Как найти высоту прямой призмы трапеция

Была ли эта статья полезной?

На этой странице вы узнаете

• Чем упаковка стикеров похожа на призму?
• Как можно попасть в призму в реальной жизни?
• Как сложить игральные кости из листа бумаги?
• Как найти объем воды в аквариуме? 

Слышали такое выражение «смотреть сквозь призму чего-либо»? Оно значит ситуацию, в которой мы воспринимаем что-либо под влиянием каких-то убеждений или представлений. Замысловато, конечно… Возможно, потому что и сама призма — непростое понятие. Давайте разберемся с ней с точки зрения математики.

Определение призмы

Многие из нас пользуются стикерами. Для записи своих дел, для закладок, для пометок при ведении конспектов. Даже если мы ими не пользуемся, то наверняка видели их в магазинах или у родственников и друзей. 

Один такой стикер можно принять за плоскость. Теперь вспомним, как выглядит упаковка с ними. Много-много стикеров накладываются друг на друга и получается небольшая объемная фигура, сверху и снизу которой лежат два абсолютно одинаковых листа. При этом сразу заметим, что нижний и верхний стикеры будут параллельны друг другу. 

На самом деле, упаковка со стикерами является не чем иным, как призмой! 

Призма — это многогранник, в котором две грани являются равными многоугольниками и лежат в параллельных плоскостях, а все остальные — параллелограммами. 

Определение может показаться немного запутанным, но в нем нет ничего страшного. Разберемся, поближе взглянув на составные призмы. 

Строение призмы

Представим себе обычную коробку. Ее дно и крышка равны между собой и лежат в параллельных плоскостях. Это и есть равные многоугольники. Также их называют основаниями призмы. 

Посмотрим на стенки коробки. Они являются параллелограммами, просто с прямыми углами. Подробнее про параллелограммы можно прочитать в статье «Параллелограмм». Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы. 

Возьмем линейку и измерим расстояние между основаниями призмы. Для этого из любой точки одного основания проведем перпендикуляр к другому. 

Подробнее про расстояния между плоскостями можно узнать в статьях «Углы в пространстве» и «Расстояния между фигурами». 

Может возникнуть вопрос, что мы сейчас нашли? Мы нашли высоту призмы. 

Высота призмы — перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на другое основание призмы. 

В задачах намного удобнее опускать перпендикуляр не из произвольной точки, а из вершины призмы. 

Рассмотрим элементы призмы. 

Ребро — это линия пересечения двух плоскостей. 

Представим, что вместо картонных стенок в нашей коробке ткань, которую нам нужно натянуть на каркас так, чтобы коробка не изменилась. В этом случае все прямые этого каркаса и будут ребрами.

Ребра бывают двух видов: 

• ребра оснований,
• боковые ребра. 

Отличить их также легко: ребра основания являются стороной многоугольника, который в нем лежит, в то время как боковые ребра не принадлежат основаниям. 

У боковых ребер есть одно очень важное свойство: они равны между собой и параллельны. 

Диагональ призмы — отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. 

Например, мы можем взять клетку попугая и от угла до угла сделать ему жердочку, чтобы птичке было весело жить. Эта жердочка и будет диагональю призмы. 

Виды призм

Вернемся к рассуждениям о том, чем упаковка стикеров похожа на призму. Например, куб и параллелепипед будут отличаться. А если в основании призмы будет лежать треугольник или шестиугольник? Или двадцатиугольник? Разделим призмы на несколько видов.

Мы рассмотрим две классификации. 

В первом случае будем рассматривать призмы по фигурам, которые лежат в основании. В многоугольнике может быть множество сторон, а значит, и в основании призмы может быть треугольник, четырехугольник, шестиугольник, десятиугольник и так далее. 

В зависимости от фигуры в основании призмы могут называться по-разному. Вот три основных, которые чаще всего встречаются при решении заданий:

• треугольная призма,

• четырехугольная призма,

• шестиугольная призма. 

