Как найти высоту тела погруженного в воду

Задачи на силу Архимеда с решениями

Формулы, используемые на уроках «Задачи на силу Архимеда», «Сообщающиеся сосуды».

Название величины	Обозначение	Единица измерения	Формула
Объем тела	V	м3	Vт = FA / pg
Плотность жидкости	p	кг/м3	pж = FA / (Vg)
Сила Архимеда	FA	Н	FA = pж Vт g
Постоянная	g ≈ 10 Н/кг	Н/кг

---

---

---

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача № 1.
Тело объемом 2 м³ погружено в воду. Найдите архимедову силу, действующую на тело.

---

Задача № 2.
Определить выталкивающую силу, действующую на деревянный плот объемом 12 м³, погруженный в воду на половину своего объема.

---

Задача № 3.
 Каков объем железобетонной плиты, если в воде на нее действует выталкивающая сила 8000 Н?

---

Задача № 4.
 Какую силу надо приложить, чтобы удержать под водой бетонную плиту, масса которой 720 кг?

---

Задача № 5.
 Какую высоту должен иметь столб нефти, чтобы уравновесить в сообщающихся сосудах столб ртути высотой 16 см?

---

Задача № 6.
Вес тела в воздухе равен 26 кН, а в воде — 16 кН. Каков объем тела?

---

---

Задача № 7.
Какую силу нужно приложить, чтобы удержать в воде кусок гранита объемом 40 дм³?

---

Задача № 8.
Определите объем куска меди, который при погружении в керосин выталкивается силой 160 Н.

---

Задача № 9 (повышенной сложности).
 Медный шар в воздухе весит 1,96 Н, а в воде 1,47 Н. Сплошной этот шар или полый?

---

Задача № 10 (повышенной сложности).
 Рассчитайте, какой груз сможет поднять шар объемом 1 м³, наполненный водородом. Какой примерно объем должен иметь шар с водородом, чтобы поднять человека массой 70 кг? (Вес оболочки не учитывать.)

---

Задача № 11.
  Деревянный цилиндр плавает на поверхности воды так, что он погружен в воду на 90%. Какая часть цилиндра будет погружена в воду, если поверх воды налить слой масла, полностью закрывающий цилиндр? Плотность масла 800 кг/м³.

Дано: V – объем цилиндра (V = Sh);  h – высота цилиндра;  S – площадь основания цилиндра;  V₁ – объем цилиндра, погруженного в масло (V₁ = V – V₂ = Sh₁);  h₁ – высота части цилиндра, погруженной в масло;  V₂ – объем цилиндра, погруженного в воду после добавления масла;  р_в – плотность воды (1000 кг/м³);  р_м – плотность масла (800 кг/м³)

Найти:  (h – h₁) / h — ?

Решение.  F – сила, выталкивающая цилиндр из воды до добавления масла  F = 0,9p_вgV
F₁ – сила, выталкивающая цилиндр из масла   F₁ = p_мgV₁
F₂ – сила, выталкивающая цилиндр из воды после добавления масла  F₂ = p_вgV₂
Баланс сил: F – F₁ = F₂
0,9p_вgV – p_мgV₁ = p_вgV₂       V₁ = V – V₂   ⇒    0,9p_вV – p_м(V – V₂) = p_вV₂

V(0,9p_в – p_м) = V₂(p_в – p_м)         V = Sh;  V₁ = Sh₁    ⇒

Ответ: 1/2 часть цилиндра будет погружена в воду (50%).

---

Задача № 12.
 Плоская льдина плавает в воде, выступая над уровнем воды на 3 см. Человек массой 70 кг зашел на льдину. В результате, высота выступающей части над льдиной уменьшилась в 3 раза. Найти площадь льдины.

Ответ: 3,5 м³.

---

Теория для решения задач.

Давление жидкости на покоящееся в ней тело называют гидростатическим давлением. Гидростатическое давление на глубине h равно р = р_атм  + p*g*h

Закон Паскаля. Жидкость и газ передают оказываемое на них давление во всех направлениях одинаково.

---

Конспект урока «Задачи на силу Архимеда с решениями».

Следующая тема: «Задачи на механическую работу».

Условие задачи:

С какой высоты должно падать тело плотностью 400 кг/м³, чтобы оно погрузилось в воду на глубину 6 см? Сопротивлением воды и воздуха пренебречь.

Задача №3.3.38 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(rho=400) кг/м³, (h=6) см, (H-?)

