Как найти высоту правильного октаэдра - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Зная ребро октаэдра, можно найти его высоту, построив прямоугольный треугольник через квадратное основание одной из пирамид, соединив таким образом отрезок, являющийся половиной высоты, с боковым ребром. Через теорему Пифагора, половина высоты будет равна квадратному корню из разности квадратов бокового ребра и половины диагонали квадрата в основании. Приведя в итоге алгебраическими преобразованиями формулу к упрощенному виду, получим, что высота тетраэдра равна боковому ребру, деленному на корень из двух.
h=a/√2

Периметр октаэдра равен сумме всех длин его ребер, а так как ребер у октаэдра 12, то нужно умножить длину одного ребра на двенадцать, чтобы найти периметр.
P=12a

Площадь полной поверхности октаэдра складывается из восьми граней, каждая из которых является равносторонним треугольником. Исходя из этого, площадь октаэдра, зная боковое ребро, равна его квадрату с коэффициентом два корня из трех.
S=2√3 a^2

Чтобы найти объем октаэдра нужно рассчитать объем четырехугольной пирамиды отдельно и умножить его на два, тогда получится, что через боковое ребро объем октаэдра равен ему в кубе, умноженному на корень из двух, деленный на три.
V=(√2 a^3)/3

Поскольку октаэдр является правильным многогранником, в него можно вписать сферу, а также описать сферу около него. Радиусы вписанной и описанной сферы лежат на осях внутри октаэдра, и их можно вычислить по нижеприведенным формулам через боковое ребро.
r=(a√6)/6
R=(a√2)/2

Источник

С помощью данного калькулятора можно найти не только площадь октаэдра, но и другие его величины, такие как высоту, объем, радиус описанной сферы, ребро октаэдра и т. д. Для этого нужно всего лишь заполнить любую ячейку, введя известное значение, и нажать на кнопку “Рассчитать”. Остальные недостающие данные калькулятор рассчитает автоматически. Также в ответах будут даны подробные и понятные формулы вычислений.

Введите данные:

Достаточно ввести только одно значение, остальное калькулятор посчитает сам.

Радиус вписанной сферы (r)

Радиус описанной сферы (R)

Площадь грани октаэдра (Sg)

Округление:

* — обязательно заполнить

Источник

Октаэдр и площадь полной его поверхности: описание, формулы, примеры

Содержание:

Существует несколько способов определить площадь поверхности октаэдра. Он представляет собой один из пяти правильных многоугольников или так называемых Платоновых тел. Имеет восемь одинаковых граней (поверхностей) в виде равносторонних треугольников, к каждой из его вершин прилагается по четыре грани. Рассмотрим, что собой представляет тело, где встречается в природе, как вычисляется его площадь и объём.

Что такое октаэдр

Свойства октаэдра

В тело вписывается куб, вершины которого находятся в центрах граней куба.

Симметрия куба и вписанного (описанного) октаэдра совпадают.

Двойственен кубу.

Является полным усечением тетраэдра.

Имеет равные ребра и диагонали.

Состоит из равносторонних треугольников.

Диагонали тела взаимоперпендикулярны, в точке пересечения делятся на равные отрезки.

Октаэдр симметричен, причём 3 оси пролегают через противоположные вершины, 6 – через центры ребер.

Центр симметрии тела расположен в точке пересечения диагоналей.

Ребра равны по длине, поверхности – по площади.

Математические характеристики тела

Как вычислить площадь поверхности октаэдра

Площадь октаэдра равна сумме площадей составляющих его треугольников:

Здесь S_треуг – площадь треугольника.

После подстановки значения получится требуемый результат.

Если известна длина ребра, придётся вычислить площадь треугольников.

Подставляем значение в первое выражение:

Упрощаем: после сокращения дроби на четыре получается формула площади поверхности октаэдра:

2. S = 8 * S_треуг = 2 sqrt <3>a^2.

Существует ещё один способ проведения вычислений. Он менее точный чем предыдущие, однако позволяет обойтись без калькулятора. При приблизительном подсчёте 2 sqrt <3>равняется 3,464 или 3,46.

Здесь a – длина стороны треугольника (равны).

Для примера, имеется фигура октаэдр с длиной стороны 5 см.

S=2sqrt <3>a^2=2*sqrt <3>*5^2=2*sqrt <3>*25=50sqrt <3>approx 86,6 см.