Аналогичным образом можно дать название любой призме, например, десятиугольная призма или стоугольная призма. 

В определении призмы сказано, что в боковых гранях лежат параллелограммы. До этого мы чертили только прямоугольники, но в боковых гранях могут лежать не только они. 

С этим связана вторая классификация призм. По этому признаку призмы делятся всего на два вида:

• прямые,
• наклонные. 

Разберемся в них чуть подробнее. 

Прямая призма — призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям. 

В этом случае боковые ребра и ребра оснований действительно образовывают прямоугольник. 

Наклонная призма — призма, боковые ребра которой находятся под углом к основаниям. 

Где мы можем найти прямые и наклонные призмы? Оказывается, в архитектуре. Обычный жилой дом типовой застройки будет прямой призмой. А вот примером наклонной призмы может служить комплекс зданий “Ворота Европы” в Мадриде. 

Чуть подробнее остановимся на прямых призмах. Они встречаются достаточно часто и обладают несколькими важными свойствами. 

Посмотрите на свою комнату. Если по плану квартиры она будет многоугольником, то вы как бы сидите в призме. Теперь ответим на вопрос: как найти высоту комнаты? 

Простой ответ: померить по стене. А если посмотреть на угол, то можно заметить, что ребро призмы совпадает с высотой. Таким образом, мы получаем первое свойство прямых призм. 

Свойство 1. Высота прямой призмы совпадает с её боковым ребром. 

Посмотрим на стены комнаты, на их форму. Они все являются прямоугольниками, верно? 

Свойство 2. Все боковые грани прямой призмы — прямоугольники. 

Если мы в основании прямой призмы разместим правильный многоугольник, у нас получится правильная призма.

Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. 

Например,  в правильной треугольной призме будет лежать равносторонний треугольник, а в правильной шестиугольной призме — правильный шестиугольник. 

Определение параллелепипеда

Еще одной разновидностью прямоугольной призмы является параллелепипед. 

Параллелепипед — это четырехугольная призма, все грани которой являются параллелограммами. 

Параллелепипеды встречаются повсюду: коробки, мебель, комнаты, здания, склады, магазины. Поэтому изучить их не составит труда. 

Свойство параллелепипеда, видимое невооруженным глазом: противоположные грани параллелепипеда равны. Как пример, вспомним ту же комнату: потолок и пол равны, так же как и стены, находящиеся напротив друг друга. 

Нельзя не упомянуть про одно очень важное свойство параллелепипеда: 

• Все его диагонали пересекаются в одной точке и этой точкой делятся пополам. Это свойство справедливо для всех видов параллелепипеда. 

Какие бывают параллелепипеды? 

Параллелепипеды также бывают прямыми и наклонными. В этих случаях все определения такие же, как и для всех остальных призм. 

Прямой параллелепипед

Рассмотрим несколько интересных свойств прямого параллелепипеда. 

1 свойство. Боковые ребра прямого параллелепипеда перпендикулярны основаниям. 

2 свойство. Высота прямоугольного параллелепипеда равна длине его бокового ребра. 

3 свойство. Боковые грани, которые лежат напротив друг друга, равны между собой и являются прямоугольниками. 

Прямые параллелепипеды можно разделить еще на два вида:

• Прямой параллелепипед: в основании лежит параллелограмм;

• Прямоугольный параллелепипед: в основании лежит прямоугольник. 

Рассмотрим свойства прямоугольного параллелепипеда. 

1 свойство. Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками. 

2 свойство. Все углы в прямоугольном параллелепипеде, образованные двумя гранями, равны 90°. 

3 свойство. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин его ширины, длины и высоты. 

Таким образом, мы получаем важную формулу для параллелепипеда. 

d² = a² + b² + c²

Пример 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Два ребра, выходящие из одной его вершины, равны (sqrt{35}) и (sqrt{46}). Диагональ параллелепипеда равна 15. Найдите третье ребро параллелепипеда. 

