Как найти высоту цилиндра вписанный шар - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Шар, вписанный в цилиндр, касается оснований цилиндра в их центрах, а боковой поверхности цилиндра — по параллельной основаниям окружности большого круга (то есть радиус этой окружности равен радиусу шара).

Если шар вписан в цилиндр, то цилиндр описан около шара.

В цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда цилиндр равносторонний, то есть его высота равна диаметру. Радиус вписанного в цилиндр шара R равен радиусу цилиндра r:

R=r.

Решение задач на шар, вписанный в цилиндр, чаще всего сводится к рассмотрению осевого сечения комбинации тел.

Это сечение представляет собой квадрат с вписанной в него окружностью. Сторона квадрата равна высоте цилиндра и диаметру шара:

H=2R

Найдем отношение объема цилиндра к объему вписанного в него шара. Объем шара

$[{V_1} = frac{4}{3}pi {R^3}]$

Объем цилиндра

$[{V_2} = pi {r^2}H = pi {R^2} cdot 2R = 2pi {R^3}.]$

Отсюда отношение объема шара к объему описанного около него цилиндра

$[frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = frac{{frac{4}{3}pi {R^3}}}{{2pi {R^3}}} = frac{2}{3}.]$

Теперь найдем отношение площади поверхности цилиндра к площади вписанного шара. Площадь поверхности шара (площадь сферы)

$[{S_1} = 4pi {R^2}]$

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей оснований и боковой поверхности:

$[{S_2} = {S_{bok}} + 2{S_{ocn}} = 2pi rH + 2pi {r^2} = ]$

$[ = 2pi R cdot 2R + 2pi {R^2} = 6pi {R^2}.]$

Отсюда отношение площади поверхности вписанного шара к площади поверхности цилиндра

$[frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = frac{{4pi {R^2}}}{{6pi {R^2}}} = frac{2}{3}.]$

Источник

Тема: Высота цилиндра, вписаного в сферу (Прочитано 2437 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Объем шара равен V. В сферу, ограничивающую этот шар, вписан цилиндр наибольшей возможной площади боковой поверхности. Найдите высоту этого цилиндра.

Помогите пожалуйста составить функцию к данной задаче ( что и через что лучше выразить…)

(
V={4/3}{Pi}{R^3}
)
(
S={2}{Pi}{r}{h}
)
На мой взгляд, надо рассматривать окружность, в которую вписан прямоугольник ( длина которого является высотой цилиндра)

Правильно. А теорема Пифагора поможет вам связать диаметр и высоту. Или радиус и высоту. А радиус вычисляется из формулы объема.

Пожалуйста не пишите голое условие! Сначало мы выслушаем Ваши мысли или хотябы вопросы, но конкретные и лишь потом дадим необходимые советы!
Но можете всего этого и не делать, если Вас не интересует результат
Если не хотите разбираться сами закажите решение на сайте.

Я попробывал…

Извините за кривое изображение ( можно на него нажать и там будут функции поворота и увеличения)

Посмотрите,пожалуйста, верно я делаю? Если верно, то не поможете взять производную от этой функции?

Вы не совсем так делаете, как я советовал. Радиус шара (сферы) берется из заданного объема. Высота цилиндра и его диаметр связаны между собой теоремой Пифагора : квадрат диаметра + квадрат высоты = квадрату диаметра сферы. Вот отсюда вы выражаете один параметр через другой. И подставляете в формулу площади поверхности. И исследуете на экстремум именно эту функцию, а не функцию объема. Т.к. объем у вас задан, а наибольшую площадь нужно определить. Вернее высоту цилиндра, обеспечивающую эту наибольшую площадь.

Так?

В принципе так. Именно это я и имел в виду. Подстановки и преобразования не проверял.

Источник

Если внимательно посмотреть на эту формулу, то можно заметить, что — это формула площади круга, а в нашем случае — площадь основания. Поэтому формулу объема цилиндра можно записать через площадь основания и высоту:

— Если известна площадь бок. поверхности S (б.п.) и высота h цилиндра, радиус будет равен частному от деления S (б.п.) на произведение 2пи на высоту:

1. Через площадь основания и высоту

Объем (V) цилиндра равняется произведению его высоты и площади основания.

2. Через радиус основания и высоту

Как мы знаем, в качестве оснований цилиндра (равны между собой) выступает круг, площадь которого вычисляется так: S = π ⋅ R 2 . Следовательно, формулу для вычисления объема цилиндра можно представить в виде:

Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.

3. Через диаметр основания и высоту

Как нам известно, диаметр круга равняется двум его радиусам: d = 2R. А значит, вычислить объем цилиндра можно следующим образом:

Нет сомнений, что все мы со школьных лет помним, как найти высоту цилиндра, формула выглядит так: H=V/πR^2 или 4V/D^2.