Решение задачи:

Тело, падая с высоты (H), перед входом в воду будет иметь некоторую скорость. В воде тело будет двигаться равнозамедленно, поскольку сила Архимеда больше силы тяжести (так как (rho < rho_в)). Из-за этого тело остановиться на глубине (h).

Когда тело будет двигаться в воде, то работу будет совершать сила Архимеда (F_А). При этом работа этой силы равна изменению полной механической энергии тела согласно закону сохранения энергии.

[A = Delta E;;;;(1)]

Работа силы Архимеда (F_А) отрицательна, поскольку вектор этой силы противоположен вектору перемещения. Её можно найти по формуле:

[A =  – {F_А} cdot h;;;;(2)]

Выберем нулевой уровень потенциальной энергии на уровне поверхности воды. Тогда полная механическая энергия в начале равна (mgH), а в конце – (left( -mgh right)) (так как в этих точках у тела нет скорости). Изменение полной механической энергии (Delta E) равно:

[Delta E =  – mgh – mgH =  – mgleft( {H + h} right);;;;(3)]

В равенство (1) подставим выражения (2) и (3):

[ – {F_А} cdot h =  – mgleft( {H + h} right)]

[{F_А} cdot h = mgleft( {H + h} right)]

Распишем силу Архимеда (F_А) по формуле-определению и массу (m) как произведение плотности (rho) на полный объем (V):

[{rho _в}gVh = rho Vgleft( {H + h} right)]

[{rho _в}h = rho left( {H + h} right)]

Раскроем скобки в правой части, перенесем все множители с (H) в одну сторону и выразим (H).

[{rho _в}h = rho H + rho h]

[rho H = left( {{rho _в} – rho } right)h]

[H = left( {frac{{{rho _в}}}{rho } – 1} right)h]

Переведем высоту (h) в систему СИ, далее подставим все данные в формулу и произведем вычисления:

[6;см = 0,06;м]

[H = left( {frac{{1000}}{{400}} – 1} right) cdot 0,06 = 0,09;м = 90;мм]

Ответ: 90 мм.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

3.3.37 Пустая цилиндрическая пробирка, опущенная вертикально в воду, оказалась погруженной
3.3.39 Чашки равноплечих весов находятся в воде плотностью 1 г/см3. Найти массу гирь
3.3.40 Человек прыгает в воду со скалы высотой 10 м. На какую глубину он опустится

По закону Архимеда на тело, погруженное
в жидкость, действует выталкивающая
сила, направленная вертикально вверх,

где W— объем погруженной
части тела.

Вес воды, вытесняемой телом, полностью
или частично погру­женным в воду,
называется водоизмещением.

Центр тяжести
вытесненного объема жидкости называетсяцент­ром водоизмещения илицентром
давления. При наклоне (крене) плавающего
тела центр водо­измещения изменяет
свое положение.

Линия, проходящая через центр тяжести
тела

и центр водоизмеще­ния
в положении равновесия пер­пендикулярно
свободной поверхности воды (плоскости
плавания), явля­етсяосью плавания.
В положении рав­новесия ось плавания
вертикальна, при крене она наклонена к
вертикали под углом крена.

Точку пересечения подъемной силы Р
при наклонном положении тела с осью
плавания принято называтьме­тацентром.
Расстояние между цент­ром тяжести
тела
и метацентромMобозначается черезh_м(метацентрическая высота). Чем выше
расположен метацентр над центром тяжести
тела, т. е. чем больше метацентрическая
высота,
тем больше остойчивость тела
(способность из крена переходить в
положение равновесия), так как момент
пары сил,
стремящийся восстановить равновесие
тела, прямо пропорционален метацентрической
высоте. Величина метацентрической
высоты может быть определена по формуле

где — момент инерции площади плоскости
плавания относительно продольной оси;

W— водоизмещение тела;

е — расстояние между центром
тяжести и центром водоизме­щения.

Если метацентр лежит ниже центра тяжести
тела, т. е. метацентрическая высота
отрицательна, то тело неостойчиво.

Примеры

2.48.Определить вес груза, установленного
на круглом в плане металлическом понтоне
диаметром,
если после установки груза осадка
понтона увеличилась на.

Решение.Вес груза равен дополнительной
силе вытеснения воды. В соответствии с
законом Архимеда дополнительная сила
вытеснения воды определяется по формуле:

.

Следовательно, вес груза

.

Ответ: .

2.49.Простейший ареометр (прибор для
определения плотности жидкостей),
выполненный из круглого карандаша
диаметроми прикреплённого к его основанию
металлического шарика диаметром,
имеет вес.
Определить плотность жидкости,
если ареометр цилиндрической частью
погружается в неё на глубину.