Решение. Пусть третье ребро параллелепипеда равняется х. Получаем уравнение:

(15^2 = (sqrt{35})^2 + (sqrt{46})^2 + x^2)
225 = 35 + 46 + x²
x² = 144
x = 12

Ответ: 12. 

У прямоугольного параллелепипеда существует еще несколько видов. Прямоугольные параллелепипеды делятся на:

• Произвольный прямоугольный параллелепипед. В основании может лежать прямоугольник. 

• Правильный прямоугольный параллелепипед. В основании лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат. 
  При этом боковые ребра не равны ребрам основания. Следовательно, в основаниях будут лежать квадраты, а в боковых гранях прямоугольники. 

• Куб. В основании лежит квадрат, а боковые ребра равны ребрам основания. 
  В кубе все ребра равны, а все его грани будут квадратом. 

Таким образом, мы рассмотрели все виды параллелепипеда. 

Формулы для призмы

Однако ни одна задача не может быть решена без формул. Поэтому необходимо рассмотреть несколько основных формул, которые могут встретиться не только в задачах, но и в жизни. 

Немного вспомним моделирование, а именно развертку кубика. Мы знаем, что из листа бумаги без труда можно сложить кубик, если правильно его вычертить. 

На рисунке оранжевым показаны основания, а желтым боковые грани нашего будущего кубика. А теперь представим, что нам нужно найти площадь боковой поверхности. Как это сделать?

Нужно найти площади желтых квадратиков и сложить их. 

Площадь боковой поверхности призмы — сумма площадей всех боковых ее граней. 

Единой формулы тут нет, поскольку призмы могут очень сильно отличаться друг от друга. В произвольных призмах придется считать площадь каждой боковой грани, а уже после их складывать. 

Но есть один фокус! Правда, он работает только для прямой призмы. Если по условию дана прямая призма, то можно воспользоваться формулой 

S_бок. = P * h

В этой формуле Р — периметр основания, h — высота призмы, которая совпадает с высотой боковой грани. 

Пример 1. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равняется 2, а высота 10. 

Решение. 

Шаг 1. Поскольку правильная призма по определению прямая, мы можем воспользоваться формулой S = Ph. 

Шаг 2. В основании правильной призмы лежит правильный шестиугольник, следовательно, периметр основания будет равен 6 * 2 = 12. 

Шаг 3. Осталось найти только площадь боковой поверхности. Подставляем данные в формулу и получаем: S = 12 * 10 = 120. 

Ответ: 120. 

Пример 2. Дана прямая треугольная призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5. Высота призмы равна 13. Найдите площадь ее боковой поверхности. 

Решение. 

Шаг 1. Поскольку призма прямая, можно воспользоваться формулой S = Ph. 

Шаг 2. Найдем периметр основания. Для этого необходимо найти гипотенузу треугольника. Воспользуемся теоремой Пифагора: (sqrt{12^2 + 5^2} = sqrt{144 + 25} = sqrt{169} = 13). 

Шаг 3. Найдем периметр основания: P = 12 + 5 + 13 = 30. 

Шаг 4. Осталось найти только площадь боковой поверхности. Подставляем данные в формулу и получаем: S = 30 * 13 = 390. 

Ответ: 390. 

Мы научились находить площадь боковой поверхности. А как найти всю площадь призмы? Вспомним нашу развертку с кубиком. Чтобы найти всю площадь кубика, нужно найти площадь всех квадратов, из которых он состоит. То есть и площадь боковой поверхности, и площадь оснований. 

Площадь полной поверхности призмы — сумма площадей всех граней. 

Следовательно, нам нужно сложить площади всех боковых граней и дважды площадь основания. Получаем следующую формулу. 