То есть получается, что, если разделить объем на площадь основания, получится высота цилиндра.

Можно поступить проще. Для этого нам придется вычислить площадь боковой поверхности искомого цилиндра. Это легко сделать по формуле: S=2πRH. Слегка изменив формулу, получаем: H=S/2πR.

Таким образом, есть уже два способа, которые помогли вспомнить, как найти высоту цилиндра. Это нетрудно, когда перед глазами стройные формулы.

Цилиндр – геометрическое тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны. Также, цилиндр представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Эта поверхность образуется при движении прямой параллельно самой себе. При этом выделенная точка прямой перемещается вдоль определенной плоской кривой (направляющая). Данная прямая называется образующей цилиндрической поверхности.
Формула радиуса цилиндра:
где V – объем цилиндра, h – высота

Цилиндр – геометрическое тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны. Также, цилиндр представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Эта поверхность образуется при движении прямой параллельно самой себе. При этом выделенная точка прямой перемещается вдоль определенной плоской кривой (направляющая). Данная прямая называется образующей цилиндрической поверхности.
Формула радиуса цилиндра:
где Sb – площадь боковой поверхности, h – высота

Цилиндр – геометрическое тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны. Также, цилиндр представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Эта поверхность образуется при движении прямой параллельно самой себе. При этом выделенная точка прямой перемещается вдоль определенной плоской кривой (направляющая). Данная прямая называется образующей цилиндрической поверхности.
Формула радиуса цилиндра:
где S – площадь полной поверхности, h – высота

Площадь боковой поверхности равняется длине окружности основания умноженной на высоту:

где V — объем цилиндра, h — высота.
Полная площадь поверхности цилиндра складывается из сумм площадей его боковой поверхности и двух оснований:

Задание 1
Высота цилиндра равняется 5 см, а объем – 141,3 см 3 . Вычислите его радиус.

Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой, подставив в нее известные по условиям задачи значения:

Задание 2
Найдите радиус цилиндра, если площадь его боковой поверхности равна 175,84 см 2 , а высота составляет 7 см.

Задание 3
Рассчитайте радиус цилиндра, если полная площадь его поверхности – 602,88 см 2 , а высота – 10 см.

S_бок. – площадь боковой поверхности цилиндра; равна произведению длины окружности (2 π R), являющейся основанием фигуры, на его высоту:

Формула для нахождения полной поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:

~~, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.~~

Диаметр и высота цилиндра

Свойства

Через диаметр цилиндра можно рассчитать его радиус и периметр основания цилиндра. Радиус будет равен половине диаметра, а периметр – его произведению на число π. r=D/2 P=πD

Зная диаметр и высоту цилиндра, можно узнать площадь, объем, диагональ цилиндра и остальные параметры. Площадь боковой поверхности цилиндра представляет собой площадь прямоугольника, сторонами которого являются периметр основания цилиндра и его высота. Чтобы затем найти площадь полной поверхности цилиндра через диаметр и высоту, нужно к площади боковой поверхности добавить площадь верхнего и нижнего оснований, каждое из которых равно произведению числа π на четверть квадрата диаметра. S_(б.п.)=hP=πDh S_(п.п.)=S_(б.п.)+2S_(осн.)=πDh+(πD^2)/2=πD/2(2h+D) P=πD

Объем цилиндра представляет собой площадь его основания, умноженную на высоту. Чтобы найти объем цилиндра через диаметр и высоту, нужно умножить квадрат диаметра на четверть числа π и на высоту. V=(πD^2 h)/4 P=πD

Диагональ цилиндра находится из прямоугольного треугольника, в котором она является гипотенузой, а катеты представлены высотой и диаметром цилиндра. По теореме Пифагора диагональ цилиндра через высоту и диаметр цилиндра равна квадратному корню из суммы их квадратов. (рис. 25.1) d=√(h^2+D^2 ) P=πD

Чтобы найти радиус сферы вписанной в цилиндр, если его диаметр равен высоте, нужно разделить диаметр цилиндра либо высоту на два, так как радиус вписанной сферы равен радиусу цилиндра. (рис.25.2) r_1=h/2=D/2 P=πD

Радиус сферы, описанной вокруг цилиндра, при соблюдении тех же условий (равенство диаметра цилиндра и его высоты) равен половине диагонали цилиндра.(рис.25.3) R=d/2=√(h^2+D^2 )/2

Высота цилиндра равна длине окружности основания формула

Как найти высоту цилиндра, с помощью данных?

