Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+
АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 (без ограничения срока действия).
ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.
Экспресс-тренинг
Подготовка к ЕГЭ-2023 по профильной математике в кратчайшие сроки!
До экзамена осталось совсем немного времени! Закрепите свои знания! Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Ваш ребенок успеет подготовиться к экзамену!
Кредиты. Дифференцированная и аннуитетная схемы платежей
Кредиты. Дифференцированная и аннуитетная схемы платежей
Здравствуйте!
Текстовые задачи с экономическим содержанием, темой которых являются банковские кредиты, сравнительно недавно появились в содержании экзамена по математике. Тем не менее, в реальных вариантах КИМ ЕГЭ они встречаются чаще других.
Для решения таких задач вам необходимо познакомиться с двумя математическими моделями, лежащими в основе наиболее распространенных схем выплат по банковским кредитам — дифференцированной и аннуитетной. Эти модели представлены на слайдах.
Рекомендуем вам перед тем, как изучать теоретический материал по теме «Банковские кредиты», повторить определения арифметической и геометрической прогрессий и формулы суммы n последовательных членов каждой из прогрессий – они вам понадобятся.
Арифметическая прогрессия
Последовательность чисел an такая, что
где d — разность арифметической прогрессии.
Сумма Sn=a1+a2+…+an n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
Sn=a1+an2⋅n=2a1+d(n−1)2⋅n.
Геометрическая прогрессия
Последовательность чисел bn такая, что
где q — знаменатель геометрической прогрессии.
Сумма Sn=b1+b2+…+bn n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
Формула бесконечной суммы при q∈(−1,1):
S=b11−q
На слайдах также представлены примеры разобранных задач. Обратите внимание на два различных подхода, которые чаще всего используются при решении задач.
Первый подход состоит в использовании готовых формул, полученных при исследовании математической модели.
Второй — в пошаговом вычислении размеров каждого из очередных платежей при выплате кредита и размеров оставшихся задолженностей.
Следите за обновлениями на сайте и подписывайтесь на наш канал в Ютьюбе и группу Вконтакте!
17. Сложные задачи прикладного характера
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи про банковский кредит: аннуитетный платеж
Аннуитетный платеж – это такая система выплат, при которой кредит выплачивается раз в год (месяц) равными платежами.
При этом каждый год (месяц) до внесения платежа банк начисляет на оставшуюся часть долга некоторый процент, то есть оставшаяся сумма долга увеличивается на это количество процентов.
Пусть, например, клиент взял (2,1) млн рублей в банке под (10%) годовых и должен погасить кредит через (2) года. Для того, чтобы понять, сколько рублей должен составлять его ежегодный платеж (x), можно составить таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Год}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после платежа}\
hline 1&2,1&2,1cdot 0,01(100+10)=1,1cdot 2,1&1,1cdot 2,1-x\
hline 2&1,1cdot2,1-x&(1,1cdot2,1-x)cdot0,01(100+10)&1,1(1,1cdot2,1-x)-x\
hline
end{array}] Т.к. в конце второго года кредит должен быть выплачен полностью, то это значит, что долг банку на конец второго года равен нулю. То есть (1,1(1,1cdot2,1-x)-x=0Leftrightarrow 1,1^2cdot2,1-x(1,1+1)=0).
Отсюда находим ежегодный платеж (x=1,21) млн рублей.
В случае с аннуитетным платежом имеет место следующая формула: [{Large{left(frac{100+r}{100}right)^ncdot A-xleft(left(frac{100+r}{100}right)^{n-1}+left(frac{100+r}{100}right)^{n-2}+dots+1right)=0}}] где (A) – сумма, взятая в кредит, (r%) – процентная ставка в банке, (x) – сумма платежа, (n) – количество лет (месяцев), на которое взят кредит.
Задание
1
#1189
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Екатерина взяла кредит в банке на сумму (680,000) рублей, которую ей не хватало для покупки квартиры. Кредит она решила взять (1) марта на (2) месяца на следующих условиях:
– (17)-ого числа каждого месяца, начиная с марта, долг увеличивается на (12,5 %) по сравнению с долгом на начало текущего месяца;
– в период с (18)-ого по (30)-ые числа Екатерина должна выплатить часть долга одним платежом, причем ежемесячные платежи одинаковы.
Сколько рублей составила переплата Екатерины по данному кредиту?
Заметим, что (dfrac{112,5}{100}=dfrac{9}{8}).
