Как найти выполненную работу формула

2-й способ решения — без таблицы

Как обойтись без составления таблицы?

Сразу составить уравнение.

Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять.

Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.

Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго.

А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давай проверим, есть ли аналогия.

Во-первых, сравним формулы:

Движение	Работа
( displaystyle v=frac{S}{t})	( displaystyle P=frac{A}{t})
Скорость движения	Скорость выполнения работы, т.е. производительность
Пройденный путь	Выполненная работа
Потраченное на движение время	Потраченное на работу время

Теперь рассмотрим задачу:

Пример №1

Расстояние ( displaystyle 112) км первый велосипедист проезжает на ( displaystyle 2) часа дольше, чем второй.

Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?

Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).

Пусть скорость первого ( displaystyle x), тогда второго ( displaystyle x+1). Сколько времени едет первый? ( displaystyle frac{112}{x}). Сколько времени едет второй? ( displaystyle frac{112}{x+1}). На сколько время первого больше, чем второго? На ( displaystyle 2) часа:

( displaystyle frac{112}{x}=frac{112}{x+1}+2).

То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.

Как решать задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

Пример №2

Первая труба заполняет бассейн за ( displaystyle 6) часов, а вторая – за ( displaystyle 4).

За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?

Решение

Во-первых, давай придумаем аналогию с движением.

Придумал?

Бассейн – это путь. Допустим, из ( displaystyle A) в ( displaystyle B). Итак, первый автомобиль проезжает путь ( displaystyle AB) за ( displaystyle 6) часов, второй – за ( displaystyle 4).

А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь, двигаясь вместе? Бред.

Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу!

Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.

Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.

Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время: ( displaystyle {{P}_{1}}=frac{A}{{{t}_{1}}}=frac{A}{6}). А второго? ( displaystyle {{P}_{2}}=frac{A}{{{t}_{2}}}=frac{A}{4}).

Итак,

( displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}=frac{A}{6}+frac{A}{4}=frac{5A}{12}).

Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа ( A):

( displaystyle t=frac{A}{P}=frac{A}{frac{5A}{12}}=frac{12}{5}=2,4) (ч)

Итак, правило:

При совместной работе производительности складываются

А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.

Пример 8

На изготовление ( displaystyle 600) деталей первый рабочий тратит на ( displaystyle 10) часов меньше, чем второй рабочий на изготовление ( displaystyle 500) таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в ( displaystyle 1000) деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на ( displaystyle 5) деталей больше?

Решение:

Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят ( displaystyle 1000) деталей, то есть: ( displaystyle frac{1000}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}).

Значит, нужно найти ( displaystyle {{P}_{1}}) и ( displaystyle {{P}_{2}}).

Первый рабочий за час делает на ( displaystyle 5) деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго – ( displaystyle x-5).

( displaystyle 600) деталей первый рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{1}}) часов, а ( displaystyle 500) таких же деталей второй рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10) часов.

То есть: ( displaystyle {{t}_{1}}=frac{600}{x}, a {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10=frac{500}{x-5}).

Приравняв ( displaystyle {{t}_{1}}), получаем уравнение:

Цели:

• сформировать представление о величине
  «производительность», выявить зависимость между
  величинами: объем выполненной работы (А),
  производительность (V) и время (t), построить
  формулу работы А = V * t, V = A : t, t = A : V.
• повторить и закрепить решение примеров на
  порядок действий, соотношение между единицами
  дины, времени, массы.

ХОД УРОКА

I.

– Кто из Вас знает, кем работают ваши родители и
на каком предприятии они трудятся?
– А кто из Вас знает пословицы о труде?

• Работа силушку копит, а лень ее топит.
• Под лежачий камень вода не течет.
• Трудолюбив, как муравей.
• Не спеши языком, торопись делом.
• Кто мало говорит, тот много делает.
• Без труда не вытащишь рыбку из пруда.
• Рабочие руки не знают скуки.
• Дело мастера боится.
• Всякое умение трудом дается.
• Без труда нет добра.
• Без труда день годом станет.
• Горька работа, да сладок мед.