Как вычислить объём правильного октаэдра

Объём показывает размер внутреннего пространства геометрического тела. Объем правильного октаэдра вычисляется, если знаете длину ребра геометрического тела, по формуле:

После проведения приблизительных расчётов frac<sqrt 2> <3>approx 0,47 формула принимает следующий вид :

Рассчитаем двумя методами на примере правильного многоугольника с гранью, равной 5 см:

V= 0,47 * a^3 = 0,47*125 approx 58,93

Значения совпали, во втором случае нужно выполнять гораздо меньше операций. Подходит он только, если не требуется исключительная точность – при округлении до 4-5 знаков после запятой точность снизится.

Развёртка

Октаэдр, как большинство гомерических тел, имеет развёртку поверхности – это плоская фигура, полученная путём совмещения поверхности модели с одной плоскостью без пересечения либо наложения граней друг на друга.

Рисунок развёртки октаэдра.

В природе насчитывается 11 разновидностей развёртки октаэдра, позволяющих создать его модель из бумаги или картона. Наиболее распространённая выглядит как восемь одинаковых треугольников. Шесть из них размещено в ряд, к третьему и четвёртому основаниям прилегает ещё по одному, их вершины направлены в противоположные стороны.

Октаэдр.

Октаэдр — один из 5-ти выпуклых правильных многогранников — Платоновых тел.

У октаэдра 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, к каждой его вершине сходятся 4 ребра.

На примере октаэдра легко проверить формулу Эйлера 6в+8г-12р=2. В каждой из вершин октаэдра сходятся 4 треугольника, т.о., сумма плоских углов у вершины октаэдра равна 240°. Из понятия правильного многогранника делаем вывод, что каждое ребра октаэдра имеет одинаковую длину, а грань — одинаковую площадь.

Обозначим длину ребра октаэдра как а, значит площадь полной поверхности октаэдра (S) и объём октаэдра (V) найдем из таких формул:

Радиус описанной сферы около октаэдра:

Радиус вписанной сферы около октаэдра:

Сумма длин всех ребер равна 24а.

Двугранный угол: α=2ϕ≈109,47°, где .

Свойства октаэдра.

Октаэдр легко вписывается в тетраэдр, при этом 4 из 8-ми граней октаэдра совместятся с 4-мя гранями тетраэдра, каждая из 6-ти вершин октаэдра совместится с центрами 6-ти ребер тетраэдра.

Октаэдр легко вписывается в куб (гексаэдр), при этом каждая из 6-ти вершин октаэдра совместится с центрами 6-ти граней куба.

В октаэдр легко вписать куб, при этом каждая из 8-ми вершин куба будут располагаться в центрах 8-ми граней октаэдра.

У правильного октаэдра есть симметрия O_h, которая совпадает с симметрией куба.

Развёртка октаэдра.

Симметрия октаэдра.

3 из девяти осей симметрии октаэдра проходят сквозь противолежащие

вершины, 6 — квозь середины ребер.

Центр симметрии октаэдра — точка пересечения осей симметрии октаэдра.

3 из девяти плоскостей симметрии тетраэдра проходят сквозь все 4 вершины октаэдра, которые лежат в одной плоскости.

6 плоскостей симметрии проходят через 2 вершины, которые не принадлежат одной грани, и середины противолежащих ребер.

Октаэдр

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Окто» означает восемь, «хедра» — означает грань (октаэдр – восьмигранник).

Поэтому на вопрос — «что такое октаэдр?», можно дать следующее определение: » Октаэдр это геометрическое тело из восьми граней, каждая их которых — правильный треугольник «.

Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти Платоновых тел .

Октаэдр имеет следующие характеристики:

Тип грани – правильный треугольник;
Число сторон у грани – 3;
Общее число граней – 8;
Число рёбер, примыкающих к вершине – 4;
Общее число вершин – 6;
Общее число рёбер – 12;

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.

Октаэдр имеет центр симметрии — центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Математические характеристики октаэдра

Октаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы октаэдра определяется по формуле:

, где a — длина стороны.

Сфера может быть вписана внутрь октаэдра.

Радиус вписанной сферы октаэдра определяется по формуле:

Площадь поверхности октаэдра

Для наглядности, площадь поверхности октаэдра можно представить в виде площади развёртки. Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон октаэдра (это площадь правильного треугольника) умноженной на 8. Либо воспользоваться формулой:

Объем октаэдра определяется по следующей формуле:

Октаэдр можно представить в виде двух правильных пирамид с четырехугольным основанием, соединенных друг с другом через это основание.

