Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру в виде прямоугольников. Длина каждого прямоугольника представляет собой равный одинаковый частотный интервал и вычисляется по формуле:
xi-xi-1
Высоты гистограммы определяется по формуле:
Формула размаха выборки R:
R=xmax−xmin
Количество интервалов в выборке определяется по формуле:
k≈1+log2n≈1+3,221·lgn
Длина l интервала гистограммы, формула:
l=R/n
Формула эмпирической плотности распределения выборки имеет вид:
хi — значения частот;
ni — частоты;
wi — относительные частоты;
n — объём выборки;
В водоёме проведены измерения температуры воды в течение 20 дней.
Статистика отчета измерений:
11, 15, 18, 14, 12, 13, 11, 14, 18, 19, 18, 14, 15, 16, 14, 18, 21, 17, 13, 16
Построить гистограмму относительных, абсолютных и накопленных частот выборки, вычислить эмпирическую плотность распределения частот.
Решение.
По условию задачи объем выборки равен 20.
Отсортируем и упорядочим вариационный ряд, начиная от самого минимального значения, получим:
11, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 21
Найдем размах выборки
R=21-11=10
Количество интервалов в выборке равно:
k≈log220+1≈5,32
Округляя до целого числа, имеем
k=5
Определим длину каждого интервала
l=10/5=2
Получаем таблицу интервалов
| Номер интервала | Абсолютная частота, ni | Частотный интервал |
| 1. | 3 | [11;13) |
| 2. | 6 | [13;15) |
| 3. | 4 | [15;17) |
| 4. | 5 | [17;19) |
| 5. | 2 | [19;21) |
Таблица относительных частот и эмпирическая плотность распределения частоты
| Частотный интервал | Относительная частота, wi=ni/n | Эмпирическая плотность распределения частоты ni/Δ |
| [11;13) | 0.15 | 1.5 |
| [13;15) | 0.3 | 3 |
| [15;17) | 0.2 | 2 |
| [17;19) | 0.25 | 0.25 |
| [19;21) | 0.1 | 0.1 |
График гистограммы абсолютных частот
График гистограммы относительных частот
График гистограммы накопленных частот
Полигон в статистике — это график (или ломанная линия), отрезки которой соединяют точки с координатами хi, wi в прямоугольной системе координат между собой (см. рисунок ниже) и наглядно показывает распределение частот как для количественных, так и порядковых значений переменных, то плотность распределения случайной величины.
Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты хi, а на оси ординат — соответствующие им частоты ni и соединяют точки.
Пример графика полигона частот хi, ni
Пример графика полигона относительных частот хi, wi
22875
|
Середина |
Частота |
Относит. |
Накопл. |
Относит. |
||||
|
Интервал |
интервала |
mi |
частота |
частота |
накопл. |
|||
|
частота |
||||||||
|
x |
P* |
∑m |
||||||
|
F*(x) |
||||||||
|
i |
i |
i |
||||||
|
970 – 980 |
975 |
1 |
0,012 |
1 |
0,012 |
|||
|
980 – 990 |
985 |
3 |
0,036 |
4 |
0,048 |
|||
|
• • • |
• • • |
• • • |
• • • |
• • • |
• • • |
|||
Примечание. Цифры в таблице приведены для примера.
Относительная частота определяется по формуле:
Pi* = mni ,
где mi – абсолютная частота попадания параметра x в интервал; n – общее число статистических данных.
Примерные виды гистограммы, накопленного полигона и кумулятивной кривой изображены на рис. 1 и 2.
|
Рис.1. Гистограмма |
Рис. 2. Накопленный полигон (1) |
|
и кумулятивная кривая (2) |
Высота прямоугольника гистограммы находится по формуле
|
fi*(x) = |
P* |
||
|
i |
. |
||
|
xi +1 |
− xi |
||
Высота прямоугольника кумулятивной кривой равна
5
m
F * (xi ) = ∑Pi* ,
i=1
где m – число суммируемых частот до x=xi .
Среднее арифметическое значение параметра рассчитывается по формуле
n
m*x = ∑xi n i=1
или приближенно по формуле
k
m*x = ∑xi Pi* , i=1
где k – число интервалов, xi – середина i-го интервала.
Статистическая дисперсия:
D*x = ∑n (xi − m*x )2 (n −1) i=1
или приближенно
D*x = ∑k (xi −m*x )2 Pi* . i=1
Метод моментов. При методе моментов вид теоретической кривой плотности распределения подбирается по виду гистограммы, а числовые её характеристики (моменты) принимаются равными соответствующим статистическим характеристикам. Например, для нормального распределения
mx = m*x , Dx = D*x .