II. Актуализация знаний

(На доске таблица и формулы. Дети придумывают
задачи и решают устно)

– Найдите среди формул те, которые показывают,
как найти неизвестные значения пути, скорости и
времени. (Формулы выставляются на доске и
комментируются)
– А зачем вообще нужны формулы? (Показывают,
как решать похожие между собой задачи).
– Подберите формулы для решения первой задачи.
(S = V * t)
– Придумайте по этой формуле задачу, аналогичную
первой задачи.
– Запишите формулу, подходящую к задаче: «Один
всадник проскакал 70 км за 2 ч, а второй – 90 км за 3
ч. Какой из них скакал быстрее?» (V = S: t)
– Решите эту задачу, пользуясь формулой.
(1. 70 : 2 = 35 (км/ч) – скорость первого всадника.
2. 90 : 3 = 30 (км/ч) – скорость второго всадника.
3. 35 км/ч > 30 км/ч => 1 всадник скакал быстрее)

III. Постановка проблемы

– Подберите формулу к задаче: «Один мастер
сделал 2 детали за 4 часа, а  второй – 21 деталь
за 3 часа. Кто из них работал быстрее?» (Подходящей
формулы среди данных нет)
– Сформулируйте цель урока –
установить, какие величины описывают процесс
выполнения работы, и установить взаимосвязь
между ними.
– Тема урока – Формула работы.

IV. «Открытие» детьми нового знания.

– О каких величинах идет речь в последней
задаче – о площади, объеме, пройденном пути? (Нет.
В задаче говориться о количестве деталей,
сделанных рабочими, о скорости и времени их
работы).
– Как найти скорость работы мастеров? (Надо
количество сделанных деталей разделить на время
работы).
– Скорость работы называют производительностью
и обозначают (V), всю выполненную работу – А, время
работы – t.
– Попробуйте установить взаимосвязь между этими
величинами. (А = V * t, V = A : t, t = A : V)
– Теперь, зная формулу работы, давайте решим
задачу.

V = A : t
1. 24 : 4 = 6 (дет./ч) – производительность первого
мастера.
2. 21 : 3 = 7 (дет./ч) – производительность второго
мастера.
3. Второй мастер работал быстрее.

Практическая работа на производительность

– Решите устно в течение 2 минут следующие
уравнения.

9 + х =
12                              
х – 27 =
8                    5
* х = 25
8 * х =
480                            
52 : х =
13                   420
: х = 7
40 – х =
12                            
х : 19 =
4                     800
+ х = 823
90 : х =
5                               
34 – х =
17                  х
– 36 = 15
х * 50 = 250   
           
           18 + х =
110               х
– 25 = 118

– Давайте проверим количество правильных
ответов и вычислим производительность каждого
из вас.
– Как это сделать? (Количество верных ответов
разделить на 2).
– А какая у вас производительность за урок? (То
что получилось умножить на 45 минут).

Закрепление понятия «производительность»

• С. 44, №1

V. Первичное закрепление

• С.44, №2
• С. 44, №3
• С.44, №4 (а)

VI. Самостоятельная работа с самопроверкой
по эталону

• С.44, №4 (б).

VII. Закрепление пройденного

• С.45, №10 (а)

VIII. Итог

– Что сегодня на уроке было самым интересным?
– Что сегодня на уроке было главным?
– Где нам могут пригодиться эти знания?
– Какую поговорку выберем своим девизом?

IX. Домашнее задание

• С.44, №5 и №7

Приложение 1

Calculate Work Done in a Given Time will help you to find how much work is finished in a given amount of time. If a person or group of members can complete the work in ‘y’ days, then the person or group of members can complete the work in one day is equal to (frac{1}{y}). In this article, we are going to discuss the Work Done formula in a given time, calculation process, and sample problems along with explanations.

Do Refer:

• Calculate Time to Complete a Work
• Problems on Calculating Time

The basic formula for work done in a given time is equal to the product of time and rate of work. That is

Work Done (W) = Time(T) x Rate of Work (R).

The work done per day is called the rate of work. Work done is denoted by ‘W’, Time is denoted by ‘T’ and the rate of work is denoted by ‘R’. Work done is directly proportional to the Time and Rate of work. If the time taken by the person is increased, then the work done by the person will also increase.