Вариант развертки

Октаэдр можно изготовить самостоятельно. Бумага или картон самый подходящий вариант. Для сборки потребуется бумажная развёртка — единая деталь с линиями сгибов.

Древнегреческий философ Платон ассоциировал октаэдр с «земным» элементом воздух, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали серый цвет.

Заметим, что это не единственный вариант развертки.

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf и распечатать на листе формата А4:
— если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере — цветная развертка
— если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон — развертка

Классический вариант раскраски предполагает окраску октаэдра четырьмя различными цветами, причем таким образом, что каждая грань имеет свой цвет отличный от соседней и только противоположные не соприкасающиеся друг с другом грани окрашиваются в одинаковые цвета.

Вариант окраски представлен на рисунке. Вы можете скачать развертку с соответствующей раскраской граней.

Видео. Октаэдр из набора «Волшебные грани»

Вы можете изготовить модель октаэдра воспользовавшись деталями для сборки из набора «Волшебные грани».

Сборка многогранника из набора:

Подробная сборка от Алексея Жигулева (youtube-канал PRO)

вращение готового многогранника:

Видео. Вращение правильных многогранников

источники:

http://www.calc.ru/Oktaedr.html

http://mnogogranniki.ru/oktaedr.html

Источник

Чтобы воспользоваться этим простым онлайн-калькулятором и найти ребро октаэдра, необходимо заполнить любой пустующий слот и нажать на кнопку “Рассчитать”. Таким образом можно найти не только ребро октаэдра, но и другие величины, такие как высоту, объем, площадь октаэдра и др. Также в ответе будут даны все формулы расчета в подробном виде, что очень удобно. Сохраните эту шпаргалку по геометрии, чтобы иметь к ней доступ в нужный момент.

Введите данные:

Достаточно ввести только одно значение, остальное калькулятор посчитает сам.

Радиус вписанной сферы (r)

Радиус описанной сферы (R)

Площадь грани октаэдра (Sg)

Округление:

* — обязательно заполнить

Источник

октаэдр

Тип боковых поверхностей	равносторонние треугольники
Количество лиц	8-е
Количество углов	6-е
Количество ребер	12-е
Значок Schläfli	{3.4}
двойной к	Шестигранник (куб)
Сеть тела
Количество разных сетей	11
Количество граней в углу	4-й
Количество углов поверхности	3-й
Октаэдр в формате STL

(Также, особенно австрийский октаэдр [ ɔktaeːdɐ ] (от древнегреческого ὀκτάεδρος oktáedros , немецкий «восьмигранный» ) является одним из пяти Платоновых твердых тел , более точно регулярный полиэдр ( многогранник , многогранник ) с

8 конгруэнтных равносторонние треугольники в боковых поверхностях
12 ребер одинаковой длины и
6 углов, в которых встречаются четыре стороны

Это и равносторонняя четырехсторонняя двойная пирамида с квадратным основанием, которая является правильным поперечным многогранником третьего измерения, и равносторонняя антипризма с равносторонним треугольником в качестве основания .

симметрия

Три квадрата, перпендикулярные друг другу, каждый из которых образует основание двойной пирамиды.

Октаэдр с примерами осей вращения и двух плоскостей симметрии (красной и зеленой) ${ displaystyle C_ {4}, C_ {3}, C_ {2}}$

Из-за своей высокой симметрии — все углы , ребра и поверхности похожи друг на друга — октаэдр является правильным многогранником . Оно имеет:

и является

точка симметрична центру.

Всего группа симметрии октаэдра — группа октаэдра или группа куба — состоит из 48 элементов.

Отношения с другими многогранниками

Октаэдр — это многогранник, двойственный шестиграннику ( кубу ) (рис. 1), и наоборот.

Изображение 2: Два правильных тетраэдра, вписанных в куб, образуют звездный тетраэдр.

Два правильных тетраэдра (см. Рисунок 2: один тетраэдр в красных тонах, другой в зеленых тонах) можно вписать в куб таким образом, чтобы углы были одновременно углами куба, а ребра — диагоналями поверхностей куба. Объединение является звездный тетраэдр

Трехмерное пересечение двух тетраэдров (рис. 3) представляет собой октаэдр с половиной длиной стороны. Если на восьми гранях тетраэдра октаэдра также создать звездный тетраэдр.