Решение.Вес ареометра уравновешивается
силой вытеснения (архимедовой силой).

Следовательно,

,

откуда найдем плотность жидкости

.

Ответ: .

2.50.Объём части ледяной горы,
возвышающейся над поверхностью моря,
равен.
Определить общий объём ледяной горы и
глубину её погружённой части, если в
плане она имеет форму прямоугольника
размером.

Решение.Общий вес ледяной горы

,

где — объём подводной части ледяной горы;

— плотность льда.

Сила вытеснения (подъёмная сила) по
закону Архимеда

,

где
— плотность морской воды.

При плавании ледяной горы соблюдается
условие

;

,

отсюда

,

где ;

(табл. П-3).

Подставляя цифровые значения в предыдущую
формулу, получим:

.

Общий объём ледяной горы

.

Глубина погружённой части ледяной горы

.

Ответ: ;.

2.51.Запорно-поплавковый клапан бака
водонапорной башни имеет следующие
размеры:d=100мм;l=68мм;мм;D=325мм. Если уровень воды
не достигает полушара 2 , то клапан 1
открыт, и вода поступает в бак. По мере
подъёма уровня воды и погружения в неё
полушара на рычаг 3 начинает действовать
сила,
равная выталкивающей силе воды (по
закону Архимеда). Через рычаг усилие
передаётся на клапан. Если величина
этого усилия превысит силу давления
водыpна клапан, то
он закроется и вода перестанет поступать
в бак. Определить, до какого предельного
давленияpклапан будет
закрыт, если допускается погружение в
воду только полушара поплавка (до линии
а – а).

Решение.Сила суммарного давления
воды на клапан

,

где p– гидростатическое
давление в корпусе клапана;

ω – площадь клапана.

Выталкивающая сила воды, действующая
на поплавок, в соответствии с законом
Архимеда

,

где
— объём шара.

Составим сумму моментов сил относительно
шарнира О

.

С учётом ранее полученных зависимостей
запишем уравнение моментов

.

Отсюда находим предельное давление

Ответ: .

2.52.Автомобиль весомустановлен на паром с размерами;;.
Проверить остой­чивость парома, если
его весприложен на поло­вине его высоты, а
центр тяжести автомобиля находится на
высоте
от верхней плоскости парома. Установить,
как изменится метацентрическая высота,
если на автомобиль будет уложен груз,
центр тяжести которого расположен на
высоте
от верхней плоскости парома.

Решение.1) Найдем положение центра
тяжести парома с автомобилем (без груза)
относительно нижней плоскости парома

2) Водоизмещение парома с автомобилем
(объем воды, вытесненный паромом)

3) Осадка парома

4) Расстояние центра водоизмещения от
нижней плоскости парома

1. Расстояние между центром тяжести и
   центром водоизмещения

1. Момент инерции площади плоскости
   плавания

1. Метацентрическая высота

Так как метацентрическая высота
положительная, то паром остойчив. Для
случая

нагруженного автомобиля аналогично
находим:

Следовательно, при наличии груза на
автомобиле метацентрическая высота
уменьшается на

Но паром и при наличии груза будет
остойчив.

Ответ:
.

2.53. Определить остойчивость
деревянного цилиндрического бруса
диаметром^{d=0,6
м и высотой h=0,5
м, если относительный удельный вес
древесины}.

Решение:

Найдем силу веса цилиндра:

G_бр=W_брдер,

где
_дер=
0,7=7000
Н/м³– удельный вес дерева;

W_бр==0,785м^{3
— объем
бруса.}

^{Тогда вес бруса
Gбр=7000987
Н.}

Вычисляем водоизмещение цилиндра:

W=м³.

Осадка цилиндра составит:

=м.

Найдем расстояние центра водоизмещения
от нижней плоскости цилиндра:

H_ц.в.==м.

Центр тяжести цилиндра находится на
расстоянии от нижней плоскости:

h_ц.т.=м.

Расстояние между центром тяжести и
центром водоизмещения составит:

е=h_ц.т.-h_ц.в.=0,25-0,175=0,075
м.

Момент инерции площади плоскости
плавания составит:

I₀=м⁴.

Метацентрическая высота равняется:

h_м=м.

Так как h_м< 0, то
цилиндр неостойчив.

