A square is a four-sided, two-dimensional shape. A square’s four sides are equal in length, and its angles are all 90 degrees, or right angles. A square can be a rectangle (all 90 degree angles) or a rhombus (all sides are equal length). You can make a square as large or small as you’d like; the sides will always be the same length, and a square will always have four right angles.
- Paper
- Pencil
- Scientific calculator
-
You can also measure the height of the square, if it is sized correctly.
Determine if you can use trigonometry to find the height of the square. You can only use trigonometry if you have the length measurement for the diagonal line that can divide the square into two equal triangles. You need three pieces of information to use trigonometry. Any combination of three angles or sides will help you find the other missing measurements for the remaining angles or sides. The two exceptions are only having the three angle measurements or having only one angle and two sides.
Determine which pieces of information you have. If you have the length of the diagonal line, you will be able to determine the height of the square. Knowing squares have four right angles, you also have two angles to use. The diagonal line cuts the right angle into two equal angles, half of a right angle. This is 45 degrees.
Use cosine to find the height of the missing side. The cosine of the angle equals the adjacent side divided by the hypotenuse. Written, it is: cos(angle) = h/hypotenuse. As an example, the angle to use here is one of the 45 degree angles created by the diagonal line. The adjacent side is our unknown — the height of the square. The hypotenuse is the longest side of the triangle, the length of the diagonal that is dividing the square into two equal triangles.
Set up your equation, where «h» equals the unknown height of the square, and the hypotenuse equals 50. Cosine(45 degrees) = h/50.
Use a scientific calculator to figure out what the cosine of 45 is. The answer is .71. Now the equation reads .71 = h/50. This number will change if the angle is a different measurement; but for squares, this will always be the number, as the shape is no longer a square if it does not have four right angles.
Use algebra to solve for the unknown «h.» Multiply both sides by 50 to isolate the «h» by itself on the right side of the equation. This reverses the 50 being divided by «h.» You now have 35.35 = h, where the diagonal line equals 50. The height of the square is 35.35. Use whichever units the length of the diagonal line is given in. This could be centimeters, inches or feet.
Things You’ll Need
Tips
Квадрат. Формулы и свойства квадрата
Определение.
Квадрат — это четырехугольник у которого все четыре стороны и углы одинаковы.
Квадраты отличаются между собой только длиной стороны, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90°.
Основные свойства квадрата
Квадратом также могут быть параллелограмм, ромб или прямоугольник если они имеют одинаковые длины диагоналей, сторон и одинаковые углы.
1. Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны:
AB = BC = CD = AD
2. Противоположные стороны квадрата параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Все четыре угла квадрата прямые:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
4. Сумма углов квадрата равна 360 градусов:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
5. Диагонали квадрата имеют одинаковой длины:
AC = BD
6. Каждая диагональ квадрата делит квадрат на две одинаковые симметричные фигуры
7. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам:
| AC┴BD | AO = BO = CO = DO = | d | |
| 2 |
8. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности
9. Каждая диагональ делит угол квадрата пополам, то есть они являются биссектрисами углов квадрата:
ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°
10. Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные и прямоугольные:
ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA
Диагональ квадрата
Определение.
Диагональю квадрата называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата.
Диагональ любого квадрата всегда больше его стороны в√2 раз.
Формулы определения длины диагонали квадрата
1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:
d = a·√2
2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата:
d = √2S
3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата:
4. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:
d = 2R
5. Формула диагонали квадрата через диаметр описанной окружности:
d = Dо
6. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности:
d = 2r√2
7. Формула диагонали квадрата через диаметр вписанной окружности:
d = Dв√2
8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l:
Периметр квадрата
Определение.
Периметром квадрата называется сумма длин всех сторон квадрата.