Если октаэдр описан правильным тетраэдром (рис. 4), 6 углов октаэдра являются центрами 6 ребер тетраэдра, а 4 из 8 граней октаэдра лежат на боковых гранях одного из двух возможных тетраэдров. Октаэдр получается, когда 4 тетраэдра с одинаковой длиной стороны отрезаны от тетраэдра с двойной длиной ребра.

С помощью октаэдров и куба можно построить множество тел , которые также имеют группу октаэдров в качестве группы симметрии . Так вы, например, получите

усеченный октаэдр с 8 шестиугольников и 6 квадратов
кубооктаэдр с 8 треугольников и 6 квадратов, т.е. с 14 граней , и 12 углов
усеченный куб с 8 треугольников и 6 восьмиугольников

как пересечение октаэдра с кубом (см. архимедовы тела ) и

ромбического додекаэдра с 8 + 6 = 14 углов и 12 пастилок как лица

как выпуклая оболочка соединения октаэдра с кубом .

Формулы

Размеры октаэдра с длиной ребра a
объем	${ displaystyle V = { frac {a ^ {3}} {3}} cdot { sqrt {2}} приблизительно 0 {,} 471 cdot a ^ {3}}$	без твердых углов в углах
Площадь поверхности	${ displaystyle A_ {O} = 2 times a ^ {2} times { sqrt {3}} приблизительно 3 {,} 464 times a ^ {2}}$
Умкугельрадиус	${ displaystyle r_ {u} = h_ {p} = { frac {a} { sqrt {2}}} приблизительно 0 {,} 707 cdot a}$
Радиус краевого шара	${ displaystyle r_ {k} = { frac {a} {2}} = 0 {,} 5 cdot a}$
Inc радиус сферы	${ displaystyle r_ {i} = { frac {a} {6}} cdot { sqrt {6}} приблизительно 0 {,} 408 cdot a}$
Отношение объема к объему шара	${ displaystyle { frac {V} {V_ {UK}}} = { frac {1} { pi}} приблизительно 0 {,} 318}$
Внутренний угол равностороннего треугольника
Угол между соседними гранями	${ displaystyle beta = arccos left (- { frac {1} {3}} right)}$ ${ Displaystyle приблизительно 109 ^ { circ} ; 28 ^ { prime} ; 16 ^ { prime prime}}$
Угол между краем и гранью	${ Displaystyle gamma = 45 ^ { circ}}$
Углы кромки 3D	${ displaystyle delta = 90 ^ { circ}}$
Сплошные углы в углах	${ displaystyle Omega = arccos left ({ frac {17} {81}} right) приблизительно 1 {,} 3594 ; mathrm {sr}}$
Сферичность	${ displaystyle Psi = { sqrt [{3}] { frac { pi} {3 { sqrt {3}}}}} приблизительно 0 {,} 846}$

Расчет правильного октаэдра

объем

Октаэдр в основном состоит из двух собранных пирамид с квадратным основанием и длиной ребра. ${ displaystyle A_ {Gp}}$

Для пирамид и, следовательно, для половины объема октаэдра применяется

${ displaystyle V_ {p} = { frac {1} {3}} cdot A_ {G_ {p}} cdot h_ {p},}$

в нем базовая площадь ( квадрат )

${ displaystyle A_ {G} = a ^ {2},}$

и высота в пирамиде

${ displaystyle h_ {p} = { frac {a} { sqrt {2}}},}$

со вставленными переменными и множителем 2

${ displaystyle { begin {align} V & = 2 cdot left ({ frac {1} {3}} cdot a ^ {2} cdot { frac {a} { sqrt {2}}) } right) \ & = { frac {a ^ {3}} {3}} cdot { sqrt {2}} ; приблизительно 0 {,} 471 cdot a ^ {3} end { выровнено}}}$

Если объем в правильного тетраэдра известна как функция длины кромки, то объем октаэдра также может быть вычислено как разность между объемом в вписанного тетраэдра с длиной ребра и 4 конгруэнтных тетраэдра с длиной ребра . По логике получается такой же объем

${ displaystyle { begin {align} V & = { frac {(2 cdot a) ^ {3}} {12}} cdot { sqrt {2}} - 4 cdot { frac {a ^ {3}} {12}} cdot { sqrt {2}} \ & = { frac {a ^ {3}} {3}} cdot { sqrt {2}} ; приблизительно 0 { ,} 471 cdot a ^ {3} end {align}}}$

Площадь поверхности

Следующее относится к площади поверхности октаэдра (восемь равносторонних треугольников).
${ displaystyle A_ {O}}$