2.54. Плавучий железобетонный тоннель
с наружным диаметромD=8м
и толщиной стенки=0,3м
удерживается от всплытия тросами,
расположенными попарно через каждые
25м длины тоннеля. Определить натяжение
тросов, если вес 1м дополнительной

нагрузки по длине q=9,81кН,
плотность бетона,
а угол.

Решение:

Составим уравнение равновесия сил,
действующих на

тоннель:

Где:

Подставив значение сил в исходное
уравнение, получим:

откуда найдём силу, действующую на
каждый трос:

Ответ:
=

2.55. Определить необходимую высоту
Н колокола газгольдера весомG=70кг,
диаметромD=70см, чтобы
объем газовой подушки был равенW=100л.

Решение: Колокол
удерживается в равновесии вследствие
равенства сил, действующих на него:

G=P,

где P=pω

р – избыточное давление в газовой
подушке под колоколом;

ω – площадь колокола;

G– сила веса колокола.

Найдем избыточное давление газа под
колоколом

.

Для определения величины Н используем
уравнение Клайперона — Менделеева,
исходя из

предположения, что процесс происходит
изотермически:

;

откуда найдём соотношение

;

где
–
первоначальный объем газа в колоколе
при атмосферном давлении,

–
конечный объем газа при давлении.

Причём величина давления
составляет

Па.

Подставим
в
уравнение газового состояния.

где
– заданный первоначальный объём.

Получаем:

Ответ:
.

2.56. Определить давление р, создаваемого
колоколом газгольдера и определить
разность уровней воды под колоколом и
в его стаканеh, если вес
колоколаG= 20 кг и его
диаметрd= 40 см.

Решение:

Составим уравнение равновесия сил,
действующих на колокол:

,

где
–
сила давления в газовой подушке.

,

где
– площадь (горизонтальная) сечения
колокола.

Найдем давление под колоколом:

.

Это давление в газовой подушке (без
учета атмосферного). Оно сохраняется
во всех

точках постоянным, в том числе и на
свободной поверхности воды под колоколом,

и на уровне сечения а-авне колокола.
А это давление, в свою очередь, можно
определить так:

и будет

.

Ответ:

2.57. Шарообразный
поплавок помещен в жидкость, находящуюся
в цилиндрическом сосуде, плавающем в
той же самой жидкости. Вес сосудаG₁=1кг,
вес жидкостиG₂=5кг.

Известно также соотношение глубин
k==0,9.

Определить вес поплавка.

Решение.

Составим уравнение равновесия всех
сил, действующих на эту систему:

G_с+G_ж+G_n=F_арх

где
F_арх=—
архимедова сила, действующая на
цилиндрический сосуд с жидкостью и
поплавком. Или, подставив значения
получим

5+1+ G_n=F_арх ;

;
или

(1),

Объём жидкости в цилиндре и объём
погруженной части поплавка составляют:

W_ж+W_п.ч.п.=.

В свою очередь – объём погруженной
части поплавка умноженный на удельный
вес жидкости — это вес поплавка:

W_п.ч.п=F_apx^’=G_n.

Или
=W_п.ч.п.Подставим в
исходное уравнение:

W_ж+=получаем

W_ж+G_n=,

где W_ж=G_ж– это вес жидкости в цилиндре, тогда

G_ж+G_n=,
откуда

G_n=-G_ж; или

G_n=—
5. (2)

Запишем ещё раз уравнение (1):

G_n=—
6. (1)

Приравняем правые части соотношений
(1) и (2), получим:

-5=-6.

Учтём, что k=0,9=.
Откуда найдём значение=0,9,
тогда

—=6-5=1

(—)=1;

(-0,9)=1;

0,1=1;

=10/

Подставим это значение в уравнение (1)
и найдём вес поплавка:

G_n=—
6=-6=4
кг

Ответ: G_n=4кг.

2.58. Определить удельный вес бруса,
имеющего следующие размеры: ширинаb=30см, высотаh=20см,
длина=100см,
глубина погружения у=16см.

Решение:

Составим уравнение равновесия для
плавающего бруса:

,

где ;

;

=.

Откуда получаем соотношение

.

Найдём удельный вес бруса

=

.

Ответ:
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Закон Архимеда:

На поверхность тела, погруженного в жидкость, действуют силы давления. Так как давление увеличивается с глубиной погружения, то силы давления, действующие на нижнюю часть тела, всегда больше, что отражено на рисунке 169 длиной стрелок. Поэтому можно ожидать, что равнодействующая сил давления будет направлена вверх. Опыт подтверждает это предположение.

Если подвешенное к крючку динамометра тело опустить в воду, то показания динамометра уменьшатся (рис. 170).

