Как найти высоту трапеции с вписанной окружностью

Нахождение высоты трапеции: формулы и примеры задач

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту трапеции, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Напомним, высотой трапеции называется отрезок, соединяющий оба ее основания и перпендикулярный им.

Нахождение высоты трапеции

Через длины сторон

Если известны длины всех четырех сторон трапеции, ее высота рассчитывается по формуле ниже:

Через боковую сторону и прилежащий угол

Высоту трапеции можно вычислить, если знать длину любой из ее боковых сторон и значение прилежащего к ней и основанию угла.

Через диагонали и угол между ними

Зная длину оснований трапеции, а также диагоналей и угол между ними, вычислить высоту удастся по формуле:

Если сумму оснований заменить длиной средней линии (m), то формула будет выглядеть следующим образом:

Средняя линия трапеции (m) равняется полусумме ее оснований, т.е m = (a+b) /₂.

Через площадь

Высоту трапеции можно вычислить, если известны ее площадь и длины оснований (или средней линии).

Примечание: формулы для нахождения высоты равнобедренной и прямоугольной трапеций представлены на нашем сайте в отдельных публикациях.

Примеры задач

Задание 1
Найдите высоту трапеции, если ее основания равны 9 и 6 см, а боковые стороны – 4 и 5 см.

Решение
Т.к. у нас есть длины всех сторон, мы можем воспользоваться первой формулой для вычисления требуемого значения:

Кстати, т.к. высота равна одной из боковой сторон трапеции, значит она является прямоугольной.

Задание 2
Площадь трапеции равна 26 см 2 . Найдите ее высоту, если основания равны 10 и 3 см.

Решение
В данном случае можно применить последнюю из рассмотренных формул:

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

• Основы трапеции — параллельные стороны
• Боковые стороны — две другие стороны
• Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

• Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
• Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d ₁ 2 + d ₂ 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =	sin γ ·	d 1 d 2	=	sin δ ·	d 1 d 2
a + b	a + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =	sin γ ·	d 1 d 2	=	sin δ ·	d 1 d 2
2 m	2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d ₁ = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d ₂ = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d 1 =	√	d 2 + ab —	a ( d 2 — c 2 )
a — b

d 2 =	√	c 2 + ab —	a ( c 2 — d 2 )
a — b

d ₁ = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d ₂ = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d ₁ = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d ₂ 2

d ₂ = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d ₁ 2

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =	d 1 d 2	· sin γ	=	d 1 d 2	· sin δ
2	2

4. Формула площади через четыре стороны:

S =	a + b	√	c 2 —	(	( a — b ) 2 + c 2 — d 2	)	2
2	2( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =	a + b	√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
| a — b |

где

p =	a + b + c + d	— полупериметр трапеции.
2

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =	a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)

где

a — большее основание

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =	b	KN = ML =	a	TO = OQ =	a · b
2	2	a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то

Площадь

или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Описанная окружность и трапеция. Здравствуйте! Для вас ещё одна публикация, в которой рассмотрим задачи с трапециями. Задания входят в состав экзамена по математике. Здесь они объединены в группу, дана не просто одна трапеция, а комбинация тел – трапеция и окружность. Большинство из таких задачек решаются устно. Но есть и такие на которые нужно обратить особое внимание, например, задача 27926.

Какую теорию необходимо помнить? Это:

1. Свойство сторон четырёхугольника описанного около окружности.

2. Теорему Пифагора. *Куда мы без неё )

3. Понятие средней линии трапеции.

Задачи с трапециями, которые имеются на блоге можно посмотреть здесь.

27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Отметим, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Нам дана средняя линия, значит можем определить сумму оснований, то есть:

Значит сумма боковых сторон будет равна 22–10=12 (периметр минус основания).  Так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны, то одна сторона будет равна шести.

Ответ: 6

27925. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60⁰, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Если вы решали задачи с окружностью и вписанным в неё шестиугольником, то сразу озвучите ответ – радиус равен 6. Почему?

Посмотрите: равнобедренная трапеция с углом при основании равным 60⁰ и равными сторонами AD, DC и CB, представляет собой половину правильного шестиугольника:

В таком шестиугольнике отрезок соединяющий противоположные вершины проходит через центр окружности. *Центр шестиугольника и центр окружности совпадают, подробнее здесь п.6

То есть большее основание этой трапеции совпадает с диаметром описанной окружности. Таким образом радиус равен шести.