${ displaystyle A_ {O} = 8 cdot { frac { sqrt {3}} {4}} cdot a ^ {2} = 2 cdot a ^ {2} cdot { sqrt {3}} приблизительно 3 {,} 464 cdot a ^ {2}.}$

Высота пирамиды

Высота пирамиды может быть определена с помощью следующего прямоугольного треугольника.
h_p

В боковых длинах этого треугольника (смотрите рисунок в формулах ): боковая высота как гипотенузе, пирамиды высоту как большая сторона и половине длина кромки пирамиды в виде маленькой стороны.
${ displaystyle h_ {s}}$ ${ displaystyle h_ {p}}$ ${ displaystyle { tfrac {1} {2}} cdot a}$

Следующее относится к высоте равностороннего треугольника.
$ч_ {s}$

${ displaystyle h_ {s} = { frac { sqrt {3}} {2}} cdot a}$

и согласно теореме Пифагора применяется

${ displaystyle { begin {align} ; h_ {p} ^ {2} & = h_ {s} ^ {2} - left ({ frac {1} {2}} cdot a right) ^ {2} = h_ {s} ^ {2} - { frac {1} {4}} cdot a ^ {2} = { frac {3} {4}} cdot a ^ {2} - { frac {1} {4}} cdot a ^ {2} ; Rightarrow \ & = { frac {1} {2}} cdot a ^ {2} Rightarrow \ h_ {p} & = { sqrt {{ frac {1} {2}} cdot a ^ {2}}} = { sqrt { frac {1} {2}}} cdot a = { frac {a} { sqrt {2}}} ; приблизительно 0 {,} 707 cdot a. ; end {align}}}$

Угол между соседними гранями

Этот угол, отмеченный (см. Рисунок в формулах ), имеет вершину на одном крае октаэдра. Его можно определить с помощью следующего прямоугольного треугольника.

Длины сторон этого треугольника равны: радиус краевой сферы как гипотенуза, радиус резцовой сферы как большой катет и треть высоты стороны как маленький катет. Это значение определяется положением центра тяжести треугольной области, поскольку геометрический центр тяжести делит высоту треугольника в соотношении 2: 1.
${ displaystyle r_ {k}}$ ${ displaystyle r_ {i}}$ ${ textstyle { frac {1} {3}} cdot h_ {s}}$

Следующее относится к
углу

${ displaystyle { begin {align} ; cos { frac { beta} {2}} & = { frac {{ frac {1} {3}} cdot h_ {s}} {r_ { k}}} = { frac {{ frac {1} {3}} cdot left ({ frac { sqrt {3}} {2}} right) cdot a} { frac {a } {2}}} = { frac {{ frac {1} {6}} cdot { sqrt {3}}} { frac {1} {2}}} = { frac {1} { sqrt {3}}} ; Rightarrow \ cos beta & = cos left ( arccos left ({ frac {1} { sqrt {3}}} right) cdot 2 right) = - { frac {1} {3}} Rightarrow \ beta & = arccos left (- { frac {1} {3}} right) приблизительно 109 ^ { circ} ; 28 ^ { prime} ; 16 ^ { prime prime}. ; End {align}}}$

Угол между краем и гранью

Этот угол, обозначенный как , имеет вершину в одном углу октаэдра. Угол можно определить с помощью следующего прямоугольного треугольника.

Длины сторон этого треугольника равны (см. Рисунок в формулах ): край пирамиды как гипотенуза, высота пирамиды как большой катет и половина диагонали квадрата с длиной стороны / ребром как маленький катет.
${ displaystyle h_ {p}}$ ${ displaystyle { tfrac {d} {2}} = { tfrac {a} { sqrt {2}}}}$

Следующее относится к
углу

${ displaystyle { begin {align} ; cos gamma & = { frac {h_ {p}} { frac {d} {2}}} = { frac { frac {a} { sqrt {2}}} { frac {a} { sqrt {2}}}} = 1 \ гамма & = arccos left (1 right) = 45 ^ { circ}. ; End { выровнено}}}$

Угол 3D кромки

Этот угол, отмеченный значком (см. Рисунок в формулах ), имеет вершину в одном углу октаэдра и соответствует удвоенному углу d. ЧАС. внутренний угол на площади .

Это относится к трехмерному краевому углу октаэдра.

