1. Определить, на какой высоте находится тело, в любой точке траектории движения
h — высота тела в момент времени t
hну — высота ниже уровня броска (принимает отрицательное значение)
S — дальность полета по горизонтали
t — время полета
Vo — начальная скорость тела
α — угол под которым брошено тело
g ≈ 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения
Формула для определения значения высоты тела в момент времени t
Формула для определения значения высоты тела через расстояние S по горизонтали
hну — высота ниже уровня броска, принимает отрицательное значение
2. Найти максимальную высоту, на которую поднялось тело
hmax — максимальная высота
Smax — максимальная дальность полета, если бросок и падение на одном уровне
Sh — расстояние пройденное по горизонтали до момента максимального подъема
tmax — время всего полета
th — время за которое тело поднялось на максимальную высоту
Vo — начальная скорость тела
α — угол под которым брошено тело
g ≈ 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения
Формула для расчета максимальной высоты достигнутое телом, если даны, начальная скорость Vo и угол α под которым брошено тело. :
Формула для вычисления максимальной высоты, если известны, максимальное расстояние S max или расстояние по горизонтали при максимальной высоте Sh и угол α под которым брошено тело. :
По этой формуле, можно определить максимальную высоту, если известно время th за которое тело поднялось на эту высоту. :
- Подробности
-
Опубликовано: 11 августа 2015
-
Обновлено: 13 августа 2021
Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту, формула
Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту определяется из формул времени максимального подъема и формулы координат тела
Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту
[
h_{max} = y(t_{hmax}) = u_0 t_{hmax} sin(α) — frac{gt_{hmax}^2}{2}
]
и после подстановки thmax в выражение (1) и его упрощения получим
[
h_{max} = frac{(u_0 sin(α))^2}{2g}
]
Здесь:
u0 — начальная скорость тела (м/с),
α — угол, под которым брошено тело к горизонту (°),
g — ускорение свободного падения 9.81 (м/c2),
thmax — время подъема на максимальную высоту (c)
Вычислить, найти максимальную высоту подъема тела, брошенного под углом к горизонту по формуле (2).
Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту |
стр. 420 |
---|
Что такое движение тела брошенного под углом к горизонту
Определение
Движением тела под углом к горизонту в физике называют сложное криволинейное перемещение, которое состоит из двух независимых движений, включая равномерное прямолинейное движение в горизонтальном направлении и свободное падение по вертикали.
В процессе подбрасывания объекта вверх под углом к горизонту вначале наблюдают его равнозамедленный подъем, а затем равноускоренное падение. Скорость перемещения тела, относительно поверхности земли, остается постоянной.
На графике изображено схематичное движение тела, которое подбросили под углом к горизонту. В этом случае α является углом, под которым объект начал свое перемещение. Характеристики такого процесса будут следующими:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
- Направление вектора скорости тела, которое подбросили под определенным углом к горизонту, будет совпадать с касательной к траектории его перемещения.
- Начальная скорость отличается от направления горизонтальной линии, а обе ее проекции не равны нулю.
- Проекция скорости в начале движения на ось ОХ составляет (V_{ox}=V_{0}cos alpha).
- Проекция начальной скорости на ось ОУ равна (V_{oy}=V_{0}sin alpha).
- Проекция мгновенной скорости на ось ОХ следующая: (V_{x}=V_{0}cos alpha).
- Проекция мгновенной скорости на ось ОУ обладает нулевым значением и рассчитывается следующим образом: (V_{x}=V_{0}sin alpha-gt).
- Ускорение свободного падения на ось ОХ обладает нулевой проекцией, или (g_{x}=0).
- Проекция ускорения свободного падения на ось ОУ равна (–g), или (g_{y}=-g).
К числу кинематических характеристик движения тела, которое подбросили под углом к горизонту, относят модуль мгновенной скорости в определенное время t. Данный показатель можно рассчитать с помощью теоремы Пифагора:
(V=sqrt{V^{2}_{x}+V^{2}_{y}})
Минимальная скорость тела будет замечена в самой верхней точке траектории, а максимальная величина данной характеристики будет достигнута, когда объект только начинает перемещаться, а также в точке падения на поверхность земли. Время подъема представляет собой время, необходимое для достижения телом верхней точки траектории. За полное время объект совершает полет, то есть перемещается от начальной точки к точке приземления.
Дальность полета является перемещением объекта по отношению к оси ОХ. Такую кинематическую характеристику обозначают буквой l. По отношению к оси ОХ тело перемещается, сохраняя постоянство скорости.
Определение
Горизонтальным смещением тела называют смещение данного объекта, относительно оси ОХ.
