Высота тетраэдра — равна корню квадратному из двух третих, помноженному на длину ребра тетраэдра
(h — высота тетраэдра, a — ребро тетраэдра)
Вывод формулы высоты тетраэдра
Чтобы получить формулу высоты тетраэдра необходимо произвести дополнительные геометрические построения. На рисунке красные линии CF и FS — это высоты соответствующих правильных треугольников ABC и ABS:
Теперь в треугольнике CFS известны все стороны. Высота тетраэдра, как видно из геометрических построений — это высота треугольника CFS. Подставив стороны треугольника в формулу и произведя простые сокращения (используем формулу разность квадратов) получим формулу (1).
Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC . В результате получим треугольники ADC , CDB , ABD . Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC , ADC , CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC . 
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра
Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.
Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.
Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.
Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
- S – площадь любой грани,
- H – высота, опущенная на эту грань
Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра
Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:
- Все грани равны.
- Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
- Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
- Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).
Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a . DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна 
Рассмотрим треугольник BDM , где DH , являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой
, где
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)= 
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим 
Вынесем 1/2a. Получим
Применим формулу разность квадратов
После небольших преобразований получим
Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле 
,
где 
,
Подставив эти значения, получим 
Таким образом формула объема для правильного тетраэдра
где a –ребро тетраэдра
Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин
Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра 
Из вершины 
проведем векторы 
, 
, 
.
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим
Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула
Свойства
Зная высоту тетраэдра, можно вычислить его ребро, перевернув формулу так, чтобы ребро было равно корню из трех вторых, умноженному на высоту. a=√(3/2) h
Выразив таким образом ребро тетраэдра через его высоту, можно найти периметр тетраэдра, то есть длину всех его ребер, площадь одной грани и площадь полной поверхности тетраэдра. Периметр тетраэдра будет равен шести длинам его ребер, площадь одной грани – ребру в квадрате, умноженному на корень из трех, деленный на четыре, а площадь полной поверхности – четырем площадям одной грани. P=6a=6√(3/2) h S_1=(√3 a^2)/4=(3√3 h^2)/8 S_(п.п.)=4S_1=(3√3 h^2)/2
Через высоту, подставленную вместо ребра в определенном соотношении можно найти соответственно и радиусы вписанной и описанной окружностей в основание тетраэдра. r=h/(2√2) R=h/√2
Апофема тетраэдра проходит из вершины к противоположной стороне грани под прямым углом и рассчитать ее можно как из прямоугольного треугольника с боковым ребром по той же грани, так и из прямоугольного треугольника во внутреннем пространстве тетраэдра с высотой. l=3h/(2√2)
Чтобы вычислить объем тетраэдра, необходимо возвести в куб ребро и разделить полученное значение на шесть корней из двух, либо подставить вместо ребра корень из трех вторых, умноженный на высоту и преобразовать формулу объема для высоты. V=(√3 h^3)/8
В тетраэдр можно вписать сферу или описать сферу около него, тогда, зная высоту, чтобы вычислить радиусы вписанной и описанной сфер, необходимо воспользоваться следующими, уже готовыми формулами. (рис.60.2, 60.3) r_1=h/4 R_1=3h/4
Высота тетраэдра, формула
|
Высота тетраэдра — равна корню квадратному из двух третьих, помноженному на длину ребра тетраэдра [ h = sqrt{frac{2}{3}} a ] (h — высота тетраэдра, a — ребро тетраэдра) |
Вывод формулы высоты тетраэдра
Чтобы получить формулу высоты тетраэдра необходимо произвести дополнительные геометрические построения. На рисунке
красные линии CF и FS — это высоты соответствующих правильных треугольников ABC и ABS:
[CF = FS = frac{sqrt{3}}{2}a ; CS = a ]
Теперь в треугольнике CFS известны все стороны. Высота тетраэдра, как видно из геометрических построений — это высота треугольника CFS. Подставив стороны треугольника в формулу и произведя простые сокращения (используем формулу разность квадратов) получим формулу (1).