Объем цилиндра формула (через радиус основания и высоту)

r — радиус основания цилиндра,

h — высота цилиндра

Если внимательно посмотреть на эту формулу, то можно заметить, что

— это формула площади круга, а в нашем случае — площадь основания. Поэтому формулу объема цилиндра можно записать через площадь основания и высоту:

S (б.п.) = hP = 2πrh

Формула вычисления объема цилиндра

1. Через площадь основания и высоту

Объем (V) цилиндра равняется произведению его высоты и площади основания.

V = S ⋅ H

2. Через радиус основания и высоту

V = π ⋅ R 2 ⋅ H

Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.

3. Через диаметр основания и высоту

V = π ⋅ (d/2) 2 ⋅ H

Расшифровать формулу просто:

V – объем цилиндра;
π – 3,14;
R – радиус цилиндра;
D – диаметр.

То есть получается, что, если разделить объем на площадь основания, получится высота цилиндра.

Способ расчета радиуса цилиндра:

Цилиндр – геометрическое тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны. Также, цилиндр представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Эта поверхность образуется при движении прямой параллельно самой себе. При этом выделенная точка прямой перемещается вдоль определенной плоской кривой (направляющая). Данная прямая называется образующей цилиндрической поверхности.
Формула радиуса цилиндра:
где Sb – площадь боковой поверхности, h – высота

Цилиндр – геометрическое тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны. Также, цилиндр представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Эта поверхность образуется при движении прямой параллельно самой себе. При этом выделенная точка прямой перемещается вдоль определенной плоской кривой (направляющая). Данная прямая называется образующей цилиндрической поверхности.
Формула радиуса цилиндра:
где S – площадь полной поверхности, h – высота

S (п.п.) = S (б.п.) + 2S (осн.) = 2πrh + πr2=πr (2h+r)

Площадь боковой поверхности равняется длине окружности основания умноженной на высоту:

R = √V / πh

Примеры задач

Задание 1
Высота цилиндра равняется 5 см, а объем – 141,3 см 3 . Вычислите его радиус.

Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой, подставив в нее известные по условиям задачи значения:

Решение:
Применим формулу, в которой задействованы заданные величины:

Задание 3
Рассчитайте радиус цилиндра, если полная площадь его поверхности – 602,88 см 2 , а высота – 10 см.

Решение:
Используем третью формулу для нахождения неизвестной величины:

Через площадь боковой поверхности

Радиус цилиндра считается таким образом:

S = 2 π Rh

Площадь полной поверхности цилиндра через радиус основания и высоту

Формула для нахождения полной поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:

, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.

Высота цилиндра равна длине окружности

537. Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №537
к главе «Глава VI. Цилиндр, конус и шар § 1. цилиндр».

Выделите её мышкой и нажмите CTRL + ENTER

Большое спасибо всем, кто помогает делать сайт лучше! =)

Нажмите на значок глаза возле рекламного блока, и блоки станут менее заметны. Работает до перезагрузки страницы.

Диаметр основания цилиндра равен 1м высота цилиндра равна длине окружности

Диаметр основания цилиндра равен 1м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Длина окружности основания равна

Высота цилиндра равна 3.14 м

Площадь боковой поверхности цилиндра равна

S=Lh, где L-длина окружности основания h-высота цилиндра

S=L*L=п*п=3,14*3,14=9,86 кв.м ( хотя наверное лучше оставить п в квадрате, так вроде точнее) п-это пи

Другие вопросы из категории

adef и найдите его периметр

Как найти площадь поверхности цилиндра: боковую, основания, полную

Площадь боковой поверхности цилиндра

Формула площади боковой поверхности цилиндра представляет собой произведение длины основания на его высоту:

Таким образом, используя формулы площади оснований и боковой поверхности фигуры, мы смогли найти полную площадь поверхности цилиндра.
Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, в котором стороны равны высоте и диаметру цилиндра.
Формула площади осевого сечения цилиндра выводится из формулы расчета площади прямоугольника :

Круговой цилиндр

где r – радиус основы, h – высота цилиндра, d – диаметр основы.

Как рассчитать площадь боковой поверхности цилиндра с помощью калькулятора

Калькулятор позволяет определить площадь цилиндра по одному из 2 вариантов исходных данных:

внешний радиус и высота;
внешний диаметр и высота.

Выберите соответствующий шаг и введите исходные данные в соответствующие поля.

Также важно указать единицы измерения по условиям задачи.

Расчеты будут выполнены автоматически и конвертированы в основные метрические физические величины площади.

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его радиус равен 11 см, а высота – 8 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее данные по условиям задачи значения:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 11 см ⋅ 8 см = 552,64 см 2 .