Формулы определения длины периметра квадрата
1. Формула периметра квадрата через сторону квадрата:
P = 4a
2. Формула периметра квадрата через площадь квадрата:
P = 4√S
3. Формула периметра квадрата через диагональ квадрата:
P = 2d√2
4. Формула периметра квадрата через радиус описанной окружности:
P = 4R√2
5. Формула периметра квадрата через диаметр описанной окружности:
P = 2Dо√2
6. Формула периметра квадрата через радиус вписанной окружности:
P = 8r
7. Формула периметра квадрата через диаметр вписанной окружности:
P = 4Dв
8. Формула периметра квадрата через длину отрезка l:
Площадь квадрата
Определение.
Площадью квадрата называется пространство, ограниченное сторонами квадрата, то есть в пределах периметра квадрата.
Площадь квадрата больше площади любого четырехугольника с таким же периметром.
Формулы определения площади квадрата
1. Формула площади квадрата через сторону квадрата:
S = a2
2. Формула площади квадрата через периметр квадрата:
3. Формула площади квадрата через диагональ квадрата:
4. Формула площади квадрата через радиус описанной окружности:
S = 2R2
5. Формула площади квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности:
S = 4r2
7. Формула площади квадрата через диаметр вписанной окружности:
S = Dв2
8. Формула площади квадрата через длину отрезка l:
Окружность описанная вокруг квадрата
Определение.
Кругом описанным вокруг квадрата называется круг проходящий через четыре вершины квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата всегда больше радиуса вписанной окружности в√2 раз.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен половине диагонали.
Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.
Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг квадрата
1. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через сторону квадрата:
2. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через периметр квадрата:
3. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через площадь квадрата:
4. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диагональ квадрата:
5. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через радиус вписанной окружности:
R = r √2
7. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр вписанной окружности:
8. формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через длину отрезка l:
Окружность вписанная в квадрата
Определение.
Кругом вписанным в квадрат называется круг, который примыкает к серединам сторон квадрата и имеет центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата.
Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в 4/π раза.
Формулы определения радиуса круга вписанного в квадрат
1. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через сторону квадрата:
2. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диагональ квадрата:
3. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через периметр квадрата:
4. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через площадь квадрата:
5. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через радиус описанной окружности:
6. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр, описанной окружности:
7 Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр вписанной окружности:
8. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через длину отрезка l:
Квадрат — это четырехсторонняя двумерная форма. Четыре стороны квадрата равны по длине, и все его углы равны 90 градусам или прямым углам. Квадрат может быть прямоугольником (все углы 90 градусов) или ромбом (все стороны имеют одинаковую длину). Вы можете сделать квадрат настолько большим или маленьким, насколько захотите; стороны всегда будут одинаковой длины, а квадрат всегда будет иметь четыре прямых угла.
-
Вы также можете измерить высоту квадрата, если он имеет правильный размер.
Определите, можете ли вы использовать тригонометрию, чтобы найти высоту квадрата. Вы можете использовать тригонометрию, только если у вас есть измерение длины для диагональной линии, которое может разделить квадрат на два равных треугольника. Вам нужно три части информации, чтобы использовать тригонометрию. Любая комбинация трех углов или сторон поможет вам найти другие недостающие измерения для оставшихся углов или сторон. Два исключения имеют только три измерения угла или только один угол и две стороны.
Определите, какие части информации у вас есть. Если у вас есть длина диагональной линии, вы сможете определить высоту квадрата. Зная, что квадраты имеют четыре прямых угла, у вас также есть два угла для использования. Диагональная линия разрезает прямой угол на два равных угла, половина правильного угла. Это 45 градусов.
Используйте косинус, чтобы найти высоту отсутствующей стороны. Косинус угла равен соседней стороне, деленной на гипотенузу. Написано это: cos (угол) = h / гипотенуза. Например, используемый здесь угол является одним из 45-градусных углов, созданных диагональной линией. Соседняя сторона нашего неизвестна — высота квадрата. Гипотенуза — это самая длинная сторона треугольника, длина диагонали, которая делит квадрат на два равных треугольника.
Установите свое уравнение, где «h» равно неизвестной высоте квадрата, а гипотенуза равна 50. Косинус (45 градусов) = h / 50.