Равнодействующая сил давления на тело, погруженное в жидкость, называется выталкивающей силой или силой Архимеда.

Рассмотрим тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, погруженное в жидкость так, что его основания расположены горизонтально (рис. 171). Силы давления, действующие на боковые грани тела, уравновешены. Они сжимают тело. Силы же, действующие на основания параллелепипеда, не одинаковы. Модуль силы давления, действующей на верхнее основание:

где p₀ — внешнее давление, h₁ — высота столба жидкости над верхним основанием, р — плотность жидкости, S — площадь основания.

Рис. 171

Модуль силы давления жидкости, действующей на нижнее основание:

где h₂ — глубина, на которой находится нижнее основание. Поскольку h₂ > h₁ , то F₂> F₁, и, следовательно, равнодействующая будет направлена вверх и по модулю равна:

Так как ( h₂ — h₁ ) — высота параллелепипеда, то
,    (1)
где V=S( h₂ — h₁ ) — объем тела.

В векторном виде выражение для силы Архимеда примет вид:
    (2)

Мы получили выражение выталкивающей силы для прямоугольного параллелепипеда, погруженного в жидкость. Однако эта формула справедлива для тела любой формы. Действительно, выталкивающая сила, действующая на тело (рис. 172), есть равнодействующая сил давления жидкости на его поверхность. Представим себе, что тело удалено, и его место занято той же жидкостью (рис. 173). Давление на поверхность такого мысленно выделенного объема будет таким же, каким было давление на поверхность самого тела. Значит, и равнодействующая сила давления па тело (выталкивающая сила) равна равнодействующей силе давления на выделенный объем жидкости. Но этот объем жидкости находится в равновесии. Силы, действующие на него, — это сила тяжести и выталкивающая сила (см. рис. 173). Значит, выталкивающая сила равна по модулю силе тяжести, действующей на выделенный объем жидкости, и приложена она в центре масс выделенного объема жидкости. Точку приложения выталкивающей силы называют также центром давления.

Таким образом,

Итак, на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная по модулю весу жидкости в объеме, занимаемом телом (вытесненный объем), и приложенная в центре масс этого объема (центре давления).

Это и есть закон Архимеда, экспериментально установленный Архимедом более 2200 лет тому назад. Примерная схема опыта Архимеда изображена на рисунках 174, 175, 176. Пустой стакан А («ведерко Архимеда») и сплошной цилиндр В, имеющий объем, в точности равный вместимости стакана, подвесим к динамометру (см. рис. 174). Затем, подставив сосуд с водой, погрузим цилиндр в воду. Равновесие нарушится, и растяжение динамометра уменьшится (см. рис. 175). Разность показаний динамометра как раз равна выталкивающей силе, действующей на цилиндр. Если наполнить стакан водой, то пружина динамометра снова растянется до первоначальной длины (см. рис. 176). Таким образом, доказано, что выталкивающая сила, действующая на погруженное тело, равна силе тяжести жидкости в объеме тела.

По третьему закону Ньютона если жидкость действует на погруженное тело, то и тело действует на жидкость. Эта сила направлена вертикально вниз и равна по модулю силе Архимеда. Это утверждение доказывается следующим опытом. Неполный стакан с водой уравновешивают на весах. Затем в стакан погружают тело, подвешенное на штативе. При этом чашка со стаканом опускается, и для восстановления равновесия приходится добавить на другую чашку гири, вес которых равен весу воды, вытесненной телом.

Сила Архимеда действует также на тела в воздухе. Однако плотность воздyxa мала, и действием выталкивающей силы в большинстве случаев можно пренебречь.

Выталкивающая сила действует на тела в жидкостях и газах, потому что они сжаты силой притяжения к Земле. В состоянии невесомости сила Архимеда не действует.

Рис. 176

Главные выводы:

1. Из-за того что давление увеличивается с глубиной погружения, на тело, погруженное в жидкость (газ), действует выталкивающая сила.
2. На тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая :ила, равная по модулю весу жидкости в объеме, занимаемом телом. Эта :ила приложена в центре давления.
3. Тело, погруженное в жидкость, действует на жидкость с силой, равной по модулю выталкивающей силе и противоположно направленной.
4. В невесомости сила Архимеда отсутствует.