Задание 2
Высота цилиндра равна 9 см, а его диаметр – 8 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Если диаметр цилиндра равен 8 см, значит его радиус составляет 4 см (8 см / 2). Применив соответствующую формулу для нахождения площади получаем:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 см ⋅ (9 см + 4 см) = 326,56 см 2 .

Осевое сечение прямого цилиндра

Осевым называется любое сечение цилиндра, которое содержит его ось. Это определение означает, что осевое сечение будет всегда параллельно образующей линии.

В цилиндре прямом ось проходит через центр круга и перпендикулярна его плоскости. Это означает, что рассматриваемое сечение круг будет пересекать по его диаметру. На рисунке показана половинка цилиндра, которая получилась в результате пересечения фигуры плоскостью, проходящей через ось.

Не сложно понять, что осевое сечение прямого круглого цилиндра представляет собой прямоугольник. Его сторонами являются диаметр d основания и высота h фигуры.

Запишем формулы для площади осевого сечения цилиндра и длины hd его диагонали:

Прямоугольник имеет две диагонали, но обе они равны друг другу. Если известен радиус основания, то не сложно переписать эти формулы через него, учитывая, что он в два раза меньше диаметра.

Введите радиус основания и высоту цилиндра

Радиус:

Высота:

Площадь полной поверхности цилиндра формула:
S = Sбок + 2 Sосн 2 , где Sбок – площадь боковой поверхности, Sосн – площадь основания
или
S = 2 π R h + 2 π R 2 , где R – радиус оснований, h – высота цилиндра, π – число пи

Площадь полной поверхности цилиндра

Для нахождения полной площади цилиндра нужно к полученной Sбок добавить площади двух окружностей, верха и низа цилиндра, которые считаются по формуле Sо = 2π * r2.

Конечная формула выглядит следующим образом:

Sпол = 2π * r2 + 2π * r * h.

Основные определения и свойства цилиндра

Рассмотрим две паралллельные плоскости паралллельные плоскости α и β и произвольную окружность радиуса r с центром в точке O , лежащую в плоскости α (рис. 1).

Если из каждой точки окружности опустить перпендикуляр на плоскость β , то основания этих перпендикуляров образуют на плоскости β окружность радиуса r , центр O₁ которой является основанием перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость β (рис.2).

Отрезок перпендикуляра , опущенного из любой точки окружности с центром O на плоскость β , который заключен между плоскостями α и β , называют образующей цилиндра .

Совокупность всех образующих цилиндра называют цилиндрической поверхностью .

Фигуру, ограниченную цилиндрической поверхностью и плоскостями α и β, называют цилиндром .

Отрезок OO₁ называют осью цилиндра .

Радиус окружности Радиус окружности на плоскости α с центром в точке O называют радиусом цилиндра .

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями α и β , называют высотой цилиндра .

Круги с центрами O и O₁ на плоскостях α и β , называют основаниями цилиндра .

Замечание 1. Цилиндрическую поверхность часто называют боковой поверхностью цилиндра . Боковая поверхность цилиндра и основания цилиндра вместе составляют полную поверхность цилиндра .

Замечание 2. Каждая образующая цилиндра параллельна оси цилиндра, а длина каждой образующей цилиндра равна высоте цилиндра.

Замечание 3. Прямая OO₁ является осью симметрии цилиндра, а середина отрезка OO₁ является центром симметрии цилиндра.

Геометрическая фигура

Сначала дадим определение фигуре, о которой пойдет речь в статье. Цилиндр представляет собой поверхность, образованную параллельным перемещением отрезка фиксированной длины вдоль некоторой кривой. Главным условием этого перемещения является то, что отрезок плоскости кривой принадлежать не должен.

На рисунке ниже показан цилиндр, кривая (направляющая) которого является эллипсом.

Здесь отрезок длиной h является его образующей и высотой.

Видно, что цилиндр состоит из двух одинаковых оснований (эллипсы в данном случае), которые лежат в параллельных плоскостях, и боковой поверхности. Последней принадлежат все точки образующих линий.

Осевое сечение наклонного цилиндра

Рисунок выше демонстрирует наклонный цилиндр, изготовленный из бумаги. Если выполнить его осевое сечение, то получится уже не прямоугольник, а параллелограмм. Его стороны – это известные величины. Одна из них, как и в случае сечения прямого цилиндра, равна диаметру d основания, другая же – длина образующего отрезка. Обозначим ее b.