*Конечно, можно рассмотреть равенство треугольников ADO, DOС и OCB. Доказать что они равносторонние. Далее сделать вывод о том, что угол AOB равен 180⁰ и точка О равноудалена от вершин A, D, C и B, а и значит АО=ОВ=12/2=6.

Ответ: 6

27926. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим, что центр описанной окружности лежит на оси симметрии, при чём если построить высоту трапеции проходящую через этот центр, то она при пересечении с основаниями разделит их пополам. Покажем это на эскизе, также соединим центр с вершинами:

Отрезок EF является высотой трапеции, его нам нужно найти.

В прямоугольном треугольнике OFC нам известна гипотенуза (это радиус окружности),  FC=3 (так как  DF=FC). По теореме Пифагора можем вычислить OF:

В прямоугольном треугольнике OEB нам известна гипотенуза (это радиус окружности),  EB=4 (так как  AE=EB). По теореме Пифагора можем вычислить OE:

Таким образом EF=FO+OE=4+3=7.

Ответ: 7

Теперь важный нюанс!

В этой задаче на рисунке чётко показано, что основания лежат по разные стороны от центра окружности, поэтому задача решается именно так.

А если бы в условии не было дано эскиза?

Тогда у задачи было бы два ответа. Почему? Посмотрите внимательно – в любую окружность можно вписать две трапеции с заданными основаниями:

*То есть при данных основаниях трапеции и радиусе окружности существует две трапеции.

И решение будет «второго варианта» будет следующим.

По теореме Пифагора вычисляем OF:

Также вычислим OE:

Таким образом EF=FO–OE=4–3=1.

Конечно, в задаче с кратким ответом на ЕГЭ двух ответов быть не может, и подобная задача без эскиза дана не будет. Поэтому обратите особое внимание на эскиз! А именно: как расположены основания трапеции. А вот в заданиях с развёрнутым ответом такая в прошлые годы присутствовала (немного с усложнённым условием). Тот, кто рассматривал только один вариант расположения трапеции теряли балл на этом задании.

27937. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Здесь сразу следует вспомнить свойство  четырёхугольника описанного около окружности:

Суммы противоположных сторон любого четырёхугольника описанного около окружности равны.

Значит

А средняя линия равна половине суммы оснований, то есть 10.

Ответ: 10

27938. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Радиус окружности равен половине высоты. Используя свойство указанное в предыдущей задаче получим:

Большая сторона у нас это СВ, следовательно можем вычислить AD=11–CB=11–7=4. Таким образом, радиус будет равен 2.

Ответ: 2

27915. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 1.

Посмотреть решение

27936. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.

Посмотреть решение

На этом всё, успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

*Расскажите о сайте в социальных сетях.

Высота трапеции

Содержание:

• Что такое трапеция
• Как найти высоту трапеции
  • Через стороны
  • Через среднюю линию и площадь
  • Через боковую сторону и угол
  • Через диагонали, угол между ними и основания
  • Через диагонали, угол и среднюю линию
  • Через радиус вписанной окружности
• Примеры вычисления

Что такое трапеция

Определение

Трапеция — это геометрическая фигура, которая состоит из двух параллельных и неравных друг другу отрезков (оснований) и боковых сторон.

Все стороны трапеции могут иметь разную величину. Но если ее боковые стороны равны, значит трапеция равнобедренная.

Определение

Высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания фигуры до другого.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Как найти высоту трапеции

Через стороны

Если нам известны стороны фигуры, мы можем найти ее высоту по формуле:

(h=sqrt{b^2-(frac{{(a-d)}^2+d^2+c^2}{2cdot(a-b)}})^2)

Где h — высота, a — большее основание, b — меньшее основание, c и d — боковые стороны.

Через среднюю линию и площадь

Если в условии есть данные о величине средней линии и площади, можем использовать формулу:

(h=frac Sm)

Где m — средняя линия трапеции.

Через боковую сторону и угол

Когда нам известна величина одной из боковых сторон и угол между этой стороной и большим основанием, используем формулу:

(h=ccdotsinleft(alpharight))

Где alpha — это угол между стороной c и большим основанием a.