${ displaystyle delta = 90 ^ { circ}.}$

Сплошные углы в углах

Следующая формула, описанная в Platonic Solids, показывает решение для телесного угла

${ displaystyle Omega = 2 pi -2n cdot arcsin left ( cos left ({ frac { pi} {n}} right) cdot { sqrt { tan ^ {2} left ({ frac { pi} {n}} right) - tan ^ {2} left ({ frac { alpha} {2}} right)}} right)}$

С количеством кромок / поверхностей в углу и внутренним углом равностороннего треугольника применяется следующее:
${ Displaystyle {а = 60 ^ { circ}}}$

${ displaystyle { begin {align} { mathsf {(1)}} ; Omega & = 2 pi -2 cdot 4 cdot arcsin left ( cos left ({ frac { pi } {4}} right) cdot { sqrt { tan ^ {2} left ({ frac { pi} {4}} right) - tan ^ {2} left ({ frac {60 ^ { circ}} {2}} right)}} right) Rightarrow \ & = 2 pi -8 cdot arcsin left ({ frac {1} { sqrt {3} }} right) приблизительно 1 {,} 359347638 ; mathrm {sr} \ конец {выровнено}}}$

из-за этого
${ Displaystyle соз ( arcsin х) = { sqrt {1-х ^ {2}}}}$

${ displaystyle { begin {align} { mathsf {(2)}} ; cos ( arcsin x) & = { sqrt {1- left ({ frac {1} { sqrt {3}) }} right) ^ {2}}} = { frac { sqrt {6}} {3}} Rightarrow \ конец {выровнено}}}$

используется в и формуют

${ displaystyle { begin {align} { mathsf {(3)}} ; Omega & = 2 pi -8 cdot arccos left ({ frac { sqrt {6}} {3}} right) приблизительно 1 {,} 359347638 ; mathrm {sr} ; end {align}}}$

упрощение

${ displaystyle { begin {align} { mathsf {(4)}} ; cos Omega & = cos left (2 pi -8 cdot arccos left ({ frac { sqrt { 6}} {3}} right) right) = { frac {17} {81}} Rightarrow \ конец {выровнено}}}$

${ displaystyle { begin {align} { mathsf {(5)}} ; Omega & = arccos left ({ frac {17} {81}} right) приблизительно 1 {,} 359347638 ; mathrm {sr}. ; end {align}}}$

Определение как набор точек

Октаэдр может быть определена как набор из точек в трехмерном евклидовом пространстве , где сумма в абсолютных значениях 3 координат в системе декартовых координат находится в большинстве же большим , как радиус в области . Формально эту сумму можно записать как
${ displaystyle r_ {u} = { tfrac {a} { sqrt {2}}}}$

${ displaystyle left {x in mathbb {R} ^ {3} mid left | x right | _ {1} leq r_ {u} right } = left {( x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) mid left vert x_ {1} right vert + left vert x_ {2} right vert + left vert x_ {3 } right vert leq r_ {u} right }}$

Здесь сумма сумма норма или 1-норма вектора . Для внутренней части применяется октаэдр, а для поверхности применяется . Согласно этому определению, центральная точка октаэдра от начала координат и ее углов , , , , , расположена на 3 -х осях системы декартовых координат .
${ Displaystyle влево | х вправо | _ {1}}$ Икс ${ Displaystyle влево | х вправо | _ {1} <г_ {и}}$ ${ Displaystyle влево | х вправо | _ {1} = г_ {и}}$ ${ displaystyle (r_ {u}, 0,0)}$ ${ displaystyle (-r_ {u}, 0,0)}$ ${ displaystyle (0, r_ {u}, 0)}$ ${ displaystyle (0, -r_ {u}, 0)}$ ${ displaystyle (0,0, r_ {u})}$ ${ displaystyle (0,0, -r_ {u})}$

В более общем смысле, октаэдр, занимающий любую позицию в трехмерном евклидовом пространстве, может быть определен с помощью векторов . Является ли вектор положения в центре и , , ортогональные векторы направления , соединяющие центр октаэдра с 3 углами, поэтому ортогональной системы из трехмерного векторного пространства , то листья суммы из точек октаэдра определяется как количество из векторов vec {u} $mathbb {R} ^ {3}$