Для однозначного определения параметров параллелограмма недостаточно знать его длины сторон. Необходим еще угол между ними. Предположим, что острый угол между направляющей и основанием равен α. Он же и будет углом между сторонами параллелограмма. Тогда формулу для площади осевого сечения наклонного цилиндра можно записать следующим образом:

Диагонали осевого сечения цилиндра наклонного рассчитать несколько сложнее. Параллелограмм имеет две диагонали разной длины. Приведем без вывода выражения, позволяющие рассчитывать диагонали параллелограмма по известным сторонам и острому углу между ними:

l1 = √(d2 + b2 – 2*b*d*cos(α));

l2 = √(d2 + b2 + 2*b*d*cos(α))

Здесь l1 и l2 – длины малой и большой диагоналей соответственно. Эти формулы можно получить самостоятельно, если рассмотреть каждую диагональ как вектор, введя прямоугольную систему координат на плоскости.

Примеры расчета площади поверхности цилиндра

Для понимания приведенных формул попробуем посчитать площадь поверхности цилиндра на примерах.

1. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Определите площадь боковой поверхности цилиндра.

S_бок. = 2 * 3,14 * 2 * 3

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 37,68.

2. Как найти площадь поверхности цилиндра, если высота равна 4, а радиус 6?

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

S = 226,08 + 150,72

Площадь поверхности цилиндра равна 376,8.

3. Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна 24π, а диаметр основания — 3. Найдите высоту цилиндра.

Из формулы расчета площади боковой поверхности цилиндра Sбок. = 2πrh следует, что высота равна:

Значение радиуса получаем из формулы: d = 2r

h = 24π / (2π * 0,5d)

h = 24π / (2π * 0,5 * 3)

Высота цилиндра равна 8.

Площадь цилиндра формула через диаметр

Для облегчения расчетов иногда требуется произвести вычисления через диаметр. Например, имеется кусок полой трубы известного диаметра.

Не утруждая себя лишними расчетами, имеем готовую формулу. На помощь приходит алгебра за 5 класс.

Sпол = 2π * r2 + 2π * r * h = 2π * d2/4 + 2π * h * d/2 = π * d2/2 + π * d * h,

Вместо r в полную формулу нужно вставить значение r = d/2.

Площадь боковой поверхности цилиндра через радиус основания и высоту

Формула для нахождения боковой поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:

, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.

Заключение

В конце статьи назрел вопрос: а так ли необходимы все эти вычисления и переводы одних значений в другие. Зачем все это нужно и самое главное, для кого? Но не стоит пренебрегать и забывать простые формулы из средней школы.

Мир стоял и будет стоять на элементарных познаниях, из математики, в том числе. И, приступая к какой-нибудь важной работе, никогда не лишне освежить в памяти данные выкладки, применив их на практике с большим эффектом. Точность – вежливость королей.

Объем цилиндра

Объем цилиндра, формулы и калькулятор для вычисления объема цилиндра и площади его поверхностей, а также необходимая теория о характеристиках цилиндра.

Объем правильного цилиндра через радиус и высоту цилиндра

Формулы и калькулятор для вычисления объема цилиндра через площадь основания и высоту цилиндра

Формулы и калькулятор для вычисления объема цилиндра через диаметр основания

Объем цилиндрической полости

Объем полости в виде цилиндра равен объему цилиндра, который извлечен из данной полости для ее образования. То есть для вычисления цилиндрической полости можно воспользоваться формулами и калькулятором для расчета простого правильного цилиндра в зависимости от известных исходных данных.

На картинке продемонстрирована цилиндрическая полость, образованная в теле путем извлечения из него цилиндра. Объем извлеченного цилиндра и объем образованной полости равны.

Нужно отметить один важный момент. Несмотря на равенство объемов извлеченного цилиндра и образованной полости, площади поверхностей данных объектов будут отличаться, так как у образованной цилиндрической полости отсутствует верхняя поверхность. То есть суммарная площадь поверхности образованной цилиндрической полости будет меньше суммарной площади извлеченного цилиндра на одну площадь основания цилиндра.

Цилиндр может быть правильным или наклонным .

Правильный цилиндр – это цилиндр, где угол между образующими боковой поверхности и основанием цилиндра равен 90 градусов.

Неправильный или наклонный цилиндр – это цилиндр, где угол между образующими боковой поверхности и основанием цилиндра отличается от 90 градусов.

Рассмотрим правильный цилиндр.

Цилиндр – это тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Тело цилиндра ограничено двумя кругами, называемыми основанием цилиндра и боковой цилиндрической поверхностью, которая в развертке представляет собой прямоугольник

Цилиндр можно так же описать как тело, состоящее из двух равных кругов, не лежащих в одной плоскости и параллельных между собой, и отрезков, соединяющих все точки одной окружности, с соответствующими точками другой окружности. Данные отрезки называются образующими цилиндра.

Радиус основания цилиндра, является радиусом цилиндра.

Ось цилиндра – это прямая, соединяющая центра оснований цилиндра.

