Как найти высоту описанной окружности правильного треугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Свойства высоты равностороннего треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в равностороннем (правильном) треугольнике. Также разберем пример решения задачи по этой теме.

Примечание: треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

Свойства высоты в равностороннем треугольнике

Свойство 1

Любая высота в равностороннем треугольнике одновременно является и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром.

BD – высота, опущенная на сторону AC;
BD – медиана, которая делит сторону AC пополам, т.е. AD = DC;
BD – биссектриса угла ABC, т.е. ∠ABD = ∠CBD;
BD – серединный перпендикуляр, проведенный к AC.

Свойство 2

Все три высоты в равностороннем треугольнике имеют одинаковую длину.

Свойство 3

Высоты в равностороннем треугольнике в ортоцентре (точке пересечения) делятся в отношении 2:1, считая от вершины, из которой они проведены.

Свойство 4

Ортоцентр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.

R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности;
R = 2r (следует из Свойства 3).

Свойство 5

Высота в равностороннем треугольнике делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника.

Три высоты в равностороннем треугольнике делят его на 6 равных по площади прямоугольных треугольников.

Свойство 6

Зная длину стороны равностороннего треугольника его высоту можно вычислить по формуле:

a – сторона треугольника.

Пример задачи

Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, равняется 7 см. Найдите сторону этого треугольника.

Решение
Как мы знаем из Свойств 3 и 4, радиус описанной окружности составляет 2/3 от высоты равностороннего треугольника (h). Следовательно, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 см.

Теперь остается вычислить длину стороны треугольника (выражение выведено из формулы в Свойстве 6):

Окружность, описанная около правильного треугольника

Окружность, описанная около правильного треугольника, обладает всеми свойствами описанной около произвольного треугольника окружности и, кроме того, имеет свои собственные свойства.

1) Центр описанной около треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Поскольку в равностороннем треугольнике медианы, высоты и биссектрисы совпадают, центр описанной около правильного треугольника окружности лежит в точке пересечения его медиан, высот и биссектрис.

Например, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр описанной окружности.

AK, BF и CD — медианы, высоты и биссектрисы треугольника ABC.

2) Расстояние от центра описанной окружности до вершин треугольника равно радиусу. Так как центр описанной около равностороннего треугольника окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус описанной окружности составляет две трети от длины медианы:

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного треугольника окружности —

И обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус описанной окружности —

3) Формула для нахождения площади правильного треугольника по его стороне —

Отсюда можем найти площадь через радиус описанной окружности:

Таким образом, формула площади площади правильного треугольника через радиус описанной окружности —

4) Центр описанной около правильного треугольника окружности совпадает с центром вписанной в него окружности.

5) Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.

Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Пусть сторона правильного треугольника равна .

Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: .
Радиус описанной окружности в два раза больше: .
Площадь правильного треугольника: .

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .

источники:

Окружность, описанная около правильного треугольника

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/pravilnyj-treugolnik-i-ego-ploshhad/

Источник

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Пусть сторона правильного треугольника равна .

Высота правильного треугольника: $h=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 2} a.$
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: $r=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 6} a.$
Радиус описанной окружности в два раза больше: $R=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 3} a.$
Площадь правильного треугольника: $S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 4} a^2.$

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.

. Сторона правильного треугольника равна sqrt{3} . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности $r=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 6} a=0,5$ .

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3}$ высоты.

Ответ: .

. Сторона правильного треугольника равна sqrt{3} . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 6}a$ .

Ответ: .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Примечание: треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

Свойства высоты в равностороннем треугольнике
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
Пример задачи

Свойства высоты в равностороннем треугольнике

Свойство 1

BD – высота, опущенная на сторону AC;
BD – медиана, которая делит сторону AC пополам, т.е. AD = DC;
BD – биссектриса угла ABC, т.е. ∠ABD = ∠CBD;
BD – серединный перпендикуляр, проведенный к AC.

Свойство 2

Все три высоты в равностороннем треугольнике имеют одинаковую длину.

AE = BD = CF

Свойство 3

AO = 2OE
BO = 2OD
CO = 2OF

Свойство 4

Ортоцентр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.

R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности;
R = 2r (следует из Свойства 3).

Свойство 5

S₁ = S₂

Три высоты в равностороннем треугольнике делят его на 6 равных по площади прямоугольных треугольников.

Свойство 6

Зная длину стороны равностороннего треугольника его высоту можно вычислить по формуле:

a – сторона треугольника.

Пример задачи

Теперь остается вычислить длину стороны треугольника (выражение выведено из формулы в Свойстве 6):

Источник

Равносторонний треугольник является правильным многоугольником (геометрическая фигура, у которой все углы и все стороны равны). Фактически, это значительно упрощает процесс вычисления любых параметров, характеризующих такой треугольник, в том числе, длину высоты.