${ displaystyle left {{ vec {m}} + t_ {1} cdot { vec {u}} + t_ {2} cdot { vec {v}} + t_ {3} cdot { vec {w}} in mathbb {R} ^ {3} mid left | t right | _ {1} leq r_ {u} right } = left {{ vec {m}} + t_ {1} cdot { vec {u}} + t_ {2} cdot { vec {v}} + t_ {3} cdot { vec {w}} in mathbb {R} ^ {3} mid left vert t_ {1} right vert + left vert t_ {2} right vert + left vert t_ {3} right vert leq r_ {ты прав }}$

обобщение

Аналоги октаэдра в любой размерности называются -мерными кросс-многогранниками и также являются правильными многогранниками . — Мерный многогранник имеет поперечный углы и ограничена по — мерных симплексов (как граней ). Четырехмерным крест многогранник имеет 8 углов, 24 ребер одинаковой длины, 32 равносторонние треугольники , как боковые поверхности и 16 тетраэдров в качестве граней. Одномерное крест многогранника является сегментом , то двумерный крест многогранника является квадратным , и трехмерный крест многогранника является октаэдром.
2 ^ п

Моделью -мерного кросс-многогранника является единичная сфера относительно нормы суммы

left | x right | _1 = left vert x_1 right vert + cdots + left vert x_n right vert

Для $x = (x_ {1}, dots, x_ {n}) in { mathbb R} ^ {n}$

в векторном пространстве . (Замкнутый) кросс-многогранник, следовательно, есть
$mathbb {R} ^ {n}$

количество

$left {x in mathbb R ^ n mid left | x right | _1 le 1 right } = left {(x_1, dots, x_n) mid left vert x_1 right vert + cdots + left vert x_n right vert le 1 right }$

могут быть определены и содержать происхождение.

Объем в n — мерном кросс-многогранника является , где радиус в сфере вокруг происхождения в координатах относительно нормы суммы. Связь может быть доказана с помощью рекурсии и теоремы Фубини . ${ displaystyle { tfrac {(2 cdot r) ^ {n}} {n!}}}$ г> 0

Сети октаэдра

В октаэдре одиннадцать сеток . Это означает, что есть одиннадцать способов развернуть полый октаэдр, разрезав 5 ребер и разложив их в плоскости . Остальные 7 ребер соединяют 8 равносторонних треугольников сетки. Чтобы октаэдр раскрасить так, чтобы никакие соседние грани не были одного цвета, вам понадобится как минимум 2 цвета.

Графики, двойные графики, циклы, цвета

Раскраска иллюстрируется
октаэдром, вписанным в дуальный куб.

Октаэдр имеет неориентированный плоский граф с 6 узлами , 12 ребрами и 8 областями, назначенными ему, который является 4- правильным , т.е. 4 ребра начинаются от каждого узла, так что степень равна 4 для всех узлов. В случае плоских графов точное геометрическое расположение узлов не имеет значения. Однако важно, чтобы края не пересекались. Узлы этого октаэдрического графа соответствуют углам куба.

В узлах октаэдрической графа могут быть окрашены с 3 -х цветов , так что соседние узлы всегда окрашены по- разному. Это означает, что хроматическое число этого графика равно 3. Кроме того, края можно раскрасить в 4 цвета, чтобы смежные края всегда были окрашены по-разному. Это невозможно с 3 цветами, поэтому хроматический индекс для окраски краев равен 4 (рисунок справа иллюстрирует эту окраску).

Двойной граф (куб- граф ) с 8 узлами , 12 ребрами и 6 областями помогает определить необходимое количество цветов для поверхностей или областей . Узлы этого графа назначаются взаимно однозначно (биективно) областям октаэдрического графа и наоборот (см. Биективную функцию и рисунок выше). Узлы кубического графа можно раскрасить в 2 цвета, чтобы соседние узлы всегда были окрашены по-разному, так что хроматическое число кубического графа равно 2. Из этого можно косвенно сделать вывод: поскольку хроматическое число равно 2, для такой окраски поверхности октаэдра или раскраски областей графа октаэдра необходимо 2 цвета.

Раскраска площади графа октаэдра при раскраске двойных узлов графа куба

5 обрезанных ребер каждой сети (см. Выше) вместе с углами ( узлами ) образуют остовное дерево графа октаэдра. Каждая сеть точно соответствует покрывающему дереву и наоборот, так что между сетями и покрывающими деревьями существует взаимно однозначное ( биективное ) присвоение. Если вы рассматриваете сеть октаэдров без внешней области как граф, вы получите двойственный граф с деревом с 8 узлами и 7 ребрами и максимальной степенью узла 3. Каждая область октаэдра назначается узлу сети. дерево. Не каждое теоретико-графовое созвездие (см. Изоморфизм графов ) таких деревьев встречается, но некоторые встречаются более одного раза .