How to Calculate Work Done in a Given Time?

Follow the below steps to easily find out the solution for the given problems. They are

1. Note down the given information first (that is work done by one person)
2. Find the 1-day work by each person.
3. As per the equations, Calculate the total work done by all the members.

Solved Examples on Calculating Work Done in a Given Time

Different types of Time and Work problems are available with the solution below. Follow the problems and learn the work done in a given time concept.

Example 1.

Andrew can complete the work in 10 days, Ria alone can complete the work in 20 days. Find in how many days the work is completed by working together?

Solution:

As per the given details, Andrew can take time to complete the work = x = 10 days.
Andrew can complete the work in one day = (frac{1}{x}) = (frac{1}{10}).
Ria can take time to complete the work = y = 20 days.
Ria can complete the work in one day = (frac{1}{y}) = (frac{1}{20}).
Andrew and Ria both can complete the work in one day = (frac{1}{x}) + (frac{1}{y}).
Substitute the values in the above equation. Then we will get (frac{x + y}{xy})
=(frac{1}{10})) + (frac{1}{20}).
= (frac{2 + 1}{20}).
= (frac{3}{20}).
Andrew and Ria both can complete the total work = (frac{xy}{x+y}).
= (frac{20}{3}).

Therefore, the work is done by Andrew and Ria together in 6.67 days.

Example 2.

John can finish the work in 12 days and Mia can finish the same work in 15 days. John and Mia work together for 3 days after that Mia stops the work. So, In how many days Mia can complete the work?

Solution:

As per the given information, John can complete the work in 12 days. That is a = 12 days.
John can complete the work in one day = (frac{1}{a}) = (frac{1}{12})th part of the work.
Mia can finish the work in 15 days. That is b = 15 days.
Mia can complete the work in one day = (frac{1}{b}) = (frac{1}{15})th part of the work.
John and Mia working together for 3 days = (frac{1}{a}) + (frac{1}{b}).
Substitute the values in the above equation. Then we will get (frac{1}{12}) + (frac{1}{15}).
= (frac{5+4}{60}).
= (frac{9}{60}).
= (frac{9}{20}).
Remaining work = 1- 9/20 = (frac{20 – 9}{20})= (frac{11}{20}).
It is done by Mia.
As per the details, complete work is done by Mia in 15 days.
So, (frac{11}{20}) of the work is done by Mia in 11/20× 15 = (frac{33}{4}) days.

Therefore, Mia can complete the remaining work in (frac{33}{4})days.

Example 3.

A can do (frac{1}{4})th of the work in 20 days. B can complete the (frac{2}{5})th of the work in 15 days. If A and B are working together, in how many days the work will be completed?

Solution:

As per the given details, A Can finish the (frac{1}{4}) of the work in 20 days.
So, A can complete the total work in 20 × 4/1= 80 days.
Therefore, A can do the work in 1 day = (frac{1}{80}).
B can complete the (frac{2}{5}) of the work in 15 days.
So, B can complete the total work in 15 × (frac{5}{2})= (frac{75}{2}) days.
Therefore, B can do the work in 1 day = 2/75. ((frac{2}{75})).
A and B together can complete the work in one day = (frac{1}{80}) + (frac{2}{75}).
The L.C.M of 80 and 75 is 1200. So,
= (frac{15+16}{1200}).
= (frac{31}{1200}).
A and B can complete the total work = (frac{1200}{31}).

Therefore, A and B can complete the total work in (frac{1200}{31}) days.

Example 4.

William can make 1 toy in 10 hours and Warner can make 1 toy in 15 hours. If William and Warner working together, then how much time they will take to make 25 toys and also find the work done in 50 hours?