[p = frac{1}{2}(a + afrac{sqrt{3}}{2} + afrac{sqrt{3}}{2}) ]
[p = frac{1}{2} a (1 + sqrt{3}) ]
[h = 2 frac{ sqrt{p(p-a)(p-(afrac{sqrt{3}}{2}))(p-(afrac{sqrt{3}}{2}))}}{afrac{sqrt{3}}{2}}]
[h = 2 frac{sqrt{(frac{a}{2})^4 (sqrt{3}+1) (sqrt{3}-1)}}{afrac{sqrt{3}}{2}} = sqrt{frac{2}{3}} a ]
Вычислить, найти высоту тетраэдра по формуле(1)
Высота тетраэдра |
стр. 283 |
|---|
Данный сайт находится в режиме тестирования, обо всех выявленных проблемах Вы можете сообщить на почту
Формулы тетраэдра
Для расчёта всех основных параметров тетраэдра воспользуйтесь калькулятором.
Свойства тетраэдра
- Параллельные плоскости, которые проходят через два скрещивающихся ребра, образуют описанный параллелепипед
- Отличительным свойством тетраэдра является то, что медианы и бимедианы фигуры встречаются в одной точке. Важно, что последняя делит медианы в отношении 3:1, а бимедианы — пополам
- Плоскость разделяет тетраэдр на две равные по объему части, если проходит через середину двух скрещивающихся ребер
Виды тетраэдров
-
Правильный тетраэдр — это такая правильная треугольная пирамида, каждая из граней которой оказывается равносторонним треугольником.
У правильного тетраэдра каждый двугранный угол при рёбрах и каждый трёхгранный угол при вершинах имеют одинаковую величину - Равногранный тетраэдр — это такой тетраэдр, у которого все грани треугольники равны
- Ортоцентрический тетраэдр — это такой тетраэдр, у которого каждая высота, опущенная из вершины на противоположную грань, пересекается с остальными высотами в одной точке
- Прямоугольный тетраэдр — это такой тетраэдр, у которого каждое ребро, прилежащее к одной из вершин, перпендикулярно другим ребрам, прилежащим к этой же вершине
-
Каркасный тетраэдр — это такой тетраэдр, который соответствует следующим условиям:
- есть сфера, которая касается каждого ребра
- суммы длин ребер, что скрещиваются равны
- суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны
- окружности, которые вписаны в грани, попарно касаются
- каждый четырехугольник, образующийся на развертке тетраэдра — описанный
- перпендикуляры, поставленные к граням из центров окружностей, в них вписанных, пересекаются в одной точке
- Инцентрический тетраэдр — это такой тетраэдр, у которого отрезки, которые соединяют вершины тетраэдра с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани, пересекаются в одной точке
Формула высоты тетраэдра
$$
AO = {sqrt{2 over 3}} * a
$$
Формула объёма тетраэдра
$$
V = {sqrt{2} over 12} * a^3
$$
Основные формулы для правильного тетраэдра
-
Формула площади
$$
S = a^2 * sqrt{3}
$$ -
Радиус вписанной сферы, Rвпис
$$
R_{впис} = a * {sqrt{6} over 12}
$$ -
Радиус описанной сферы, Rопис
$$
R_{опис} = a * {sqrt{6} over 4}
$$
В данной публикации мы рассмотрим определение и разновидности тетраэдра, а также формулы для расчета площади его поверхности (одной грани и полной) и объема. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.
- Определение тетраэдра
- Виды тетраэдра
- Формулы площади и объема правильного тетраэдра
Определение тетраэдра
Тетраэдр – это разновидность пирамиды; четырехгранник, гранями которого являются треугольники.
Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Каждая грань фигуры может быть ее основанием.
Развертка тетраэдра на примере правильной фигуры представлена ниже:
Основные элементы и свойства тетраэдра (к нему применимы свойства правильной пирамиды) мы рассмотрели в отдельной публикации.
Виды тетраэдра
- Равногранный тетраэдр – боковые грани фигуры равны, а основанием является правильный (равносторонний) треугольник.
- Прямоугольный тетраэдр – угол между всеми тремя ребрами при одной вершине является прямым, т.е. равным 90°.