Для построения теоретической кривой плотности нормального распределения (на графике гистограммы) рассчитываются её значения в нескольких точках, обычно соответствующих границам интервалов, по формуле
|
− |
(xi −mx )2 |
||||
|
1 |
2σ2 |
||||
|
fi (x) = |
e |
||||
|
σ |
|||||
|
2π |
6
Полигон частот и гистограмма частот
Ирина Алексеевна Антоненко
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Полигон частот
Пусть нам дан ряд распределения, записанный с помощью таблицы:
Рисунок 1.
Определение 1
Полигон частот — ломанная, которая соединяет точки $(x_m,n_m)$ ($m=1,2,dots ,m)$.
То есть, для построения полигона частот необходимо на оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат соответствующие частоты. Полученные точки соединяют ломанной:
Рисунок 2. Полигон частот.
Помимо обычной частоты существует еще понятие относительной частоты.
Получаем следующую таблицу распределения относительных частот:
Рисунок 3.
Определение 2
Полигон относительных частот — ломанная, которая соединяет точки $(x_m,W_m)$ ($m=1,2,dots ,m)$.
То есть, для построения полигона частот необходимо на оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат соответствующие относительные частоты. Полученные точки соединяют ломанной:
Рисунок 4. Полигон относительных частот.
Гистограмма частот
Помимо понятия полинома для непрерывных значений существует понятие гистограммы.
Определение 3
Гистограмма частот — ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основанием — частичными интервалами длины $h$ и высотами $frac{n_i}{h}$:
Рисунок 5. Гистограмма частот.
«Полигон частот и гистограмма частот» 👇
Заметим, что площадь одного такого прямоугольника $frac{n_ih}{h}=n_i$. Следовательно, площадь всей фигуры равна $sum{n_i}=n$, то есть равна объему выборки.
Определение 4
Гистограмма относительных частот — ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основанием — частичными интервалами длины $h$ и высотами $frac{W_i}{h}$:
Рисунок 6. Гистограмма относительных частот.
Заметим, что площадь одного такого прямоугольника $frac{W_ih}{h}=W_i$. Следовательно, площадь всей фигуры равна $sum{W_i}=W=1$.
Примеры задачи на построение полигона и гистограммы
Пример 1
Пусть распределение частот имеет вид:
Рисунок 7.
Построить полигон относительных частот.
Решение.
Построим сначала ряд распределения относительных частот по формуле $W_i=frac{n_i}{n}$
Рисунок 8.
Получим следующий полигон относительных частот.
Рисунок 9.
Пример 2
Дан ряд непрерывного распределения частот:
Рисунок 10.
Решение.
Очевидно, что данном случае длина частичного интервала $h=2.$ Найдем высоты прямоугольников каждой точки разбиения.
При $x=1$: $frac{3}{2}=1,5$.
При $x=3$: $frac{5}{2}=2,5.$
При $x=6$: $frac{7}{2}=3,5.$
При $x=9$: $frac{9}{2}=4,5.$
Получаем следующую гистограмму частот:
Рисунок 11.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 25.02.2023
Привет, сегодня поговорим про гистограмма, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое
гистограмма, полигон, пример построения полигона, пример построения гистограммы , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .
Многим интересно как построить
полигон относительных частот или гистограмму?
В статистике для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.
Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки 
. Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты 
, а на оси ординат – соответствующие им частоты 
и соединяют точки 
отрезками прямых.
Полигон относительных частот строится аналогично, за исключением того, что на оси ординат откладываются относительные частоты 
.
В случае непрерывного признака строится
гистограмма , для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала 
– сумму частот вариант, попавших в i–й интервал.
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению 
. Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии (высоте) 
. Площадь i–го прямоугольника равна 
– сумме частот вариант i–о интервала, поэтому площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.
В случае гистограммы относительных частот по оси ординат откладываются относительные частоты 
, на оси абсцисс – частичные интервалы, над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на высоте 
. Площадь i–го прямоугольника равна относительной частоте вариант 
, попавших в i–й интервал. Поэтому площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.
Для наглядности строят различные графики статистического распределения.
По данным дискретного вариационного ряда строят полигон частот или относительных частот.
Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x1; n1), (x2; n2), …, (xk; nk). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат — соответствующие им частоты ni. Точки ( xi; ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот (Рис. 1).
Полигоном относительных частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x1; W1), (x2; W2), …, (xk; Wk). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат — соответствующие им относительные частоты Wi. Точки ( xi; Wi) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.
В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму.
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению ni / h (плотность частоты).
Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии ni / h.
Площадь i — го частичного прямоугольника равна hni / h = ni — сумме частот вариант i — го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.
Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению Wi / h (плотность относительной частоты).
Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии Wi / h (Рис . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . 2).