Плавание тел и воздухоплавание:

Закон Архимеда дает возможность объяснить все вопросы, связанные с плаванием тел. Погрузим полностью тело в жидкость и предоставим самому себе. Если сила тяжести больше силы Архимеда, то оно будет тонуть, пока не упадет на дно сосуда (рис. 177). Если сила тяжести меньше силы Архимеда, то оно будет всплывать, поднимаясь к поверхности жидкости (см. рис. 177). В том случае, когда сила тяжести в точности равна выталкивающей силе, оно будет находиться в равновесии и плавать внутри жидкости.

Рис. 177

Рассмотрим тела, которые тонут в жидкости. Если тело однородное, т. е. во всех точках имеет одну и ту же плотность, то нетрудно показать, что в этом случае плотность тела больше плотности жидкости. Действительно:

Отсюда следует, что р_т > р_ж.

Если тело неоднородное, т. е. плотность тела неодинакова в различных точках, например тело с пустотами внутри, то под плотностью тела необходимо понимать среднюю плотность: (р_т)>р_ж.

Для тонущих тел неправильной формы, объем которых трудно найти при помощи измерения размеров тела, закон Архимеда позволяет экспериментально определить плотность тела. Для этого тело необходимо дважды взвесить: один раз в воздухе, а другой раз — погружая его в жидкость, плотность которой известна. Первое взвешивание дает значение силы тяжести: P = p_TgV. Результат второго взвешивания F дает разность между силой тяжести mg и выталкивающей силой F_A:

Заменив в этой формуле объем тела V на, легко получить, что
∙    (1)

В случае неоднородного тела определяемая по этой формуле величина р_T даст среднюю плотность.
Если тело, погруженное в жидкость, находится в равновесии, то плотность тела (или его средняя плотность) равна плотности жидкости. Можно проделать следующий опыт. Куриное яйцо тонет в пресной воде, но плавает в соленой. При растворении соли плотность раствора увеличивается. При этом концентрация раствора постепенно уменьшается кверху, т. е. раствор является неоднородной жидкостью. Его плотность вверху меньше, чем внизу. Поэтому в таком растворе куриное яйцо вначале будет тонуть, а затем остановится, не достигнув дна, и будет плавать на такой глубине, где его плотность равна средней плотности раствора на данной глубине.

Другим примером плавания тел под водой является плавание подводных лодок (рис. 178). Они должны иметь возможность всплывать и погружаться в воду, а также плыть под поверхностью воды. Так как объем лодки остается во всех случаях неизменным, то для выполнения этих маневров на лодке должна быть предусмотрена возможность изменения ее массы. В лодке сделан ряд балластных отсеков, которые при помощи специальных устройств можно заполнить забортной водой (при этом масса лодки увеличивается, и она погружается) и освободить от воды (при этом масса лодки уменьшается, и она всплывает). Конечно, трудно подобрать такую массу воды, чтобы выталкивающая сила в точности была равна силе тяжести. Поэтому для сохранения заданной глубины нужно все время изменять количество балласта либо все время двигаться, маневрируя рулями глубины.
 

Рис. 178

Если сила тяжести тела, погруженного в жидкость, меньше силы Архимеда, то оно всплывает. Поднявшись на поверхность, оно плавает так, что часть его выступает из жидкости. В этом случае плотность тела меньше плотности жидкости. В самом деле, на тело, плавающее таким образом, действуют сила тяжести mg = p_TgV и выталкивающая сила F_A= p_TgV₁, где V₁ — объем погруженной в жидкость части тела:

и так как V₁ < V, то из (2) следует, что р_T < р_ж. Из (2) также следует, что объем тела, погруженного в жидкость, зависит от отношения плотностей жидкости и тела. Так, для льдины, плавающей на воде, под водой находится примерно 92 % ее объема (плотность льда 920 , плотность воды 1000 ).

На основании закона плавания тел сконструирован прибор — ареометр, с помощью которого измеряют плотности жидкостей. Ареометр представляет собой стеклянный сосуд с грузиком и длинным отростком, на котором нанесена шкала (рис. 179, а). При плавании в жидкости ареометр погружается на большую или меньшую глубину в зависимости от плотности жидкости (рис. 179, б). Чем больше плотность жидкости, тем меньше он погружается. На шкале непосредственно отмечаются значения плотности жидкости. Ареометр применяется обычно для точных измерений в жидкостях с близкими плотностями.

Рис. 179

Сплошные тела плавают в жидкости так, чтобы равновесие было устойчивым. Для доказательства этого утверждения рассмотрим плавание бревна в воде. Если бревно однородное, то оно плавает, так как показано на рисунке 180. Очевидно, что сила тяжести приложена в центре масс бревна С, а выталкивающая сила в центре масс вытесненной жидкости D (центре давления). Причем линии действия этих сил совпадают. В отклоненном положении (рис. 181) центр масс вытесненной жидкости смещается относительно бревна, и возникает момент сил, который возвращает бревно в исходное состояние.