Высота цилиндра – это перпендикуляр, опущенный от одного основания цилиндра к другому.

Поверхности цилиндра

Наружную поверхность цилиндра можно условно разделить на три отдельные поверхности: верхняя, нижняя и боковая.

Верхняя и нижняя поверхности цилиндра имеют форму круга и равны между собой.

Боковая поверхность цилиндра имеет форму прямоугольника. Чтобы это наглядно представить, возьмем боковую наружную поверхность цилиндра и мысленно сделаем вертикальный разрез по образующей цилиндра. Далее развернем поверхность на плоскость. В результате увидим, что боковая поверхность имеет форму прямоугольника (см. на картинке).

Сечения цилиндра

При сечении цилиндра плоскостью, проходящей через оба основания цилиндра под углом в 90 градусов, всегда получатся прямоугольная фигура .

При сечении цилиндра плоскостью, проходящей через оба основания цилиндра под углом отличным от 90 градусов, получатся фигура, похожая на прямоугольник , но две боковые стороны которого будут являться кривыми линиями.

Если секущая поверхность проходит параллельно основаниям цилиндра, то сечением будет круг .

Если секущая поверхность проходит через боковую поверхность, но при этом не параллельна основанию цилиндра, то в сечении получается эллипс .

Если секущая поверхность проходит через одно основание цилиндра и боковую поверхность, то в сечение будет фигура в виде половины эллипса .

Что такое объем

Объем тела (геометрической фигуры) – это количественная характеристика, характеризующая количество пространства, занимаемого телом. Объем выражается в кубических единицах измерения, например: мм 3 , см 3 , мл 3 .

Формула вычисления объема цилиндра часто применяются при расчете массы различных цилиндров, например, прутков, заготовок и т.п. Для вычисления массы, необходимо вычисленный объем цилиндра умножить на плотность материала из которого цилиндр.

Так же, вычислить объём цилиндра иногда требуется для определения полости в виде цилиндра (цилиндрическая полость). В данном случае объём полости будет равен объёму цилиндра, который полностью занимает эту полость.

Объем и площадь других видов цилиндров рассмотрен в статьях:

источники:

http://geleot.ru/education/math/geometry/calc/cylinder/diameter_and_height

http://b4.cooksy.ru/articles/vysota-tsilindra-ravna-dline-okruzhnosti-osnovaniya-formula

Источник

Пользуйтесь нашим приложением

Мы используем файлы cookie. Пользуясь сайтом, вы принимаете условия нашего соглашения. Принять Детальнее

Источник

Комментарии преподавателя

Цилиндр, вписанный в сферу (шар)

Говорят, что цилиндр вписан в шар (сферу), если каждое его основание лежит на сфере данного шара (рис. 1). Любой цилиндр может быть вписан в шар.

Так как основания цилиндра имеют равный радиус, то расстояние от центра до их плоскостей одинаково, а значит, в силу их параллельности, центр находится в середине высоты цилиндра (рис. 2).


Рис. 1. Цилиндр, вписанный в шар	Рис. 2. Цилиндр, вписанный в шар

Задача №1

Условие: цилиндр, радиус основания которого равен 6 см, вписан в шар радиуса 10 см. Найти высоту цилиндра (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Пусть центр шара – , проекция его на основание цилиндра – , точка на границе этого основания – . Тогда из треугольника (радиус шара), (радиус цилиндра), значит, («египетский» треугольник). Но это половина высоты, а значит, искомая высота – 16 см.

Ответ: 16 см.

Шар, вписанный в цилиндр

Говорят, что шар (сфера) вписан в цилиндр, если он касается оснований цилиндра и его боковой поверхности (рис. 4).

Рис. 4. Шар, вписанный в цилиндр

1. Так как шар касается боковой поверхности, то в соответствующем сечении должен получиться круг, радиус которого равен радиусу шара. А значит, радиус цилиндра равен радиусу шара (рис. 5).

2. Высота должна быть равна диаметру шара (рис. 6).


Рис. 5. Шар, вписанный в цилиндр	Рис. 6. Шар, вписанный в цилиндр

Таким образом, совсем не любой цилиндр может быть описан около шара, для этого нужно, чтобы его высота была вдвое больше радиуса основания.

Задача №2

Условие: шар вписан в цилиндр. Во сколько раз площадь полной поверхности цилиндра больше площади поверхности шара?

Решение

Радиус цилиндра равен радиусу шара, а высота цилиндра – диаметру шара.

Площадь поверхности шара равна .

Площадь полной поверхности цилиндра есть ().

Таким образом, искомое отношение равно .

Ответ: 1,5.

Призма, вписанная в шар

Призма называется вписанной в шар (сферу), если все ее вершины лежат на поверхности шара (рис. 7). В дальнейшем рассматриваются только прямые призмы.