Составим таблицу (суммы будем записывать в тыс. рублей), (x) – ежемесячный платеж: [begin{array}{|l|c|c|}
hline text{Месяц} & text{Сумма долга до начисления } % &
text{Сумма долга после начисления } % text{ и платежа}
\[5pt]
hline
1 & 680 & frac{9}{8}cdot 680 — x \[5pt]
hline
2 & frac{9}{8}cdot 680 — x & frac{9}{8}left(frac{9}{8}cdot 680 — xright)-x\[5pt]
hline
end{array}]
(Rightarrow dfrac{9}{8}left(dfrac{9}{8}cdot 680 — xright)-x=0
Rightarrow
x=405) тыс. рублей.
Таким образом, переплата по кредиту составила (2x-A=130) тыс. рублей.
Ответ:
(130,000) рублей.
Задание
2
#1190
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Бизнесмен Олег в январе (2016) года взял кредит в банке под (20 %) годовых, причем выплачивать кредит он должен равными суммами в течение трех лет. Сколько рублей в итоге выплатил Олег банку, если известно, что его переплата по кредиту составила (675,500) рублей?
Пусть (A) рублей – сумма кредита, (x) рублей – ежегодный платеж. Тогда составим таблицу:
[begin{array}{|l|c|c|}
hline text{Год} & text{Сумма долга до начисления } % & text{Сумма долга после начисления } % text{ и платежа}\
hline 1 & A & 1,2A-x\
hline 2 & 1,2A-x & 1,2(1,2A-x)-x\
hline 3 & 1,2(1,2A-x)-x & 1,2(1,2(1,2A-x)-x)-x\
hline
end{array}]
Следовательно, (1,2(1,2(1,2A-x)-x)-x=0 (*)).
Всего за три года Олег выплатил банку (3x) рублей, а его переплата составила (3x-A=675,500) рублей. Отсюда (A=3x-675,500). Подставим это значение в ((*)):
(1,2^3cdot (3x-675,500)-x(1,2^2+1,2+1)=0 Rightarrow )
(x= dfrac{1,2^3cdot
675,500}{3cdot1,2^3-1,2^2-2,2}=dfrac{12^3cdot
675,500}{1,544}=756,000 Rightarrow 3x=2,268,000) рублей.
Ответ:
(2,268,000) рублей.
Задание
3
#3924
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В банке был взял кредит на некоторую сумму денег на 3 года. Кредит необходимо выплачивать равными платежами раз в год, причем известно, что каждый год перед выплатой текущая сумма долга увеличивается на четверть.
Найдите, сколько процентов от тела кредита составит переплата по такому кредиту. В случае необходимости ответ округлите до целого числа.
Так как кредит нужно выплачивать равными ежегодными платежами, то платежи аннуитетные. Пусть (x) рублей — этот ежегодный платеж, (A) рублей – сумма кредита.
Сумма долга каждый год увеличивается на четверть, то есть на (frac14). Составим таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|} hline text{Год}&text{Долг на начало года}&text{После начисления }%
&text{После платежа}\[2ex]
hline 1& A&A+frac 14A=frac 54A&frac 54A-x\[2ex]
hline 2& frac 54A-x& frac54left(frac54A-xright)&
frac54left(frac54A-xright)-x\[2ex]
hline 3&frac54left(frac54A-xright)-x&
frac54left(frac54left(frac54A-xright)-xright)&
frac54left(frac54left(frac54A-xright)-xright)-x\[2ex]
hline
end{array}] Таким образом, имеем: [frac54left(frac54left(frac54A-xright)-xright)-x=0 quadLeftrightarrowquad
x=dfrac{left(frac54right)^3}{left(frac54right)^2+frac54+1}cdot
A]
Переплата по кредиту равна (3x-A), следовательно, необходимо найти: [dfrac{3x-A}{A}cdot 100%=
left(dfrac{3cdot left(frac54right)^3}
{left(frac54right)^2+frac54+1}-1right)cdot
100%=left(dfrac{3cdot 5^3}{5^2cdot 4+5cdot
4^2+4^3}-1right)cdot 100%=dfrac{131}{244}cdot 100%sim 54%.]
Ответ:
54
Задание
4
#3976
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Банк выдает кредит сроком на 4 года под (25%) годовых. Вычислите, на сколько процентов переплата по такому кредиту превышает платеж, если гасить кредит нужно равными ежегодными выплатами.