Тело, имеющее полости, куда жидкость не проникает при плавании, вытеснит такой же объем, что и сплошное тело. Поэтому и сила Архимеда для такого тела такая же, как и для сплошного. Но масса тела с полостями меньше массы сплошного тела. Поэтому при достаточно больших полостях такое тело может плавать, хотя плотность вещества тела больше плотности жидкости (например, корабли, лодки и т. п.). Объем вытесненной кораблем воды значительно больше объема стали, из которой сделан корпус судна, поэтому он может плавать, несмотря на то что плотность стали в 8 раз больше плотности воды.

Если пространство внутри судна заполнить водой, например, в случае течи, то вытесненный объем воды уменьшится и судно начнет тонуть.

Полет воздушного шара или дирижабля (рис. 182) в воздухе напоминает плавание подводной лодки под водой. Если масса всего летательного аппарата, в том числе и масса газа, заполняющего оболочку, меньше массы воздуха в объеме, вытесняемом аппаратом, то он поднимается вверх. Если эти массы равны- шар неподвижно висит в воздухе. Если масса аппарата с газом больше массы вытесняемого воздуха, то аппарат опускается.

Рис. 182

Главные выводы:

• Тело, погруженное в жидкость, тонет, плавает внутри жидкости или всплывает, если плотность тела (средняя плотность) больше, равна или меньше плотности жидкости соответственно.

На поверхность твердого тела, погруженного в жидкость, действуют, как мы знаем, силы давления. Так как давление увеличивается с глубиной погружения, то силы давления, действующие на нижнюю часть тела и направленные вверх, больше, чем силы, действующие на верхнюю его часть и направленные вниз, и мы можем ожидать, что равнодействующая сил давления будет направлена вверх. Опыт подтверждает это предположение.

Рис. 258. Если груз погружен в воду, показание динамометра уменьшается

Рис. 259. Пробка, погруженная в воду, натягивает нитку

Если, например, гирю, подвешенную к крючку динамометра, опустить в воду, то показание динамометра уменьшится (рис. 258).

Равнодействующая сил давления на тело, погруженное в жидкость, называется выталкивающей силой. Выталкивающая сила может быть больше силы тяжести, действующей на тело; например, кусок пробки, привязанный к дну сосуда, наполненного водой, стремясь всплыть, натягивает нитку (рис. 259). Выталкивающая сила возникает и в случае частичного погружения тела. Кусок дерева, плавающий на поверхности воды, не тонет именно благодаря наличию выталкивающей силы, направленной вверх.

Если тело, погруженное в жидкость, предоставить самому себе, то оно тонет, остается в равновесии или всплывает на поверхность жидкости в зависимости от того, меньше ли выталкивающая сила силы тяжести, действующей на тело, равна ей или больше ее. Выталкивающая сила зависит от рода жидкости, в которую, погружено тело. Например, кусок железа тонет в воде, но плавает в ртути; значит, в воде выталкивающая сила, действующая на этот кусок меньше, а в ртути — больше силы тяжести.

Найдем выталкивающую силу, действующую на твердое тело, погруженное в жидкость.

Рис. 260. а) Тело находится в жидкости, б) Тело заменено жидкостью

Выталкивающая сила, действующая на тело (рис. 260 а), есть равнодействующая сил давления жидкости на его поверхность. Представим себе, что тело удалено и его место занято той же жидкостью (рис. 260, б). Давление на поверхность такого мысленно выделенного объёма будет таким же, каким было давление на поверхность самого тела. Значит, и равнодействующая сила давления на тело (выталкивающая сила) равна равнодействующей сил давления на выделенный объем жидкости. Но выделенный объем жидкости находится в равновесии. Силы, действующие на него, — это сила тяжести

 и выталкивающая сила

 (рис. 261, а). Значит, выталкивающая сила равна по модулю силе тяжести, действующей на выделенный объем жидкости, и направлена вверх. Точкой приложения этой силы должен быть центр тяжести выделенного объема. В противном случае равновесие нарушилось бы, так как сила тяжести и выталкивающая сила образовали бы пару сил (рис. 261, б). Но, как уже сказано, выталкивающая сила для выделенного объема совпадает с выталкивающей силой тела. Мы приходим, таким образом, к закону Архимеда:

Выталкивающая сила, действующая на тело, погруженное в жидкость, равна по модулю силе тяжести, действующей на жидкость в объеме, занимаемом телом (вытесненный объем), направлена вертикально вверх и приложена в центре тяжести этого объема. Центр тяжести вытесненного объема называют центром давления.