S = S_бок + 2S_осн

Вспомним обычный хлеб, черный или белый. Его форма очень приближена к параллелепипеду. Тогда его корочка будет площадью полной поверхности параллелепипеда. А все что внутри, то есть мякиш, можно принять за объем. 

Пример 3. Дана прямая призма, в основании которой лежит ромб с диагоналями 12 и 16. Боковое ребро призмы равно 25. Найдите площадь поверхности призмы. 

Решение. 

Шаг 1. Найдем площадь основания. Площадь ромба можно найти по формуле (frac{1}{2} * D_1 * D_2). Следовательно, площадь ромба равна (frac{1}{2} * 12 * 16 = 96). 

Шаг 2. Заметим, что диагонали ромба образуют четыре равных прямоугольных треугольника. Следовательно, чтобы найти сторону ромба, достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. По теореме Пифагора сторона ромба будет равна (sqrt{6^2 + 8^2} = sqrt{36 + 64} = sqrt{100} = 10).

Шаг 3. Периметр ромба будет равен 4 * 10 = 40. Тогда площадь боковой поверхности равна 40 * 25 = 1000. 

Шаг 4. Площадь полной поверхности будет равняться 1000 + 2 * 96 = 1000 + 192 = 1192.

Ответ: 1192

Пример 4. Площадь поверхности правильной четырехугольной призмы равняется 1980. Сторона основания равна 5. Найдите боковое ребро этой призмы. 

Решение. 

Шаг 1. Воспользуемся формулой S = S_бок + 2S_осн. Площадь основания будет равняться площади квадрата, то есть 5 * 5 = 25. 

Шаг 2. Подставим известные величины в формулу: 

1980 = S_бок + 2 * 25
S_бок = 1930

Шаг 3. Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы. Периметр равен 5 * 4 = 20. Тогда получаем уравнение:

20h = 1930
h = 96,5

Шаг 4. Поскольку по условию дана правильная призма, то высота совпадает с боковым ребром. Следовательно, боковое ребро равняется 96,5.

Ответ: 96,5. 

Теперь рассмотрим, как найти объем призмы. Допустим, мы налили в прямоугольный аквариум немного воды. Как определить, сколько воды мы налили?

Для этого достаточно воспользоваться формулой объема призмы. 

V = S_осн. * h

Эта формула общая, однако для каждой призмы она может принять свой вид в зависимости от того, какую формулу нужно использовать для поиска площади основания или высоты. 

Например, чтобы найти объем воды в аквариуме, необходимо длину умножить на ширину и на высоту, а значит формула принимает вид V = abh. 

Пример 5. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 12 и 15. Боковое ребро призмы равно 4. Найдите объем этой призмы. 

Решение. 

Шаг 1. Для начала найдем площадь основания. В этом случае мы можем воспользоваться формулой (frac{1}{2}ab). Площадь равна (frac{1}{2} * 12 * 15 = 90).

Шаг 2. Воспользуемся формулой объема призмы и подставим известные величины: 

V = 90 * 4 = 360.

Ответ: 360. 

Пример 6. Дан сосуд, в основании которого лежит правильный треугольник. В этот сосуд налили 3000 см³ воды. Высота жидкости оказалась равной 10 см. После этого в сосуд опустили шарик и высота изменилась с 10 см на 14 см. Найдите объем шарика. 

Решение. Немного вспомним физику, а именно тот факт, что объем вытесненной жидкости равен объему тела. Значит, чтобы найти объем шарика, необходимо найти насколько изменился объем воды. 

Шаг 1. Найдем площадь основания сосуда. Для этого немного преобразуем формулу объема: 
(S = frac{V}{h})
Тогда:
(S = frac{3000}{10} = 300)

Шаг 2. А теперь найдем объем после того, как в воду погрузили шарик. Он будет равен 300 * 14 = 4200. 

Шаг 3. Объем вытесненной жидкости равен 4200 — 3000 = 1200.

Ответ: 1200. 