Пусть кредит взят на сумму (A), пусть (x) – ежегодный платеж. Составим таблицу. [begin{array}{|l|c|c|c|} hline text{Год}&text{Долг на начало года}&text{После начисления }%
&text{После платежа}\
hline 1&A&1,25cdot A&1,25cdot A-x\
hline 2&1,25cdot A-x&1,25(1,25cdot A-x)&1,25(1,25cdot A-x)-x\
hline 3&1,25(1,25cdot A-x)-x&1,25(1,25(1,25cdot A-x)-x)&1,25(1,25(1,25cdot A-x)-x)-x\
hline 4&1,25(1,25(1,25cdot A-x)-&1,25(1,25(1,25(1,25cdot A-x)-&
1,25(1,25(1,25(1,25cdot A-x)-\
&-x)-x&-x)-x)&-x)-x)-x\
hline
end{array}]
Тогда имеем уравнение: [1,25(1,25(1,25(1,25cdot A-x)-x)-x)-x=0 quadLeftrightarrowquad
dfrac Ax=dfrac{1,25^3+1,25^2+1,25+1}{1,25^4}]
Переплата по кредиту равна (4x-A). Следовательно, число процентов, которое составляет переплата от платежа, равно: [dfrac{4x-A}{x}cdot 100%=left(4-dfrac Axright)cdot 100%]
Заметим, что (1,25=frac54). Тогда: [left(4-dfrac{5^3cdot 4+5^2cdot 4^2+5cdot 4^3+4^4}{5^4}right)cdot 100%=
left(4-dfrac{500+400+320+256}{625}right)cdot
100%=dfrac{1024cdot 4}{25}%=dfrac{1024cdot
4^2}{100}%=163,84%]
Значит, переплата превышает платеж на (63,84%).
Ответ:
63,84
Задание
5
#3920
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Банк “Европа” предлагает потребительский кредит на сумму (664,200) рублей под (25 %) годовых при условии, что кредит нужно выплачивать в течение четырех лет равными ежегодными платежами. Сколько рублей должен вносить клиент каждый год в счет погашения кредита, если согласится на условия банка?
Составим таблицу, обозначив за (x) рублей ежегодный платеж, (A=664,200) рублей.
[begin{array}{|l|c|c|}
hline text{Год} & text{Сумма долга до начисления }% &
text{Сумма долга после начисления }%text{ и платежа} \
hline
1 & A & 1,25A-x\
hline
2 & 1,25A-x & 1,25(1,25A-x)-x\
hline
3 & 1,25(1,25A-x)-x & 1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x \
hline
4 & 1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x & 1,25(1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x)-x\
hline
end{array}]
Таким образом, (1,25(1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x)-x=0).
Отсюда (x=dfrac{1,25^4cdot A}{(1,25^2+1)(1,25+1)}).
Заметим, что (1,25=dfrac{5}{4} Rightarrow)
(x=dfrac{5^4cdot 664,200}{4cdot 9cdot 41}).
Выполнив сокращения, получим, что (x=281,250) рублей.
Ответ:
(281,250) рублей.
Задание
6
#1192
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Василий взял кредит в банке на некоторую сумму под (12,5%) годовых. Кредит он должен выплачивать в течение четырех лет одинаковыми ежегодными платежами. Сколько рублей составлял ежегодный платеж Василия, если в итоге его переплата составила (65,240) рублей.
Составим таблицу, обозначив за (A) руб. сумму кредита, а за (x) руб. ежегодный платеж.
[begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Год} & text{Долг в руб.} & text{Долг в руб.} &
text{Долг в руб.}\
& text{до начисления} & text{после начисления} & text{после внесения} \
& text{процентов} & text{процентов} & text{платежа} \
hline
1&A &1,125A &1,125A-x \
hline
2&1,125A-x &1,125(1,125A-x) &1,125(1,125A-x)-x \
hline
3&1,125(1,125A-x)-x &1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125A- \
& &-x)-x) &-x)-x)-x\
hline
4&1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125(1,125A-x)- \
& -x)-x)-x &-x)-x)-x) &-x)-x)-x \
hline
end{array}]
Т.к. в конце четвертого года Василий погасил кредит, то
[1,125(1,125(1,125(1,125A-x)-x)-x)-x=0]
Это уравнение преобразуется в уравнение вида:
[1,125^4A-x(1,125^3+1,125^2+1,125+1)=0 (*)]
Заметим, что за четыре года Василий заплатил банку (4x) рублей, а, значит, его переплата составила (4x-A) рублей. Т.к. (4x-A=65,240), то (A=4x-65,240). Значит:
[1,125^4(4x-65,240)-x(1,125^3+1,125^2+1,125+1)=0]
Заметим также, что (1,125=dfrac{9}{8} Rightarrow)
[x=dfrac{9^4cdot 2^3cdot 5cdot
7cdot233}{9^4cdot4-8(9^3+9^2cdot8+9cdot8^2+8^3)}=65,610]
Значит, ежегодный платеж составил (65,610) рублей.
Ответ:
(65,610) рублей.