Используйте научный калькулятор, чтобы выяснить, что такое косинус 45. Ответ 0, 71. Теперь уравнение гласит.71 = ч / 50. Это число изменится, если угол будет другим измерением; но для квадратов это всегда будет число, поскольку форма больше не является квадратом, если у нее нет четырех прямых углов.
Используйте алгебру, чтобы найти неизвестное «ч». Умножьте обе стороны на 50, чтобы выделить «h» в правой части уравнения. Это меняет 50 на «ч». Теперь у вас есть 35, 35 = h, где диагональная линия равна 50. Высота квадрата составляет 35, 35. Используйте единицы измерения, в которых указана длина диагональной линии. Это могут быть сантиметры, дюймы или футы.
подсказки
Содержание материала
- Пример
- Видео
- Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата
- Вычисление диагонали квадрата по известной площади
- Вычисление по радиусу описанной и вписанной окружности
- Признаки квадрата
Пример
Возьмем, к примеру, квадрат 6 на 6, то есть со стороной, равной шести сантиметрам.
По первому способу: пусть диагональ будет равна С, а боковая сторона — А.
Тогда получим, что С=√А^2+А^2 или С=√2А^2.
Запишем в числовом виде: С =√36 + 36. Получили √72, а это 3√8 или 6√2.
А теперь найдем ту же диагональ, но уже по второму способу: С = А√2 или в числовом виде: 6√2
Теперь видно, насколько второй способ быстрее, легче и самое главное — эффективнее, особенно в таких легких задачках, ведь на экзамене дорога каждая минута!
Видео
Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата
Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:
 |
(3) |
Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.
Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:
Ответ: 
Вычисление диагонали квадрата по известной площади
Пусть нам дана площадь квадрата, её обозначают латинской буквой S, найдём его диагональ.
Используем свойства прямоугольника и запишем формулу его площади.
S = a*b. Перепишем для b = a. Получим: s = a^2. Отсюда найдём сторону: a = radS. Итак, нам удалось выразить сторону через площадь. Подставим полученное выражение в конечную формулу из предыдущей части. Формула примет вид: d = rad2*a = rad2*radS.
Пример: допустим, площадь равна 32 квадратных метра. Подставим это число. Получим rad2*rad32 = rad2*4*rad2 = 4*2 = 8 метров.
Вычисление по радиусу описанной и вписанной окружности
Ещё один способ, который на само деле очень простой. Радиус описанной окружности будем обозначать латинской буквой R, радиус вписанной окружности будем обозначать латинской буквой r.
Сначала разберёмся с описанной окружностью. В данной ситуации её радиус составляет ровно половину диагонали (это нетрудно убедиться с использованием построения), таким образом: R = 1/2*d. отсюда имеем: d = два*R. Снова поясним наши рассуждения на примере. Пусть R = 45 километров. Получим, d = два*45 = 90 километров.
И, наконец, рассмотрим метод, связанный с радиусом вписанной окружности. Опять-таки из построения чётко видно, что диаметр вписанной окружности равняется стороне квадрата. Таким образом, её радиус вдвое меньше стороны. Запишем это в виде формулы: r = 1/2*a. Отсюда следует, a = 2*r. Снова воспользуемся формулой из первого метода, подставим вместо стороны её выражение через радиус вписанной окружности. Выражение примет вид: d = rad2*a = rad2*2*r.
Ещё раз воспользуемся помощью примера. Пусть r = 98 метров. Тогда имеем, d = rad2*2*98 = 196*rad2.
Признаки квадрата
Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.
Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.
Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).
Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть
 |
(10) |
Так как AD и BC перпендикулярны, то
Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда
 |
(12) |
Эти реугольники также равнобедренные. Тогда
Из (13) следует, что
 |
(14) |
Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).