Мы рассмотрели основные формулы, которые применяются для решения задач. Стоит заметить, что они универсальны, и в каждой задаче их рационально преобразовывать под ситуацию. 

Фактчек 

• Призма — это многогранник, в котором две грани являются равными многоугольниками и лежат в параллельных плоскостях, а все остальные — параллелограммами. Равные многоугольники называются основаниями призмы, а остальные стороны — боковыми гранями. В призме есть ребра — линии пересечения двух ее граней. Ребра как бы образуют каркас призмы. 
• Призмы можно разделить на несколько видов по тому, какая фигура лежит в основании: треугольник, четырехугольник, шестиугольник или любой другой многоугольник. Призмы бывают прямые и наклонные. В прямых призмах боковые ребра перпендикулярны основанию, а в наклонных — нет. Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. 
• Параллелепипед — это четырехугольная призма, все грани которой являются параллелограммами. Параллелепипеды бывают наклонными и прямыми. Прямые параллелепипеды включают в себя прямоугольные параллелепипеды, которые, в свою очередь, делятся на произвольные, правильные и кубы. 
• В призме можно найти площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности и объем. Для каждого из этих случаев необходимо пользоваться формулами. 

Проверь себя

Задание 1.
Что такое диагональ призмы?

1. Отрезок, соединяющий две соседние вершины в призме.
2. Отрезок, соединяющий противоположные углы в боковой грани призмы.
3. Отрезок, соединяющий противоположные углы в основании призмы.
4. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.  

Задание 2.
Что такое прямая призма?

1. Призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям.
2. Призма, боковые ребра которой расположены под острым углом относительно основания.
3. Призма, боковые ребра которой расположены под тупым углом относительно основания.
4. Призма, в основании которой лежит прямоугольник.

Задание 3.
Как найти высоту прямой призмы?

1. Высоту нужно найти с помощью оснований.
2. Высота совпадает с боковым ребром.
3. Необходимо найти расстояние между двумя вершинами, не принадлежащими одной грани.
4. В прямой призме невозможно найти высоту. 

Задание 4.
Какая фигура лежит в основании прямоугольного параллелепипеда?

1. Параллелограмм с острыми углами.
2. Ромб с острыми углами.
3. Трапеция.
4. Прямоугольник. 

Задание 5. 
Как найти площадь полной поверхности призмы?

1. Нужно найти сумму площадей всех боковых граней.
2. Нужно сложить площадь боковой поверхности и площадь основания.
3. Нужно сложить площадь боковой поверхности и удвоенную площадь основания.
4. Нужно сложить площади оснований. 

Ответы: 1. — 4 2. — 1 3. — 2 4. — 4 5. — 3

Тема: Многогранники

Урок: Многогранники. Призма. Задачи на призму

Тема и цели урока

На этом занятии мы повторим основные сведения о многогранниках. Особенное внимание уделим определению призмы. Вспомним теорему о площади боковой поверхности прямой призмы.

Повторение, призма

На рисунке 1 изображена призма ABCDFA₁B₁C₁D₁F₁, ее основания ABCDF и A₁B₁C₁D₁F₁. Пятиугольники ABCDF и A₁B₁C₁D₁F₁  равны и лежат в параллельных плоскостях.

Рис. 1

Призма – это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а боковые грани – параллелограммы.

Основания призмы – это две грани, являющиеся равными многоугольниками, которые лежат в параллельных плоскостях.

Боковыми гранями являются все грани призмы, кроме оснований. Каждая боковая грань является параллелограммом.

Общие стороны боковых граней называются боковыми ребрами.

Вернемся к рисунку 1. В пятиугольнике ABCDFA₁B₁C₁D₁F₁:

ABCDF и A₁B₁C₁D₁F₁  – основания призмы.

Боковыми гранями являются грани АА₁В₁В, ВВ₁С₁С, CC₁D₁D, DD₁F₁F, FF₁A₁A. А боковыми ребрами – АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁, FF₁.