Рис. 7. Призма, вписанная в шар

Аналогично цилиндру, центр описанного шара будет находиться в центре высоты призмы.

Прямую призму можно вписать в шар тогда и только тогда, когда ее основание можно вписать в окружность. Как следствие, любую треугольную призму (рис. 8), а также любую правильную призму (рис. 9) можно вписать в шар.


Рис. 8. Треугольная призма, вписанная в шар	Рис. 9. Правильная шестиугольная призма, вписанная в шар

Четырехугольную призму можно вписать в шар, если ее основание является вписанным четырехугольником, т. е. сумма его противоположных углов равна 180 градусов (рис. 10).

Рис. 10. Четырехугольная призма, вписанная в шар

Шар, вписанный в призму

Говорят, что шар вписан в призму, если он касается всех ее граней (рис. 11).

Рис. 11. Шар, вписанный в призму

Аналогично цилиндру высота призмы также равна диаметру шара.

Радиус шара равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы.

Итак, вписать шар в призму можно только тогда, когда ее высота вдвое больше радиуса окружности, вписанной в основание.

Задача №3

Условие: дана правильная треугольная призма, сторона основания которой равна 6. Известно, что в нее можно вписать шар и около нее можно описать шар. Найти отношение их радиусов (рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к задаче 3

Решение

Начнем со вписанного шара. Его радиус совпадает с радиусом окружности, вписанной в треугольник основания. Этот радиус равен , то есть . Но тогда высота призмы равна .

Далее, центр описанного шара находится в середине высоты, то есть расстояние от него до плоскости основания равно . Пусть центр этого шара , центр основания – . Тогда (как радиус описанной окружности, например). И значит, по теореме Пифагора.

Таким образом, искомое отношение равно .

Ответ: .

Разветвление: задача №4

Условие: правильная шестиугольная призма вписана в шар радиуса 13. Высота призмы равна 24. Найти площадь полной поверхности призмы (рис. 13).


Рис. 13. Иллюстрация к задаче 4	Рис. 14. Иллюстрация к задаче 4

Решение

Разумеется, достаточно найти сторону основания. Пусть – центр шара, – центр основания призмы (рис. 14). Тогда , , а значит, по теореме Пифагора.

Как известно, радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне. Значит, сторона призмы – 5.

Найдем площадь ее боковой поверхности – Основание призмы состоит из 6 равных равносторонних треугольников со стороной 5 (и таких оснований 2, итого, 12 треугольников). Значит, суммарная площадь оснований равна .

Ответ: .

Пирамида, вписанная в шар

Шар называют описанным около пирамиды, если все вершины пирамиды принадлежат поверхности шара. Пирамиду в этом случае называют вписанной в шар (рис. 1).


Рис. 1. Пирамида, вписанная в шар	Рис. 2. Пирамида, вписанная в шар

Несложно заметить, что вершины основания пирамиды лежат в одной плоскости, значит, они должны принадлежать одной окружности описанного шара. Таким образом, необходимым условием для того, чтобы вписать пирамиду в шар, является то, что многоугольник основания является вписанным (рис. 2).

Докажем, что это является также и достаточным условием.

Разветвление: доказательство

Заметим, что если основание пирамиды можно вписать в окружность, то ГМТ равноудаленных от вершин основания – перпендикуляр к плоскости основания, проведенный через центр описанной окружности (рис. 3). Осталось найти на этой прямой точку, которая равноудалена от вершин основания и от вершины пирамиды. Для этого рассмотрим любую вершину основания и вершину пирамиды. ГМТ точек, равноудаленных от них, – плоскость, проходящая через середину перпендикулярно ему. Но эта плоскость не может быть параллельна перпендикуляру к плоскости основания – в противном случае, точка лежала бы в основании (рис. 4). Значит, условие вписанности основания является необходимым и достаточным.


Рис. 3. Иллюстрация к доказательству	Рис. 4. Иллюстрация к доказательству

Любая треугольная пирамида, а также любая правильная пирамида могут быть вписаны в шар.

Задача №1

Условие. Найти радиус шара, в который вписана правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны 2 (рис. 5).


Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1	Рис. 6. Треугольник

Решение

Рассмотрим пирамиду , все ребра которой равны 2. Пусть – центр основания, – центр шара. Тогда очевидно, что лежит на , причем . И пусть – середина .

Рассмотрим плоскость (рис. 6). По теореме Пифагора из треугольника высота равна , а тогда . Далее найдем по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике .

Пусть . Тогда ;

Решим уравнение: ;

Осталось заметить, что радиус шара равен , то есть:

Ответ:

Шар, вписанный в пирамиду

Шар называется вписанным в пирамиду, если он касается плоскостей всех граней пирамиды (рис. 7).