Solution:

As per the given information, William can make 1 toy in 10 hours.
So, Williams 1 hour work is equal to =(frac{1}{10}).
Warner can make 1 toy in 15 hours.
So, Warner 1 hour work is equal to = (frac{1}{15}).
If William and Warner working together, then the 1 hour work is equal to = (frac{1}{10}) + (frac{1}{15}).
(frac{3+2}{30}).
(frac{5}{30}).
(frac{1}{6}).
So, By working with William and Warner together, 1 toy is prepared in 6 hours.
25 toys are prepared by working together = 25 × 6 = 150 hours.
William and Warner can prepare 1 toy in 6 hours.
If William and warner together work 50 hours, then they can prepare (frac{50}{6}) toys. = (frac{25}{3}) toys.

Therefore, William and Warner can make (frac{25}{3}) toys in 50 hours.

Example 5.

David appoints three members to work on his site. They are A, B, and C, they can take 10 days, 20 days, and 30 days of time to complete the work. In how many days work is completed if they work together?

Solution:

As per the information, A can take 10 days of time to complete the work. That is a = 10 days.
A’s one day work is = (frac{1}{a}) = (frac{1}{10}).
B can take 20 days of time to complete the work. That is b = 20 days.
B’s one day work is = (frac{1}{b}) = (frac{1}{20}).
C can take 30 days of time to complete the work. That is c = 30 days.
C’s one day work is = (frac{1}{c}) = (frac{1}{30}).
If A, B, and C work together, then one day work is = (frac{1}{a}) + (frac{1}{b}) + (frac{1}{c}).
= (frac{1}{10}) + (frac{1}{20}) + (frac{1}{30}).
= (frac{6+3+2}{60}).
= (frac{11}{60}).
So, one day work by A, B, and C is equal to (frac{11}{60}).

Total work is done by A, B, and C is (frac{60}{11}).

гречиху фасуют два дозатора. В один дозатор засыпают (200) кг гречихи, и он расфасовывает крупу в пакеты за (20) мин. В другой засыпают (330) кг, и он расфасовывает крупу за (30) мин. Какой из дозаторов работает быстрее?

Сначала найдём, скорость каждого дозатора.

Эту задачу можно представить в виде таблицы:

Значит, работает быстрее второй дозатор.

ВИДЕОУРОК

Что такое сила ?

Сила – это
физическое явление, способное изменить форму материальных тел, вызывать их
движение, менять направление и скорость движения этих тел или приводить тело в
состояние покоя.

ПРИМЕР:

Ребята слепили снеговика, а хулиганы его разрушили. Получается, что
хулиганы приложили к снеговику свою силу, тем самым вызвали изменение формы
снеговика.

На дворе стояла тележка. Прохожий случайно задел её, и тележка сдвинулась
с места. Получается, что прохожий применил силу к тележке и вызвал её движение.

Далее тот же прохожий остановил тележку, чтобы она далеко не уехала.
Получается, что прохожий применил силу, тем самым привёл тележку в состояние
покоя.

Сила является физической
величиной – мерой воздействия на тело других тел. Сила обозначается буквой  F.

Что такое работа ?

Работа – это количественная
мера действия силы на тело. Работа зависит от количества силы, приложенной на
тело и от направления этой силы, а так же от перемещения данного тела.

ПРИМЕР:

Если мы попробуем сдвинуть шкаф с места, и он сдвинется, то можно
сказать, что мы совершили работу, поскольку сила, которую мы приложили, привела
к тому, что шкаф совершил перемещение на некоторое расстояние.

Если же мы, к примеру, попробуем толкнуть стену, то стена с места не
сдвинется, а значит и работа не будет совершена, поскольку сила была приложена,
но эта сила не вызвала никакого перемещения стены.

Работа обозначается заглавной
латинской буквой  А.

Совместная работа возникает,
когда несколько человек (бригад, насосов и так далее) выполняют одну и ту же
работу вместе, причём работают с разными скоростями.

В таких задачах всегда
присутствуют одни и те же величины, их три:

Первая величина – это время, за которое выполняется та или иная работа. Обозначают время буквой  t.

Вторая величина – объём работы, то есть, сколько сделано деталей, налито воды, вспахано полей и так
далее. Обозначают объём работы буквой  А.

Третья величина – производительность. По сути это скорость работы.

Скорость любой работы, то есть
производительность, можно определить, как объём работы, сделанной за какое-то
время.