Через диагонали, угол между ними и основания

Если нам известны длины обоих диагоналей трапеции, а также угол между ними, можем найти высоту следующим образом:

(h=frac{d_1d_2}{a+b}cdotsinleft(gammaright))

Где (d_1) и (d_2) — диагонали трапеции, а (gamma) — угол между ними.

Через диагонали, угол и среднюю линию

В том случае, если нам известны сразу длины диагоналей, угол между ними и величина средней линии, мы можем узнать высоту трапеции по формуле:

(h=frac{d_1d_2}{2m}cdotsinleft(gammaright))

Через радиус вписанной окружности

Если в трапецию можно вписать окружность, то ее высота будет равна диаметру этой окружности, то есть d=h. Другими словами, высота фигуры будет равна удвоенному радиусу вписанной в нее окружности:

(h=2r)

Где r — радиус выписанной окружности.

Примеры вычисления

Задача 1

Дана трапеция, в которой известны основания a и b. Они равны 4,5 см и 2,5 см. Также известны ее боковые стороны d и c, равные 2 см и (2sqrt2) см соответственно. Найти высоту.

Решение

Чтобы решить эту задачу, используем формулу (h=sqrt{b^2-(frac{{(a-d)}^2+d^2+c^2}{2cdot(a-b)}})^2.)

Подставляем известные значения:

(h=sqrt{2^2-(frac{{(4,5-2,5)}^2+2^2+{(2sqrt2)}^2}{2cdot(4,5-2,5)}}{)^2=}h=sqrt{4-(frac{4+4-8}4}{)^2=sqrt4=2}) см.

Ответ: h=2 см.

Задача 2

Известно, что основания a и b равнобедренной трапеции равны 3 см и 5 см. Площадь фигуры равна 8 см². Вычислить высоту.

Решение:

Чтобы найти высоту, нужно знать величину средней линии m. Определим ее следующим образом:

(m=frac{a+b}2=frac{3+5}2=4 см.)

Теперь используем формулу (h=frac Sm) и подставим известные значения:

(h=frac84=2) см.

Ответ: h=2 см.

Задача 3

Мы знаем, что сторона c трапеции равна (sqrt2) см, а угол (alpha) между известной стороной и основанием равен 45 градусов. Найти значение высоты.

Решение:

Используем формулу (h=ccdotsinleft(alpharight)) и подставим значения:

(h=sqrt2cdotsinleft(45^circright)=frac{sqrt2cdotsqrt2}2=frac22=1) см.

Ответ: h=1 см.

Задача 4

Даны диагонали трапеции (d_1) и (d_2), равные 2 см и 3 см, а также угол gamma между ними, который равняется 30 градусов. Основания a и b, длина которых 2 см и 1 см соответственно. Найти h.

Решение:

Для решения задачи использует формулу (h=frac{d_1d_2}{a+b}cdotsinleft(gammaright).)

Подставим значения:

(h=frac{2cdot3}{2+1}cdotsinleft(30^circright)=frac63cdotfrac12=1) см.

Ответ: h=1 см.

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Если в трапецию вписана окружность, в задаче появляется несколько путей, по которым можно повести рассуждение.

1.В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Отсюда следует, что если в трапецию вписана окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.

AB+CD=AD+BC

2. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Отсюда следует, что

AL=AK

BL=BM

CM=CF

DF=DK

3. Высота трапеции равна длине диаметра вписанной окружности или двум ее радиусам.

MK — высота трапеции, MK=2r, где r — радиус вписанной в трапецию окружности.

4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.

Рассмотрим базовую задачу.

Найти радиус вписанной в трапецию окружности, если точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной m и n (CF=m, FD=n).

1) ∠ADC+∠BCD=180º (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD и BC и секущей CD);

2) так как точка O — точка пересечения биссектрис углов трапеции, то ∠ODF+∠OCF=1/2∙(∠ADC+∠BCD)=90º;

3) так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике COD ∠COD=90º;

4) таким образом, треугольник COD прямоугольный, а OF — высота, проведенная к гипотенузе, CF и FD — проекции катета OC и OD на гипотенузу. Поскольку высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу,

   

Отсюда радиус вписанной в трапецию окружности выражается через длины отрезков, как которые боковая сторона делится точкой касания, как

   

А так как высота трапеции равна ее диаметру, то и высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков:

   

В нашей жизни очень часто приходится сталкиваться с применением геометрии на практике, например, в строительстве. Среди наиболее часто встречающихся геометрических фигур есть и трапеция. И для того, чтобы проект был успешным и красивым, необходим правильный и точный расчет элементов для такой фигуры.