Прямая призма

Определение. Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такая призма называется прямой.

Рассмотрим пятиугольную призму ABCDFA₁B₁C₁D₁F₁ (рис. 2).

Пусть боковое ребро AA₁ перпендикулярно плоскости основания. Значит, данная призма – прямая. Так как ребро АА₁ перпендикулярно плоскости АВС, то это боковое ребро перпендикулярно любой прямой из плоскости основания АВС, в том числе и прямой AF. Значит, боковая грань является прямоугольником.

Рис. 2

Параллелепипед

Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D_1­ (рис. 3) – частный случай призмы. В основаниях призмы лежат параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁.

Рис. 3

Если боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то такой параллелепипед будет называться прямым параллелепипедом.

Рис. 4

Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D_1­ (рис. 4). Если ребро AA₁ перпендикулярно плоскости ABCD, то параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D_1­ прямой.

Если в основании прямого параллелепипеда лежит прямоугольник, то такой параллелепипед называется прямоугольным. Обозначение:  ABCDA₁B₁C₁D_1­  или кратко AC₁.

Правильная призма

Определение. Правильной n-угольной призмой называется такая прямая призма, у которой в основаниях лежит правильный n-угольник.

Площадь боковой поверхности призмы

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Рассмотрим эту теорему на примере треугольной прямой призмы ABCA₁B₁C₁ (рис. 5). Призма ABCA₁B₁C_1­ – прямая, значит, все боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Дано: АВСА₁В₁С₁ – прямая призма, т. е. АА₁ ⊥ АВС.

АА₁ = h.

Доказать: S_бок = Р_осн ∙ h.

Рис. 5

Доказательство.

Треугольная призма АВСА₁В₁С₁ – прямая, значит, боковые грани АА₁В₁В, АА₁С₁С, ВВ₁С₁С – прямоугольники. А все боковые ребра призмы равны высоте призмы.

Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников АА₁В₁В, АА₁С₁С, ВВ₁С₁С:

S_бок = АВ∙ АА₁ + ВС∙ ВВ₁ + СА∙ СС₁ = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = P_осн ∙ h.

Получаем, S_бок = Р_осн ∙ h, что и требовалось доказать.

Задача 1

В правильной n-угольной призме сторона основания равна a и высота равна h. Вычислить площадь боковой и полной поверхности призмы, если n = 3, h = 15 см, a = 10 см. См. рис. 6.

Дано: АВСА₁В₁С₁ – призма,

АА₁ ⊥ АВС,

h = АА₁ = 15см,

АВ = BC = CA = a = 10 см.

Найти: S_бок , S_полн.

Рис. 6

Решение:

По условию призма прямая. Значит, ребро АА₁ перпендикулярно плоскости основания и равно высоте призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания призмы на высоту. Найдем площадь боковой поверхности.

S_бок = P_осн ∙ h = P_АВС ∙ АА₁ = 3 ∙ АВ ∙ h = 3∙ 10 ∙ 15 = 450 (см²).

В основании призмы лежит правильный треугольник АВС. Найдем его площадь.

 (см²)

Площадь полной поверхности призмы – это площадь всех ее граней, то есть площадь боковой поверхности плюс площади двух оснований. Значит:

 (см²).

Ответ:  (см²).

Задача 2

Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см. Перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найти площадь боковой поверхности.

Дано: призма ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 7),

АА₁ = 12 см,

перпендикулярное сечение – ромб со стороной 5 см.

Найти: S_бок

Рис. 7

Решение:

Мы доказали на прошлом уроке, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

По условию, перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Все стороны ромба равны. Значит, периметр перпендикулярного сечения равен  см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

 (см²).

Ответ: 240 см².

Задача 3

Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых рёбрах призмы. См. рис. 8.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – призма,

AA₁ ⊥ ABC,

AB ∥ CD, CB = AD,

AB = 9 см, CD = 25 см,

h_трап= 8 см.