В равностороннем треугольнике все три высоты — одинаковой длины, поэтому найдя любую из них, можно применять полученное значение в отношении всех трех линий. Более того, все высоты полностью совпадают со всеми тремя медианами, биссектрисами и серединными перпендикулярами, называемыми иначе медиатриссами. Точка пересечения всех трех линий обладает свойствами точки пересечения высот, точки пересечения медиан и точки пересечения биссектрис одновременно, являя собой любой из возможных центров треугольника, в том числе центр вписанной и описанной окружностей.

Исходя из этого, чтобы найти высоту равностороннего треугольника, можно использовать абсолютно любые известные параметры, например, сторону треугольника.

Высота равностороннего треугольника, проведенная к любой стороне, создает внутри него прямоугольный треугольник, в котором можно ее вычислить, используя тригонометрические отношения, так как известно, что все углы в равностороннем треугольнике имеют по 60 градусов. Для полученного прямоугольного треугольника высота будет катетом, противолежащем углу в 60 градусов, а сторона равностороннего треугольника — гипотенузой, соответственно, чтобы найти высоту, нужно применить синус. Если подставить вместо угла альфа 60 градусов, получится, что высота равностороннего треугольника равна половине стороны, умноженной на корень из трех.

Источник

Формулы, используемые для этого, несложны. Вывод выражений основан на свойствах треугольника, при этом точка пересечения высот считается замечательной и даже имеет своё название — ортоцентр.

Общие сведения

Три отрезка, не принадлежащие одной прямой, каждый из которых соединяется с другими в двух точках, образуют геометрическую фигуру — треугольник. Прямые линии — это стороны, а точки их соприкосновения вершины. Один из отрезков, обычно который проходит параллельно горизонтальной плоскости, называют основанием.

В зависимости от размера внутренних углов замкнутой фигуры, треугольники разделяют на следующие виды:

остроугольные — все углы тела не превышают 90 градусов;
тупоугольные — один из разворотов имеет тупую форму;
прямоугольные — размер одного из трёх углов составляет 90 градусов.

По числу равных сторон треугольные фигуры разделяют на разносторонние, равнобедренные, равносторонние. Последние часто называют правильными, так как все стороны у такого объекта равны друг другу. Кроме этого, из особенностей равносторонней фигуры можно отметить, что центры вписанной и описанной окружности совпадают, а каждый из углов равен 60 градусам. Сумма всех углов треугольника равняется 180 градусам.

В любой трёхугольной фигуре можно построить так называемые 3 замечательные линии: медиана, биссектриса и высота.

В правильном треугольнике эти 3 отрезка совпадают, то есть линия, опущенная из вершины к противолежащей стороне, одновременно являясь медианой, биссектрисой и высотой, образует прямой угол с основанием. При этом она делит его пополам. Фактически высота играет роль катета.

Получается, что в середине фигуры можно построить 3 отрезка, которые и будут высотами. Две из них будут опущены на боковые грани, а одна на основание. Точка пересечения перпендикулярных линий называется ортоцентром. Она располагается внутри геометрического тела и совпадает с центром вписанной окружности.

Для трёхугольного тела существует 2 теоремы. Одна из них утверждает, что противолежащие боковые стороны имеют одинаковую длину, а вторая, что если 2 угла невырожденного треугольника равны, то грани, противоположные им, также равны.

Интересно то, что эти правила справедливы как для абсолютной, так и сферической геометрии.

Свойства равносторонней фигуры

При решении задач, связанных с нахождением высоты в равностороннем треугольнике, часто приходится использовать его свойства. Зная их, найти нужные параметры будет несложно. Тем более что все они связаны с главной особенностью фигуры — равенством его всех сторон.

Равностороннее тело с тремя углами обладает следующими особенностями:

в нём все углы одинаковые и равны 60 градусов;
середина пересечения отрезков, совпадающих с высотой, биссектрисой и медианой, является центром геометрического тела;
радиус описанной окружности превышает радиус вписанной в 2 раза;
в равностороннем треугольнике длины всех элементов выражаются через длину стороны.

Эти свойства очевидны. Если начертить треугольник с равными сторонами и вписать его в окружность, за центр можно принять точку O, при этом радиус описанного круга будет OK. Тогда линия, проведённая из неё к вершине, будет радиусом. Пусть конечная точка будет B. Но так как место пересечения является общим и для высот и медиан, из свойства последних можно сделать вывод, что в точке линия делится в отношении 2 к 1. Отсчёт следует вести с вершины треугольника. Значит: OB = 2 * OK.

Из основных формул, которые используются при вычислениях, в первую очередь нужно запомнить:

радиус описанной окружности: R = (a * √3) / 3;‎
диаметр вписанного круга: r = (a * √3) / 6;
медиана: h = (a * √3) / 2;
площадь: s = (a2 * √3) / 4;
периметр: p = 3 * a.

Если рассмотреть треугольник ABC с проведённой высотой BN, можно утверждать, что грань АВ = ВС = АС = AN /2 = NC /2. Так как фигура ABN является копией BNC в зеркальном отражении, разделённые углы у вершины будут одинаковыми, а и их разворот составлять 30 градусов. Из этого следует, что угол A равен 60 градусам, значит, отрезок BN = AB * sin 60⁰ = (AB * √3) / 2.

