Как найти высоту квадратной пирамиды

In geometry, a pyramid is a three-dimensional shape with a polygonal base and three or more triangular faces that meet at a common point above the base, known as the apex or vertex. A pyramid is a polyhedron that is classified according to the shape of its polygonal base, such as

• Triangular pyramid
• Rectangular pyramid
• Square pyramid
• Pentagonal pyramid
• Hexagonal pyramid

The apex is the meeting point of a pyramid’s lateral surfaces or side faces. The perpendicular distance from the center of the base to the apex is called the height of a pyramid, while the slant height of a pyramid is defined as the perpendicular distance between the apex and the base of a lateral surface.

Square Pyramid

A square pyramid is also known as a pentahedron as it has five faces, including a square base and four triangular faces that meet at a point at the top called the apex. The Great Pyramid of Giza is the best example of a square pyramid. A square pyramid is a pyramid that has a square base and four triangular faces (lateral faces). It has five (5) faces four (4) triangular faces, a square base, five (5) vertices, and eight (8) edges.
Square pyramids can be distinguished depending upon the lengths of their edges, the position of the apex, and so on. The different types of square pyramids are equilateral square pyramids, right square pyramids, and oblique square pyramids.

• Equilateral square pyramid: An equilateral square pyramid is a square pyramid where all the triangular faces of a square pyramid have equal edges.
• Right square pyramid: A right square pyramid is a square pyramid with the apex just above the center of the base, such that a straight line from the apex cuts the base perpendicularly. 
• Oblique square pyramid: An oblique square pyramid is a square pyramid where the apex is not aligned right above the center of the base.

Regular Square Pyramid Formulae

There are two types of surface areas, namely, the lateral surface area and the total surface area. A pyramid’s total surface area is calculated by adding the areas of its base, side faces, and lateral surfaces, while the lateral surface area of a pyramid is calculated by adding the sum of its lateral surfaces, or side faces.

Lateral surface area of the regular square pyramid (LSA)= 2al square units

Total surface area of a regular square pyramid (TSA) = 2al + a² square units

Where “a” is the base edge, and “l” is the slant height.

The slant height of the pyramid (l) = √[(a/2)² + h²]

Now, 

Lateral surface area of the square pyramid (LSA)= 2a√(a²/4 + h²) square units

Total surface area of a regular square pyramid (TSA) = a² + 2a√(a²/4 + h²) square units

Volume of Regular Square Pyramid

The formula to determine the volume of a pyramid is given as,

The volume of a pyramid = 1/3×Ah cubic units

Where h is the height of the pyramid and A is the area of the base

Here, as the base of the pyramid is a square, 

Base area = a²

Now, 

Volume of the regular square pyramid (V)= (1/3)a²h cubic units

Where “a” is the base edge, and “h” is the height of the pyramid.

Practise Problems based on Regular Square Pyramid Formula

Problem 1: Calculate a square pyramid’s total surface area if the base’s side length is 20 inches and the pyramid’s slant height is 25 inches.

Solution:

Given,

The side of the square base (a) = 20 inches, and

Slant height, l = 25 inches

The perimeter of the square base (P) = 4a = 4(20) = 80 inches

The lateral surface area of a regular square pyramid = (½) Pl

LSA = (½ ) × (80) × 25 = 1000‬ sq. in

Now, the total surface area = Area of the base + LSA

= a² + LSA

= (20)² + 1000‬ 

= 400 + 1000 = 1400 sq. in

Hence, the total surface area of the given pyramid is 1400 sq. in.

Problem 2: Calculate the slant height of the regular square pyramid if its lateral surface area is 192 sq. cm and the side length of the base is 8 cm.

Solution:

Given data,

Length of the side of the base (a) = 8 cm

The lateral surface area of a regular square pyramid = 192 sq. cm

Slant height (l) = ?

We know that,

The lateral surface area of a regular square pyramid = (½) Pl

The perimeter of the square base (P) = 4a = 4(8) = 32 cm

⇒ 192 = ½ × 32 × l

⇒ l = 12 cm

Hence, the slant height of the square pyramid is 12 cm.

Problem 3: What is the volume of a regular square pyramid if the sides of a base are 10 cm each and the height of the pyramid is 15 cm?

Solution:

Given data,

Length of the side of the base (a)= 10 cm

Height of the pyramid (h) = 15 cm.

The volume of a regular square pyramid (V) = 1/3 × Area of square base × Height

Area of square base = a² = (10)² = 100 sq. cm

V = 1/3 × (100) ×15 = 500 cu. cm

Hence, the volume of the given square pyramid is 500 cu. cm.

Problem 4: Calculate the lateral surface area of a regular square pyramid if the side length of the base is 7 cm and the pyramid’s slant height is 12 cm.

Solution:

Given,

The side of the square base (a) = 7 cm

Slant height, l = 12 cm

The perimeter of the square base (P) = 4a = 4(7) = 28 cm

The lateral surface area of a regular square pyramid = (½) Pl

LSA = (½ ) × (28) × 12 = 168‬ sq. cm

Hence, the lateral surface area of the given pyramid is 168 sq. cm.

Problem 5: Calculate the height of the regular square pyramid if its volume is 720 cu. in. and the side length of the base is 12 inches.

Solution:

Given,

The side of the square base (a) = 12 cm

Volume = 720 cu. in

Height (H) =?

We know that,

The volume of a regular square pyramid (V) = 1/3 × Area of square base × Height

Area of square base = a² = (12)² = 144 sq. in

⇒ 720 = 1/3 × 144 × H

⇒ 48H = 720

⇒ H = 720/48 = 15 inches

Hence, the height of the square pyramid is 15 inches.

Problem 6: Calculate the volume of a regular square pyramid if the base’s side length is 8 inches and the pyramid’s height is 14 inches.

Solution:

Given data,

Length of the side of the base of a square pyramid = 8 inches

Height of the pyramid = 14 inches.

The volume of a regular square pyramid (V) = (1/3)a²h cubic units

V = (1/3) × (8)² ×14 

= (1/3) × 64 × 14

= 298.67 cu. in

Hence, the volume of the given square pyramid is 298.67 cu. in.

Problem 7: Find the surface area of a regular square pyramid if the base’s side length is 15 units and the pyramid’s slant height is 22 units.

Solution:

Given,

The side of the square base (a) = 15 units, and

Slant height, l = 22 units.

We know that,

The total surface area of a regular square pyramid (TSA) = 2al + a² square units

= 2 × 15 × 22 + (15)²

= 660 + 225= 885 sq. units

Hence, the total surface area of the given pyramid is 885 sq. units.

Frequently Asked Questions on Square Pyramid

Question 1: What is a square pyramid?

Answer:

Square pyramid is a 3-D figure with a square base and four triangular faces joined at a vertex.

Question 2: Mention the few properties of a square pyramid?

Answer:

Few properties of square pyramid are:

• Square Pyramid has the base of a square.
• It has five vertices and four triangular faces.
• Square Pyramid has 8 edges.

Question 3: What is the formula for the volume of a square pyramid?

Answer:

Formula for the volume of a square pyramid is 

Volume = (⅓)×(Base area of a square)×(Height of the square pyramid) cubic units.

Достаточно знать длину бокового ребра пирамиды, количество сторон многоугольника, лежащего в основании пирамиды, а также длину стороны основания (сторону многоугольника).

В основании правильной пирамиды всегда лежит правильный многоугольник. Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность.

Есть такая формула:

a — длина стороны n-угольника (для правильного многоугольника).

L — длина окружности, описывающей этот многоугольник.

n — это количество сторон этого многоугольника

Если выразить эту формулу наоборот, то можно по стороне многоугольника найти длину окружности.

L=a*π/sin(180/n)

Зная длину окружности, можно найти радиус этой окружности:

L=2πR

R=L/(2π)

Подставляя L из первой формулы, получаем:

R = L/(2π) = a*π/(2π*sin(180/n)) = a/(2sin(180/n))

Теперь если приглядитесь к рисунку, то увидите, что радиус описанной окружности является также и катетом в прямоугольном треугольнике (игреком «y» на левой картинке).

А вертикальное ребро пирамиды это гипотенуза этого прямоугольного треугольника.

А искомая нам высота это второй катет этого прямоугольного треугольника.

По теореме Пифагора:

X²=Y²+h²

h²=X²-Y²

h=√(X²-Y²)

X нам известен — это длина боковой стороны пирамиды.

Y тоже известен — это расстояние от одного из углов основания пирамиды до центра пирамиды, и это же радиус описанной вокруг этого многоугольника окружности.

Y=R, а R равен: R=a/(2sin(180/n))

Итак подведём итог:

h=√(X²-Y²) = √(X²-R²) = √(X²-(a/(2sin(180/n)))²)

X — размер боковой стороны (ребра) пирамиды.

n — количество сторон многоугольника в основании.

a — размер стороны этого многоугольника в основании.

Более удобно эту формулу я отразил на рисунке.

Высота равносторонней квадратной пирамиды Калькулятор

Search
Дом	математика ↺
математика	Геометрия ↺
Геометрия	3D геометрия ↺
3D геометрия	Пирамида ↺
Пирамида	Квадратная пирамида ↺
Квадратная пирамида	Равносторонняя квадратная пирамида ↺

Высота равносторонней квадратной пирамиды Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Длина ребра равносторонней квадратной пирамиды: 10 метр —> 10 метр Конверсия не требуется

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

7.07106781186547 метр —> Конверсия не требуется

3 Равносторонняя квадратная пирамида Калькуляторы

Высота равносторонней квадратной пирамиды формула

Высота равносторонней квадратной пирамиды = Длина ребра равносторонней квадратной пирамиды/sqrt(2)

h = l_e/sqrt(2)

Что такое равносторонняя квадратная пирамида?

Равносторонняя квадратная пирамида представляет собой пирамиду с квадратным основанием и четырьмя равносторонними треугольными гранями, которые пересекаются в геометрической точке (вершине). Он имеет 5 граней, в том числе 4 равносторонних треугольных грани и квадратное основание. Кроме того, у него 5 вершин и 8 ребер. Это квадратная пирамида, боковые грани которой представляют собой равносторонние треугольники, что означает, что все ребра имеют одинаковую длину.

Вы уже знакомы с пирамидой, т. е. многогранником, одна грань которого является многоугольником, а остальные грани-треугольники имеют общую вершину.

Треугольные грани пирамиды, имеющие общую вершину, называют боковыми гранями, а эту общую вершину — вершиной пирамиды. Ребра боковых граней, сходящиеся в вершине пирамиды, называют боковыми ребрами пирамиды. Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называют основанием пирамиды (рис. 107).

Пирамиды разделяют на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон их оснований. Пирамида, изображенная на рисунке 107, — пятиугольная, а на рисунке 108, — восьмиугольная. Треугольную пирамиду называют еще тетраэдром. У тетраэдра все грани являются треугольниками (рис. 109).

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости ее основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 108 показана высота

Плоскость, проходящая через два боковых ребра пирамиды, не принадлежащие одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение пирамиды диагональной плоскостью — диагональным сечением. На рисунке 111 показано диагональное сечение шестиугольной пирамиды.

Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а основание ее высоты совпадает с центром этого многоугольника, называется правильной пирамидой (рис. 112).

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой пирамиды.

Отметим, что в правильной пирамиде:

• боковые ребра равны;
• боковые грани равны;
• апофемы, равны;
• двугранные углы при основании равны;
• двугранные углы при боковых ребрах равны;
• каждая точка высоты равноудалена от вершин основания;
• каждая точка высоты равноудалена от ребер основания;
• каждая точка высоты равноудалена от боковых граней.

Отметим, что если в пирамиде равны все:

• боковые ребра, то около ее основания можно описать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды (рис. 113);
• двугранные углы при основании, то в это основание можно вписать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды (рис. 114).

Боковые грани составляют боковую поверхность пирамиды, а боковые грани вместе с основанием — полную поверхность пирамиды.

Вы знаете, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра ее основания и апофемы.

Теорема 1.

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то:

• а) боковые ребра и высота разделяются на пропорциональные части;
• б) в сечении получается многоугольник, подобный основанию;
• в) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

Используя рисунок 115, докажите эту теорему самостоятельно.

Секущая плоскость, параллельная основанию пирамиды, разделяет ее на две части (рис. 116). Одна из этих частей также является пирамидой, а другая — многогранником, который называется усеченной пирамидой.

Параллельные грани усеченной пирамиды называются ее основаниями (рис. 117). Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники, стороны которых попарно параллельны, поэтому ее боковые грани являются трапециями.

Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания пирамиды к плоскости другого основания.

Усеченная пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой усеченной пирамиды. На рисунке 118 показана четырехугольная правильная усеченная пирамида и одна из ее апофем.

Теорема 2.

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований и апофемы:

Доказательство:

Пусть есть правильная -угольная усеченная пирамида (рис. 119). Пусть и — соответственно периметры нижнего и верхнего оснований и — апофема пирамиды.

Боковая поверхность данной пирамиды состоит из равных трапеций. Пусть и — основания одной из этих трапеций, тогда ее площадь равна . Учитывая, что боковая поверхность пирамиды состоит из таких трапеций, получим, что

Теперь установим формулу для вычисления объема пирамиды.

Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими.

Теорема 3.

Треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики.

Доказательство:

Пусть есть две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами (рис. 120). Разделим высоты одной и другой пирамид на долей и через точки деления проведем плоскости, параллельные основаниям. Этим самым пирамиды разделяются на частей. Для каждой части первой пирамиды построим наибольшие по объему призмы, целиком содержащиеся в пирамиде, а для каждой части другой пирамиды — наименьшие по объему призмы, целиком содержащие эту часть.

Пусть и — объемы первой и второй пирамид, a и — суммарные объемы призм, построенных для этих пирамид. При счете от оснований пирамид призма в -й части первой пирамиды равновелика призме для -й части второй пирамиды, так как у этих призм равновелики основания и равные высоты. Поэтому объем больше объема на объем первой призмы, у которой основанием является основание второй пирамиды, а высота равна , где — высота пирамиды (см. рис. 120), т.е. , или , где — площадь основания пирамиды. Теперь учтем, что , a . Поэтому , или . При увеличении значения переменной значение выражения стремится к нулю, а это означает, что , или

Такие же рассуждения можно провести, если первую и вторую пирамиды поменять ролями. В результате получим неравенство

Из неравенств (1) и (2) следует, что .

Теорема 4.

Объем пирамиды равен третьей доле произведения площади ее основания и высоты:

Доказательство:

Пусть есть треугольная пирамида (рис. 121). Достроим ее до призмы с основанием (рис. 122). Отделим от призмы данную пирамиду, получится четырехугольная пирамида (рис. 122 и 123). Диагональная плоскость разделяет ее на две пирамиды и , у которых одна и та же высота, проведенная из вершины , и равные основания и . Поэтому, в соответствии с теоремой 3, пирамиды и равновелики. Сравним пирамиду с данной пирамидой . У них равные основания и и высоты, проведенные из вершин и , поэтому эти пирамиды также равновелики. Получается, что все три пирамиды , и равновелики. Поскольку объем призмы равен произведению площади основания и высоты призмы , которая равна высоте пирамиды , то объем пирамиды , т. е. третьей части призмы , равен третьей доле этого объема, т. е. .

Пусть теперь есть произвольная пирамида (рис. 124). Через диагонали основания , выходящие из одной вершины , проведем диагональные сечения, они разделят данную пирамиду на треугольные пирамиды . Поскольку все они имеют общую высоту , то

Пример:

Найдем объем усеченной пирамиды, нижнее и верхнее основания которой имеют площади и , а высота равна (рис. 125).

Для этого достроим данную усеченную пирамиду до полной. Пусть высота дополнительной пирамиды равна . Искомый объем можно найти как разность объемов полной и дополнительной пирамид:

Чтобы найти высоту , используем установленное в теореме 1 утверждение о том, что площади сечений пирамиды относятся как квадраты их расстояний от вершины:

Решим это уравнение, учитывая, что и — положительные числа:

Таким образом, объем усеченной пирамиды равен третьей доле произведения высоты пирамиды и суммы площадей и оснований пирамиды и их среднего геометрического .

Как определить высоту пирамиды

Под пирамидой подразумевается одна из разновидностей многогранников, в основании которого лежит многоугольник, а грани его — это треугольники, которые соединяются в единой, общей вершине. Если из вершины опустить перпендикуляр к основанию пирамиды, получившийся отрезок будет называться высотой пирамиды. Определить высоту пирамиды очень легко.

Инструкция

Формулу нахождения высоты пирамиды можно выразить из формулы вычисления ее объема:
V = (S*h)/3, где S — это площадь многогранника, лежащего в основании пирамиды, h — высота данной пирамиды.
В таком случае, h можно вычислить так:
h = (3*V)/S.

В том случае, если в основании пирамиды лежит квадрат, известна длина его диагонали, а также длина ребра этой пирамиды, то высоту этой пирамиды можно выразить из теоремы Пифагора, ведь треугольник, который образован ребром пирамиды, высотой и половиной диагонали квадрата в основании — это прямоугольный треугольник.
Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике по величине равен сумме квадратов его катетов(a² = b² + c²). Грань пирамиды — гипотенуза, один из катетов — половина диагонали квадрата. Тогда длина неизвестного катета (высоты) находится по формулам:
b² = a² — c²;
c² = a² — b².

Чтобы обе ситуации были максимально ясны и понятны, можно рассмотреть пару примеров.
Пример 1: Площадь основания пирамиды 46 см², ее объем равен 120 см³. Исходя из этих данных, высота пирамиды находится так:
h = 3*120/46 = 7.83 см
Ответ: высота данной пирамиды составит, приблизительно, 7.83 см
Пример 2: У пирамиды, в основании которого лежит правильный многоугольник — квадрат, его диагональ равна 14 см, длина ребра составляет 15 см. Согласно этим данным, чтобы найти высоту пирамиды, требуется воспользоваться следующей формулой (которая появилась как следствие из теоремы Пифагора):
h² = 15² — 14²
h² = 225 — 196 = 29
h = √29 см
Ответ: высота данной пирамиды составляет √29 см или, приблизительно, 5.4 см

Обратите внимание

Если в основании пирамиды находится квадрат или иной правильный многоугольник, то данную пирамиду можно называть правильной. Такая пирамида обладает рядом свойств:
ее боковые ребра равны;
грани ее — равнобедренные треугольники, которые равны между собой;
около такой пирамиды можно описать сферу, а также и вписать ее.

Источники:

• Правильная пирамида

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?