Найти: двугранные углы при боковых рёбрах призмы.

Рис. 8

Решение:

Вспомним, что такое двугранный угол. Пусть у нас есть две полуплоскости α и β, которые пересекаются по прямой СC₁ (рис. 9). Тогда они образовывают двугранный угол с ребром СC₁. Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

Как строится линейный угол? Берется произвольная точка M на ребре, и проводятся два перпендикуляра: один перпендикуляр в плоскости β – перпендикуляр b, второй перпендикуляр в плоскости α – перпендикуляр a. Тогда угол между прямыми a и b и будет линейным углом двугранного угла.

Рис. 9

Найдем линейный угол при ребре СС₁. Так как ребро СC₁ перпендикулярно всей плоскости ABC, то ребро СC₁ перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, в том числе прямым BC и CD. Тогда угол между прямыми BC и CD, а именно угол DCB, является линейным углом двугранного угла при ребре СC₁.

Аналогичным образом, получаем, что линейные угол при ребре АА₁ – это угол ВAD, при ребре DD₁ – ∠ADC, при ребре BB₁ – ∠ABC. Все эти углы являются углами трапеции ABCD. Найдем их градусную меру.

Рассмотрим трапецию ABCD (рис. 10). Проведем высоты АН и КВ. По условию, высота трапеции равна 8 см. Значит, АН = КВ = 8 см.

Рис. 10

Найдем НК. Прямые АН и КВ перпендикулярны одной и той же прямой DC. Значит, прямые АН и КВ параллельны. Так как АН = КВ, то АНКВ – параллелограмм.  Значит, НК = АВ = 9 см.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то  см.

Рассмотрим треугольник DHA. Он прямоугольный, так как АН ⊥ DC и равнобедренный, так как АН = DH. Значит, ∠HAD = ∠HDA = 45° градусов.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то ∠DCB = ∠СDA = 45°, ∠DAB = ∠ABC = 180° — 45° = 135°.

Ответ: 45°, 45°, 135°, 135°.

Список литературы

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Физ/мат класс (Источник).
2. 5klass.net (Источник).
3. Ppt4web.ru (Источник).
4. Якласс (Источник).
5. Rutube.ru (Источник).

Домашнее задание

1. У параллелепипеда три грани имеют площадь 1 см², 2 см², 3 см². Чему равна полная поверхность параллелепипеда?
2. Основание призмы – прямоугольный треугольник, диагонали боковых граней призмы – 8 см, 14 см, 16 см. Найдите высоту призмы.
3. Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы равна большей диагонали основания. Под каким углом пересекаются диагонали боковой грани этой призмы?
4. Найдите площадь поверхности правильной n-угольной призмы, если любое ребро это призмы равно а. а) n = 3; б) n = 4.

Особенности трапециевидной призмы и способ расчета объема

трапециевидная призма это призма такая, что задействованные полигоны являются трапециевидными. Определение призмы — это такое геометрическое тело, которое образовано двумя равными и параллельными друг другу многоугольниками, а остальные их грани являются параллелограммами..

Призма может иметь разные формы, которые зависят не только от количества сторон многоугольника, но и от самого многоугольника..

Если многоугольники, входящие в состав призмы, являются квадратами, то это отличается от призмы, которая включает в себя, например, бриллианты, даже если оба многоугольника имеют одинаковое количество сторон. Таким образом, это зависит от того, какой четырехугольник участвует.

Характеристики трапециевидной призмы

Чтобы увидеть характеристики трапециевидной призмы, вы должны сначала узнать, как она нарисована, затем, каким свойствам соответствует основание, какова площадь поверхности и, наконец, как рассчитывается ее объем..

1- Рисование трапециевидной призмы

Чтобы нарисовать его, нужно сначала определить, что такое трапеция.

Трапеция представляет собой неправильный многоугольник с четырьмя сторонами (четырехугольник), так что у него есть только две параллельные стороны, называемые основаниями, а расстояние между его основаниями называется высотой.