Зная длину медианы (высоты), вычислить другие параметры треугольника не составит труда. Например, периметр, P = 2 √3 * h; площадь — S = (h * 2) / √3.

При этом замечательным свойством является ещё и то, что ортоцентр одновременно будет в фигуре и центром тяжести (центроидом), поэтому точка пересечения высот и делит отрезок в отношении 2 к 1.

Формула высоты

В равностороннем треугольнике длина стороны равна произведению удвоенной высоты и квадратного корня из трёх. Эту формулу легко доказать, используя теорему Пифагора. Так как высота одновременно является и биссектрисой, она, проведённая на противоположное основание, разделяет треугольник на 2 симметричные фигуры. Исходя из того, что отрезок — это перпендикуляр, полученные геометрические тела будут прямоугольными.

Гипотенуза будет являться гранью основного тела, одним из катетов — проведённая линия, а вторым — половина основания. Последнее утверждение правдиво, так как в равносторонней фигуре все стороны равны. Соответственно, используя теорему Пифагора: c² = b² + a², для рассматриваемого случая можно записать следующую формулу: a² = h² + a²/ 2², где: a — грань. После математических преобразований выражение примет вид: a = (2 * h) / √‎3. Отсюда уже можно вывести формулу для нахождения длины: h = (a * √‎3) / 2.

Аналогичное определение можно получить, используя для доказательства формулу Герона. Отрезок, являющийся высотой, можно найти из выражения: h = (2 * √‎p * (p — a) * (p — b) * (p — a)) / b. В равенстве p является периметром и находится как сумма всех сторон: p = (a + b + a). Так как одна из граней делится пополам, формулу можно привести к виду: p = (a + b + a) / 2 = a + b / 2.

После подстановки полученного выражения в формулу Герона, оно примет вид: h = 2 * √((a + b/2) * (b/2) * (a -b/2) * (b/2)) / b. Используя формулу сокращённого умножения: разность квадратов, равенство можно привести к виду: (a + b / 2) * (a — b / 2) = a² — (b / 2)².

Для упрощения выражения под корень можно внести двойку и знаменатель b. Таким образом, формула примет вид: h = √(2² * (a² — (b/2)² * (b/2)²) * b²). Выполнив ряд сокращений, равенство можно будет представить: h = √(a² — (b²/4)). Из-за того, что стороны в трёхугольной фигуре совпадают, окончательный вариант можно записать: h = (a√3) / 2. Что и следовало доказать.

Высоту можно определить, и зная радиус вписанной окружности. Её можно найти по формуле: r = (a √ 3) / 6. Если выражение переписать как r = (1 / 3) * ((a √3) / 2), возможно увидеть, что второй множитель как раз и есть высота. Соответственно, r = (1/3) * h. Отсюда: h = 3 * r. Это довольно простая формула, которая часто используется при геометрических вычислениях, поэтому её тоже нужно запомнить.

Решение примеров

Самостоятельное решение задач позволяет закрепить теоретические знания и запомнить формулы. Существуют определённые типы примеров, с помощью которых можно довольно быстро проработать весь изученный материал. Вот некоторые из них, рассчитанные на учеников восьмых классов средней школы:

Определить высоту равносторонней фигуры, если её грань равняется 6 см. Решение задачи нужно строить следующим образом. У такого треугольника все стороны равны. Так как высота является медианой, она делит противоположную сторону вершины, из которой опущена, на 2 равные части. Треугольник можно обозначить ABC, а искомый перпендикуляр BH. Образованное геометрическое тело является прямоугольным. Причём, согласно условию, у него известна гипотенуза и катет. Оставшийся катет, который и является высотой, легко найти по теореме Пифагора: BH² + 3² = 6². Отсюда: BH² = 25. Высота рассматриваемой фигуры будет равна 5 см.
Сторона правильного треугольного тела равна √3. Узнать, чему будет равен радиус описанной окружности. Эту задачу можно решить, воспользовавшись свойством высоты в равностороннем треугольнике: точка пересечения медиан делит их в отношении 2 :1. Для наглядности можно нарисовать треугольник c вершинами ABC и высоту AK, а точку пересечения обозначить буквой O. Линия AO будет искомым радиусом окружности и составлять 2/3 от всей высоты AK. Длина отрезка равна: AK = √ (AB2 — AK2). Отсюда: R = (2 * √ (AB2 — AK2)) / 3 = (2 * √ (√ 32 — (3/2)2)) / 3 = 1. Задача решена.

Проверить правильность решения можно, используя онлайн-калькуляторы. Это интернет-сервисы, которые позволяют своим пользователям в автоматическом режиме вычислять различные математические примеры. Свои услуги они предоставляют бесплатно, от пользователя требуется только установленный веб-обозреватель и подключение к сети.

Важно ещё, что калькуляторы не только выдают быстро правильный ответ, но и показывают пошаговое решение. Это очень удобно, когда необходимо определить, на каком этапе была допущена ошибка.

Кроме этого, на своих страницах такого рода сервисы содержат краткий теоретический материал и даже примеры заданий. Так что калькуляторы будут полезны и на стадии обучения.

Источник