Площадь i — го частичного прямоугольника равна hWi / h = Wi — относительной частоте вариант попавших в i — й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.
|
Рис. 1. Полигон частот |
Рис. 2. Гистограмма относительных частот |
пример построения гистограммы
Гистограмма дает наглядное графическое представление о распределении результатов измерений или каких лио днных.
Ее строят для интервальных рядов данных, причем число результатов должно быть достаточно большим (не менее 40).
Гистограмма явяется ступенчатой фигурой, состоящую из прямоугольников, основания которых равны границам интервалов, а высота соответствует абсолютным или относительным частотам попадания результатов в интервалы.
Для построения гистограммы выполняют следующее:
1. Расчет размаха R из n результатов измерений (размах – это разница между наибольшим Хmax и наименьшим Xmin значениями)
R= Xmax +Xmin . (1.11)
2. Определение количества интервалов k по формуле k = 1 + 3,3× lg n (1.12)
или по упрощенной формуле k = 
(1.13)
Полученное значение k можно округлить. Обычно 6 < k < 20
3. Вычисление ширины интервалов гистограммы h, h = R/k . (3.14)
4. Расчет границ интервалов. Границы интервалов выбирают обычно таким образом, чтобы они не совпадали с результатами измерений и крайние интервалы были заполнены.
5. Подсчет числа попаданий результатов в интервалы. Полученные результаты сводят в таблицу.
6. Построение столбчатой гистограммы.
Если полученная гистограмма соответствует «колоколу» Гаусса (рис. 2.3), то результаты измерений распределены по нормальному закону и вероятно всего наблюдаются естественные природные процессы и величины. возможны и другие законов распределения
Пример. имееются 50 дневные измерения цен на голандский сыр в Долларах .
Необходимо определить закон распределения результатов измерения, построив гистограмму.
| 20,62 | 20,40 | 20,60 | 20,53 | 20,45 | 20,65 | 20,59 | 20,70 | 20,60 | 20,60 |
| 20,64 | 20,58 | 20,80 | 20,60 | 20,57 | 20,60 | 20,70 | 20,60 | 20,60 | 20,60 |
| 20,46 | 20,60 | 20,75 | 20,51 | 20,70 | 20,75 | 20,55 | 20,60 | 20,55 | 20,42 |
| 20,48 | 20,66 | 20,52 | 20,58 | 20,73 | 20,73 | 20,57 | 20,55 | 20,65 | 20,60 |
| 20,66 | 20,67 | 20,67 | 20,70 | 20,58 | 20,60 | 20,50 | 20,50 | 20,80 | 20,50 |
Решение.
Рассчитаем размах результатов R по формуле (3.11)
R = 20,80 – 20,40 = 0,40 доллар.
Определим количество интервалов по формуле (3.12):
k = 1 +3,3× lg 50 = 6,6 » 7.
По формуле (1.14) вычислим ширину интервалов
h = 0,4 / 7 = 0. 057 = 0,06 доллар
Далее составим таблицу, в которую запишем границы интервалов и частоту попадания результатов в указанные интервалы (табл. 1).
Наименьший результат измерения 20,40 доллар, поэтому нижнюю границу первого интервала целесообразно выбрать равной
20,40 — 0.06/2 = 20,37 доллар
Чтобы границы интервалов не совпадали с результатами, добавим к ним один разряд.
Таблица 1 Расчет гистограммы
| Границы интервалов, доллар | Частота попадания в интервалы, hm | Относительная частота, hm/n |
| 20,375 – 20,435 | 2 | 0,04 |
| 20,435 – 20,495 | 3 | 0,06 |
| 20,495 – 20,555 | 7 | 0,14 |
| 20,555 – 20,615 | 21 | 0,42 |
| 20,615 – 20,675 | 6 | 0,12 |
| 20,675 – 20,735 | 6 | 0,12 |
| 20,735 – 20,795 | 3 | 0,06 |
| 20,795 – 20,855 | 2 | 0,04 |
| Итого | n = 50 | Р = 1,00 |
Строим гистограмму. По оси абсцисс откладываем границы интервалов, а по оси ординат – абсолютные или относительные частоты (рис. 1.1).
Рис.1.1. Гистограмма
построить гистограмму можно и редакторе EXCEL или Google Docs .
Полученная гистограмма соответствует «колоколу» Гаусса, что говорит о нормальном распределении результатов измерений напряжения
пример построения полигона частот
Спортивные достижения пловцов характеризуются данными, представленными в таблице.
| Количество баллов x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Число спортсменов n | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 4 | 6 | 5 | 3 | 3 | 2 | 1 |
Построить полигон частот.
Решение.
Строим точки основываясь на данных из таблицы. Полученные точки соединяем отрезками прямой. Важно что точки (0; 0) и (13; 0), расположенные на оси абсцисс и имеющие своими абсциссами числа, на 1 меньшее и большее, чем соответственно абсциссы самой левой и самой правой точек.