Производительностью
называют работу, выполненную за единицу времени.

Под единицей
подразумевается  1 час, 1 мин, 1 сек.

Обозначают производительность
буквой  П.

Если известны работа и время
работы, то можно найти производительность.

Чтобы найти
производительность, надо выполненную работу разделить на время работы.

Формула для производительности:

П = А
: t.

ПРИМЕР:

Два пекаря пекли булочки. Первый пекарь испёк  40 булочек за  10 мин, а второй 
15 булочек за  5 мин. Как узнать, кто из пекарей работал быстрее, первый или второй ?

РЕШЕНИЕ:

Работал быстрее тот, кто за одну минуту выпекает больше булочек. Говорят,
что у него производительность больше. Зная правило или формулу нахождения
производительности, можно определить, сколько булочек приходится на одну
минуту.

Найдём производительность первого пекаря. Разделим работу, которую он
выполнил, на время, которое он на неё потратил. Выполненная работа это
количество испечённых им булочек, то есть 
40, а время – 10 мин.

40 : 10 = 4 булочки в минуту.

Аналогично найдём производительность второго пекаря. Разделим   15 на  5:

15 : 5 = 3 булочки в минуту.

Первый пекарь в минуту выпекает больше булочек, чем второй, значит его
производительность выше. Отсюда делаем вывод, что работает он быстрее второго пекаря.

Также можно воспользоваться формулой нахождения производительности. В
этом случае решение принимает следующий вид:

П_{первого пекаря} = А
: t = 40 : 10 = 4 бул./мин.

П_{второго пекаря} = А
: t = 15 : 5 = 3 бул./мин.

ЗАДАЧА:

Принтер напечатал  350
страниц за  5 часов. С какой производительностью он работал ?

РЕШЕНИЕ:

Если в течении  5
часов принтер напечатал  350 страниц, то в течении часа он напечатал  350
: 5. То есть работал с
производительностью  70 страниц в час:

350 : 5 = 70 стр./час.

Также, решение можно записать с
помощью формулы нахождения производительности:

П = А : t = 350 : 5
= 70 стр./час.

ЗАДАЧА:

Папа выполняет всю работу за  4 час, а его сын – за 
7 час. Какую часть
работы они сделают вместе за  1 час ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть вся работа равна  1. Тогда производительность папы:

1 :  4 = ¹/₄,

а производительность сына:

1 :  7 = ¹/₇.

Производительность общая:

¹/₄ + ¹/₇ = ⁷/₂₈ + ⁴/₂₈ = ¹¹/₂₈.

Иногда слово <<производительность>>
может быть заменена на слово <<скорость>>, <<эффективность>>,
<<продуктивность>>, <<плодотворность>>.

ЗАДАЧА:

Пете нужно за  2 дня прочитать книгу, в которой  100 страниц. В первый день он читал  4 часа со скоростью 
12 страниц в час. С
какой скоростью ему надо читать оставшуюся часть книги, если у него есть на
это  4 часа ?

РЕШЕНИЕ:

Узнаем, сколько страниц Петя прочитал в первый день. Он читал  12 страниц в час. Чтению в первый день он посвятил  4 часа, поэтому для нахождения количества прочитанных страниц в первый
день, нужно  12  умножить
на  4.

12 ∙ 4 = 48 страниц прочитал в
первый день.

Узнаем, сколько страниц осталось почитать. Вычтем из общего количества
страниц (100) количество прочитанных страниц (48).

100 – 48 = 52 (стр.).

Осталось прочесть  52 страницы. Теперь найдём такую производительность,
при которой Петя сможет прочитать  52 страницы за  4 часа. Раскидаем 
52 страницы на  4 часа поровну:

52 : 4 = 13 страниц в час.

Если известны производительность и время работы, то можно найти выполненную
работу.

Выполненная работа равна производительности умноженной
на время работы.

Формула для работы:

А = П∙ t.

ПРИМЕР:

Если производительность пекаря
составляет  50 булочек в час, и он
проработал  4 час, то можно найти всю
выполненную работу за эти четыре часа. Для этого производительность (50 бул./час) нужно умножить на время его работы (4 час):

50 ∙ 4 = 200 булочек.

ЗАДАЧА:

Принтер работает с
производительностью  70 стр./час. Сколько страниц он напечатает за  5 часов ?

РЕШЕНИЕ:

Если в час принтер
печатает  70
страниц, то за  5 часов он напечатает в 
5
раз больше:

70 ∙ 5 = 350 страниц.

Также, решение можно записать с
помощью формулы нахождения работы. В данном случае, количество напечатанных
страниц является выполненной работой:

А = П ∙ t = 70 ∙ 5
= 350 страниц.

ЗАДАЧА:

Через первую трубу бассейн можно заполнить за  20
часов, а через вторую за  30 часов. Какая часть бассейна заполнится через обе трубы
за  1
час ?

РЕШЕНИЕ:

Работа в данном случае это заполнение бассейна. Обозначим
эту работу через единицу:

А = 1.

Производительность заполнения бассейна через
первую трубу будет выражаться дробью  ¹/₂₀, через вторую трубу –
дробью  ¹/₃₀. Совместная
производительность будет выражаться дробью  ¹/₁₂.

Производительность по
определению есть работа, выполненная за единицу времени. Значит, дробь  ¹/₁₂  является ответом к задаче, поскольку нас
интересовало, какая часть бассейна заполнится через обе трубы за один час. Это
можно проверить, воспользовавшись формулой нахождения работы. Переменная  П  у нас имеет значение  ¹/₁₂, а переменная  t  равна единице (одному часу). Формула
нахождения работы позволит нам определить, какая часть работы будет выполнена
за один час:

ЗАДАЧА:

На прокладку траншеи требуется затратить  10
час. Экскаватор проработал  8 час, после чего ему осталось пройти  50
м. Найдите общую длину траншеи.

РЕШЕНИЕ:

В задаче подразумевается, что экскаватор работал с
одинаковой производительностью на протяжении всей работы. На работу требовалось
затратить  10 час. Проработано было 
8
час. Значит, осталось ещё  2 час. На  2 часа приходится оставшиеся  50
м  траншеи. Если разделить  50
м  на 
2,
то можно определить, сколько метров экскаватор прокладывает за один час.

50 : 2 = 25 м/час.

В час экскаватор прокладывал  25
м. Работал он  10 час. Умножим  25 на  10, мы определим общую длину траншеи.

25 ∙ 10 = 250 м.

Если известны работа и производительность, то можно найти время работы.

Время работы равно отношению выполненной работы к
производительности.

Формула для нахождения времени:

t = А : П.

ПРИМЕР:

Если в неделю бригада
отстраивает  2 этажа, то можно узнать, сколько недель потребуется для
отстройки  8 этажей. Чтобы определить время отстройки восьми этажей,
нужно выполненную работу (8 этажей) разделить на производительность (2 эт./нед.).

8 : 2 = 4 нед.

Если за неделю строится 
2
этажа, то  8 этажей будет отстроено за четыре недели. В данном случае
вся работа была равна восьми. Производительность была равна двум, поскольку по
определению производительность есть работа, выполненная за единицу времени – в
нашем случае два этажа за неделю.

ЗАДАЧА:

Принтер работал с
производительностью  70 страниц в час и напечатал  350
страниц. Определите время работы принтера.

РЕШЕНИЕ:

Выражение <<принтер
работал с производительностью  70 страниц в час>> означает, что в каждом часе
принтер печатал по  70 страниц. И это продолжалось до тех пор, пока он не
напечатал  350 страниц. Очевидно, что разделив  350
страниц по  70, мы определим время работы принтера, то есть узнаем,
сколько часов он работал.

350 : 70 = 5 час.

Также, решение можно записать с
помощью формулы нахождения времени:

t = А : П
= 350 : 70 = 5 час

ЗАДАЧА:

Если  12 рабочих выполняют определённую работу за  3 дня, то за сколько дней эту же работу выполнят  4 рабочих, работая с одинаковой производительностью ?

РЕШЕНИЕ:

Так как в задаче говорится о работе 
12 человек, то это
задача на совместную работу. Так как объём работы не известен, то примем его
за  1.