Смотрите также:
- Площадь квадрата онлайн
Теги
Квадрат и окружность – две простые фигуры геометрии свойства которых должны знать все. Квадрат является частным случаем четырехугольников, прямоугольников, параллелограммов, ромбов, а отличается от них равными сторонами и прямыми углами.
Квадрат наиболее симметричная фигура среди всех четырехугольников.
Свойства квадрата
Свойства квадрата — это основные признаки которые позволяют распознать его среди прямоугольников, ромбов, четырехугольников:
- В квадрата все стороны и углы равны AB=BC=CD=AD.
- Противоположные стороны параллельны между собой
- Углы между соседними сторонами прямые.
- Диалонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
- Диагонали является одновременно биссектрисами углов квадрата.
- Точка в которой пересекаются диагонали является центром квадрата, кроме этого — центром вписанной и описанной окружности.
- Диагонали делят квадрат на четыре одинаковые равнобедренные прямоугольные треугольники .
Площадь квадрата
Больше примеров в школьном курсе при изучении квадрату связано с вычислением его площади и периметра. Вам может показаться что для вычисления площади достаточно знать одну формулу S=a*a и этого хватит для всех задач, однак это не так. Поскольку быстро информация воспринимается и изучается визуально, то мы объединили все величины квадрата которые Вам придется вычислять и нарисовали простые и понятные рисунки с формулами. Их без трудностей можете скачать по ссилке внизу статьи.
Большинство обозначений Вам понятна, но повторим их снова
a– сторона квадрата;
d– диагональ;
P– периметр;
S– площадь;
R– радиус описанной окружности;
r– радиус вписанной окружности;
l– отрезок изображен на рисунке (часто используется в сложных примерах).
Формулы площади квадрата которые приведены ниже дают возможность вычислять ее через периметр, сторону, диагонали, радиусы .
Они не слишком сложные и каждая из них может Вам пригодиться для вычисления площади квадрата.
Периметр квадрата
Что может быть проще вычисления периметра квадрата если конечно известно его стороны. Однако, если задана только диагональ, площадь, радиус то нахождение периметра не так очевидно. Приведенный ниже рисунок содержит самые необходимые формулы для вычисления параметра
Сами же формулы периметру от различных параметров квадрату привидены ниже
Диагональ квадрата
Диагональ квадрата может бить выражена через радиусы вписанной, описанной окружностей, сторону, периметр, площадь следующими формулам.
В качестве справочника формул диагонали квадрата можете использовать следующий рисунок.
Радиус описанной окружности
Простейшая для вычислений формула радиуса описанной окружности R=d/2, т.е. радиус равен половине диагонали квадрата. Все последующие формулы которые помогут определить радиус описанной окружности содержат корни, однако при вычислениях незаменимы.
Ниже изображен вспомогательный рисунок с приведенным всеми формулами.
Радиус вписанной окружности в квадрат
Радиус вписанной окружности из рисунка равный половине его стороны.
Также он равной одной восьмой части периметра. Зависимости для нахождения радиуса вписанной окружности через площадь, диагональ, радиус описанной окружности содержат иррациональности. Однако и в условиях примеров величины, известные для вычисления радиуса, как правило, заданны с корнями или такими которые легко упрощаются (например 
).
Черновик-подсказка формул радиуса вписанной в квадрат окружности приведена ниже
Если же задано диаметр вписанной или описанной окружности то делим пополам (чтобы получить радиус) и можем применять в приведенных формулах. Это Вы думаю помните.
Бонус для всех школьников и студентов. Все цветные графики с формулами площади квадрата, его периметра, диагонали, радиусов вписанной и описанной окружности Вы можете скачать по ссылке внизу.
Распечатывайте формулы и пользуйтесь в обучении.
{jd_file file==18}
Понравился материал — поделись ссылкой с друзьями.
Посмотреть материалы:
- Прямоугольный треугольник. Задачи
- Площадь треугольника. Формулы
- Периметр и площадь прямоугольника
- Периметр и площадь параллелограмма
- Формулы площади трапеции
- Ромб. Площадь, периметр
{jcomments on}