Расчет горизонтального смещения тела в какой-либо момент времени t выполняют с помощью уравнения координаты х:
(x=x_{0}+V_{0x}t+frac{gxt^{2}}{2})
Зная следующие условия:
- (x_{0}=0);
- проекция ускорения свободного падения, относительно оси ОХ, также имеет нулевое значение;
- проекция начальной скорости на ось ОХ составляет (V_{0}cos alpha).
Записанная формула приобретает следующий вид:
(x=V_{0}cos alpha t)
Мгновенной высотой принято считать высоту, на которой находится объект в определенный момент времени t. Наибольшей высотой подъема является расстояние от поверхности земли до верхней точки траектории движения тела под углом к горизонту.
Вывод формулы, как найти угол и дальность полета
Перемещение объекта, который был брошен под углом к горизонту, необходимо изобразить с помощью суперпозиций, характерных для двух типов движений:
- равномерное горизонтальное движение;
- равноускоренное перемещение в вертикальном направлении с ускорением свободного падения.
Скорость тела будет рассчитываться таким образом:
(v_{0x}=v_{x}=v_{0} cos alpha =const)
(v_{0y}=v_{0}sin alpha)
(v_{y}=v_{0}sin alpha-gt)
Уравнение координаты записывают в следующем виде:
(x=v_{0}cos alpha times t)
(y=v_{0}sin alpha times t-frac{gt^{2}}{2})
В любое время значения скорости тела будут равны:
(v=sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}})
Определить угол между вектором скорости и осью ОХ можно таким образом:
(tan beta =frac{v_{y}}{v_{x}}=frac{v_{0}sin alpha -gt}{v_{0}cos alpha })
Время подъема на максимальную высоту составляет:
(t=frac{v_{0}sin alpha }{g})
Максимальная высота подъема будет рассчитана следующим образом:
(h_{max}=frac{v_{0}^{2}sin ^{2}alpha}{2g})
Полет тела будет длиться определенное время, которое можно рассчитать с помощью формулы:
(t=frac{2v_{0}sin alpha }{g})
Максимальная дальность полета составит:
(L_{max}=frac{v_{0}^{2}sin 2alpha }{g})
Примеры решения задач
В примерах, описывающих движение тела, на которое действует сила тяжести, следует учитывать, что а=g=9,8 м/с2.
Задача 1
Небольшой камень был брошен с ровной горизонтальной поверхности под углом к горизонту. Необходимо определить, какова максимальная высота подъема камня при условии, что, спустя 1 секунду после его начала движения, скорость тела обладала горизонтальным направлением.
Решение
Направление скорости будет горизонтальным в верхней точке перемещения камня. Таким образом, время, за которое он поднимется, составляет 1 секунду. С помощью уравнения времени подъема можно представить формулу произведения скорости в начале полета на синус угла, под которым бросили камень:
(V_{0}sin alpha =gt)
Данное равенство следует подставить в уравнение для расчета максимальной высоты, на которую поднимется камень, и выполнить вычисления:
(h=frac{V_{0}sin ^{2}alpha }{2g}=frac{(gt)^{2}}{2g}=frac{gt^{2}}{2}=frac{10times 1}{2}=5)
Ответ: максимальная высота подъема камня, который бросили под углом к горизонту, составляет 5 метров.
Задача 2
Из орудия выпустили снаряд, начальная скорость которого составляет 490 м/с, под углом 30 градусов к горизонту. Нужно рассчитать, какова высота, дальность и время полета снаряда без учета его вращения и сопротивления воздуха.
Решение
Систему координат и движение тела можно представить схематично:
Составляющие скорости, относительно осей ОХ и ОУ, будут совпадать во время начала движения снаряда:
(V_{0x}=V_{0} cos alpha) сохраняет стабильность значения в любой промежуток времени во время всего перемещения тела.
(V_{0y}=V_{0}sin alpha) будет меняться, согласно формуле равнопеременного движения (V_{y}=V_{0}sin alpha-gt).
В максимальной точке, на которую поднимется снаряд:
(V_{y}=V_{0}sin alpha-gt_{1}=0)
Из этого равенства следует:
(t=frac{V_{0sin alpha }}{g})
Полное время полета тела будет рассчитано по формуле:
(t=2t_{1}=frac{2V_{0}sin alpha }{g}=50)
Высота, на которую поднимется снаряд, определяется с помощью уравнения равнозамедленного перемещения тела:
(h=V_{0y}t_{1}-frac{gt_{1}^{2}}{2}=frac{V_{0}^{2}sin ^{2}alpha }{2g}=3060)
Дальность полета снаряда будет рассчитана таким образом:
(S=V_{0x}t=frac{V_{0}^{2}sin 2alpha }{g}=21000)
Ответ: высота составляет 3060 метров, дальность полета равна 21000 метров, время движения составит 50 секунд.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Полный разбор движения. Вывод формул
Это движение представляет собой совокупность двух видов движения:
- равномерного движения по оси X (горизонтально): скорость v=const, т.к. ускорение a=0
- равнопеременного по оси Y (вертикально): скорость v=v0+at, т.к. ускорение а=-g
Как же найти скорость?