Пусть  х частей работы в день – это производительность  1 рабочего. Совместная работа равна сумме
производительностей каждого из рабочих. Так как рабочих  12  и у них одинаковая
производительность, то:

П₁₂ = 12П₁ = 12х.

Воспользуемся формулой совместной производительности, согласно которой:

П = А : t.

Так как  12 рабочих выполнят работу за  3 дня, то:

t₁₂ = 3 дня.

Подставим все значения в формулу:

12х = ¹/₃

Найдём  х:

х = ¹/₃₆ – частей работы в день.

Итак, производительность  1-го
рабочего  ¹/₃₆ частей работы в
день. Найдём время выполнения работы, когда работает  4 рабочих. Воспользуемся формулой времени:

t₄ = А : П₄.

Найдём производительность  4-х рабочих:

П₄ = 4П₁ = 4х = 4 ∙ ¹/₃₆ = ¹/₉.

Тогда:

t₄ = А : П₄ = 1 : ¹/₉ = 9 (дней).

ЗАДАЧА:

Одна труба может наполнить бассейн за четыре часа. Вторая – за шесть
часов. За какое время заполнится бассейн, если обе трубы включить одновременно ?

РЕШЕНИЕ:

Так как трубы работают вместе, складывают их производительности.

Для первой трубы, которая заполняет бассейн за  4 час:

П = А : t = 1 : 4 = ¹/₄ – за час
заполнит первая труба.

Для второй трубы, которая заполняет бассейн за  6 час:

П = А : t = 1 : 6 = ¹/₆ – за час
заполнит вторая труба.

Вместе, при совместной работе, трубы заполнят за час:

¹/₄ + ¹/₆ = ³/₁₂ + ²/₁₂ = ⁵/₁₂ – две трубы
за один час.

Объём работы – 1 бассейн. Совместная производительность ⁵/₁₂   бассейна в час. Тогда время заполнения
бассейна будет:

t =
А : П = 1 : ⁵/₁₂ = 1 ∙ ¹²/₅ = ¹²/₅ (час).

ЗАДАЧА:

Лошадь съедает копну сена
за  1 сутки, корова может съесть такую же копну за  3 суток, а овца за  6 суток. За какое время съедят эту копну лошадь, корова и
овца вместе ?

РЕШЕНИЕ:

Работа в данном случае это
съедание копны сена. Обозначим её через единицу:

А = 1.

Тогда производительность
лошади будет выражаться единицей, производительность коровы – дробью  ¹/₃, производительность овцы  – дробью  ¹/₆. Их совместная производительность равна следующей сумме:

Определим время, за которое лошадь, корова и овца съедят одну копну сена:

ЗАДАЧА:

Сосуд наполняется шлангом за  12 мин, а полный сосуд опорожняется при открытии крана
за  20 мин. За какое время наполнится пустой сосуд, если одновременно открыть
кран и вливать в него воду через шланг ?

РЕШЕНИЕ:

Работа в данном случае это наполнение сосуда. Обозначим эту работу через
единицу:

А = 1.

В условии сказано, что сосуд наполняется шлангом
за  12 мин. Значит, в минуту будет наполняться  ¹/₁₂ часть сосуда. При этом
сказано, что одновременно открыт кран сосуда и из него вытекает вода, которой
наполняется сосуд. Вода, которая вытекает из сосуда, равна  ¹/₂₀ части сосуда, поскольку в
условии сказано, что полный сосуд опорожняется за  20 мин.

В сосуд
поступает воды больше, чем вытекает. Дробь 
¹/₁₂  больше,
чем  ¹/₂₀. Несмотря
на то, что часть поступающей в сосуд воды будет вытекать, с каждой минутой
сосуд будет пополняться на определённую часть. Узнаем, что это за часть. Для этого из
поступающей ¹/₁₂  части вычтем ту
часть, которая вытекает:

Каждую минуту сосуд будет
наполняться на  ¹/₃₀.

Определим время за которое
наполнится пустой сосуд, если одновременно открыть кран и вливать в него воду
через шланг.

Задания к уроку 23

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3