)}^2}}}{{2 cdot left( {2 cdot {{10}^{ – 6}} + 0,5 cdot {{10}^{ – 6}}} right)}} = 0,0005;Дж = 0,5;мДж]

Ответ: 0,5 мДж.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.4.56 Парафиновая пластинка заполняет все пространство между обкладками плоского конденсатора
6.4.58 Три воздушных конденсатора электроемкостью 1 мкФ каждый соединены параллельно
6.4.59 Плоский конденсатор имеет в качестве изолирующего слоя пластинку из слюды толщиной

Разряд конденсатора с выделением тепла

Переходные процессы — сложная тема, сложная даже для студентов, тем более — для школьников. Помните: постоянный ток не протекает через конденсатор. Напряжение на конденсаторе определяется его подключением: если параллельно резистору — то напряжение такое же, как на резисторе, если последовательно с источником — то конденсатор зарядится до ЭДС источника, после чего ток исчезнет. Если дать конденсатору возможность разрядиться — то энергия, запасенная в нем, превратится в тепло на резисторе.

Задача 1.

Источник постоянного тока с ЭДС В и внутренним сопротивлением Ом подсоединен к параллельно соединенным резисторам Ом, Ом и конденсатору. Определите емкость конденсатора С, если энергия электрического поля конденсатора равна мкДж.

Определить емкость легко из энергии конденсатора, только надо знать напряжение:

Объединим резисторы в один:

Ток в неразветвленной части цепи равен

Напряжение на внутреннем сопротивлении тогда равно

Тогда на резисторах и конденсаторе напряжение

Емкость равна

Ответ: мкФ.

Задача 2.

Источник постоянного напряжения с ЭДС 100 В подключен через резистор к конденсатору переменной емкости, расстояние между пластинами которого можно изменять (см. рис.). Пластины медленно раздвинули. Какая работа была совершена против сил притяжения пластин, если за время движения пластин на резисторе выделилось количество теплоты 10 мкДж и заряд конденсатора изменился на 1 мкКл?

У конденсатора была энергия до того, как пластины раздвинули – пусть . И после тоже была – пусть . В процессе раздвижения пластин совершили работу (которую надо найти), и, так как заряд уменьшился (а он именно уменьшился, так как напряжение осталось тем же), то источник тоже совершил работу. Поэтому закон сохранения энергии запишется так:

Заряд на конденсаторе сначала: , потом — . Тогда изменение заряда равно

Работа источника

Тогда наш закон сохранения можно переписать:

Ответ: 60 мкДж

Задача 3.

Заряженный конденсатор мкФ включен в последовательную цепь из резистора Ом, незаряженного конденсатора мкФ и разомкнутого ключа К (см. рис.). После замыкания ключа в цепи выделяется количество теплоты  мДж. Чему равно первоначальное напряжение на конденсаторе ?

Первоначально на конденсаторе есть заряд:

После замыкания ключа заряд разделится:

Но напряжение на конденсаторах одно и то же:

Тогда

Откуда:

Энергия до замыкания, запасенная в конденсаторе , сохраняется:

Ответ:

Задача 4.

В электрической схеме, показанной на рисунке, ключ К замкнут. ЭДС батарейки В, сопротивление резистора Ом, заряд конденсатора 2 мкКл. После размыкания ключа К в результате разряда конденсатора на резисторе выделяется количество теплоты 20 мкДж. Найдите внутреннее сопротивление батарейки .

Сначала на конденсаторе напряжение такое же, как на резисторе (потому что они включены параллельно):

Определим ток. Он замыкается в контуре , потому что постоянный ток не течет через конденсатор:

Тогда напряжение на резисторе и конденсаторе:

С другой стороны, когда ключ разомкнется, вся энергия, запасенная в конденсаторе, рассеется в виде тепла через резистор:

То есть

Приравняем:

А внутреннее сопротивление равно

Ответ:

Здесь проще всего воспользоваться соотношением энергии конденсаторов до и после соединения..

Энергия первого конденсатора:

E1=C1(U1^2)/2

Энергия второго конденсатора:

E2=C2(U2^2)/2

При соединении конденсаторов разными концами напряжения складываются, а ёмкости соединяются последовательно:

U=U1+U2

C=C1C2/(C1+C2)

E=C1C2/(C1+C2)((U1+U2)^2)/2

Откуда dE=E1=(C1(U1^2)/2)+(C2(U2^2)/2)-(C1C2/(C1+C2)((U1+U2)^2)/2)

Подставляем значения в данную формулу и получим dE=6,12×10^(-3)

Эта энергия и должна выделится в виде теплоты..

Содержание книги

Предыдующая страница

§16. Превращение энергии в электрических и магнитных явлениях

16.5 Разрядка конденсатора.

Если обкладки заряженного конденсатора соединить проводником (сопротивление которого обозначим R), то заряды начнут перетекать с одной обкладки на другую, в результате чего конденсатор будет разряжаться. Направление тока в этом случае, очевидно, противоположно направлению тока при зарядке конденсатора. Так как в рассматриваемом контуре нет источника сторонних сил, то сумма напряжений на конденсаторе и резисторе равна нулю (свойство потенциальности электростатического поля)[U_C + U_R = 0]. Используя выражения для соответствующих напряжений, получим уравнение

(~frac{q}{C} + IR = 0) . (1)

выражая силу тока через изменение заряда, окончательно получим требуемое уравнение

(~R frac{Delta q}{Delta t} = -frac{1}{C}q) . (2)

Интересно, что аналогичное уравнение можно получить непосредственно и для силы тока. Для этого с помощью уравнения (1) запишем уравнение для малых изменений силы тока и заряда (~frac{Delta q}{C} + R Delta I = 0), разделив которое на малый промежуток времени, получим

(~frac{Delta I}{Delta t} = -frac{1}{RC}t) . (3)

Это уравнение полностью совпадает с уравнением (3) предыдущего раздела, описывающим изменение силы тока при зарядке конденсатора, поэтому его решение будет таким же, как показано на рис. 146. Единственное отличие заключается в начальных условиях. В данном случае значение силы тока в начальный момент времени определяется уравнением (1) и равно (~I_0 = frac{q_0}{RC}), где q₀ — начальный заряд конденсатора.

Для описания процессов преобразования энергии, умножим уравнение (1) на малое изменение заряда Δq_i и просуммируем по всему процессу разрядки конденсатора (в котором заряд уменьшается от начального значения q₀ до нуля)

(~sum_i frac{q_i}{C} Delta q_i + sum_i I_i R Delta q_i = 0) .

В полученном выражении смысл каждого слагаемого очевиден: [~sum_i frac{q_i}{C} Delta q_i = frac{1}{2C} Delta (q^2) = -frac{q^2_0}{2C}] — изменение энергии конденсатора, модуль которого равен его начальной энергии; [~sum_i I_i R Delta q_i = sum_i I^2_i R Delta t] — количество теплоты, выделившейся на резисторе.

Таким образом, энергия электрического поля, заключенная в конденсаторе, превращается в тепловую энергию. Закон сохранения энергии при этом, конечно, выполняется.

Количество выделившейся теплоты можно подсчитать аналогично, как в случае зарядки конденсатора, (только с другим значением начальной силы тока),

(~Q = sum_i (I(t_i))^2 R Delta t_i = frac{1}{2} I^2_0 R tau = frac{1}{2} left ( frac{q_0}{RC} right )^2 R cdot RC = frac{q^2_0}{RC}) ,

что в точности равно начальной энергии конденсатора.

Следующая страница