Задание
7
#1186
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Для покупки квартиры Алексею не хватало (1,209,600) рублей, поэтому в январе (2015) года он решил взять в банке кредит под (10
%) годовых на (2) года. Условия пользования кредитом таковы:
– раз в год (15) декабря банк начисляет на оставшуюся сумму долга проценты (т.е. долг увеличивается на (10%));
– в период с (16) по (31) декабря Алексей обязан перевести в банк некоторую сумму (x) рублей (сделать платеж).
Какова должна быть сумма (x), чтобы Алексей выплатил долг равными платежами?
Т.к. процентная ставка в банке равна (10 %), то (15) декабря (2015) года долг Алексея составит (110 %) от первоначальной суммы ((1,209,600) рублей), т.е. будет равен (1,1cdot 1,209,600) рублей. После этого Алексей переводит банку (x) рублей, то есть его долг уменьшается на (x) и будет равен ((1,1cdot 1,209,600 -x)) рублей.
До (15) декабря (2016) года долг Алексея остается неизменным, т.е. равен ((1,1cdot 1,209,600 -x)) рублей. (15) декабря (2016) банк снова увеличивает долг на (10 %), т.е. долг Алексея уже будет равен (1,1cdot (1,1cdot 1,209,600 -x)) рублей.
После этого Алексей снова переводит банку (x) рублей, следовательно, долг равен (1,1cdot (1,1cdot 1,209,600 -x)-x).
Т.к. в конце 2-ого года кредит должен быть выплачен, то
(1,1cdot (1,1cdot 1,209,600 -x)-x=0 Rightarrow)
(1,1^2cdot 1,209,600-1,1x-x=0 Rightarrow x=dfrac{1,1^2 cdot
1,209,600}{1,1+1}=696,960)
Удобно следить за меняющейся суммой долга, составив таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Год} &text{Сумма долга до начисления }% &text{После начисления } % &text{После платежа}\
& text{(до 15 декабря)} &text{(15 декабря)} &text{(с 16 по 31 декабря)}\
hline 1 & 1,209,600 &1,1cdot 1,209,600 &1,1cdot 1,209,600-x\
hline 2 & 1,1cdot 1,209,600-x &1,1cdot (1,1cdot 1,209,600 -x) &1,1cdot (1,1cdot 1,209,600 -x)-x\
hline
end{array}]
Ответ:
(696,960) рублей.
Задачи, затрагивающие сферу финансовой математики, к примеру, на расчет аннуитетного платежа по кредиту, с недавнего времени добавлены во вторую часть ЕГЭ.
Именно поэтому выпускники, которые готовятся к сдаче аттестационного испытания, должны в обязательном порядке уметь справляться с подобными заданиями.
Решение задач по банковскому делу по кредиту предполагает наличие у учащихся базовых навыков анализа числовых данных и осуществления практических расчетов по формулам. Если подобные задания являются для вас достаточно сложными, рекомендуем обратиться к образовательному порталу «Школково». Наши специалисты подобрали задачи на аннуитетные платежи, подобные тем, которые встречаются в аттестационном испытании. Поняв, как правильно решать такие задания, учащиеся смогут успешно справиться с экзаменом и получить достойные баллы.
Необходимо запомнить!
Когда будете решать задачи по банковскому кредиту, рекомендуем учесть несколько важных нюансов.
При аннуитетном платеже выплата долга осуществляется фиксированной суммой, которая остается единой в течение всего периода оплаты. Такой способ имеет важное преимущество. В первые месяцы пользования займом аннуитетный платеж будет меньше, чем суммарная выплата по классической схеме. При этом важно учесть, что досрочное погашение кредита в данном случае не будет выгодным.
Как подготовиться к экзамену?
Для того чтобы задачи, содержащие конкретные примеры расчета банковского кредита в ЕГЭ, давались вам легко, рекомендуем ознакомиться с базовым материалом, собранным специалистами образовательного портала «Школково». Для этого необходимо посетить раздел «Теоретическая справка».
Отработать полученные знания вам помогут задачи по данной теме, представленные на сайте. Для каждого задания наши специалисты прописали алгоритм решения и привели правильный ответ.
Изучить пример расчета аннуитетного платежа и выполнить аналогичные задачи школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн.
Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды
Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды
семья планирует взять льготный кредит на целое число миллионов рублей на 5 лет. Условия кредита следующие:
— в середине каждого года действия кредита долг возрастает на
20%
по сравнению с началом года;
— в конце первого, второго и третьего годов семья выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг равным первоначальному долгу;
— в конце четвёртого и пятого годов семья выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью.
Найди наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат будет меньше 9 млн рублей.