Чтобы нарисовать прямую трапециевидную призму, начните с рисования трапеции. Затем вертикальная линия длиной «h» проецируется из каждой вершины и, наконец, рисуется другая трапеция, так что ее вершины совпадают с концами ранее нарисованных линий..

Вы также можете иметь наклонную трапециевидную призму, конструкция которой аналогична предыдущей, вам просто нужно нарисовать четыре линии, параллельные друг другу..

2- Свойства трапеции

Как было сказано ранее, форма призмы зависит от многоугольника. В частном случае трапеции мы можем найти три различных типа основ:

-Трапециевидный прямоугольник: является ли эта трапеция такой, что одна из ее сторон перпендикулярна ее параллельным сторонам или что она просто имеет прямой угол.

-Равнобедренная трапеция: трапеция такая, что ее непараллельные стороны имеют одинаковую длину.

Шкала трапеции: это та трапеция, которая не равнобедренная или прямоугольная; его четыре стороны имеют разную длину.

Как вы можете видеть в соответствии с типом трапеции, будет получена другая призма.

3- Площадь поверхности

Чтобы вычислить площадь поверхности трапециевидной призмы, нам нужно знать площадь трапеции и площадь каждого параллелограмма..

Как вы можете видеть на предыдущем изображении, область включает в себя две трапеции и четыре разных параллелограмма..

Площадь трапеции определяется как T = (b1 + b2) xa / 2, а площади параллелограммов: P1 = hxb1, P2 = hxb2, P3 = hxd1 и P4 = hxd2, где «b1» и «b2» основания трапеции, «d1» и «d2» непараллельные стороны, «a» — высота трапеции, а «h» — высота призмы..

Следовательно, площадь поверхности трапециевидной призмы A = 2T + P1 + P2 + P3 + P4.

4- Том

Поскольку объем призмы определяется как V = (площадь многоугольника) x (высота), можно сделать вывод, что объем трапециевидной призмы равен V = Txh..

5- Приложения

Одним из наиболее распространенных объектов, имеющих форму трапециевидной призмы, является золотой слиток или пандусы, используемые в гонках на мотоциклах..

Источник

Призма

Призма

Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.

Многоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ – называются основаниями призмы.

Параллелограммы $АА_1В_1В, ВВ_1С_1С$ и т.д.- боковыми гранями.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$S_<бок>$ — площадь боковой поверхности;

$S_<п.п>$ — площадь полной поверхности;

В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

1. $S=/<2>$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
2. $S=/<2>$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
3. Формула Герона $S=√$, где $р$ — это полупериметр $p=/<2>$
4. $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
5. $S=/<4r>$, где $R$ — радиус описанной окружности
6. Для прямоугольного треугольника $S=/<2>$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

1. Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

2. Ромб

$S=/<2>$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

3. Трапеция

$S=<(a+b)·h>/<2>$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим площади правильных многоугольников:

1. Для равностороннего треугольника $S=/<4>$, где $а$ — длина стороны.

$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными $10$ и $24$, а её боковое ребро равно $20$.

Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб.

Распишем формулу площади полной поверхности:

В прямой призме высота равна боковому ребру, следовательно, $h=С_1С=20$

Чтобы найти периметр основания, надо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся, при пересечении диагоналей и воспользуемся теоремой Пифагора.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$.

Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Далее подставим все найденные величины в формулу полной поверхности и вычислим ее:

Цилиндр — это та же призма, в основании которой лежит круг.

Подобные призмы: при увеличении всех линейных размеров призмы в $k$ раз, её объём увеличится в $k^3$ раз.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	$<1>/<2>$	$<√2>/<2>$	$<√3>/<2>$
$cosα$	$<√3>/<2>$	$<√2>/<2>$	$<1>/<2>$
$tgα$	$<√3>/<3>$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	$<√3>/<3>$

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Источник