Что собой представляет трапеция? Это выпуклый четырехугольник, который имеет пару параллельных сторон, именуемых основаниями трапеции. Но есть еще две другие стороны, соединяющие эти основания. Их называют боковыми. Один из вопросов, касающийся данной фигуры, это: «Как найти высоту трапеции?» Сразу необходимо обратить внимание, что высота — это отрезок, определяющий расстояние от одного основания до другого. Существует несколько способов для определения этого расстояния, в зависимости от известных величин.

1. Известны величины обоих оснований, обозначим их b и k, а так же площадь данной трапеции. Используя известные величины, найти высоту трапеции в этом случае очень легко. Как известно из геометрии, площадь трапеции вычисляется, как произведение половины суммы оснований и высоты. Из этой формулы можно легко вывести искомую величину. Для этого необходимо площадь разделить на половину суммы оснований. В виде формул это будет выглядеть так:

S=((b+k)/2)*h, отсюда h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)

2. Известна длина средней линии, обозначим ее d, и площадь. Для тех, кто не знает, средней линией называю расстояние между серединами боковых сторон. Как найти высоту трапеции в этом случае? Согласно свойству трапеции, средняя линия соответствует половине суммы оснований, то есть d=(b+k)/2. Опять же прибегаем к формуле площади. Заменив половину суммы оснований на величину средней линии, получим следующее:

S=d*h

Как видим из полученной формулы очень легко вывести высоту. Разделив площадь на величину средней линии, мы найдем искомую величину. Запишем это формулой:

h=S/d

3. Известна длина одной боковой стороны (b) и угол, образующийся между этой стороной и наибольшим основанием. Ответ на вопрос, как найти высоту трапеции, есть и в этом случае. Рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD являются боковыми сторонами, причем AB=b. Наибольшим основанием является AD. Угол, образованный AB и AD обозначим α. Из точки B опустим высоту h на основание AD. Теперь рассмотрим полученный треугольник ABF, который является прямоугольным. Сторона AB является гипотенузой, а BF-катетом. Из свойства прямоугольного треугольника отношение значения катета и значению гипотенузы соответствует синусу угла, противолежащего катету (BF). Поэтому, исходя из вышеизложенного, для вычисления высоты трапеции перемножаем значение известной стороны и синус угла α. В виде формулы это выглядит следующим образом:

h = b *sin(α)

4. Аналогично рассматривается случай, если известны размер боковой стороны и угол, обозначим его β, образующийся между этой стороной и меньшим основанием. При решении такой задачи величина угла между известной боковой стороной и проведенной высотой будет 90°- β. Из свойства треугольников — отношение длины катета и гипотенузы соответствует косинусу угла, расположенного между ними. Из этой формулы легко вывести величину высоты:

h = b *cos(β-90°)

5. Как найти высоту трапеции, если известен лишь радиус вписанной окружности? Из определения окружности, она касается одной точкой каждого основания. Кроме того, эти точки находятся на одной линии с центром окружности. Из этого следует, что расстояние между ними является диаметром и, в то же время, высотой трапеции. Выглядит так:

h=2*r

6. Часто встречаются задачи, в которых необходимо найти высоту равнобедренной трапеции. Напомним, что трапеция, имеющая равные боковые стороны, называется равнобедренной. Как найти высоту равнобедренной трапеции? При перпендикулярных диагоналях высота равна половине суммы оснований.

Но, что делать, если диагонали не перпендикулярны? Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD. Согласно ее свойствам, основания параллельны. Из этого следует, что углы при основаниях также будут равны. Проведем две высоты BF и CM. Исходя из вышесказанного, можно утверждать, что треугольники ABF и DCM равны, то есть AF= DM = (AD – BC)/2 = (b-k)/ 2. Теперь, исходя из условия задачи, определимся с известными величинами, а уж потом находим высоту, учитывая все свойства равнобедренной трапеции.