Рис. 261. а) Равнодействующая сил давления на поверхность погруженного тела равна силе тяжести, действующей на жидкость, объем которой равен объему тела, б) Если бы точка приложения равнодействующей силы не совпадала с центром тяжести вытесненного объема жидкости, то получилась бы пара сил и равновесие этого объема было бы невозможным

Для тела, имеющего простую форму, можно вычислить выталкивающую силу, рассмотрев силы давления на его поверхность. Пусть, например, тело, погруженное в жидкость, имеет форму прямого параллелепипеда и расположено так, что две его противолежащие грани горизонтальны (рис. 262). Площадь его основания обозначим через

, высоту — через

, а расстояние от поверхности до верхней грани — через

.

Равнодействующая сил давления жидкости составляется из сил давления на боковую поверхность параллелепипеда и на его основания. Силы действующие на боковые грани, взаимно уничтожаются, так как для противолежащих граней силы давления равны по модулю и противоположны по направлению. Давление на верхнее основание равно

, на нижнее основание равно

. Следовательно, силы давления на верхнее и на нижнее основания равны соответственно

,

причем сила

 направлена вниз, а сила

 — вверх. Таким образом, равнодействующая

 всех сил давления на поверхность параллелепипеда (выталкивающая сила) равна разности модулей сил

 и

:

,

и направлена вертикально вверх. Но

 — это объем параллелепипеда, а

 — масса вытесненной телом жидкости. Значит, выталкивающая сила действительно равна по модулю силе тяжести, действующей на вытесненный объем жидкости.

Рис. 262. К вычислению выталкивающей силы

Рис. 263. Опытная проверка закона Архимеда при помощи «ведерка Архимеда»

Если тело, подвешенное к чашке весов, погрузить в жидкость, то весы показывают разность между весом тела и выталкивающей силой, т. е. весом вытесненной жидкости. Поэтому закону Архимеда придают иногда следующую формулировку: тело, погруженное в жидкость, теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость.

Для иллюстрации справедливости этого вывода сделаем следующий опыт (рис. 263): пустое ведерко

 («ведерко Архимеда») и сплошной цилиндр

, имеющий объем, в точности равный вместимости ведерка, подвесим к динамометру. Затем, подставив сосуд с водой, погрузим цилиндр в воду; равновесие нарушится, и растяжение динамометра уменьшится. Если теперь наполнить ведерко водой, то динамометр снова растянется до прежней длины. Потеря в весе цилиндра как раз равна весу воды в объеме цилиндра.

По закону равенства действия и противодействия выталкивающей силе, с которой жидкость действует на погруженное тело, соответствует сила, с которой тело действует на жидкость. Эта сила направлена вертикально вниз и равна весу жидкости, вытесненной телом. Следующий опыт демонстрирует сказанное (рис. 264). Неполный стакан с водой уравновешивают на весах. Затем в стакан погружают тело, подвешенное на штативе; при этом чашка со стаканом опускается, и для восстановления равновесия приходится добавить на другую чашку гирю, вес которой равен весу воды, вытесненной телом.

Рис. 264. Вес гири, которую нужно положить на левую чашку весов, равен весу воды, вытесненной телом

160.1.
Найдите выталкивающую силу, действующую на погруженный в воду камень массы 3 кг, если его плотность равна

.

160.2.
Куб с ребром 100 мм погружен в сосуд, наполненный водой, поверх которой налит керосин так, что линия раздела обеих жидкостей проходит посередине ребра куба. Найдите выталкивающую силу, действующую на куб. Плотность керосина равна

.

160.3
. Кусок пробки массы 10 г, обмотанный медной проволокой с поперечным сечением

, остается в равновесии в воде, не погружаясь и не всплывая (табл. 1). Найдите длину проволоки.

160.4.
Что произойдет с весами, находящимися в равновесии, если в стакане с водой, стоящий на чашке весов, погрузить палец, не прикасаясь пальцем ни к дну, ни к стенкам стакана?

160.5.
К чашкам весов подвешены на нитках кусок меди и кусок железа массы 500 г каждый (табл. 1). Нарушится ли равновесие, если медь погрузить в воду, а железо — в керосин плотности

. Гирю какой массы и на какую чашку весов нужно поставить, чтобы восстановить равновесие?