Построим Полигон частот
Если полигон строят по данным интервального ряда, то в качестве абсцисс точек берут середины соответствующих интервалов.
Крайние левую и правую точки соединяют с точками оси абсцисс — серединами ближайших интервалов, частоты которых равны нулю.
Конечно, в этом случае полигон лишь приближенно отображает зависимость частот от значений аргумента.
Выводы
Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!
- выборочная функция распределения , эмпирическая функция распределения ,
- ряды распределения , полигон , гистограмма , кумулята ,
- Логнормальное распределение
- псевдокривая
- Статистический критерий
Я хотел бы услышать твое мнение про гистограмма Надеюсь, что теперь ты понял что такое гистограмма, полигон, пример построения полигона, пример построения гистограммы
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ
Постройка полигона и гистограммы частот
Содержание:
- Что такое полигон и гистограмма частот
- Как построить полигон частот
- Как построить гистограмму частот
- Чему равна площадь гистограммы частот
- Примеры создания полигона и гистограммы в задачах
Что такое полигон и гистограмма частот
Для наглядного представления ряда распределения используют полигон и гистограмму частот.
Определение
Полигон частот – это ломаная, соединяющая точки (x1, n1), (x2, n2),…, (xk, nk), где xi – это варианты или наблюдаемые значения, а ni – частота вариантов.
Существует также полигон относительных частот, представляющий собой ломаную, которая образуется при соединении точек (x1, W1), (x2, W2),…, (xk, Wk). Величина W является отношением частоты данного варианта к объему выборочной совокупности и имеет вид:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
(W_i=frac{n_i}n)
где n – это объем выборки.
Гистограмму используют в случае непрерывного признака.
Определение
Гистограмма частот – это фигура в виде ступеней – прямоугольников, в основании которых лежат частичные интервалы длины h, а высотами служат Wi.
Для гистограммы относительных частот основанием прямоугольников ступенчатой фигуры служат частичные интервалы длины h, а высотами – отношение Wi/h.
Как построить полигон частот
Полигон частот строится следующим образом. На оси абсцисс отмечают наблюдения значения x, на оси ординат откладывают соответствующие xi частоты ni. Точки с координатами (xi, ni), соединенные прямыми отрезками, составляют ломаную – полигон частот.
Пример
Полигон частот для выборки со следующими значениями:
xi 92, 94, 95, 96, 97, 98.
ni 1, 2, 2, 3, 1, 1.
Как построить гистограмму частот
Алгоритм построения гистограммы частот такой: на оси OX отмечаются частичные интервалы h, затем над отложенными значениями проводятся отрезки, параллельные оси OY, на расстоянии отношения плотности частоты ni/h.
Пример гистограммы частот при частичном интервале h, равном 3.
Сумма частот вариант h: 2–5, 5–8, 8–11, 11–14.
Плотность частоты ni/h: 3,3; 8,3.
Чему равна площадь гистограммы частот
Площадь отдельного прямоугольника гистограммы равна сумме частот интервала i и имеет вид:
(frac{n_ih}h=n_i)
Площадь всей гистограммы складывается из всех частот, значит, она равна объему выборки.
Примеры создания полигона и гистограммы в задачах
Задача 1
Успеваемость студентов по дисциплине «Высшая математика» представлена в виде баллов:
Баллы, x: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Количество студентов, n: 1, 1, 2, 3, 4, 4, 6, 5, 3, 3, 2, 1.
Нужно построить полигон частот по этим данным.
Решение
На основе представленной информации строим точки и соединяем их отрезками прямой. Следует заметить, что точки с координатами (0; 0) и (13; 0), которые располагаются на оси OX, имеют своими абсциссами числа на 1 меньшее и большее, чем абсциссы наиболее левой и наиболее правой точек соответственно. Полигон частот выглядит так:
Задача 2
По итогам контрольной работы по биологии среди учеников 9-го класса получена информация о доступности вопросов тестирования (отношение количества учеников, верно ответивших на вопросы, к общему числу учащихся, написавших данную работу). Результаты:
Доступность вопросов, x (%): 25–35, 35–45, 45–55, 55–65, 75–85, 85–95.
Количество вопросов, n: 1, 1, 5, 7, 7, 3, 1.
Всего в контрольной работе было 25 вопросов.
Необходимо построить гистограмму по этому ряду распределения.
Решение
Отмечаем на оси абсцисс 7 отрезков длиной 10. Эти отрезки будут основанием прямоугольников с высотами 1, 1, 5, 7, 7, 3, 1. Ступенчатая фигура, полученная в результате перечисленных действий, является искомой гистограммой.