Как найти высоту проведенную к меньшей стороне - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника
- Высота в разностороннем треугольнике
- Высота в равнобедренном треугольнике
- Высота в прямоугольном треугольнике
- Высота в равностороннем треугольнике
Примеры задач

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Источник

Как найти меньшую высоту треугольника

В треугольнике зависимости между сторонами и углами жестко связывают и внутренние линии фигуры — высоты, медианы и биссектрисы. Знание этих соотношений существенно упрощает решение задач.

Инструкция

Из трех высот треугольника наименьшей будет та, которая опущена на самую большую из сторон фигуры. Чтобы убедиться в этом, выразите все три высоты треугольника через размеры его сторон и сравните. Пусть из трех сторон a, b, c произвольного остроугольного треугольника сторона а — наибольшая, сторона с — наименьшая. Обозначим ha высоту, опущенную на сторону а, hb высоту, проведенную к стороне b, hc — высоту на сторону с. Высота делит любой треугольник на два прямоугольных треугольника, в которых эта высота всегда будет одним из катетов.

Высота ha, проведенная к наибольшей стороне а, может быть определена по теореме Пифагора: hа²= b² — а₁² или hа²=с² — а₂². Где а₁ и а₂ — отрезки, на которые сторона а разделена высотой hа. Также по теореме Пифагора выразите две другие высоты треугольника через его стороны:
hb ²= a²-b₁² или hb²= c²-b₂²; hc²=a²-c₁² или hc²=b²-c₂².

Из сравнения формул, определяющих высоты треугольника, очевидно, что соотношение между уменьшаемым и вычитаемым дает наименьшую разность в выражениях hа²= b² — а₁² и hа²=с²-а₂², поскольку вычитаемые а₁ и а₂ — отрезки наибольшей стороны треугольника.

Определить меньшую высоту треугольника можно также через синус известного угла треугольника. Если по условию задан наибольший из углов, то этот угол лежит против наибольшей стороны, и именно из него проведена наименьшая высота. Чтобы избежать громоздких вычислений, лучше выразите искомую высоту через тригонометрические функции двух других углов треугольника, поскольку отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла — величина для данного треугольника постоянная. Следовательно, наименьшая высота треугольника ha=b*SinB или ha=c*SinC, где В -угол между наибольшей стороной а и стороной b, а С — угол между наибольшей стороной а и стороной с треугольника.

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Как найти наибольшую или наименьшую высоту треугольника? Чем меньше высота треугольника, тем больше проведенная к ней высота. То есть наибольшая из высот треугольника — та, которая проведена к его наименьшей стороне. Наименьшая высота — та, которая проведена к наибольшей из сторон треугольника.

Чтобы найти наибольшую высоту треугольника, можно площадь треугольника разделить на длину стороны, к которой проведена эта высота (то есть на длину наименьшей из сторон треугольника).

Соответственно, для нахождения наименьшей высоты треугольника можно площадь треугольника разделить на длину его наибольшей стороны.

Задача 1.

Найти наименьшую высоту треугольника, стороны которого равны 7 см, 8 см и 9 см.

Дано:

∆ ABC,

AC=7 см, AB=8 см, BC=9 см.

Найти: наименьшую высоту треугольника.

Решение:

Наименьшая из высот треугольника — та, которая проведена к его наибольшей стороне. Значит, нужно найти высоту AF, проведенную к стороне BC.

Для удобства записи введем обозначения

BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.

Высота треугольника равна частному от деления удвоенной площади треугольника на сторону, к которой эта высота проведена. Площадь треугольника по сторонам можно найти с помощью формулы Герона. Поэтому

$[{h_a} = frac{{2sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} }}{a},]$

где

$[p = frac{{a + b + c}}{2}.]$

Вычисляем:

$[p = frac{{7 + 8 + 9}}{2} = 12(cm),]$

$[{h_a} = frac{{2sqrt {12(12 - 9)(12 - 7)(12 - 8)} }}{9} = ]$

$[ = frac{{2sqrt {12 cdot 3 cdot 5 cdot 4} }}{9} = frac{{2sqrt {36 cdot 5 cdot 4} }}{9} = ]$

$[ = frac{{2 cdot 6 cdot 2sqrt 5 }}{9} = frac{{8sqrt 5 }}{3}(cm).]$

Ответ:

$[frac{{8sqrt 5 }}{3}cm.]$

Задача 2.

Найти наибольшую сторону треугольника со сторонами 1 см, 25 см и 30 см.

Дано:

∆ ABC,

AC=25 см, AB=11 см, BC=30 см.

Найти:

наибольшую высоту треугольника ABC.

Решение:

Наибольшая высота треугольника проведена к его наименьшей стороне.

Значит, нужно найти высоту CD, проведенную к стороне AB.

Для удобства обозначим

BC=a,

AC=b,

AB=c,

CD=hc.

$[{h_c} = frac{{2sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} }}{c}.]$

Вычисляем:

$[p = frac{{30 + 25 + 11}}{2} = 33(cm),]$

$[{h_c} = frac{{2sqrt {33(33 - 30)(33 - 25)(33 - 11)} }}{{11}} = ]$

$[ = {h_c} = frac{{2sqrt {33 cdot 3 cdot 8 cdot 22} }}{{11}} = frac{{2sqrt {3 cdot 11 cdot 3 cdot 4 cdot 2 cdot 2 cdot 11} }}{{11}} = ]$

$[ = frac{{2 cdot 3 cdot 11 cdot 2 cdot 2}}{{11}} = 2 cdot 3 cdot 2 cdot 2 = 24(cm).]$

Ответ: 24 см.

Источник

Наименьшая высота треугольника

Какая наименьшая высота у треугольника, какая — наибольшая? Как найти наименьшую (наибольшую) высоту треугольника, зная его площадь? Как найти наименьшую и наибольшую высоты по сторонам треугольника?

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведенную к этой стороне высоту.

то есть произведение стороны на проведенную к ней высоту равны для каждой пары множителей:

наименьшая высота треугольника — та, которая проведена к его наибольшей стороне, а наибольшая высота треугольника — проведенная к наименьшей стороне.

Высота треугольника через его площадь равна частному от деления удвоенной площади на сторону, к которой эта высота проведена:

где p — полупериметр,

Значит, формулы для нахождения любой высоты треугольника по его сторонам

Формулы для нахождения высоты треугольника

Нахождение высоты треугольника

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Найдите меньшую высоту треугольника если его стороны равны 9 см 12см 15 см

Меньшая высота треугольника — это высота, опущенная на большую сторону. Опустим высоту СО на сторону АВ.

В ΔАСО по т. Пифагора:
СО² = АС²-АО²
В ΔСОВ по т. Пифагора:
СО² = ВС²-ОВ²
Отсюда следует:
АС²-АО² = ВС²-ОВ²
пусть АО=х, тогда ОВ = 15-х;
9² — х² = 12² — (15-х)²
81 — x² = 144 — (225 — 30x + x²)
81 — x² = 144 — 225 + 30x — x²
30x = 81 — 144 + 225
30x = 162
x = 5,4 (см) — АО

СО² = АС²-АО²
СО² = 9²-5,4²
СО² = 81-29,16
СО² = 51,84
СО = √51,84 = 7,2 (см)

Ответ: 7,2 см.

источники:

Формулы для нахождения высоты треугольника

http://educatic.ru/geometriya59/najdite-menshuyu-visotu-treugol-AI/

Источник

Стороны треугольника равны 29 см, 25 см и 6 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне. (С чертежём, условием и решением)

Помогите пожалуйста, срочно

Остались вопросы?

Новые вопросы по предмету Математика

Источник