- Правильный тетраэдр – все ребра равны, а грани, соответственно, являются равносторонними треугольниками.
- Ортоцентричный тетраэдр – все высоты, проведенные из всех вершин фигуры к противолежащим граням, пересекаются в одной точке.
Формулы площади и объема правильного тетраэдра
Площадь поверхности
Объем
Высота тетраэдра, формула
Чтобы получить формулу высоты тетраэдра необходимо произвести дополнительные геометрические построения. На рисунке красные линии CF и FS — это высоты соответствующих правильных треугольников ABC и ABS:
Теперь в треугольнике CFS известны все стороны. Высота тетраэдра, как видно из геометрических построений — это высота треугольника CFS. Подставив стороны треугольника в формулу и произведя простые сокращения (используем формулу разность квадратов) получим формулу (1).
Свойства тетраэдра, виды и формулы
Тетраэдр в переводе с греческого означает «четырехгранник». Эта геометрическая фигура обладает четырьмя гранями, четырьмя вершинами и шестью ребрами. Грани представляют собой треугольники. По сути, тетраэдр — это треугольная пирамида. Первые упоминания о многогранниках появились еще задолго до существования Платона.
Сегодня поговорим об элементах и свойствах тетраэдра, а также узнаем формулы нахождения у этих элементов площади, объема и других параметров.
Элементы четырехгранника
Вам будет интересно: Петрозаводский педагогический колледж: стать специалистом заочно
Отрезок, выпущенный из любой вершины тетраэдра и опущенный на точку пересечения медиан грани, являющейся противоположной, называется медианой.
Высота многоугольника представляет собой нормальный отрезок, опущенный из вершины напротив.
Бимедианой называется отрезок, соединяющий центры скрещивающихся ребер.
Свойства тетраэдра
1) Параллельные плоскости, которые проходят через два скрещивающихся ребра, образуют описанный параллелепипед.
2) Отличительным свойством тетраэдра является то, что медианы и бимедианы фигуры встречаются в одной точке. Важно, что последняя делит медианы в отношении 3:1, а бимедианы — пополам.
3) Плоскость разделяет тетраэдр на две равные по объему части, если проходит через середину двух скрещивающихся ребер.
Виды тетраэдра
Видовое разнообразие фигуры достаточно широко. Тетраэдр может быть:
- правильным, то есть в основании равносторонний треугольник;
- равногранным, у которого все грани одинаковы по длине;
- ортоцентрическим, когда высоты имеют общую точку пересечения;
- прямоугольным, если плоские углы при вершине нормальные;
- соразмерным, все би высоты равны;
- каркасным, если присутствует сфера, которая касается ребер;
- инцентрическим, то есть отрезки, опущенные из вершины в центр вписанной окружности противоположной грани, имеют общую точку пересечения; эту точку именуют центром тяжести тетраэдра.
Остановимся подробно на правильном тетраэдре, свойства которого практически не отличаются.
Исходя из названия, можно понять, что так он называется потому, что грани являют собой правильные треугольники. Все ребра этой фигуры конгруэнтны по длине, а грани — по площади. Правильный тетраэдр — это один из пяти аналогичных многогранников.
Формулы четырехгранника
Высота тетраэдра равна произведению корня из 2/3 и длины ребра.
Объем тетраэдра находится так же, как объем пирамиды: корень квадратный из 2 разделить на 12 и умножить на длину ребра в кубе.
Остальные формулы для расчета площади и радиусов окружностей представлены выше.
Как найти высоту тетраэдра
Основание можно изобразить любым треугольником ABC. Центр основания изображается точкой О пересечения медиан. (Затем две из этих медиан, как не имеющие значения для решения задачи, можно стереть, оставив только точку О на медиане АЕ).
Решение. Имеем V = 1 /3 • Socн. • Н = 1 /3 • 1 /4a 2 √ 3H . Связь между а и Н найдем из треугольника AOD, где AD = a, а АО есть радиус R, круга, описанного около основания, так что a = R√ 3 .
Подставляя a 2 = 3 /2 H 2 в выражение V, получаем V = √ 3 /8 H 3 .