Сначала найдем скорости по X и по Y отдельно.
- Чтобы найти скорость по оси X, которая будет постоянная на всем пути, определим проекцию V0 на ось X:
Проекция V0 на ось Х – это прилежащий к углу α катит:
V0x=V0cosα
Т.к. Vx – постоянна, поэтому:
Vx= V0x=V0cosα
- Чтобы найти скорость по оси Y, которая будет меняться, определим проекцию V0 на ось Y, это будет начальная скорость по вертикальной оси:
Проекция V0 на ось Y – это противолежащий к углу α катит:
V0у=V0sinα
Так как Vy, как мы уже говорили, равнопеременная скорость, то:
Vу= V0у+at
Учитывая, что ускорение направлено против вертикальной оси (а=-g), и подставляя V0y получим:
Vу= V0sinα -gt
Итого:
Зная проекции скорости, можем ли мы восстановить саму скорость? (зная катеты треугольника можем ли мы найти гипотенузу?)
Конечно! Теорема Пифагора.
V2=Vx2+ Vy2
Скорость – дело понятное, как же быть с пройденным путем? Очень просто.
Так как мы сказали, что имеем дело с двумя видами движения в одном, а значит и пути у каждого из видов движения будут разные:
- Горизонтального движение по оси Х равномерное, путь при равномерном движении:
S=V t
Обозначим путь по Х за Х и подставим нашу скорость вместо V, получим:
Х= Vxt= V0cosα t
- Вертикальное движение по оси Y равнопеременное, путь при равнопеременном движении:
Аналогично, обозначим путь по Y за Y, подставим нашу скорость вместо V0 и ускорение а=-g получим:
В итоге:
ВАЖНО! Часто в задачах встречается ситуация, когда нужно найти высоту подъема или дальность полета.
Высота подъема находится очень просто. Все что нужно для решения большинства задач находится в получившихся уравнениях:
- для скорости
- для координат
Верхняя точка отличается тем, что в ней происходит изгиб. Происходит этот изгиб из-за ускорения свободного падения. Полная скорость, т.к. она направлена по касательной, становится направленной горизонтально, а значит проекция полной скорости по Y равна нулю:
Vу= V0sinα –gt=0
Запишем концовку предыдущего уравнения и выразим время — время в этой формуле соответствует той же самой верхней точке, назовем его – время подъема (tп).
V0sinα –g tп =0
Получаем:
Высота подъема – это координата Y, поэтому вставляем tп в уравнение для Y и получаем искомую высоту собственной персоной:
Преобразуем и получим высоту подъема:
Дальность полета – это координата Х в точке падения, поэтому время уже накопится в два раза больше:
Аналогично подставим время в формулу для координаты Х:
Применим формулу из триганометрии: 2sin cos = sin, применим и получим:
- Это движение в плоскости, поэтому для описания движения необходимо 2 координаты.
- Считаем, что движение происходит вблизи поверхности Земли, поэтому ускорение тела – ускорение свободного падения (a = g).
Так как мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, то ускорение направлено только к поверхности Земли (g) – вдоль вертикальной оси (y), вдоль оси х движение равномерное и прямолинейное.
Движение тела, брошенного горизонтально.
Выразим проекции скорости и координаты через модули векторов.
Для того чтобы получить уравнение траектории, выразим время tиз уравнения координаты x и подставим в уравнение для y:
Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Порядок решения задачи аналогичен предыдущей.
Решим задачу для случая х0=0 и y0=0.
Докажем, что траекторией движения и в этом случае будет парабола. Для этого выразим координату Y через X (получим уравнение траектории):
.
Мы получили квадратичную зависимость между координатами. Значит траектория — парабола.
Найдем время полета тела от начальной точки до точки падения. В точке падения координата по вертикальной оси у=0.
Время полета:
Зная время полета, найдем максимальное расстояние, которое пролетит тело:
Дальность полета:
Из этой формулы следует, что:
— максимальная дальность полета будет наблюдаться при бросании тела (при стрельбе, например) под углом 450;
— на одно и то же расстояние можно бросить тело (с одинаковой начальной скоростью) двумя способами – т.н. навесная и настильная баллистические траектории.
Используя то, что парабола – это симметричная кривая, найдем максимальную высоту, которой может достичь тело.
Время, за которое тело долетит до середины, равно:
Время подъема:
Тогда:
Максимальная высота:
Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к траектории движения (параболе) и равна
Угол, под которым направлен вектор скорости в любой момент времени: