Как найти высоту неправильной пирамиды треугольной

We know that the volume of a tetrahedron is one-third the area of the base times the height, so if we can find the are of $triangle ABC$ and the volume of the tetrahedron, we are home free. We can find the area of a triangle, given the lengths of the sides, by Heron’s formula. At the bottom of the same Wikipedia page, there is a Heron-type formula for the volume of a tetrahedron, due to David Robbins. It doesn’t look pleasant, but it should do the job.

I found another discussion of a tetrahedral volume formula (due to the renaissance painter Pierro della Francesca!) in Kevin Brown’s Math Pages. Some care is necessary in using the formula, because as explained in the article, the formula depends on the pairings of opposite sides of the tetrahedron, and there are actually two tetrahedra, with different volumes, for a given pairing of six lengths. This is a complicated formula also, but it doesn’t have all those square roots!

EDIT

Alternatively, just solve it with coordinate geometry. Here’s a python script

from sympy.core.symbol import symbols
from sympy.solvers.solveset import nonlinsolve

# A(0,0,0)
# B(u,v,0)
# C(0,7,0)
# D(x,y,z)
# AB = 5
# AC = 7
# BC = 6
# AD = 9
# BD = 8
# CD = 10

u,v,x,y,z = symbols('u,v,x,y,z', real=True)
equations = (u**2+v**2-25, 
             u**2+(7-v)**2-36,
             x**2+y**2+z**2-81,
             x**2+(y-7)**2+z**2-100,
             (x-u)**2+(v-y)**2+z**2-64) 
solns = nonlinsolve(equations, [u,v,x,y,z])
for soln in solns:
    print(soln)

This produces the output

(-12*sqrt(6)/7, 19/7, -31*sqrt(6)/21, 15/7, -sqrt(570)/3)
(-12*sqrt(6)/7, 19/7, -31*sqrt(6)/21, 15/7, sqrt(570)/3)
(12*sqrt(6)/7, 19/7, 31*sqrt(6)/21, 15/7, -sqrt(570)/3)
(12*sqrt(6)/7, 19/7, 31*sqrt(6)/21, 15/7, sqrt(570)/3)

so that the height is $boxed{{sqrt{570}over3}}approx7.95822425754$

You should check that the solutions actually satisfy the given conditions, because I haven’t done that.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Одной из объемных фигур, изучаемых в курсе пространственной геометрии, является пирамида. Важной характеристикой этой фигуры является ее высота. В статье дадим определение высоты пирамиды и приведем формулы, через которые она связана с другими линейными характеристиками.

Что собой представляет пирамида

Под пирамидой понимают геометрическую фигуру пространственную, которая получается в результате соединения всех углов многоугольника с одной точкой пространства. Рисунок ниже демонстрирует расположение линий (ребер) для четырехугольной и пятиугольной пирамид.

Многоугольная грань фигуры называется ее основанием. Точка, где все треугольные грани соединяются, называется вершиной. Для определения высоты пирамиды отмеченные элементы являются важными.

Высота фигуры

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, который из ее вершины опущен на плоскость основания. Важно понимать, что из каждой вершины, принадлежащей основанию фигуры, тоже можно провести перпендикуляр к соответствующей треугольной грани, однако он высотой не будет являться. Высота пирамиды — это единственный перпендикуляр, который является одной из важных ее линейных характеристик.

Каждому школьнику известно, что любая плоская фигура обладает геометрическим центром (в физике ему соответствует центр масс). Например, геометрический центр для произвольного треугольника определяется точкой пересечения его медиан, для параллелограмма — точкой пересечения диагоналей. Если высота пирамиды пересекает ее основание в геометрическом центре, то фигура называется прямой. Пирамида прямая, имеющая в основании многоугольник с одинаковыми сторонами и углами, называется правильной.

Рисунок выше показывает, чем отличается неправильная пирамида от правильной. Видно, что высота неправильной фигуры лежит за пределами ее основания, в то время как у правильной шестиугольной пирамиды высота находится внутри фигуры, пересекая ее основание в центре геометрическом.

Важными свойствами всех правильных пирамид являются следующие:

• все боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники и равны друг другу;
• длины боковых ребер и апофем являются одинаковыми.

Формулы для высоты правильной пирамиды

Существует четыре основных линейных характеристики для любой пирамиды правильной:

• сторона основания;
• боковое ребро;
• апофема боковой грани;
• высота фигуры.

Все они связаны математически друг с другом. Обозначим длину стороны основания символом a, высоту — h, апофему — h_b и ребро — b. Формулы, которые эти величины связывают, имеют индивидуальный вид для соответствующей n-угольной пирамиды. Например, для правильной пирамиды четырехугольной высоту можно определить по формулам:

h = √(a_b² — a²/4);

h = √(b² — a²/2).

Эти формулы следуют из теоремы Пифагора при рассмотрении соответствующих прямоугольных треугольников внутри пирамиды.

Если рассматривается фигура с треугольным основанием, тогда справедливы следующие формулы для высоты правильной пирамиды:

h = √(a_b² — a²/12);

h = √(b² — a²/3).

Решение задачи с шестиугольной пирамидой

Предположим, что нам дана пирамида правильная с шестиугольным основанием. Известно, что высота основания пирамиды равна 13 см. Зная, что длина ее бокового ребра равна 10 см, необходимо вычислить объем и высоту правильной шестиугольной пирамиды.

Рисунок ниже показывает, как выглядит правильный шестиугольник.

Расстояние между любыми его двумя параллельными сторонами называется высотой. Не сложно показать, что эта высота h_a связана с длиной стороны фигуры следующей формулой:

h_a = a*√3

Подставляя в выражение значение h_a, находим, что сторона основания a равна 7,51 см.

Высоту h фигуры можно определить, если рассмотреть прямоугольный треугольник, находящийся внутри пирамиды и состоящий из двух катетов (высота пирамиды и половина диагонали шестиугольного основания) и гипотенузы (боковое ребро). Тогда значение h будет равно:

h = √(b² — a²) = √(100 — 56,4) = 6,6 см.

Объем пирамиды определяется как третья часть от произведения высоты фигуры на площадь ее основания. Площадь правильного шестиугольника равна:

S₆ = n/4*a²*ctg(pi/n) = 6/4*a²*ctg(pi/6) = 3*√3/2*a² = 3*√3/2*56,4 ≈ 146,53 см².

Использованная для вычисления S₆ формула является универсальной для произвольного правильного n-угольника.

Для определения объема фигуры остается подставить в соответствующую формулу найденные параметры:

V = 1/3*h*S₆ = 1/3*6,6*146,53 = 322,366 см³.

Мы получили значение высоты пирамиды и рассчитали ее объем. Таким образом, поставленная задача решена.