Октаэдрический граф состоит из 32 окружностей Гамильтона и 1488 окружностей Эйлера .

Октаэдрический граф с одной из 32 окружностей Гамильтона

Заполнение помещений октаэдрами

Трехмерное евклидово пространство может быть полностью заполнено с многогранников или Архимеда твердых веществ одинаковой длины кромки. Такое трехмерное плиточные это называется наполнение комнаты . Следующие заливки пространства содержат октаэдры:

Тетраэдр Серпинского

Октаэдр косвенно связан с тетраэдром Серпинского . Тетраэдр Серпинского является трехмерным обобщением треугольника Серпинского . Начальная фигура — тетраэдр . На каждой итерации из его центра вырезается октаэдр с половиной длины ребра. Остается 4 тетраэдра, из каждого из которых вырезан октаэдр и т. Д.

После шага итерации , очевидно, возникли частичные тетраэдры с одинаковой длиной стороны. Количество вырезанных октаэдров с разной длиной стороны составляет .
${ displaystyle 4 ^ {k}}$ ${ displaystyle { frac {4 ^ {k} -1} {3}}}$

Размер этой структуры , хотя это фигура в трехмерном пространстве. При увеличении числа шагов итерации объем фигуры стремится к нулю, но площадь поверхности остается постоянной, поскольку количество боковых поверхностей конгруэнтных частичных тетраэдров увеличивается в четыре раза с каждым шагом итерации, а длина сторон этих боковых поверхностей , которые представляют собой равные треугольники, делятся пополам.

Приложения

Октаэдрические кристаллы квасцов

В химии предсказание геометрии молекул в соответствии с моделью VSEPR может привести к октаэдрическим молекулам . Октаэдр также появляется в кристаллических структурах , таких как гранецентрированная кубическая структура хлорида натрия (координационное число 6), в элементарной ячейке , а также в сложной химии, если 6 лигандов расположены вокруг центрального атома .

Некоторые природные минералы , например Б. квасцы , кристаллизуется в октаэдрической форме.

В ролевых играх используются восьмигранные игральные кости , называемые «D8», то есть игральные кости с 8 гранями.

Смотри тоже

Октаэдрические числа
Дидервинкель
многогранник
Платоново твердое тело

веб ссылки

Евклид: Stoicheia. Книга XIII.14. Октаэдр сферы …
Октаэдр . — Математика

Индивидуальные доказательства

^ Вильгельм Папе , Макс Зенгебуш (аранжировка): Краткий словарь греческого языка . 3-е издание, 6-е впечатление. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 ( zeno.org [доступ 12 марта 2020 г.]).
↑ Эрик Вайсштейн: Обычный октаэдр. Формула Умкугельрадиуса (12). В: MathWorld Wolfram. Wolfram Web Resource, доступ к 27 июня 2020 года .
↑ Хариш Чандра Раджпут: Твердые углы, образуемые платоновыми телами (правильными многогранниками) в их вершинах. SlideShare, март 2015, доступ к 27 июня 2020 .
↑ Альтернативное выражение для . WolramAlpha, доступ к 27 июня 2020 .
↑ Сусуму Онака, Департамент материаловедения и инженерии, Токийский технологический институт: простые уравнения, определяющие формы различных выпуклых многогранников: правильных многогранников и многогранников, составленных из кристаллографически малоиндексной плоскости
^ Мартин Хенк, Юрген Рихтер-Геберт, Гюнтер М. Циглер, Технический университет Берлина: Основные свойства выпуклых многогранников
↑ Эрик Вайсштейн: Обычный октаэдр. Сети. В: MathWorld Wolfram. Wolfram Web Resource, доступ к 27 июня 2020 года .
↑ Майк Zabrocki: ДОМАШНЯЯ # 3 РЕШЕНИЯ — МАТЕМАТИКА 3260. (PDF) Йоркский университет, математика и статистика, Торонто, 2003, стр . 3 , доступ к 31 мая 2020 .
↑ Эрик Вайсштейн: Октаэдрический граф. В: MathWorld Wolfram. Wolfram Web Resource, доступ к 27 июня 2020 года .
^ Вольфрам MathWorld: Тетрикс
↑ Гайла Чандлер, Хидеки Цуйки: Фотографии: Тетраэдр Серпинского и его дополнение

Источник