Рис. 7. Шар, вписанный в пирамиду

В любую треугольную (рис. и любую правильную пирамиду можно вписать шар, причем его центр будет лежать на высоте пирамиды, а точки касания с боковыми гранями – на апофемах (рис. 9).


Рис. 8. Шар, вписанный в треугольную пирамиду	Рис. 9. Шар, вписанный в правильную четырехугольную пирамиду

Задача №2

Условие: найти радиус шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду , сторона основания которой равна 10, а боковое ребро – 13 (рис. 10).


Рис. 10. Иллюстрация к задаче 2	Рис. 11. Треугольник

Решение

Пусть – центр шара, – центр основания, – середина , – середина . В силу сформулированного утверждения лежит на . Рассмотрим треугольник . По условию расстояния от точки до , и должны быть равными – это и есть радиусы шара. Таким образом, – просто центр вписанной окружности в треугольник , радиус этой окружности и надо найти (рис. 11).

Очевидно, , из треугольника равно 12 (в силу теоремы Пифагора).

Тогда .

Значит

Ответ: .

Заключение

На уроке мы разобрали комбинации шара, призмы, цилиндра и пирамиды, а также решили задачи на нахождение радиусов вписанного и описанного шара.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/kombinatsiya-shara-i-tsilindra

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/kombinatsiya-shara-i-piramidy

http://www.youtube.com/watch?v=P7_5qWj2BZM

http://www.youtube.com/watch?v=BjtAVlNmtGE

https://www.youtube.com/watch?v=UVukKUD2Sfk

http://nsportal.ru/sites/default/files/2014/09/30/kombinatsii_shara_s_.doc

http://cs7004.vk.me/c7006/v7006056/118db/6ebr4S1_lWc.jpg

http://cs14112.vk.me/c7006/v7006056/118fb/e2bNgVRz0ac.jpg

http://ppt4web.ru/images/111/7601/640/img3.jpg

http://5klass.net/datas/geometrija/Zadachi-po-geometrii-11-klass/0013-013-Izmerenija-prjamougolnogo-parallelepipeda.jpg

http://takya.ru/download/dlya-togo-chtobi-okolo-piramidi-mojno-bilo-opisate-sferu-neobh.doc

http://fs.nashaucheba.ru/tw_files2/urls_3/1132/d-1131348/img8.jpg

Призма вписана в шар

http://festival.1september.ru/articles/633696/presentation/pril.ppt

Источник

Диаметр и высота цилиндра

Свойства

Высота цилиндра равна длине окружности основания формула

Как найти высоту цилиндра, с помощью данных?

Объем цилиндра формула (через радиус основания и высоту)

S (б.п.) = hP = 2πrh

Формула вычисления объема цилиндра

Способ расчета радиуса цилиндра:

S (п.п.) = S (б.п.) + 2S (осн.) = 2πrh + πr2=πr (2h+r)

R = √V / πh

Примеры задач

Через площадь боковой поверхности

Площадь полной поверхности цилиндра через радиус основания и высоту

Высота цилиндра равна длине окружности

537. Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Диаметр основания цилиндра равен 1м высота цилиндра равна длине окружности

Диаметр основания цилиндра равен 1м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Другие вопросы из категории

Читайте также

Как найти площадь поверхности цилиндра: боковую, основания, полную

Площадь боковой поверхности цилиндра

Круговой цилиндр

Как рассчитать площадь боковой поверхности цилиндра с помощью калькулятора

Примеры задач

Осевое сечение прямого цилиндра

Введите радиус основания и высоту цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра

Основные определения и свойства цилиндра

Геометрическая фигура

Осевое сечение наклонного цилиндра

Примеры расчета площади поверхности цилиндра

Площадь цилиндра формула через диаметр

Площадь боковой поверхности цилиндра через радиус основания и высоту

Заключение

Объем цилиндра

Объем правильного цилиндра через радиус и высоту цилиндра

Формулы и калькулятор для вычисления объема цилиндра через площадь основания и высоту цилиндра

Формулы и калькулятор для вычисления объема цилиндра через диаметр основания

Объем цилиндрической полости

Поверхности цилиндра

Сечения цилиндра

Что такое объем

Комментарии преподавателя

Цилиндр, вписанный в сферу (шар)

Задача №1

Шар, вписанный в цилиндр

Задача №2

Призма, вписанная в шар

Шар, вписанный в призму

Задача №3

Разветвление: задача №4

Пирамида, вписанная в шар

Разветвление: доказательство

Задача №1

Шар, вписанный в пирамиду

Задача №2

Заключение